Эллиптические задачи в пространствах с асимптотиками и их приложения к построению самосопряженных расширений оператора Лапласа

Одним из важнейших направлений теории дифференциальных уравнений является исследование поведения их решений в окрестностях особых точек. Типичные примеры таких задач — это исследования решений дифференциальных уравнений на многообразиях с особенностями ([1], [2], [3]), дифференциальных уравнений с вырожденными коэффициентами [4], так называемых задач Соболева [3], и многие другие задачи.

ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ.

При исследовании асимптотик решений дифференциальных уравнений в окрестности особых точек возникают следующие задачи.

1. Определение вида асимптотического разложения решения в окрестности особой точки.

Наиболее распространенный пример вида асимптотического разложения — конор-мальные асимптотики. Они возникают, например, при изучении эллиптических однородных уравнений на многообразиях с конической особенностью. Такого рода задачи были рассмотрены, к примеру, в работах [2], [5]. В работе [2] рассматривается общая краевая задача для областей, граница которых имеет конечное число особых конических точек. В этой работе показано, что в окрестности особой точки решения предста-вимы как суммы выражений вида т г-52Х (бУ)1пу>. (!).

7=0.

Здесь (г, со) — полярные координаты, со — угловая переменная конуса, г — расстояние до особой точки, агДгу) — бесконечно дифференцируемые функции. Похожий вид п т.

X г^аД*,®)^ (2).

9 у'=0 имеют асимптотики решений эллиптических дифференциальных уравнений в случае, когда конические особенности лежат на некотором гладком многообразии ([1], [5]), а также при изучении задач Соболева [6], заданных на паре (М, Х), где Мгладкое многообразие, а Хего подмногообразие. В этом случае через (г, со) обозначаются полярные координаты в пространстве трансверсальном к подмногообразию X, через х обозначены локальные координаты яаХ, а через а^(х, со) — гладкие функции, 5. — целые числа.

В работах [7], [16], [28] также приведены примеры задач на многообразиях с особенностями (конических и угловых типов), решения которых в окрестностях особых точек имеют конормальные асимптотики видов (1), (2).

2. Определение коэффициентов асимптотического разложения конкретных решений.

При этом вид асимптотики решения дифференциального уравнения уже определен, и требуется, зная асимптотику правой части уравнения и тип особенности многообразия, найти функции ар (х, со), которые являются коэффициентами в асимптотическом разложении решения.

Одним из методов решения этой задачи является использование так называемых пространств с асимптотиками. Этот метод заключается в том, что мы ищем решение в классе функций имеющих специальный тип асимптотического разложения вблизи особых точек или некоторых многообразий, то есть в так называемых функциональных пространствах с асимптотиками. В качестве примеров функций, принадлежащих функциональным пространствам с асимптотиками, можно рассмотреть представления (1) и (2). Заметим, что другими примерами видов асимптотического разложения являются ресургентные разложения в окрестностях особых точек многообразий типов клювов (см. напр. [14], [15]). В данной работе этот тип особенностей рассматриваться не будет.

Заметим, что метод определения коэффициентов асимптотического разложения, в некотором роде, аналогичен методу неопределенных коэффициентов в применении к обыкновенным дифференциальным уравнениям со специальными правыми частями. Для иллюстрации этой аналогии воспользуемся примером, приведенным в работе [8]. А именно, рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение.

Рт{х^-)и = /{х), (3) ах где Рт (р) = атрт+.+а1р + а0 — полином по переменной р, х е 1, а функция /(х) имеет следующий специальный вид.

Ах) = ха0п0пх). (4).

Здесь Qn — произвольный полином степени п. Пространство функций такого вида будем обозначать через Рп а. Заметим, что Рп, а является примером функционального пространства с асимптотиками. Будем искать решение уравнения (3) так же в виде (4).

Очевидно, что оператор Рт (х —) может быть рассмотрен как линейный оператор дейсЬс ствующий в «-мерных пространствах:

5) ах.

Выбрав базис в функциональном пространстве ^ и, оператор Рт (х —) можно записЬс сать в матричной форме. Выберем базис ех,., еп такой, что.

1П* х ек (х) = ха-, к = 0 ,., п. к.

Очевидно, что матрица линейного оператора Рт (х—) в этом базисе будет иметь вид х.

Рт (а) *. * ' О Рт (а). *.

0 0. Рт (а) — Ясно, что если Рт{ос) Ф 0, то оператор (5) является изоморфизмом. Отсюда следует, что в этом случае уравнение (3) имеет единственное решение в функциональном пространстве Рп а. Этот случай называется нерезонансным. Если же Рт (а) = 0 (резонансный случай), то задача (3) будет иметь ненулевые ядро и коядро. Более точно, размерности ядра и коядра оператора (5) равны та, где та — кратность корня, а многочлена Рт (р). Следовательно, для того, чтобы обнулить ядро оператора, соответствующего задаче (3), к уравнению надо добавить та дополнительных условий, а для обнуления коядра полученной задачи надо наложить условия на правую часть уравнения (3), то есть на функцию /(х). Все эти дополнительные условия будут гарантировать однозначную разрешимость полученной задачи.

Задачи в функциональных пространствах с асимптотиками возникают также в приложениях теории дифференциальных уравнений к задачам квантовой механики, а именно, в теории близкодействия при изучении уравнения Шредингера с потенциалом нулевого радиуса. Дело в том, что описание потенциалов нулевого радиуса, как было показано в работах [9], [10], проводится с помощью построения самосопряженных расширений оператора Лапласа с начальной областью определения состоящей из достаточно гладких функций, обращающихся в ноль в некоторой окрестности пучка плоскостей. Как было показано в этих работах (см. также [11], [33]), область его определения состоит из функций лежащих в пространствах с асимптотиками. Поясним сказанное на простом примере.

Аналогично работе [9], рассмотрим оператор Д0 с областью определения D&.

D& = {и (х) eH2(R3)u = 0 В окрестностих=0}, и на ней совпадающий с оператором Лапласа. Очевидно, что этот оператор является симметрическим и обладает самосопряженными расширениями. К примеру, одним из его самосопряженных расширений является оператор Лапласа с областью определения H2(R3). Но есть и другие самосопряженные расширения. В работе [8] отмечается, что все они описывают некоторую квантомеханическую ситуацию. Самосопряженное расширение, упомянутое выше, соответствует свободной одномерной частице, а остальные самосопряженные расширения описывают квантовую частицу в потенциальном поле, сосредоточенном в начале координат (поле нулевого радиуса). Можно описать все эти самосопряженные расширения. Легко показать (см., напр. [11]), что область определения оператора сопряженного к Д0 имеет вид д.&bdquo- = М*) = e-rj + u0(x), и0(х) eHR3)}, где С — произвольная константа. Заметим, что D&, представляет собой пространство с С асимптотиками, поскольку его элементы являются суммой особой компоненты е г — г асимптотики) и гладкой компоненты м0(х), принадлежащей пространству H2(R3). Оператор Д0* действует на функции, принадлежащие своей области определения, следующим образом.

Д0* -)(е~г — + и0(х)) = (Л — 1) и0(х), г то есть совпадает с оператором Лапласа в классическом смысле. Легко найти все симметрические расширения оператора Д0 и описать их в терминах локальных граничных условий. Все эти расширения описываются однопараметрическим семейством симметрических операторов А*а, получаемым путем сужения области определения оператора А*а. А именно, сузим £)д. с помощью введения дополнительных условий о=Мх)е?>д. |С + сш0(0) = 0}. Таким образом, мы получили однопараметрическое семейство симметрических операторов А*а = Д0*. Это семейство содержит все симметрические расширения опера.

4*0 тора Д0.

Простейший способ исследовать эти операторы на самосопряженность состоит в изучении их резольвенты, то есть оператора (Д*а -1)-1. Этот оператор является разрешающим оператором для следующей задачи.

А-1Хе-'- + «0(х)) = /(*) г, (6).

С + аи0 (0) = 0 где /(х) е Ь2{ЯЪ). Сравнение = означает, что уравнение (6) выполняется везде, кроме начала координат. Можно показать, что задача (6) однозначно разрешима при любой функции /(х) еЬ2(ЯЪ). Отсюда следует, что операторы А*а являются самосопряженными расширениями оператора Д0, кроме того, все его самосопряженные расширения описываются этим однопараметрическим семейством. Легко показать, что необходимым и достаточным условием полуограниченности сверху оператора Д*а является неотрицательность константы а.

Задача (6) является простейшим примером эллиптической задачи типа Соболева в пространствах с асимптотиками, а граничное условие в этой задаче является естественным граничным условием в пространствах с асимптотиками (заметим, что обычные граничные условия не могут здесь быть использованы, так как функции вида С е г —Iи0(х) не допускает сужения в начало координат). г.

Теперь от задачи (6) перейдем к более общей задаче.

Н (хН^-)(щ (х) + е~г? и,(а>)г5') — /0(х) + е'^/ХсоУ'-, (7).

X -=1 /=1 здесь, так же как и в задаче (6) сравнение означает, что уравнение выполняется везде кроме начала координат, Н (х,-1—) — некоторый эллиптический дифференциальный дх. оператор порядка т, /0(х) еЯ5 т (Як), /?(<�о)еН* т (8к~х) принадлежат функциональному пространству Соболева, состоящему из достаточно гладких функций, таких, что.

1=1.

Будем искать решение этой задачи, такое, что и0(х) €Нх (Як), и^а) еНх (Бк']). Ясно, что в обеих частях уравнения (7) имеется два типа слагаемых. Первый тип — функции, которые принадлежат пространству Н*~т (Як), второй — те слагаемые, которые этому пространству не принадлежат. Приравнивая друг другу члены первого типа и второго типа при одинаковых степенях г, получим систему уравнений для функций и1(а>), 1 = 0,., п вида л [я # * * Щ{й)).

0 л, К * * =.

0 0 0 /V К) ип (о)У где через Н’а обозначены дифференциальные операторы порядка т. Здесь, в отличие от случая обыкновенных дифференциальных уравнений, на главной диагонали матрицы стоят не полиномы, а дифференциальные операторы, и так как искомые функции лежат в бесконечномерных пространствах, то эти операторы могут, вообще говоря, иметь бесконечномерные ядро и коядро. Поэтому, кроме написанного выше сравнения, задаются еще граничные условия (в данном случае в точке) и так называемые когра-ничные условия, которые обеспечивают конечномерность коядра полученной задачи. Понятие кограничных операторов было введено в работах [12], [13].

Целью данной работы является исследование подобных задач. А именно: будут рассмотрены задачи вида х,-/—)и (х) = /(х) вне Ь, (8) к где Н (х,-1—) — эллиптический дифференциальный оператор, через Ь обозначено ск стратифицированное многообразие, которое является объединением конечного числа трансверсально пересекающихся многообразий, а функции и (х) и /(х) лежат в соответствующих пространствах с асимптотиками. Задачи такого типа мы будем называть задачами Соболева в пространствах с асимптотиками (более точные определения будут даны ниже). Заметим, что впервые этот термин был введен в работе [8].

Основной целью диссертации является построение теории эллиптических задач Соболева в пространствах с асимптотиками, то есть в пространствах функций, имеющих определенный тип асимптотического разложения вблизи некоторых многообразий. В работе отдельно рассмотрены случаи гладких и стратифицированных многообразий. В качестве стратифицированных многообразий берутся множества, представляющие собой объединение конечного числа трансверсалъно пересекающихся плоскостей или объединение трансверсалъно пересекающихся гладких компактных многообразий без края.

Понятие функционального пространства с асимптотиками было введено в работе [1] при исследовании эллиптических задач на многообразиях с особенностями. Однако, задачи в пространствах с асимптотиками рассматривались и ранее во многих работах. Например, в работе [2] рассматривается общая краевая задача для эллиптических уравнений на многообразиях с угловыми и коническими особенностями. А именно, рассматривается эллиптическое дифференциальное уравнение.

Цх-г—)и (х) = /(х), ох, где Ь — многочлен степени 21 от оператора — с бесконечно гладкими коэффициенск тами. Задача ставится внутри области С, граница которой является бесконечно гладкой поверхностью вне любой окрестности начала координат, а в начале координат имеет особую точку конического типа. На границе задано / граничных условий вида.

В работе исследуется асимптотическое поведение решения соответствующей задачи в окрестности особой точки в пространстве Соболева }?¦? и показано, что при условии,.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ. что функции / и <�р1 имеют асимптотическое представление вида (1), решение будет иметь асимптотическое поведение того же вида.

В работе [28] также рассматривается задача для эллиптического уравнения в области О с границей, имеющей угловую особенность, то есть уравнение Ьи = /, где Ьэллиптический дифференциальный оператор второго порядка с гладкими коэффициентами. Это уравнение выполнено внутри области О, а на границе области функция / обращается в ноль. В работе показано, что если функция f принадлежит соответствующему пространству Соболева с весом, то решение принадлежит пространству с асимптотиками.

В работе [16] исследуется однородная эллиптическая задача на компактном многообразии имеющем изолированные конические особенности. В статье показано, что решения этой задачи в специальных весовых пространствах Соболева имеют асимптотическое представление вида (1).

Кроме того, во многих других работах, посвященных изучению эллиптических дифференциальных уравнений на многообразиях с особенностями, рассматриваются задачи в пространствах с асимптотиками ([5], [7], [14], [16], [29] и др.).

Еще один класс задач, где возникает необходимость решать задачи в функциональных пространствах с асимптотиками — это задачи Соболева. В отличие от классических краевых задач, где граничные условия задаются только на крае многообразия, в задачах Соболева граничные условия задаются на некоторых подмногообразиях не являющихся краем. Впервые задача такого типа была рассмотрена С. Л. Соболевым в работах [17], [18]. В этих работах рассматривается однородное полигармоническое уравнение порядка 2 т, которое задано внутри ограниченной области О с Я" с границей с£1 =^дуО., где дуО. — кусочно-гладкие поверхности коразмерности V не имеющие V общих точек. Требуется решить это уравнение в функциональном пространстве УУ&trade- (О.) при условии выполнения соответствующих граничных условий, заданных на подмногообразиях дуО. С помощью вариационных методов С. Л. Соболев доказал теорему существования и единственности при выполнении достаточных условий на правые части граничных условий. Далее Слободецкий с помощью построенной им теории дробных производных [19] сформулировал необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости полученной задачи. Затем Б. Ю. Стернин в работе [20] исследовал задачи Соболева в общей постановке. В этой работе исследованы асимптотики решений соответствующих задач Соболева в окрестности граничного подмногообразия и показано, что они имеют вид (2), иными словами, принадлежат пространству с асимптотиками. Дальнейшее развитие теория задач Соболева получила в работах [21], [22], [23], и завершающей в этой серии работ можно считать работу [3]. В ней строится общая теория задач Соболева соответствующих паре (Х, М), где Xгладкое многообразие, а М — его гладкое подмногообразие. В работе строится алгебра операторов ассоциированная с гладким вложением г. Х —> М. Для эллиптических элементов этой алгебры доказывается теорема конечности и показано, что она содержит соответствующие разрешающие морфизмы задач Соболева.

Третьим типом задач в пространствах с ассимптотиками, как уже говорилось выше, являются задачи возникающие в квантовой механике при изучении потенциалов нулевого радиуса. В работе [8] впервые была отмечена возможность применения задач Соболева в пространствах с асимптотиками для изучения уравнения Шредингера с потенциалом нулевого радиуса.

Первые упоминания о необходимости рассмотрения теории потенциала нулевого радиуса были сделаны в работах [24], [25]. Затем в работе [26] был построен ряд моделей, описывающих системы с точечным взаимодействием (см. также [27]). В работе Г. С. Данилова [30] построена модель, которой соответствует семейство самосопряженных расширений, состоящее из неполуограниченных операторов. Это означает, что в системе возможен коллапс «падение на центр», что делает модель, предложенную в работе [30] неприменимой к физическим приложениям. Заметим, что впервые возможность возникновения явления коллапса в моделях систем с точечным взаимодействием была отмечена в работе [31].

Благодаря результатам, полученным в статьях Р. А. Минлоса и Л. Д. Фаддеева [9], [10], работа по изучению потенциалов нулевого радиуса получила дальнейшее развитие. В этих работах было показано, что описание соответствующих потенциалов можно получить как самосопряженные расширения оператора Лапласа с начальной областью определения состоящих из функций, обращающихся в ноль в окрестности некоторых стратифицированных многообразий. В работе [10] строятся самосопряженные расширения оператора Д0, совпадающего с оператором Лапласа на множестве быстро убывающих достаточно гладких функций, обращающихся в ноль в окрестности пучка шестимерных плоскостей, имеющих трехмерное пересечение в Я9. В этой работе строятся все самосопряженные расширения оператора Д0 в подпространстве Ь2{Я9) состоящем из симметрических функций, при этом используется теория расширений полуограниченных операторов Фридрихса (см. например [32]). Далее изучается одно из полученных самосопряженных расширений. Это расширение содержится среди расширений полученных Даниловым, и как говорилось выше не является полуограниченным. Но в работе высказано предположение, что среди всех самосопряженных расширений оператора Д0 найдутся и полуограниченные самосопряженные расширения, задающиеся локальными операторами. В работе [33] исследуется та же задача, что и в работе [10], но в отличие от последней самосопряженные расширения оператора Д0 строятся в подпространстве Ь2, которое состоит из антисимметрических функций. В этом подпространстве строится самосопряженное расширение оператора Д0, которое является полуограниченным и задается с помощью некоторых интегральных операторов, которые не являются локальными. В работе [33] строятся полуограниченные самосопряженные расширения оператора Д0 во всем пространстве Ь2, но полученные операторы также не задаются с помощью локальных операторов. Заметим, что особый интерес представляют собой именно самосопряженные расширения, которые получаются путем сужения области определения с помощью локальных граничных условий, заданных на каждой из плоскостей. Именно этот случай был рассмотрен в работе [35], иными словами, в этой работе рассматривается расширение оператора Д0, получаемое путем сужения области определения оператора Д*о с помощью граничных условий Скорнякова-Тер-Мартиросяна. В работе показано, что полученный оператор в соответствующих инвариантных подпространствах пространства Ь2{Я9) является симметрическим, но не самосопряженным, однако, у него существуют полуограниченные самосопряженные расширения.

В работах [36], [37], [38], [39] применяется другой подход к построению самосопряженных полуограниченных расширений оператора Лапласа, отвечающих потенциалу нулевого радиуса. Этот подход основан на выходе из Ь2 в более широкое пространство, которое является прямой суммой Ь2 и еще какого-либо гильбертового пространства. Так в работе Ю. Г. Шодина [36] самосопряженные расширения соответствующего оператора строятся не в /, 2(7?3), а в пространстве © С, где <�ШпС = 1. Затем аналогичная модель была рассмотрена Л. Э. Томасом в работе [37] и с некоторым уточнением асимптотического разложения функции, описывающей точечное взаимодействие частиц, в работе Ю. Г. Шодина [38].

Другой подход к построению полуограниченного трехчастичного гамильтониана был предложен в работах Б. С. Павлова [39], [40]. В этих работах строятся самосопряженные расширения с выходом в произвольное дополнительное гильбертово пространство. Это пространство соответствует пространству внутренних степеней свободы сталкивающихся частиц. Описание полученных гамильтонианов в этих работах, (см. также [41]), проводится в терминах дефектных подпространств исходного симметрического оператора. Аналогичный подход применяется также и в работах [42], [43], [44], [45]. В этих работах описание гамильтонианов приводится в терминах операторных матриц или граничных условий. Как было отмечено в работе [11], смысл выхода в более широкое гильбертово пространство заключается в получении более «мягких» граничных условий, чем граничные условия Скорнякова-Тер-Мартиросяна. Этот подход несколько упрощает построение полуограниченных самосопряженных расширений соответствующих операторов, но при этом приходится отказаться от первоначальной постановки задачи в Ь2 сформулированной в работе [10].

Как уже говорилось выше, особый интерес представляет построение самосопряженного расширения оператора Д0 в Ь2 или его инвариантных подпространствах, получаемое путем сужения области определения оператора Д*о с помощью локальных граничных условий, то есть условий, связывающих значения функций в точках. Примером таких условий являются условия Скорнякова-Тер-Мартиросяна, но эти условия позволяют получить только симметрическое расширение. Но проведя некоторое обобщение этих условий, то есть заменив константы, входящие в них, на определенные дифференциальные операторы, можно получить полуограниченные самосопряженные расширения. Это сделано в работах [47], [48], при этом возникает необходимость решать дифференциальные уравнения в пространствах с асимптотиками.

Так как решения всех трех типов задач, о которых говорилось выше, лежат в пространствах с ассимптотиками, то возникает необходимость построения теории эллиптичности в этих пространствах, то есть изучения задач типа (8) в пространствах с ас-симптотиками. Эта задача для пары (X, Ь), где X и Ь — гладкие компактные многообразия без края, Ь — подмногообразие многообразия X, была решена в работе [8]. Иными словами, в этой работе строится теория задач Соболева в пространствах с ассимптоти-ками для пары (Х, Ь), а также дается определение функциональных пространств с асимптотиками соответствующих паре (X, Ь), формулируются достаточные условия эллиптичности задач типа Соболева в пространствах с асимптотиками, описана алгебра операторных морфизмов, которая содержит разрешающие операторы полученных задач. Далее возникает необходимость: во первых перенести полученные результаты на пару (Я" что позволяет строить самосопряженные расширения оператора Лапласа с начальной областью определения, состоящей из функций, обращающихся в ноль в окрестности плоскости К" ~у (это было сделано в работах [49], [50]), и во вторых, что является задачей значительно более сложной, построить теорию задач типа Соболева в пространствах с асимптотиками для пары (X, У), где У — стратифицированное многообразие.

В работе [51] была предпринята попытка построения теории эллиптических задач Соболева в пространствах с асимптотиками для случая стратифицированного многообразия, аналогично тому, как это сделано в работе [8] для случая гладкого многообразия. Но постановки задач в этой работе не являлись достаточно общими и скорее могли быть рассмотрены как модельные, а полученные результаты не могли быть применены к практически интересным задачам, таким как построение резольвенты оператора, соответствующего многочастичной задаче. Затем в работах [52], [53] эта теория была построена.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Как уже говорилось выше, основной целью диссертации является построение теории эллиптических задач Соболева в пространствах с асимптотиками, то есть в пространствах функций, имеющих определенный тип асимптотического разложения вблизи некоторых многообразий. Причем рассмотрены случаи не только гладких, но и стратифицированных многообразий.

В работе дается определение пространств Соболева соответствующих паре (X, Ь), где Хгладкое компактное многообразие без края, а Ь — его стратифицированное подмногообразие и формулируется соответствующая задача типа Соболева в пространствах с асимптотиками. Далее сформулированы достаточные условия эллиптичности полученных задач. Кроме того, в пространствах Соболева, соответствующих паре (я", где через Ь обозначено стратифицированное многообразие, представляющее собой объединение конечного числа трансверсально пересекающихся плоскостей, также ставятся задачи типа Соболева и формулируются достаточные условия их однозначной разрешимости. Эти результаты будут использоваться во второй части диссертации при построении самосопряженных расширений соответствующих операторов.

Для того чтобы разработать аппарат для исследования эллиптических задач Соболева в пространствах с асимптотиками, необходимо описать алгебру операторных мор-физмов, которая содержала бы разрешающие операторы этих задач. Наконец, надо сформулировать условия эллиптичности операторов, содержащихся в построенной алгебре и доказать соответствующую теорему конечности. Все это сделано в первой части диссертации.

Вторая часть диссертации содержит приложения общей теории, изложенной в первой ее части, к изучению уравнения Шредингера с потенциалом, сосредоточенным на плоскости и на пучке плоскостей, то есть на стратифицированном многообразии. Иными словами, основной целью дальнейшего изложения является построение симметрических расширений соответствующих операторов в Ь2(Я"), а так же описание их в терминах граничных условий заданных на плоскостях образующий пучок, формулировка необходимых и достаточных условий самосопряженности полученных операторов и их полуограниченности. В работе показано, что во всем Ь2 (Я") не существует самосопряженных расширений, отвечающих обычным условиям Скорнякова-Тер-Мар-тиросяна, поэтому возникает необходимость описания и выбора тех подпространств в Ьг (Я"), в которых указанные расширения существуют. Наряду с этим особый интерес представляют граничные условия, обеспечивающие самосопряженность и полуограниченность расширений во всем Ь2(Я"). В работе выделен класс таких граничных условий, в которых, в отличие от классических граничных условий, учитывается не только значения функций на каждой из плоскостей пучка, но и в их пересечении.

В последней главе диссертации выделен класс полуограниченных симметрических расширений, которые не являются самосопряженными операторами, но являются операторами самосопряженными в существенном.

Остановимся более подробно на содержании работы.

Первая глава начинается с изложения теории задач Соболева в пространствах с асимптотиками для пары (Л" ,./?" -1'), где Я" ~у, а Я". Эта задача является модельной, однако она имеет и самостоятельный интерес для последующего изложения с точки зрения применения ее результатов для построения самосопряженных расширений операторов совпадающих с оператором Лапласа на своей области определения.

Обозначим через хеЯ" ~укоординаты в Я" ~", а через (еЯ" - координаты в трансверсальном подпространстве к подпространству Я" ~у, (г, со, х) — координаты в трубчатой окрестности Я" ~у, (при этом {г, со ,) — сферические координаты в Яу, где г еЯ1, со еЗ" «1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.11 Асимптотическим типом Т называется набор

Т={Бк, ткк = 1,2,., ТУ }, где {?^} - набор комплексных чисел лежащих в полосе 5, < Яе^ < 52, тк — набор неотрицательных целых чисел, соответствующих } таких, что.

Щ ~тк-1 -I к = 1,2,.

Бк называются степенями, а неотрицательные числа тк — кратностями соответствующими значениям .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Пространство Соболева т с асимптотическим типом Т есть пространство функций, удовлетворяющих следующим условиям:

1) и (1,х)е^(ЯпЯ" -у).

2) Функция и (7,х) в окрестности подпространства Я" 'у допускает следующее представлен ие.

N >4 &trade-к |п 7 г.

И (х, 0 = «о (*"0 + Х ЕЕи! к (х, со), к=1 1=0 7=0 7 •.

1 Нумерация соответствует, используемой в тексте. где ик (х, а>) еНч (Я" 1' х 1), м0(/, х) е Ял" (Я"), пк — такие целые числа, что выо ^ полнено неравенство Ьк +пк < 50 ——.

Заметим, что любая функция из г в Я" представима в виде.

N «,. тк ^ |п7 г и (х, 0 = и0(х, 0 + Х (г? г8^—-и1к (х, со).

1=0 ./=0 ] ¦

Здесь через %{г) обозначена функция срезки, то есть гладкая функция равная нулю вне некоторой окрестности точки г=0 и равная единице в некоторой окрестности г-0.

Обозначим через Н = Я (х,/Д, г—,/—) — дифференциальный оператор в Я" спадх. ск раметром X порядка да с гладкими коэффициентами. Предположим, что символ, рассматриваемого оператора, представим в виде суммы т о где ЯДх, Г, Л, — однородные функции по (р, д, А) степени /'. Пусть оператор Яэллиптичен в классическом смысле. Нашей целью является изучение уравнений вида.

Ни = / (той Я" '"), (9).

В работе [8] показано, что Н: Аях" г -> т-т. Задача (9) имеет ненулевые, вообще говоря, бесконечномерные, ядро и коядро, поэтому для ее разрешимости необходимо ввести граничные и пограничные операторы. Для определения граничных и когранич-ных операторов нам необходимо ввести ряд операторов. Подробно это будет сделано в главах 1 и 2.

Обозначим через II — трубчатую окрестность подпространства Я" ~" в Я". Иными словами II = Я" 'у х и сЮ — х 5″ '" 1. Здесь через обозначен V-мерный единичный диск, а через обозначается V-1 -мерная сфера единичного радиуса. Можно построить диаграмму.

Л" -" х {?>" {0}} —Ш Л" -" .

Оператор пх индуцирует оператор л-1″ :Я' (Л" «1') -> Н'(ЯГ), тг1'и (х) = 1(ю)®и (*) и сопряженный к нему.

7t:H's (uU) -> H-s (Rn~v), n u (x, a>) = u (x, co) dSa. s" -'.

Здесь и ниже сопряженные операторы рассматриваются в шкале пространств Соболева относительно соответствующих спариваний.

Обобщением операторов я-1 и я являются операторы P^.HaU) —" HS (R" ~V) и P*:H-s (R" -v)-> H~s{dU).

Р"О) = Ги (х, о) и (х, (o)dS ,.

10).

Р*с)(х, со) = ju (x, co)7t] с (х), где ju (x, co) — некоторая С" - функция.

Оператор Р’ц является композицией оператора умножения на функцию ju (x, co) и оператора л, а оператор Р* - композицией оператора л{ и оператора умножения на функцию? и{х, со).

Оператор пг при достаточно малом значении s индуцирует оператор л2″: Hs (dU) —" H" (U), тгг’и (х, со) = (г)®и{х, со). Сопряженным к нему является оператор л 1 л: H~s (U) —" H~s[SU), nlu (r, co, x)=u (r, co, x) rv-'dr. о.

Нашей задачей является дополнение уравнения (9) до задачи с нулевыми ядром и коядром при достаточно большом значении параметра Л с помощью введения граничных и кограничных членов. А именно, рассмотрим задачу:

N «» Шк 1пУ Г /.

Hu{x, t) + X{r)% (mod/Г") i=l /=0 j=0 ]¦

Ч+Z BIkP.

J—~ J «y jk.

Здесь u (x, t) eAs4 r, cJik{x) e H4~m (R" ~v) — неизвестные функции, f (x, t)<=Ass°~m т-т, vo где s0>-^-, a именно.

N nt mt In-' r f (x, t) = fQ (x, t) + *(/¦)?. ы /=0 j=0 J • l I V.

Через Вцк обозначены некоторые псевдодифференциальные операторы ordB? jk > —, V.

— g'(x) е Н 2 (R" v), i = 1,2,., К. Через i обозначен оператор вложения v. R" ~v -> R" ~v х Dv. V i’HR" -v x Dv) -> H ~~2 (R" ~v), i*u{t, x) = w (0, x).

Этот оператор определяет сопряженный оператор в шкале пространств Соболева относительно соответствующих спариваний. А именно V.

U :H~S+1(R" -V) H~s (Rn~v х £Г), = M (jc) ® ?(I), 5 > j.

Основным результатом главы 1 является формулировка достаточных условий обратимости оператора соответствующего задаче (11) и построение решения этой задачи.

Для того чтобы построить теорию эллиптических задач в пространствах с асимптотиками, необходимо описать алгебру операторных морфизмов, которая содержала бы разрешающие операторы для задач Соболева в пространствах с асимптотиками, иными словами, задач типа (11).

Нашей целью является расширение множества морфизмов, соответствующих задаче (11) до алгебры с инволюцией. В конце первой главы рассмотрен набор «элементарных» операторов, обладающих тем свойством, что их композиции дают операторы входящие в (11). Ранее нами были определены операторы л2, л и лх, л. Кроме того, определен оператор вложения iR" ~v —> R" ~v х Dv и, соответственно, операторы /'" и Г. Рассмотрим графическую схему:

HaRn-v*Dv).

H°*[R" -V xSv~x) (12).

В этой диаграмме индексы пространств Соболева считаются допустимыми для действующих в них операторов. Ясно, что мы можем рассмотреть множество операторов, состоящих из композиций операторов входящих в графическую схему (12), псевдодифференциальных операторов и операторов умножения на функции у/(г), которые принадлежат классу С00 или удовлетворяющих неравенству у/{г) dr1 J С, га для некоторой константы С' ¦ и некоторого фиксированного, а и любого}. В работе показано, что задачу (11) можно переписать в терминах операторных морфизмов из этого множества и доказана теорема.

ТЕОРЕМА 1.2 Операторный морфизм.

Ч а2 а.

А = а2х а22 а2ъ.

U, ?12 aJ ал51 (я") е я52 (Л" -" х зг1) © яА'3 (я" -у) -> яа| (яп) е н°2 (Д" -" х ® я" (д" -") в каждой клетке которого стоят конечные суммы операторов, отвечающих графической схеме (12), определяет непрерывное отображение, если все операторы, входящие в клетки}-го столбца допустимы для индекса } = 1,2,3. Множество таких морфизмов образует алгебру с инволюцией.

Следующей задачей является изучение эллиптической задачи в пространствах с асимптотиками для пары ^Я", где Хстратифицированное многообразие представляющее собой объединение трансверсально пересекающихся плоскостей Я" -^ в общем положении. Это означает, что X = Л" -" ' и Я" '1'1 и. иЯп'^, причем в окрестности любой точки т&х набор плоскостей, проходящих через эту точку пересекается трансверсально. Следовательно, объединение Я" ~у* и Яможно разбить на дизъюнктную сумму подмногообразий ма <= я1' п я'2 г. гя'к, ма = я'1 г я'2 п. п/?'', отвечающих всевозможным мультиин-дексам, а = (/,, где /', < г2 <.< ¡-к. Ясно, что любой точке те я'' п я'2 п. гя'" можно единственным образом поставить в соответствие то подмногообразие из множества | ма |, которое ее содержит.

В главе 2 рассмотрен случай, когда стратифицированное многообразие X является объединением двух трансверсально пересекающихся плоскостей. Хотя эта задача является модельной, но при ее решении возникают те же трудности, что и в общем случае. Поэтому, хотя решение в общем случае и является значительно более громоздким, но идеологически" оно ничем не отличается от решения модельной задачи для двух плоскостей. Общий случай подробно разбирается в главе 3. Введем следующие обозначения:

Через ха обозначим координаты вдоль подмногообразия Ма, а через ра — радиус-вектор в подпространстве трансверсальном к Ма, (ра, соа, ха) — координаты в трубчатой окрестности подмногообразия Mа, a va — его коразмерность.

Через ак будем обозначать множество всех мультииндексов вида (zj,.,^), отвечаюп щих пересечению к многообразий, а через, а — J?, ,.

1=1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Асимптотическим типом Та называется набор

Tl = {S'k, m'kk = l, 2,., N,}, l еа, где {s1 k J — набор комплексных чисел лежащих в полосе s' < S’k < s’i. m’k— набор неотрицательных целых чисел, соответствующих j таких, что т’к — т’к- = 1, к = 1,2,., N,.

S’k называются степенями, а неотрицательные числа т’к — кратностями соответствующими значениям S’k.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. Пространством Соболева Ass°ra, соответствующим паре [R", R" ~V] и R" ~V2u.xjR" 'y") с асимптотическим типом Та, называется пространство функций, удовлетворяющих следующим условиям:

1) и (R") e^R" R" 'Vl uRn~Vlu.jRn~v-).

2) Функция u (R") в окрестности стратифицированного многообразия X допускает следующее представление.

U (R") = U0(R")+Y,? -^-ui'ix^co,) (13) fi? Ct k= i=0 j=0 J ' где ujf (xp, o) p) eЯ," (^?/,), u0(R") e H" «(R»), nf — такие целые числа, что выполнены неравенства Sf + «f.

Как и ранее, через Й обозначим эллиптический дифференциальный оператор с параметром Я порядка т с гладкими коэффициентами. Рассмотрим задачу.

Ни = / (шо (1Х). (14).

То есть уравнение Ни = / выполнено везде вне гладкого стратифицированного многообразия X = и Я" '" 2. Н: Ая'°та г"-ш. Задача (14) имеет ненулевые ядро и коядро, поэтому для ее разрешимости необходимо ввести граничные и кограничные операторы.

Аналогично предыдущему введем операторы л":НМа) НМа х ¿-Г-'), л/и (ха) = {соа)®и (ха) и сопряженные к ним.

Здесь, как и ранее, сопряжение определяется относительно соответствующих спариваний. Теперь мы можем определить операторы Р/1:Нх (Мах8у" ~1)^Н*(Ма) и.

Р"а и)(ха, соа)= а{х а, со, а) и (ха, со, а, г"-'.

РмУ)(ха) =^а (ха, 0}а)ла' с (ха), здесь? иа (ха, соа) — некоторая С00 — функция.

Оператор Р^ является композицией оператора умножения на функцию ла (ха, соа) и оператора ла, а оператор Р* - композицией оператора л аи оператора умножения на функцию (ха, со, а).

Как и ранее, нашей дальнейшей задачей является дополнение уравнения (14) до задачи с нулевыми ядром и коядром при достаточно большом значении параметра Л с помощью добавления граничных и кограничных членов. А именно, рассмотрим задачу ир < т1 «1п-/ п «.

Рса Аг=1 1=0 7=0 ] • «к т» р п т", ^^.

Здесь, и (М) та, /(М) = Л*% /"-«, (Мг) Н°а~Ур (Мр) — операторы вида.

К*" = V*" у/(ррг)См^, — радиус-вектор в трансверсальном подпространстве к Мр п Му в Мр, а некоторые псевдодифференциальные операторы действующие на подмногообразии Мв такие, что оЫУ*" у/(рр)СМ = —, здесь —, в" цк —.

1 7 гР 2 2 соответствующие псевдодифференциальные операторы, порядки которых больше или.

V/?

Ур равны функции gp (xp) принадлежат пространству Н 2 (Мр).

В третьей главе диссертации сформулированы достаточные условия однозначной разрешимости задачи (15) и строится ее решение при условии их выполнения.

В конце третьей главы выписано множество операторных морфизмов описывающих задачу (15), аналогично тому, как это было сделано в первой главе работы для задачи (11).

7гр-.НМр) НМр X Г'" 1), при{хр) = {а>р) <�Е> и (хр) лр: Н-<(Мрх$У<<-,)->Л-*(Мр), лр]и{хр, б) р) = ?и (хр, а>р)Жа/1 в" '-1 п2—.НМр х 5″ '" 1) НМр X я2р{хр,(Ор) = 1 (рр)<8>и (хр, е>р) р: Н'(1Г) Н~*(Мр Гри (ха) = и (0,хр) (16) 4'.НМр х Б^) ~> Н'(Мр х я? и (хр, а>р) = {рр)®и{хр, а>р) т^:НМр) -> НМр х Я" '" 1), яР{хр) = 1 (о)р) ® и{Хр) п:.Н-Мр х Г'" 1) Н~Мр), тг^(хр, й) р) =.

-.н^мр^^н'^^р^, 1%'и (Хр2) = и (0,Хр1), Аэ/?2.

Для случая стратифицированного многообразия состоящего из двух плоскостей множество морфизмов (16) можно проиллюстрировать графической схемой аналогичной графической схеме (12). Это будет сделано ниже в главе 2.

Таким образом, мы выписали множество операторов таких, что их композиции с псевдодифференциальными операторами и операторами умножения на соответствующие функции дают все операторы из (15).

ТЕОРЕМА 3.2. Операторный морфизм, а а, а Л.

А21 А22. А2г.

А =.

1 4−2 •¦• Дт' я’чл")(c)^ я^^дх¹)(c)^. я’Ч^), л' г = 2 У] -^—1−1, в каждой клетке которого стоят конечные суммы компоn-iy.il зиций операторов типа (16), осуществляет непрерывное отображение, если все операторы строки, соответствующей индексу /?, допустимы для индексов.

8'р, а'р4 = 1,2. Множество морфизмов такого вида образуют алгебру.

В главе 4 результаты полученные в Я" переносятся на случай, когда стратифицированное многообразие X представляет собой гладкое компактное многообразие без края или объединение конечного числа гладких компактных многообразий без края, имеющих трансверсальное пересечение. Иными словами, полученные ранее результаты обобщаются на случай, когда стратифицированное многообразие представляет собой объединение произвольного конечного числа гладких компактных многообразий без края, имеющих трансверсальное пересечение. То есть в четвертой главе строится общая теория эллиптических задач Соболева в пространствах с асимптотиками для случая произвольного стратифицированного компактного многообразия без края, имеющего трансверсальные пересечения.

Вначале рассмотрена задача для пары (М, Х), где М — гладкое компактное многообразие без края, а X — его гладкое подмногообразие. Для этой пары в работе [8] дается определение пространства с асимптотиками, формулируются достаточные условия эллиптичности оператора соответствующего полученной задаче и строится локальный регуляризатор в окрестности содержащей точки многообразия X. В данной работе мы построим общий регуляризатор для всего многообразия М, то есть перейдем от регуля-ризаторов определенных локально в окрестности каждой точки к регуляризатору, определенному на всем многообразии М. Он строится стандартным образом с помощью разбиения единицы.

Далее в главе 4 результаты, полученные в главе 3, обобщаются на случай, когда стратифицированное многообразие представляет собой объединение произвольного конечного числа гладких компактных многообразий без края, имеющих трансверсаль-ное пересечение, то есть строится задача типа Соболева для пары (М, Х), где, как и ранее М — гладкое компактное многообразие без края, Х = Ц и12и., и? л, где Ьх, Ь2,., Ьп — гладкие компактные подмногообразия многообразия Мтакие, что любая их подсистема трансверсально пересекается. Очевидно, что объединение Ц и ?2и.и?я можно разбить на дизъюнктную сумму подмногообразий.

У&bdquoс: Ь, п Ь, п. пД, таких, что У&bdquo- = Ц сл Ц п. пД отвечающих всевозможным, а 11 ?2 ' а I, /2 'к мультииндексам, а = (/, ,., 1к), где /, < /2 <.< ¡-к. Все эти многообразия, кроме подмногообразия минимальной размерности будут открыты. Ясно, что любой точке теЬх и и. иЬп можно единственным образом поставить в соответствие то подмногообразие из множества Уа}, которое ее содержит.

Для пары (М, X) в главе 4 дается определение пространства с асимптотиками, формулируются достаточные условия эллиптичности оператора соответствующего полученной задачи типа Соболева и строится локальный регуляризатор соответствующей задачи в окрестности содержащей точки многообразия X. Затем строится общий регуляризатор для всего многообразия М. Для этого используется стандартный способ основанный на разбиении единицы.

В последней главе первой части — главе 5 рассматриваются два примера задач в пространствах с асимптотиками для операторов вида Л2 — А". Оба эти примера являются эллиптическими задачами Соболева в пространствах с асимптотиками. В первом примере рассматривается пространство с асимптотиками соответствующее паре (1?", а во втором примере — паре, Х^, где Х — стратифицированное многообразие, представляющее собой объединение трансверсально пересекающихся плоскостей. Оба эти примера используются в приложениях для построения самосопряженных расширений оператора Лапласа.

На этом первая часть диссертации заканчивается.

Вторая часть диссертации посвящена приложениям общей теории, изложенной в первой ее части, к построениям самосопряженных расширений оператора Шредин-гера с потенциалом, сосредоточенным на плоскости и на пучке плоскостей.

Основной целью первой главы второй части — главы 6, является построение нетривиальных самосопряженных расширений оператора Д0, с областью определения = |м (х,/) <=Н2(11″)и (х,() = 0 в некоторой окрестности 1{" ~к } (17) и на ней совпадающего с оператором Лапласа. Здесь (х^,., хпк) — координаты вдоль.

Я" ~к, / - трансверсальные координаты к Я" 'к, а к — его коразмерность. (Мы будем считать, что к* 1). Наша задача состоит в построении самосопряженных расширений оператора Д0 в Ь2(Я"). Ясно, что простейшим самосопряженным расширением этого оператора является оператор Лапласа с областью определения Н2(Я"). Заметим, что в работе [39] показано, что этот самосопряженный оператор совпадает с расширением по Фридрихсу оператора Д0.

Сначала строится оператор сопряженный к Д0и доказывается, что его область определения — Бк д*0 состоит из функций вида.

§(х, О = Я0(х, О + (р (гШх), (18).

— 2+* -2+*, где g0(x, t) eH 2 (¦/?"), g](x)eH 2 (Я"), а <�р (г) — фундаментальная функция оператора (Л2 — Д), причем g (x, t) е12(Лп), А*^(х, 0 е 12(Я"). Оператор Д*0: £>*д-&bdquo- -> 12(Л") определяется своим действием на функции из области его определения следующим образом: л2 — д-ж*, о = (л2 — д)*0(*, о+, ах, то есть совпадает с оператором Лапласа на Я" Я" 'к, точнее говоря, действие оператора, сопряженного к Д0 совпадает с действием оператора Лапласа с точностью до распределений сосредоточенных на 11″ ~к. В работе показано, что при к>3 функция £,(х) в (18) равна нулю, иными словами, в этом случае область определения оператора.

Д*0 состоит из функций g (x, t) е Н2(К"). То есть при условии к>3 существует только тривиальное самосопряженное расширение. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только два случая к=2, к=3.

Ясно, что во всем оператор Д*0 не является симметрическим, т. е. для получения симметрического оператора область определения сопряженного оператора надо сузить. Обозначим через Ок множество функций принадлежащих Ок&—&bdquoтаких, что.

8о (х, 0 еЯЧД" -*) где (19).

Ниже мы будем искать подпространства пространства £>*д-0, описываемые в терминах граничных условий, сужения на которые оператора Д*0 являются симметрическими операторами. Введем обозначения.

Оа’р’к ={и (х, 0 е д-|м0(х, 0) + а (1-Д)^, (*) = ()} да, р, к Д* I.

Вначале требуется ответить на вопрос о симметрии оператора Аа, рк. УТВЕРЖДЕНИЕ 6.1 Операторы Аа’рк являются симметрическими.

Следующей задачей является формулировка необходимых и достаточных условий самосопряженности оператора Аа’рк. Для этого в работе доказывается, что оператор (Л2 +1 — Аа, рк) имеет ограниченный обратный тогда и только тогда, когда выполнены условия р > ~~~ и ос Ф 0. Отсюда следует теорема.

ТЕОРЕМА 6.1. Для того чтобы оператор Аа’рк был самосопряженным необхок — 2 димо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия р > —-— и аФ 0.

Ясно, что оператор Аа, рк является самосопряженным расширением оператора Лапласа с начальной областью определения Ок&-&bdquo-.

Теперь проверим, что будет при остальных неотрицательных значениях р. Для этого введем более широкий класс операторов чем Аа’р’к. Обозначим через й множество функций принадлежащих /)д., таких, что и0(х, 0 еХ2(Тг"), м,(х) 6 Ь2(Яп'к), а через О0а'р'к множество.

Б0а-Р'к ={и (х, ОеБи0(х, 0) + а (1-А)рщ (х) = 0}.

В работе показано, что оператор А0а'р'к является симметрическим, и при р > —-— совпадает с оператором Д а’р’к. Осталось найти условия при которых оператор А0а, р'к является самосопряженным.

ТЕОРЕМА 6.3. Операторы А0а'р'к являются самосопряженными расширениями оператора Д0 при.

1. к—2 для всех неотрицательных значений р,.

2. к=3 для и для О < р < ^ при а<�е при некотором? >0.

Теперь осталось изучить вопрос о полуограниченности полученных самосопряженных расширений. На этот вопрос дает ответ следующая теорема.

ТЕОРЕМА 6.4. ОператорыАа, р'к иА" 'р'к являются полуограниченными снизу тогда и только тогда когда, а > О.

На этом глава 6, посвященная изучению вопроса о построении самосопряженных расширений оператора Д0, закончена. В конце диссертации в главе 9 будет дан ответ на вопрос о построении самосопряженного в существенном расширении этого оператора.

Следующая задача состоит в построении самосопряженного расширения оператора Лапласа с областью определения состоящей из функций обращающихся в ноль в окрестности пучка плоскостей, имеющих нулевое пересечение. Эта задача решается в главе 7.

Обозначим через = 1,2,., т «-мерные плоскости в 2п-мерном пространстве, т которые пересекаются в нуле и? = Р^ Рассмотрим оператор А, с областью 1 определения, состоящей из быстро убывающих функций, таких, что {и (х) е Н2(Я2п)и (х) = 0 В некоторой окрестности Ь) (20) и на ней совпадающий с оператором Д. Здесь х, е Я» координаты вдоль плоскости Р1. Обозначим через у коразмерность плоскостей, очевидно, что у = п. Введем в подпространствах = сферические системы координат — (/-,&>,), где радиус-векторы, а со 1 — точки соответствующих (п -1) -мерных сфер.

Легко показать (см. напр. [11]), что области определения оператора, сопряженного к Д[ принадлежат функции, которые в некоторой окрестности Ь представимы в виде т <=1 где р (г) = (л2-А)~13(г) здесь Я — достаточно большой действительный параметр, и щ (х) £Н 2(Д2″), и,(х,) еН 2 (/>), такие, что и (х) еЬ2(Я2п) и Аи (х) е Ь2{Я1п). Так как (р{г) е Ь2(Я"), то, как и выше, V < 3. Заметим, что при к>3 все самосопряженные расширения оператора совпадают с оператором Лапласа, который имеет область определения Н2(Я2″). Оператор А* л совпадает с оператором Лапласа на Я2″ Ь, точнее говоря, действие оператора сопряженного к Аь совпадает с оператором Лапласа с точностью до распределений сосредоточенных на Ь. Этот оператор не является симметрическим на своей области определения. Для получения самосопряженного оператора его область определения надо сузить.

Обозначим через ?>. множество функции вида (21), где и0(х) еЯ' (Я2″), о у > — а через А*о — сужение оператора на £)д. .

Ниже мы будем искать подпространства пространства И, описываемые в термину нах граничных условий, сужения на которые оператора А*0 являются симметрическими операторами.

Введем обозначения /,"".* = {и (х :) еЛ.|/>0(х) + Д (1-А)" м,(л-,) = 0, г = 1,., т}. (22).

Заметим, что условия (22) являются локальными и совпадают с условиями Скорнякова-Тер-Мартиросяна в случае, когда к=0. Пусть в Ь2(Я1п) выбрано замкнутое подпространство IV инвариантное относительно оператора Д*0 такое, что. = 1? гОр ук является всюду плотным в Ш. Обозначим через Ав к сужение оператора А*0 на? V. ' «о.

УТВЕРЖДЕНИЕ 7.3. Пусть IV выбрано так, что для любой функции и (ху). выполнено условие и,(0)=0, 1=1,., т, (23) тогда оператор Дд «к является симметрическим.

Заметим, что в ¡-^{Я2″) можно многими способами выбрать подпространство Ж, принадлежность к которому гарантировала бы выполнение перечисленных выше условий. К примеру, это могут быть подпространства нечетных функций, антисимметрических функции и др.

Сначала рассмотрим вопрос об обратимости оператора £-Ар ук. Обозначим.

Д р"кк к, очевидно, что из обратимости оператора Я2 — Д в 12(Т?2″) будет следовать обратимость оператора Л2 — А р, У, к в Ш.

ТЕОРЕМА 7.7. Оператор (Л2 — А р, у, к) обратим в пространстве Ь2(Я2″) при достатото большом ШСШ—НОМ Л, а при обрашпого оператора не существует.

Теперь мы можем сформулировать условия, при которых оператор Ар 1>к является самосопряженным. Пусть Ж замкнутое подпространство в Ь2(Я2″) инвариантное относительно оператора Д*0 такое, что = п IV всюду плотно в Ш и У 0.

Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 7.9. Самосопряженность оператора Ар ук эквивалентна выполнению двух условий.

1. к>2.

2. Для любой функции и (х) еРГд. будет выполнено ц (0) = 0, /=7,., т.

До.

V 2.

Заметим, что при выполнении второго условия оператор Ар у к при к < —-— не является самосопряженным, но имеет полуограниченное самосопряженное расширение, например расширение по Фридрихсу.

В главе 8 рассмотрен пучок плоскостей, имеющих ненулевое пересечение. Обозначим через г = 1,2., т п — мерные плоскости коразмерности у в п+ у — мерт ном пространстве, которые имеют ненулевое пересечение Р| Р,. Обозначим через I 1 т коразмерность пересечения плоскостей в любой из плоскостей. Ясно, что как и 1 т ранее, будет выполнено неравенство ^ < у. Обозначим Ь =. Рассмотрим оператор

Аь с областью определения (20) и на ней совпадающий с оператором А. Обозначим через х е Яп+1 координаты во всем пространстве, х: = (у', г) е Я" координаты вдоль плоскости Рп здесь г = (г,.^,), — координаты вдоль пересечения плоскостей. Введем в подпространствах трансверсальных к Р (сферические системы координат — (г ,&>,) соответственно, где г{ = г1(х, у') — радиус векторы в у — мерном пространстве, а ¿-у, -точки соответствующих у — 1 — мерных сфер.

Как уже говорилось выше, области определения оператора, сопряженного к А, принадлежат функции, которые в некоторой окрестности Ь представимы в виде (21), а оператор А*/. совпадает с оператором Лапласа на Я" +" Ь, точнее говоря, действие оператора сопряженного к А1 совпадает с оператором Лапласа с точностью до распределений сосредоточенных на Ь. Этот оператор не является симметрическим на своей области определения. Для получения самосопряженного оператора его область определения надо сузить. Обозначим через О. множество функции вида (21), где л V и0(Х) еН (Я" +у), м,(х,) и 5 > — а через А* - сужение оператора, А на ?>, .

2 0.

Ниже, как и ранее, мы будем искать подпространства пространства ?>., описываемо мые в терминах граничных условий, сужения на которые оператора Д*0 являются симметрическими операторами.

Аналогично главе 6 рассмотрим линейные многообразия вида й р,.&bdquo-.* = {м (х) е £)д. щ (*) + Д (1 — А) кц (х<) = 0,/ = 1,., А:}.

Г> А.&bdquo-.* = {и (д) е £)д7 ||* и0(х) + Д (1 — А) ки,(х,) = 0,1 = 1 ,.,*}.

Пусть в L1{Rn+v) выбрано замкнутое подпространство W инвариантное относительно оператора Д*0, такое, что W. = W n D? к является всюду плотным в W. Обо.

Д&bdquoPi' ' значим через Ав vk сужение оператора А*0 на W, а через, А к обозначим сужение.

Pt > > д (> оператора A*L на D ?, v, k.

УТВЕРЖДЕНИЕ 8.4. Пусть W выбрано так, что для любой функции ы (х) efV. выполнено условие.

До.

0,z)=0, к, (25) тогда оператор A? v к является симметрическим.

Как и раньше, сначала решим вопрос об обратимости оператора Я2 — А в L1(Rn+v), а потом сформулируем необходимые и достаточные условия обратимости оператора Л2 — А ?, v, k в W.

УТВЕРЖДЕНИЕ 8.5. Оператор (Л2 — А ?, v, k) обратим в пространстве L1{Rn+v) при к > ~~~ 11 достаточно большом действительном Л, а при к < ~~~ обратного оператора не существует ни для какого Л.

Далее возникает естественный вопрос о обратимости оператора Я2 — A д,^. Для этого во второй части восьмой главы проводится оценка индексов соответствующих пространств Соболева и приводится точная оценка параметра к.

ТЕОРЕМА 8.6. Оператор (Л2 — А ?, v, k) обратим в пространстве Wпри к > — - — и достаточно большом действительном Л, а при к< — ~— обратного.

8 2 8 2 оператора не существует.

Аналогично предыдущему, можно сформулировать необходимые и достаточные условия самосопряженности оператора, А д, &bdquo-, к. Пусть W замкнутое подпространство в L2(R2″) инвариантное относительно оператора Д*0такое, что, W^.=D? vkrW всюду плотно в W и W 0.

ТЕОРЕМА 8.7. Самосопряженность оператора Ар ук эквивалентна выполнению двух условий: г, Зу 1.

1. к>—.

8 2.

2. Для любой функции и (х) е Ш. будет выполнено щ (О, г) = О, /=/,.,/я, а его полуограниченность эквивалентна условию неотрицательности констант Д > О,.

1,2,., т.

Особый интерес представляет задача построения самосопряженных расширений оператора А, во всем Ь2(112″). Так как для условий Скорнякова-Тер-Мартиросяна таких расширений не существует, то мы рассмотрим некоторое обобщение этих условий, сохраняющее свойства локальности.

В главе 7 рассмотрен случай, когда размерность пересечения плоскостей равна нулю. В этом случае граничные условия имеют вид.

С, («о (*) + Е <�Р{Г] (*,)) + А О ~ Д)* Щ) = О.

ОоМ+Е ипХхт)=о.

Рассмотрим линейное многообразие Окр1, У сД. такое, что.

А о V- = {и (х. о е Яд. |/* (и0 (х) +? р (гу)му (х,)) + Д (1 — А)" и,. (х,) = 0, / = 1,., т).

Обозначим через Ак^ сужение оператора Д*0 на/Уд." .

УТВЕРЖДЕНИЕ 7.4. Оператор Акр1,&bdquoявляется симметрическим. Рассмотрим вопрос об обратимости оператора (Л2 — • ТЕОРЕМА 1.10. Оператор (Л2 — АкР, обратим в пространстве Ь2{Е2″)при к > ~~~~~ и достаточно большом действительном Я, а при к < обратного оператора не существует ни при каком Л.

Далее ответ на основной вопрос о самосопряженности оператора Д*д, и дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 7.11. Оператор Акр1, у является полуограниченным самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда выполнены два условия.

В главе 8 рассмотрим случай ненулевого пересечения. Тогда граничные условия будут иметь вид.

С, («o (*) +? 9irj) Uj{xpz)) + ?x 1-Д)* и,(х,) = О j* 1 Х) и,(*,"*)) +А"О-*)* = 0. j*m.

Как и в случае нулевого пересечения, рассмотрим линейное многообразие Dk? i, v.

DkPl, v = {u (x)eDAl |/*(t/0W + S tfrJ) Uj (xJ, z)) + ?,(l-A)kul (xl) = 0, i = l,., m}. (26) j*i.

Как и ранее, обозначим через Акр, У сужение оператора А*0 на ^.

УТВЕРЖДЕНИЕ 8.6. Оператор Ak? i, v является симметрическим. На вопрос об условиях обратимости оператора А2 — Д*дотвечает следующая теорема. ТЕОРЕМА 8.8. Оператор (tf -1??"v) обратим в пространстве L2(Rv+n) при к> — ~— и достаточно большом действительном Л, а при к < — - — обратного 8 2 8 2 оператора не существует ни при каком Л.

А на главный вопрос о необходимом и достаточном условии его самосопряженности и полуограниченности отвечает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 8.10. Оператор Akpl, v является полуограниченным самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда выполнены два условия.

На этом изучение самосопряженных расширений заканчивается. В конце диссертации в главе 9 строятся самосопряженные в существенном расширения операторов, полученных в предыдущих главах и не являющихся самосопряженными.

В начале рассмотрим операторы Аа’рк. В главе 6 показано, что они не являются у-2 самосопряженными при условии О < к < —-—. Таким образом операторы, которые определяются граничными условиями Скорнякова-Тер-Мартиросяна не являются самосопряженными. Следующая задача будет состоять в том, чтобы определить условия, при которых соответствующие операторы являются самосопряженными в существенном.

Нашей первой задачей является выяснение вопроса о существовании самосопряженного в существенном расширения оператора Д0 в Ь2{Яп) с областью определения (17). Ранее было построено симметрическое расширение оператора Д0, которое было обозначено Аа, рк.

Как было отмечено выше, оператор Аа, рк является самосопряженным тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия р > и, а ф ® • ОтсюДа слек — 2 ~ дует, что при 0 < р < —-— оператор Аа’рк не является самосопряженным.

ТЕОРЕМА 9.1. Оператор Аа, р, к является самосопряженным в существенном при к=3 для любых неотрицательных значениях р и а, а при к=2 для любых р>0 и а>Ы, где N некоторая положительная константа.

Перейдем к задаче на пучке плоскостей. Как и ранее, обозначим через Ь пучок плоскостей. Рассмотрим оператор Аь с областью определения (20). В данном случае формулировка условий не зависит от того, имеет ли пересечение плоскостей нулевую размерность или ненулевую.

Ранее нами было построено симметрическое расширение оператора Аь, которое обозначалось как Ар л, к, и были сформулированы условия симметрии этого оператора. у-2.

Оператор Ар ук не является самосопряженным при 0 < к < —^—. Заметим, что для нас особенный интерес представляет случай к=0, так как в этом случае граничные условия (22) определяющие область определения оператора Ар ук совпадают с граничными условиями Скорнякова-Тер-Мартиросяна. Сформулируем условия при которых оператор Ад^ будет самосопряженным в существенном.

ТЕОРЕМА 9.2. Оператор А^ А является самосопряженным в существенном при v = Ъ для любых неотрицательных значениях к и Д,/ = 1,2,., к0, а при у = 2 для любых к > 0 и Д > N, 1 = 1,2,., к0, где N некоторая положительная константа.

Заметим, что утверждение этой теоремы следует из того, что оператор (Л2 — Ар 1, к) положителен и его образ является всюду плотным в Ь2(Кп+1'). Отсюда следует, что оператор 1, к является самосопряженным в существенном и имеет единственное полуограниченное самосопряженное расширение. Аналогичные результаты получены и для оператора .

Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту академику РАН В. А. Ильину и профессору В. Е. Шаталову за постоянное внимание и консультации на протяжении всей работы.

1. B.W. Schulze. Pseudodifferential Operators on Manifolds with singularities. -North-Holland, Amsterdam, 1991.

2. B.A. Кондратьев. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. Труды Московского математического общества, 1967, Т.16, стр. 209−226.

3. В. Sternin and V. Shatalov. Relative Elliptic Theory and Sobolev Problems. MaxPlanck Institut fur Mathematik, Bonn, 1994, Preprint MPI 94−114.

4. W. Schulze, B. Sternin and V. Shatalov. Operator Algebra on Singular Manifolds, IV, V.- Max-Planck Institut fur Mathematik, Bonn, 1997. Preprint MPI. 97/19.

5. W. Schulze, B. Sternin and V. Shatalov. Operator Algebra on Singular Manifolds, 1. -Max-Planck Institut fur Mathematik, Bonn, 1997, Preprint MPI.97/16.

6. Б. Ю. Стернин. Задачи С. JI. Соболева в случае подмногообразий с многомерными особенностями ДАН СССР, 1969 Т. 189. № 4, стр. 732−738.

7. W. Schulze, В. Sternin and V. Shatalov. Differential equations on manifolds withsingularities in classes of resurgent functions. -Max-Planck Institut fur Mathematik, Bonn, 1994 Preprint MPI.95−88.

8. B. Sternin and V. Shatalov. The Sobolev Problem in Spaces with Asymptotics. MaxPlanck Institut fur Mathematik, Bonn, 1996. Preprint MPI 96−96.

9. Ф. А. Березин, Л. Д. Фаддеев. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом.- ДАН СССР, 1961. Т 137, № 5, стр. 1011−1014.

10. Р. А. Минлос, Л. Д. Фаддеев, О точечном взаимодействии для системы из трех частиц в квантовой механике. -ДАН СССР, 1961, Т. 141, № 6, стр. 1335−1338.

11. К. А. Макаров. Полуограниченность оператора энергии системы трех частиц с парным взаимодействием типа б функция. -Алгебра и анализ, 1992, 4 вып. 5, 1992, стр. 155−171.

12. Б. Ю. Стернин. Эллиптические кограничные морфизмы. ДАН СССР, 1967, Т. 172, № 1, стр. 44−47.

13. Б. Ю. Стернин, В. Е. Шаталов, Б. В. Шульце. Эллиптические операторы на многообразиях с реберными особенностями. ДАН, 1998, Т. 363, № 7, стр. 30−33.

14. Б. Ю. Стернин, В. Е. Шаталов. Дифференциальные уравнения в пространствах с асимптотиками на многообразиях с особенностями типа клюва. -Дифференц. уравнения, 2002. том 38, № 12. стр. 1664−1672.

15. Б. Ю. Стернин, В. Е. Шаталов. Б. В. Шульце. Эллиптические урввнения на многообразиях с особенностями типа клюва, — ДАН, 1998, Т. 362, № 4, стр. 453−455.

16. В. Е. Назайкинский, Б. Ю. Стернин. Замечание об эллиптической теории на многообразиях с изолированными особенностями. ДАН, 2000, Т. 374, № 5, стр. 606 610.

17. С.JI. Соболев. Об одной краевой задаче для полигармонических уравнений. -Мат. сборник, 2 (44): 3 (1937), стр. 465−499.

18. СЛ. Соболев. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. 1950. Изд-во ЛГУ .

19. JI.H. Слободецкий. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных .- Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та. им. А. И. Терцина 197 (1958), стр. 468 471.

20. Б. Ю. Стернин. Эллиптические и параболические задачи на многообразиях с границей, состоящей из компонент различной размерности. Труды Моск. Мат. общ-ва 1966. том 15, стр. 467−500.

21. Б. Ю. Стернин. Общие краевые задачи для эллиптических уравнений в области, границей которой служат многообразия различной размерности ДАН СССР. 1964, Т. 159, № 5, стр. 992−994.

22. Б. Ю. Стернин. Относительная эллиптическая теория и проблема Соболева.-ДАН СССР. 1976, Т.230, № 2, стр. 287−290.

23. В. Е. Шаталов. Некоторые асимптотические разложения в задачах СоболеваСибирский математический журнал, 1977. XVIII, N6 стр. 1394−1410.

24. Е. Wiener. On the mass defecto? elium Phys. Rev.-1933.-V.43.-P.252−257.

25. H. Bethe, R. Peierls. Quantum theory of the diplon Proc. Royal Soc. London.-1935.-V.A 148-P. 146−156.

26. Ю. Н. Демидов, B.H. Островский. Использование потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. -М.: Наука, 1975.

27. S. Albeverio, F. Gesztezy, H. Hoegh-Krohn, H. Holden. Solvable models in quantum mechanics. -New York-Berlin-Heidelberg-London-Tokyo.Springer-Verlag, 1988.

28. V.G. Maz’ya, J. Robmann. Stable asymptotics of the solution of the Dirichlet problem for elliptic equations of second order in domfins with angular points or edges. Symposium on Operator Calculus and Spectral Theory (Germany) December 1991 P. 215 224.

29. B.W. Schulze. The variable discrete asymptotics of singular boundary value problems. Symposium on Operator Calculus and Spectral Theory (Germany) December 1991 -P. 215−224.

30. Г. С. Данилов. ЖЭТФ. 1961 Т. 40, № 2. стр. 163−177.

31. L.H. Thomas. The interaction between a neutron and a proton and the structure of H3- Phys. Rev. -1937. -V.47. -P 903−909.

32. А. Ахиезер, И. Померанчук. Некоторые вопросы теории ядра. -М.: Наука, 1948.

33. Р. А. Мин л ос. О точечном взаимодействии трех частиц. Вестн. Моск. Ун-та. сер. 1. математика, механика, 1989, № 6. стр.156−173.

34. М. В. Коровина. Построение самосопряженного расширения оператора Шредингера с потенциалом, сосредоточенным на стратифицированном пучке плоскостей.- Дифф. уравнения. 2001. том 37, N6, с 792−795.

35. A.M. Мельников, Р. А. Минлос. О точечном взаимодействии трех частиц.-Вестн. Моск. Ун-та. сер. 1. математика, механика, 1991, № 3. стр 3−8.

36. Ю. Г. Шодин. К задаче трех частиц с бпотенциалом. -Теорет. и матем. физика, 1982.-Т. 51, № 2. стр. 181−191.

37. L.H. Thomas. Phys. Rev. D-1984. -К30. -P 1233−1237.

38. Ю. Г. Шодин. Теорет. и матем. физика, 1988.-Т. 74, № 3, стр. 331−334.

39. Б. С. Павлов. Граничные условия на тонких многообразиях и полуограниченность трехчастичного оператора Шредингера с точечным потенциалом. Матем. сб. 1988 136(178), № 2, стр. 163−177.

40. Б. С. Павлов. Модель потенциала нулевого радиуса с внутренней структурой. -Теорет. и матем. физика, 1984, Т. 39, № 3, стр. 345−354.

41. Б. С. Павлов, А. А. Шушков. Теория расширений и потенциалы нулевого радиуса. Матем. сб, 1988. Т. 137(179), Ш, стр. 147−183.

42. К. A. Makarov. Preprint FUB / HEP -88−3, Berlin (West): FUB, 1988.

43. K.A. Макаров, B.B. Мележик, A.K. Мотовилов. Точечные взаимодействия в задаче трех квантовых частиц с внутренней структурой. -Теорет. и матем. физика, 1995.-Т. 102, № 2. стр. 258−282.

44. А.К. .Мотовилов. Теорет. и матем. физика, 1993.-Т. 2, № 1. -С 163−181.

45. S. Albeverio, К. Makarov. Attractors in a Model related to the Threebody Problem. -Preprint, Univ. Oslo, 1995.

46. K. Makarov, V. Melezhik. How to avoid the «Fall to the Center «in the Threebody Problem with Point-like Interactions. Max-Planck Institut fur Mathematik, Bonn, 1995. Preprint MP195−28.

47. M.B. Коровина. Построение самосопряженного расширения оператора Шредингера с потенциалом, сосредоточенным на пучке плоскостей 1, — Дифф. уравнения 2002, Т. 38, № 6, стр. 775−786.

48. М. В. Коровина. Построение самосопряженного расширения оператора Шредингера с потенциалом, сосредоточенным на пучке плоскостей 2. Дифф. уравнения. 2003, Т.39, № 1, стр. 70−77.

49. М. В. Коровина. О самосопряженном расширении оператора Шредингера с потенциалом, сосредоточенном на поверхности. -ДАН РАН, 1999, Т 366, № 6, стр. 738−740.

50. М. В. Коровина. Об уравнении Шредингера с потенциалом, сосредоточенным на поверхности.- Дифф. уравнения. 2000, Т 36, № 9. стр. 1155−1159.

51. Коровина М. В. Эллиптические задачи в пространствах с асимптотиками.-Дифф. уравнения.2002 .Т. 38, N5 стр 673−786.

52. М. В. Коровина. Эллиптические задачи на стратифицированных многообразиях в пространствах с асимптотиками /-. Дифф. уравнения. 2004 том.$Ф, №tстр. 216−228.

53. М. В. Коровина. Эллиптические задачи на стратифицированных многообразиях в пространствах с асимптотиками //.- Дифф. уравнения. 2004, Т. 40, № 6 стр. 775−786.

54. В. Sternin. Relative Elliptic Theory and Sobolev Problems .- Soviet Math. Dokl.-1967.-V. 17, № 5 .- P. 1306−1309.

55. Б. Ю. Стернин, В. Е. Шаталов. Расширение алгебры псевдодифференциальных операторов и некоторые нелокальные эллиптические задачи. Мат. сб., 1994 Т 185, № 3, стр. 117−156.

56. Б. Ю. Стернин. Эллиптические морфизмы (оснащение эллиптического оператора) для подмногообразий с особенностями. -ДАН РАН, 1971. Т 200, № 1, стр. 45−48.

57. М. Тейлор. Псевдо-дифференциалъные операторы.- Мир. 1985.

58. Ф. Трев.

Введение

в теорию псевдо-дифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. Мир. 1984.

59. Б. Ю. Стернин, В. Е. Шаталов. Об одном классе нелокальных эллиптических задачДАН РАН, 1992, Т. 323, № 2, стр. 245−249.

60. М. В. Коровина. Исследование Ç—функции операторов для некоторого класса эллиптических задач". Дифф. уравнения. 1999. Т 35. № 8. стр. 1067−1076.

61. М. Рид, Б. Саймон. «Методы современной математической физики». Т. 2. Мир 1978.