Краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений первого порядка с меняющимся направлением времени

Пусть iJ-сепарабельное действительное (комплексное) гильбертово пространство. Работа посвящена исследованию краевых задач для дифференциальнооператорного з’равне-ния вида.

Аи = But + Lu = Bf (t), teS = [0,T], (1) и дифференциально — операторного уравнения типа Шредин-гера.

Aи = But + iLu = Bf{t), teS, (2) где^{-самосопряженный} и положительно определенный оператор с плотной в Н областью определения D (L), В — самосопряженный оператор в Н с областью определения D{B).

Уравнение (1) является уравнением неклассического типа, к нем}/ приводятся параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Первыми работами об уравнениях данного типа были статьи М. Жеврея [102, 103]. Новым этапом развития теорий краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением времени явились работы, связанные с дифференциально-операторными уравнениями вида (1).

В случае, если спектр пучка L — А В содержится в одной из полуплоскостей вида ReX < a, ReX > а, или при выполнении условия D (B) С D{L)1 уравнение (1) обычно называют уравнением соболевского типа. Для уравнения такого типа часто корректна обычная задача Коши или близкая к ней. Этот класс уравнений описывает значительное количество задач, возникающих в гидрои газовой динамике, теории упругости [5, 21, 35, 51, 70, 95, 96, 108]. Среди работ, посвященных таким уравнениям, отметим [20, 29, 44, 65, 68, 71, 82, 101].

Мы рассматриваем уравнение вида (1), не являющееся уравнением соболевского типа. Как правило, это означает, что спектр пучка L — XB содержит одновременно бесконечные подмножества положительной и отрицательной полуосей.

В класс уравнений не соболевского типа входят так называемые кинетические уравнения [84, 104, 107, 124], описывающие диффузионные процессы, броуновское движение частиц, перенос нейтронов, рассеивание электронов и многие другие процессы в физике [83, 84, 85, 86, 97, 106], в геометрии, популяционной генетике [109, 110, 126]. Отметим также работы [91, 92, 93, 94, 104, 105, 122, 123], где возникали подобные задачи.

Краевые задачи для линейных уравнений с меняющимся направлением времени рассматривались в работах О. А. Олейник [50], Г. Фикеры [79], С. А. Терсенова [72, 73, 74], A.M. Нахушева [49], И. Е. Егорова [22, 23, 24, 99, 100], И. Е. Егорова, В. Е. Федорова [25], И. Е. Егорова, С. Г. Пяткова, С. В. Попова [26], А. А. Керефова [31], Н. В. Кислова [32, 33, 34], С. Г. Пяткова [59, 60, 61, 62, 63, 120], С. В. Попова [56, 57, 58, 115, 116, 117], И. М. Петрушко, Е. В. Черных [52], В. Е. Федорова [76], Ф. М. Федорова [77, 78], Х. Х. Ахмедова [3], В. В Катышева [30], С. Н. Елазатова [15], Н. Л. Абашеевой [1], М. С. Боуенди, Е. Еривара [87], К. Д. Пагани [112, 113], К. Д. Пагани, Е. Таленти [114], О. Арены [81] и других авторов.

Исследованиям по нелинейным уравнениям переменного типа посвящены работы Н. А. Ларькина, В. А. Новикова, Н. Н. Яненко [42], Т. И. Зеленяка, В. А. Новикова, Н.Н. Янен-ко [28], Т. И. Зеленяка [27], B.C. Белоносова, Т. И. Зеленяка [6], В. Н. Монахова [45, 46], В. Н. Монахова, С. В. Попова [47, 48] П. И. Плотникова [5−3], А. Г. Подгаева [54, 55], С. Г. Пяткова, А.Г. Под-гаева [64], С. Г. Пяткова [62] П. П. Ахмерова [4], М. М. Лаврентьева (мл.) [36, 37, 38, 39], В. Н. Гребенева [18], С. Н. Глазатова [16, 17], Н. Л. Абашеевой [2].

Краевые задачи для уравнения (2) мало изучены. В основном, ранее рассматривалась задача Коши для классического уравнения Шредингера [40, 41, 43, 69, 80, 98, 111, 118, 119, 125, 127].

Среди работ, наиболее близких к нашим, можно отметить работы [40, 41, 43]. В [40, 41] рассматривается задача Коши для уравнения Шредингера.

Там доказана обобщенная разрешимость задачи (3), (4), если: a) S (t) — самосопряженный, сильно дифференцируемый по t оператор с областью определения D (Si), плотной в Я и не зависящей от tb) существз'-ет хотя бы одно число, А = А| + гД-2, для которого Si (t) — АЕ имеет обратный оператор, причем.

5i (t) — АЕ)~1\ + !15:(/,)(5-!/- - AE)~l\ + \Su{Si — А. Е)-1|| < const.

Ж.Л. Лионе, Э. Мадженес [43] доказали существование.

Su = щ + iSi (t)u = /,.

3) и{ 0) = (р.

4) решения задачи (3), (4), рассматривая наряду с основной задачей сопряженную задачу, выяснили связь между решениями основной и сопряженной задач, исследовали регулярность решения.

Таким образом, тема данной работы, которая посвящена исследованию краевых задач для дифференциально-операторных уравнений первого порядка с меняющимся направлением времени является актуальной. Целью работы является получение более конструктивного способа решения краевой задачи (1), (5) в явном виде, исследование корректности нелокальной краевой задачи (1), (6), модифицирование функционального метода, предложенного О. А. Ладыженской в [40, 41], и его применение для доказательства разрешимости первой краевой задачи и нелокальной краевой задачи для дифференциально-операторного уравнения типа Шредингера с меняющимся направлением времени (2).

Результаты данной работы носят теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшего развития качественной теории исследуемых задач. Практическая ценность результатов диссертации заключается в том, что они помогают получению в явном виде решений прикладных задач для конкретных уравнений, входящих в (1), (2).

В первой главе рассматривается уравнение (1). С помощью метода Фурье доказаны существование единственного сильного и гладкого решения краевой задачи для уравнения (1), удовлетворяющего условиям.

Е+(и{0) — Хи (Т)) = Е+щ} Е~{и (Т) — /, ш (0)) = Е~ит, (5) где |А|, f-i < 1, Е+, Е~ - спектральные проекторы В, соответствующие положительной и отрицательной частям спектра [8, 9, 10].

Отметим, что сильная разрешимость и гладкость решения краевой задачи (1), (5) методами функционального анализа доказаны И. Е. Егоровым в [99, 100]. А при Л = /л = 0 результаты данной работы совпадают с результатами работы С. Г. Пятков, а [61].

Рассматривается также краевая задача для уравнения (1) с краевым условием и (0) — /ш (Т) = щ, (6) где ^(-комплексное число, и операторы L, B определены в комплексном пространстве Н [11, 88].

Известно, что для нестабильных уравнений существуют корректные краевые задачи [19, 66, 67]. При определенных условиях уравнение (1) эквивалентно нестабильному уравнению [24]. В данной работе показано, что нелокальная краевая задача (1),(б) корректно поставлена, и имеет место ее гладкая разрешимость.

Основная идея доказательств разрешимости этих краевых задач состоит в том, что теоремы существования для них следуют из теорем единственности. Метод Фурье заключается в том, что решение краевых задач ищется в виде ряда Фурье. Изучается спектральная задача, соответствующая данной краевой задаче, затем, решая дифференциальное уравнение с соответствующими краевыми условиями, получаем решение в явном виде при выполнении некоторых условий.

Во второй главе рассматривается уравнение типа Шредингера (2). Для уравнения (2) с краевыми условиями:

Е+(и (0) — к0) = 0, Е~(и (Т) — иг) = 0. (7) доказаны существование единственного решения краевой задачи (2),(7), удовлетворяющего условиям: и Е (7(5, До), ut? C (S, H-2) [12, 89, 14], и гладкого решения задачи (2),(7) из класса и Е C (Sj H'2k), Щ е C (S, H2k-2), k = 0,1,2,. [13, 14, 90].

Исследовано существование единственного гладкого решения нелокальной краевой задачи для уравнения (2) [89, 90]: г/,(0) — Аш (Т) = щ} (8) где fi — комплексное число, Н — комплексное пространство.

В третьей главе рассматриваются конкретные примеры уравнений, изученных в первой и второй главахполучены решения некоторых краевых задач в явном виде. Рассмотрен частный случай дифференциально — операторного уравнения (2) при В = signx, L = f (t) = 0. Имеем уравнение signxwt = iwXXl — 1 < -/: <1. 0 < / < Т. (9) решение которого удовлетворяет условиям:

•-.<�•.0), ы. г). -1 < .г < 1. (10) где wq (х) g щ, гу (-1, 0 = w (M) = 0, 0 < t <Т. (11).

Сначала рассматривается спектральная задача, соответствующая данной краевой задаче, решения которой находятся явным образом. Это позволяет применить известный метод.

Фурье к решению данной краевой задачи. Установлено существование единственного решения задачи (9)-(11), удовлетворяющего условиям: и Е C'(S, Hq), щ Е C (S, H2) [7].

Исследована разрешимость краевой задачи для уравнения (9) с нелокальным условием w (x}0) — nw{x, T) wq (x), — 1 < х < 1, где /iкомлексное число, wq (x) Е Но.

Рассмотрен также частный случай дифференциальнооператорного уравнения (1) при В = signx, L = —j^- Имеем уравнение signxut = ихх + signx f (t). — 1 < х < 1, 0 < t < Т. (12).

Для уравнения (12) с краевыми условиями: u (x, 0) — [. iu (x, T) = щ (х), —1<х< 1, (13) где /i — комплексное число, uq Е #0 = L-2{ — 1,1), ./ Е Z<2(5, i/о)? u (-l, = u (l, = 0, 0.

1. Абашеева H. J1. Разрешимость краевых задач для опера-торнодифференциальных уравнений смешанного типа. — Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2000. 60 с. (Препринт № 9).

2. Ахмедов Х. Х. О некоторых краевых задачах для уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени: Дисс. .канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Новосибирск, 1989. 98 с.

3. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах j j Прикл. мат. и механ. I960. Т.24, № 5. С.58−73.

4. Белоносов B.C., Зеленяк Т. И. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений. -Новосибирск: НГУ, 1975. 156 с.

5. Бускарова О. Ф. О методе Фурье для решения параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Научная конференция студентов и молодых ученых Республики Саха (Якутия): тезисы докладовЯкутск: НИИ ПМИиИ ЯГУ, 1997. С. 7.

6. Бускарова О. Ф. Применение метода Фурье к решению нелокальной краевой задачи для дифференциальнооператорного уравнения // Математические заметки ЯГУ, 1998. Т.5, № 2. С.19−29.

7. Бускарова О. Ф. О краевых задачах для дифференциально-операторного уравнения типа Шредингера с меняющимся направлением времени // III Международная конференция по математическому моделирванию: Тез. докл. Якутск, 2001. С.18−19.

8. Глазатов С. Н. О разрешимости начально-краевых задач для нелинейного уравнения переменного типа // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39, № 6. С. 1293−1303.

9. Глазатов С. Н. О некоторых задачах для дважды нелинейных параболических уравнений и уравнений переменного типа // Мат. тр. Ин-т мат. СО РАН. 2000. Т. З, № 2. С. 71−110.

10. Гребенев В. Н. Об одной системе вырождающихся параболических уравнений, возникающей в гидродинамике // Сиб. мат. журн. 1994. Т.35, № 4. С.753−767.

11. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач. -М.: Наука, 1980. 207 с.

12. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. -Новосибирск: Научная книга, 1998. 438 с.

13. Дзекцер Е. С. Обобщение движения грунтовых вод со свободной поверхностью // Докл. АН СССР. 1972. Т.72, № 5. С.1031−1033.

14. Егоров И. Е. Краевые задачи для уравнений высокого порядка с меняющимся направлением времени // Докл. АН СССР, 1988. Т.303,№. 6. С.1301−1304.

15. Егоров И. Е. Краевая задача для одного уравнения высокого порядка с меняющимся направлением времени // Дифференц. уравнения и их приложения. Якутск. 1989. С. 30−39.

16. Егоров И. Е. Краевые задачи для одного дифференциально-операторного уравнения высокого порядка // Мат. заметки ЯГУ. 1997. Т.4, вып. 1. С. 21−25.

17. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995. 133 с.

18. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 1999. 336 с.

19. Зеленяк Т. И. Об одном уравнении со знакопеременным коэффициентом диффузии // Матем. проблемы химии. -Новосибирск. 1975. 4.1. С.111−115.

20. Зеленяк Т. И., Новиков В. А., Яненко Н. Н. О свойствах решений нелинейных уравнений переменного типа // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974. Т.5, № 4. С.35−47.

21. Зубова С. П., Чернышев К. И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при старшей производной //Дифференц. уравнения и их применения. 1976. Т.14. С.21−39.

22. Катышев В. В. Об одном уравнении эллиптико-парабо-лического типа // Краевые задачи для нелинейных уравнений. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1982. С.130−133.

23. Керефов А. А. Нелокальные краевые задачи для параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 1. С. 74−78.

24. Кислов Н. В. Неоднородные краевые задачи для дифференциально операторного уравнения смешанного типа и их приложения // Мат. сб. 1984. Т.125, вып.1. С.19−37.

25. Кислов Н. В. Краевые задачи для дифференциальнооператорных уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1983. Т.19, № 8. С.1427−1436.

26. Кислов Н. В. Краевые задачи для уравнения смешанного типа в прямоугольной области // Докл. АН СССР. 1980. Т.255, № 1. С.26−30.

27. Кожанов А. И. Смешанная задача для некоторых классов нелинейных уравнений третьего порядка // Мат. сб. 1980. Т.118, № 4. С.504−522.

28. Лаврентьев М.М.(мл.) Априорная гладкость решений ряда уравнений переменного типа // Матем. модел. 1990. т.2, № 9. С.145−153.

29. Лаврентьев М.М.(мл.) Оценки решений одного уравнения переменного типа // Матем. модел. 1989. Т.1, № 11. С.132−138.

30. Лаврентьев М.М.(мл.) О разрешимости краевых задач для некоторых параболических уравнений с вырождениями // Сиб. мат. журн. 1987. Т.28, № 2. С.79−95.

31. Лаврентьев М.М.(мл.) О свойствах приближенных решений нелинейных уравнений переменного типа // Сиб. мат. журн. 1980. Т.21, Ш. С.176−185.

32. Ладыженская О. А. О решении нестационарных операторных уравнений // Мат. сб. 1956. Т.39(81), № 4. С.491 524.

33. Ладыженская О. А. О нестационарных операторных уравнениях и их приложениях к линейным задачам математической физики // Мат. сб. 1958. Т.45(87), № 2. С.123−158.

34. Ларькин Н. А., Новиков В. А., Яненко Н. Н. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука, 1983. 170 с.

35. Лионе Ж. Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1978. 400 с.

36. Мельникова И. В., Альщанский М. А. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве // Докл.РАН. 1994. Т.336, № 1. С. 17−20.

37. Монахов В. Н. Встречные потоки решений вырождающихся параболических уравнений. // Мат. моделирование. 2000. Вып. 12, № 11, С.77−90.

38. Монахов В. Н. Возвратные течения в пограничном слое // Динамика сплошной среды. 1998. Вып. 113. С. 107−113.

39. Монахов В. Н., Попов С. В. Весовые оценки градиента решений сильно вырождающихся параболических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 1998. Т.5, вып. 2. С. 46−51.

40. Монахов В. Н., Попов С. В. Контактные краевые задачи математической физики // Динамика сплошной среды. 2000. Вып. 116. С.58−73.

41. Нахушев A.M. О правильной постановке краевых задач для параболических уравнений со знакопеременной характеристической формой // Дифференц. уравнения. 1973. Т.9, № 1. С.130−135.

42. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Итоги науки. Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1971. С. 7−252.

43. Осколков А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта // Труды матем. ин-та АН СССР. 1988. № 179. С.126−164.

44. Петрушко И. М., Черных Е. В. О начально-краевой задаче для уравнения с меняющимся направлением времени // Вестник МЭИ. 2000. № 6. С.60−70.

45. Плотников П. И. Уравнения с переменным направлением времени и эффект гистерезиса // Докл. РАН. 1993. Т.330, № 6. С.691−693.

46. Подгаев А. Г. О некоторых корректных задачах для уравнений переменного типа // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1982. вып. 55. С.143−153.

47. Подгаев А. Г. О граничных задачах для некоторых квазилинейных параболических уравнений с неклассическими вырождениями // Сиб. мат. журнал. 1987. Т.28, № 2. С. 129−139.

48. Попов С. В. Безусловная разрешимость первой краевой задачи для сингулярного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989. С.153−156.

49. Попов С. В. О первой краевой задаче для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1991. Вып. 102. С. 100 113.

50. Попов С. В. Об одной краевой задаче со сдвигом для параболического уравнения переменного типа // Динамика сплошной среды. 2000. Вып. 116. С.83−94.

51. Пятков С. Г. О свойствах собственных функций одной спектральной задачи и их приложения //Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: Сб. науч. тр. АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Новосибирск, 1984. С.115−130.

52. Пятков С. Г. О разрешимости одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Докл. АН СССР. 1985. Т.285, Ш. С.1322−1327.

53. Пятков С. Г. Свойства собственных функций одной спектральной задачи и некоторые их приложения // Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики: Сб.науч.тр. АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Новосибирск, 1986. С.65−84.

54. Пятков С. Г. Разрешимость начально-краевых задач для одного нелинейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск, 1987. 30 с. (Препринт АН СССР. Сиб. Отд-ние. Ин-т математики- № 16).

55. Пятков С. Г. О некоторых свойствах решений параболических уравнений с меняющимся направлением времени //.

56. Пятков С. Г., Подгаев А. Г. О разрешимости одной краевой задачи для нелинейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Сиб. мат. журн. 1987. Т.28, № 3. С.184−192.

57. Рабдель Н. И. О начальном многообразии и диссипатив-ности задачи Коши для уравнения Ax'(t) + Bx (t) — 0 // Дифференц. уравнения. 1979. Т.15, № 6. С.1142−1143.

58. Романко В. К. Однозначная разрешимость граничных задач для некоторых дифференциально-операторныхуравнений // Дифференц. уравнения. 1977. Т.13, № 2. С.324−335.

59. Романко В. К. Разрешимость граничных задач для дифференциально операторных уравнений высокого порядка // Дифференц. уравнения. 1978. Т.14, № 6. С.1081−1092.

60. Руткас А. Г. Задача Коши для уравнения Ах’it) + Вх (х) = f (t) // Дифференц. уравнения. 1975. Т.11, № 11. С.1996;2010.

61. Свиридюк Г. А. Разрешимость задачи термоконвекции вязко-упругой несжимаемой жидкости // Изв. вузов. Матем. 1990. № 12. С.65−70.

62. Сидоров Н. А., Фалалеев М. В. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при старших производных // Диффереренц. уравнения. 1983. Т.19, № 9. С.1516−1526.

63. Терсенов С. А.

Введение

в теорию уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени. -Новосибирск: Сиб. отд-ние АН СССР. Ин-т математики. 1982. 168 с.

64. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985. 105 с.

65. Терсенов С. А. О первой краевой задаче для одного прямо-обратно параболического уравнения // Докл. АН СССР, 1991. Т. 317, № 3. С. 584−588.

66. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир. 1980.

67. Федоров В. Е. Нелокальная краевая задача для уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени // Актуальные ппроблемы современной математики: сборник научных трудов T.I. Новосибирск: Изд-во НИИ МИОО НГУ. 1995. С.153−156.

68. Федоров Ф. М. Граничный метод в задачах с переменным направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 1995. Т.2, вып. 2. С. 52−60.

69. Федоров Ф. М. Решение одной задачи с переменным направлением времени граничным методом // Мат. заметки ЯГУ. 1996. Т. З, вып. 2. С. 62−71.

70. Фикера Г. К единой теории краевых задач для эллипти-ко-параболических уравнений второго порядка // Математика. Сб. перев. 1963. Т.7, № 6. С. 99−121.

71. Ando Н. The Cauchy problem for Scrodinger type equation with degeneracy // Tsulmba J.Math. 1992. 21. № 3. P.785−794.

72. Arena О. On a degenerate elliptic-parabolic equation // Communications Part. Equat. 1978. V.3,№ 11. P. 1007−1040.

73. Barbu V., Favini A. Periodic solutions for degenerate differential equations. Rend. 1st. Mat. Univ. Trieste. 1996. 28. P. 29−57.

74. Beals R. Indefinite Sturm Liouville problems and halfrange completeness//J. Differential Equations. 1985. V.56, № 3. P.391−408.

75. Beals R. An abstract treatment of some forward-backward problems of transport and scattering// J. Funct. Anal. 1979. V.34, № 1. P. 1−20.

76. Beals R. Partial-range completeness and existence of solutions to two-way diffusion equation //J. Math. Phys. 1981. V.22, № 5. P.954−960.

77. Beals R. and Protopescu V. Half-range completeness for the Fok-ker-Planck equation //J. Statist. Phys. 1983. V.32, № 3. P.565−584.

78. Baouendi M.S., Grisvard P. Sur une equation d’evolution change-ante de type // J. Funct. Anal. 1968. V.2, № 3. P.352−367.

79. Buskarova O.F. Solvability of a nonlocal boundary value problem for an operator-differential equation with variable time direction // Math. Zametki YaGU, 1999. V.6, № 2. P.81−87.

80. Buskarova O.F. Solvability of a boundary value problems for a Schrodingertype operator-differential equation with varying time direction // Math. Zametki YaGU, 2000. Y.7, № 2. P.150−158.

81. Buskarova O.F. Smoothness of solutions to boundary value problems for Schrodinger operator-differential type equation with varying time direction // Math. Zametki YaGU, 2001. V.8, № 2. P.93−102.

82. Case K.M. Plasma oscilations. Ann. Phys. (N.Y.) // 1959. V.7. P. 349−364.

83. Case K.M., Zweifel P.F. Linear transport theory. Addison-Wesley, Reading, Mass., 1969.

84. Cercignani C. Mathematical Methods in kinetic theory. New York: Pergamon Press, 1969.

85. Cercignani C. Theory and Applications of the Boltzmann 'Equation. New York: Elsevier, 1975.

86. Chen P.J., Gurfin M.E. On the theory of heat conduction involving two temperatures // Z. Angew. Math. Phys. 1968. V.19 P.614−627.

87. Coleman B.D., Duffin R.J., and Mizel V.J. Instability, uniqueness and nonexistence theorems for the equation щ = uxx — uxxi on a strip // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. V.19. P.100−116.

88. Curgus В., Langer H. A Krein space approach to symmetric ordinary differential operators with an indefinite weight function // J. Differential Equations. 1989. V.79, № 1. P.31−61.

89. Doi S. Remarks on the Cauchy problem for Schrodinger-type equations // Commun. Part. Differ. Equat. 1996. 21, No 1−2. P.163−178.

90. Egorov I.E. On strong solvability of a nonlocal boundary value problem for an equation with variable time direction // Math. Zametki YaGU. 1994. V. l, № 2. P.70−74.

91. Egorov I.E. On smoothness of a solution to a nonlocal boundary value problem for an operator-differential equation with variable time direction // Math. Zametki YaGU, 1995. V.2, № 1. P.98−104.

92. Favini A. Sobolev type equations // Partial Diff. Equations. Ba-nach Center Publications. Warzava. 1992. V.27. P. 101−109.

93. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique // J. Math. Appl., 1913. V.9, № 6. P.305−475.

94. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique // J. Math. Appl., 1914. V.4, № 6. P. 105−137.

95. Greenberg W., Van der Mee C.V.M. and Zweifel P.F. Generalized kinetic equations // Integral Equation. Opera/tor Theory. 1984. V.7, № 1. P.60−95.105. van Kampen N.G. On the theory of stationary waves in plasmas // Physica. 1977. V.221. P.458−472.

96. Kaper H.G., Kwong M.K., Lekkerkerker C.G., Zettl A. Full and partial-range eigenfunction expansions for Sturm-Liouville problems with indefinite weights // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1984. V. A 98, № 1−2. P.69−88.

97. Klaus M., Van der Mee C.V.M. and Protopopescu V. Half-range solutions of indefinite Sturm-Liouville problems //J. Funct. Anal. 1987. V.70, № 2. P.254−288.

98. Lagnuese J.E. Singular differential equations in Hilbert space j j SIAM J. Math. Anal. 1973. V.4, № 4. P.623−637.

99. Latrach K. Compactness properties for linear transport operator with abstract boundary conditions in slab geometry // Transp. Theory Stat. Phys. 1993. V.22. P.39−65.

100. Latrach K. and Mokhtar-Kharroubi M. Spectral analysis and generation results for streaming operator with multiplying boundary conditions. // Posivity. 1999. V.3, № 2. P.273−296.

101. Nelson E. Lequation de Scroedinger et les integrales de Feyman // Colloque C.N.R.S., № 117, Les equations aux derivees partielles. 1962. P.151−158.

102. Pagani C.D. Studio di alcune questioni concernenti l’equazione generalizzata di Fokker-Planck // Boll. Un. Math. Ital. 1970. V.3, № 6. P.961−986.

103. Pagani C.D. On the parabolic equation sgn (x)xpuy — uxx = 0 and a related one // Ann. Mat. Рига ed Appl. 1974, V.99. P.333−399.

104. Pagani C.D., Talenti G. On a forward-backward parabolic equation // Ann. Mat. Рига ed Appl. 1971, V.90. P. 1−58.

105. Popov S.V. Nonlocal boundary value problems for operator-differential equations of even order // Mat. Zametki YaGU. 1999. V.6, № 1. P.90−103.

106. Popov S.V. On a boundary value problem for a singular parabolic equation with changing time direction // Mat. Zametki YaGU. 1994. V. l, № 1. РД13−128.

107. Popov S.Y. Smoothness of solutions to the boundary value problems for a high-order operator differential equations // Mat. Zametki YaGU. 1998. V.5, № 1. P.106−112.

108. Pyatkov S.G. On the solvability of a boundary value problem for a parabolic equation with changing time direction // Sov. Math. Dokl. 1985. V.32, № 3. P.895−897.

109. Pyatkov S.G. Some properties of eigenfunctions of linear pencils and applications to mixed type operator-differential equations // Partial Diff. Equations. Warszawa: Banach center publications, 1992. V.27. Pt 2. — P.373−382.

110. Siewert C.E. and Zweifel P.E. Radiative transfer, II // J. Math. Phys. 1966. V.7. P.2092;2102.

111. Sobolev V.V. Light scattering in planetary atmospheres. Oxford: Pergamon Press, 1975.

112. Van der Mee C.V.M. Semigroups and factorization methods in transport theory. Amsterdam: Math. Centre Tract., 1981. № 146.

113. Wang F. Blow-up of the solutions for the initial-boundary problems of the nonlinear Shrodinger equations // Appl.Math. and Mech. Engl. Ed. 2000.21? № 11. P.1338−1340.

114. Webb G. A model of proliferating cell population with inherited cycle length //J. Math. Biol. 1986. V.23 P.269−282.

115. Weder R. Center manifold for nonintegrable nonlinear Schrodinger equations on the line // Commun. Math. Phys. 2000. 215, № 2, P.343−356.