Численное исследование процессов формирования термогидродинамической структуры стратифицированной среды

Актуальность темы

Большинство современных сложных задач математический физики, имеющих важное научно-практическое значение, описывается нелинейными уравнениями в частных производных. Решение такого класса задач может быть найдено лишь приближенно, путем замены исходной дифференциальной задачи некоторым конечномерным аналогом. К этому классу задач относится и математическая модель процесса формирования термогидродинамической структуры стратифицированной среды. Для получения представляющего практическую ценность результата в качестве примера такой среды разумно привести океан.

Состояние морской поверхности и нижележащих вод интересует нас по многим причинам. Маршруты судов, морские операции, рыбный промысел, быт и само существование прибрежных поселений — все это определяется верхним слоем океана. Он не только оказывает непосредственное влияние на человеческую деятельность, но и модифицирует почти все процессы в окружающей нас среде. Более 80% всей солнечной радиации, поглощенной океаном, накапливается в какое-то время в верхних 2 0 м. Динамика климата всей Земли неотделима от эффектов накопления тепла в верхнем слое океана. Эти эффекты определяют температуру воздуха над океанской поверхностью, содержание влаги в атмосфере, радиационный баланс и весь речной сток. Кроме того, процессы в верхнем слое океана ответственны за поддержание энергии циркуляции и за перенос турбулентности во внутренние слои океана. Именно это всепроникающее влияние и побуждает обращаться к моделированию верхнего слоя океана.

Так как верхний слой океана (ВСО) располагается на границе между атмосферой и океаном, обычно он имеет стандартную структуру, вытекающую из особенности своего расположения. Через ВСО происходит обмен количеством движения и теплом между атмосферой и океаном. Образование дрейфовых течений, имеющих турбулентный характер, происходит по причине ветрового воздействия на поверхность ВСО. Важную роль при формировании вертикальной термогидродинамической структуры играет турбулентность. Вертикальное турбулентное движение приводит к быстрому выравниванию температуры и плотности воды, оказывая, тем самым, влияние на структуру течения. Совместное или раздельное действие основных источников турбулентности, которыми являются неустойчивость вертикальных и горизонтальных градиентов скорости течений, влияние сил плавучести в поле тяжести Земли в условиях неоднородности среды, а также разрушение поверхностных и внутренних волн, приводит к образованию слоя высокой термохалинной однородности — верхнего квазиоднородного слоя (ВКС), ограниченного снизу слоем больших градиентов температуры и плотности, называемого слоем скачка плотности и температуры (ССП) и играющего важную роль в процессе эволюции ВСО. Являясь местом вырождения турбулентности, он служит границей между областями ВСО с турбулентным и квазиламинарным состоянием. Существование ССП объясняется локальным обострением всех градиентов в результате вовлечения холодных водных масс из глубинных слоев в слой турбулентного перемешивания. В связи с постоянным переносом тепла через поверхность океана в результате поглощения солнечной радиации и испарения вертикальная турбулентная термогидродинамическая структура ВКС претерпевает изменения в виде периодического прогрева и выхолаживания ВКС. Как следствие длительного повторения таких изменений, за время весенне-летнего прогрева формируется термоклин деятельного слоя, внутри которого существует перемежающаяся турбулентность, которая приводит к образованию ступенчатой структуры термоклина. Описать эти процессы и дать исчерпывающую характеристику вертикальной структуры ВКС, ССП и термоклина становится возможным только на основе использования математической модели, в виду недостаточности эмпирического материала.

Исследованию структуры верхнего слоя океана и океанической турбулентности с помощью математического моделирования посвящено множество работ, в большинстве которых освещены и изучены осредненные значения скорости течения, температуры и плотности, тогда как характеристики мелкомасштабной турбулентности: энергия турбулентности, скорость вязкой диссипации, вертикальные турбулентные потоки количества движения, тепла, соли, интенсивности пульсаций температуры изучены мало. Теоретические основоположения океанской турбулентности изложены в работах Монина A.C. [1, 2, 3, 4, 5]. Эмпирическое исследование характеристик мелкомасштабной турбулентности выполнено Озмидовым Р. В., Лозоватским И. Д. [б, 7, 8] по результатам экспедиционных наблюдений в океане. Задача о расчете вертикальной турбулентной структуры в океане, учитывающая связи характеристик турбулентности с параметрами устойчивости среды, решалась в ряде работ Озмидова, Лозоватского [9, 10, 11]. Численному моделированию термогидродинамической и турбулентной структуры посвящены работы Марчука [12], Меллора,.

Ямады, Дарбина [13, 14], Канди [15], Клейна [16], Мартина [17], Лозоватского [9], Дикинова, Ксенофонтова, Москаленко [18, 19], Лозоватского, Ксенофонтова, Ерофеева, Гибсона [20], Лозоватского, Ксенофонтова [21]. В большинстве этих работ исследовалась только термогидродинамическая изменчивость верхнего слоя океана, и задача решалась численно явными методами. И только в работах Марчука, Лозоватского и Дикинова с соавторами использовались неявные схемы.

Целью настоящей работы является решение важной научной задачи численного исследования процессов формирования и эволюции вертикальной термогидродинамической и турбулентной структуры в стратифицированной жидкой среде под воздействием атмосферы, разработка эффективных разностных схем численной реализации модели и изучение связей характеристик мелкомасштабной турбулентности с параметрами устойчивости вод в жидкой среде. Для решения этой задачи потребовалось:

— разработать новые полуэмпирические замыкания задачи о формировании вертикальной термогидродинамической и турбулентной структуры устойчиво стратифицированной жидкой средыразработать новую численную модель, позволяющую воспроизводить качественные и количественные особенности эволюции верхнего слоя океана с учетом связей мелкомасштабной турбулентности с параметрами устойчивости вод в океане;

— создать эффективный численный алгоритм для реализации на современных ЭВМ;

— 7- разработать и реализовать программный комплекс моделирования систем и процессов для повышения эффективности работы с численной моделью.

Метод исследования. Используемые в модели нелинейные уравнения термогидродинамики решаются численно методом конечных разностей. В работе использовались абсолютно устойчивые численные схемы второго порядка точности. По пространственной координате применен балансный метод, по времени использовалась неявная схема Кранка-Николсона в сочетании с методом итерационного установления по коэффициентам турбулентного обмена. Все численные эксперименты, рассмотренные в диссертационной работе, реализованы на IBM-совместимой ЭВМ на процессоре Intel Pentium 100 в Кабардино-Балкарском ордена Дружбы народов государственном университете. Для повышения эффективности работы с экспериментальными данными был разработан и реализован программный комплекс моделирования систем и процессов.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем: для горизонтально-однородных условий построена нелинейная дифференциальная модель верхнего слоя жидкой стратифицированной среды, основанная на замыканиях вторых моментов корреляционных функций. Модель учитывает зависимость характеристик мелкомасштабной турбулентности от параметров устойчивости вод в океане и позволяет исследовать эволюцию термогидродинамической и турбулентной структуры по данным стандартных метеорологических наблюдений, то есть является прогностической. Создан высокоэффективный экономичный алгоритм и программный комплекс для реализации модели на современных ЭВМ. На основе построенной модели получены новые результаты о формировании слоев гомохалотермии и трения под воздействием атмосферы. Изучены механизмы образования ступенчатой структуры термоклина .

Практическая ценность работы состоит в том, что предложенный метод решения поставленной задачи может быть использован в качестве примера численного исследования подобного класса задач математической физики.

Применение такого подхода позволило получить решение задачи, устойчивое к вариациям краевых условий и параметров модели. С практически приемлемой точностью решение может быть получено даже если ограничиваться одной-двумя итерациями при расчете коэффициентов турбулентного обмена .

Разработанная модель может быть использована для теоретического исследования связей характеристик мелкомасштабной турбулентности со стратификацией гидрофизических полей в океане и с гидрометеоусловиями на его поверхности .

Модель может применяться в прогностических целях для расчета изменений вертикальной термогидродинамической структуры верхнего слоя океана, в том числе его теплоза-паса по данным метеорологических наблюдений. Помимо этого, модель может быть использована в задачах, связанных с изучением образования и эволюции тонкой или ступенчатой структуры термоклина.

Разработанный программный комплекс моделирования систем и процессов является достаточно мощным инструментарием для научно-исследовательской деятельности и может с успехом применяться при решении целого класса задач математической физики и математического моделирования.

Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались на Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов (г. Таганрог, 1997г), международной научно-практической конференции ELBRUS-97 «Новые информационные технологии и их региональное развитие» (г. Нальчик, 1997г), 2-й Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов «Микроэлектроника и информатика-98» (г. Москва, 1998г), на международном симпозиуме PACON'99 Humanity and the World Ocean: Interdependence at the Dawn of the New Millennium (г. Москва, 1999r) .

По материалам диссертации опубликовано шесть печатных работ [22, 23, 24, 25, 26, 27] .

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 94 наименования. Основной текст работы изложена на 110 страницах машинописного текста и содержит 18 рисунков.

Основные выводы и результаты диссертации состоят в следующем:

1. Численно исследована система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая основные параметры и особенности гидрологической и турбулентной структуры стратифицированной среды.

2. На основе предложенной математической модели исследована связь характеристик мелкомасштабной турбулентности с параметрами устойчивости среды.

3. Для замыкания основной системы нелинейных дифференциальных уравнений были использованы новые гипотезы о функциональной зависимости коэффициентов турбулентного обмена от числа Ричардсона. Численные эксперименты показали, что введение этих гипотез позволило более точно описать поведение слоя скачка температуры, а также смоделировать два режима формирования ступенчатой структуры стратифицированной среды.

4. Численно исследована чувствительность и устойчивость математической модели к изменениям основных параметров, описывающих состояние среды.

5. На базе консервативных неявных схем и итерационных методов разработан эффективный алгоритм решения исходной нелинейной краевой задачи, который оказался мало чувствительным к изменению коэффициентов турбулентного обмена в модифицированной гипотезе Колмогорова.

6. Разработан и реализован программный комплекс, позволяющий качественно и количественно оценивать параметры верхнего слоя океана по данным, максимально приближенным к стандартным гидрометеорологическим наблюдениям.

Заключение

.