Исследование ограниченных квантовых систем при конечных температурах методами вычислительной физики

За последние полвека компьютерное моделирование стало одним из способов получения наиболее надежной информации в сложных задачах статистической механики. Одним из наиболее мощных стохастических методов является метод Монте-Карло. С помощью него были рассчитаны равновесные термодинамические свойства для многочисленных сложных молекулярных систем с сильным взаимодействием — молекулярных жидкостей и растворов, полимерных и биополимерных систем, электролитов, сильно неидеальной плазмы, кластеров, поверхностных слоев и других ограниченных систем. Большинство этих вычислений проводилось с использованием модельных потенциалов.

Однако классическое описание достаточно не во всех случаях. Существуют физические проблемы, где квантовый эффект делокализации частиц играет важную роль. Это происходит когда тепловая длина волны становится сравнимой со средним расстоянием между частицами в системе. Как правило, это касается систем при низких температурах, либо при больших плотностях. Также это касается слабо связанных электронов (например, в F-центрах, электридах, алка-лидах, квантовых точках и т. п.).

С другой стороны, существуют системы, свойства которых определяются главным образом симметрией или антисимметрией волновых функций по отношению к перестановке частиц. Лучшими примерами такого рода систем служат два изотопа гелия. Оба они остаются жидкими вплоть до абсолютного нуля температуры, и этот факт уже не может быть объяснен с помощью классической теории. Явление сверхтекучести, так же как и явление сверхпроводимости, .являются коллективными обменными эффектами, и для их описания требуется метод, основанный на принципах квантовой механики и квантовой статистики.

Такие методы существуют, и часть из них направлена на решение уравнения Шредингера. Они включают в себя такие методы, как вариационный метод Хартри-Фока, разнообразные диаграммные методы теории возмущений и методы квантовой химии. Однако все эти методы позволяют найти лишь волновые функции чистых состояний, обычно основного, и не дают возможности рассмотреть термодинамику квантовой системы при конечных температурах.

Следует отметить, что существуют также два квантовых метода Монте-Карло. Один из них, вариационный, в котором для получения волновой функции используется стохастическая схема. В другом, диффузионном методе Монте-Карло, используется изоморфизм между уравнением Шредингера и уравнением диффузии с источниками для получения волновой функции основного состояния.

Свойства систем при конечных температурах описываются канонической матрицей плотности. Исходные операторные выражения для канонической матрицы плотности, статистической суммы и средних в квантовой статистике не могут быть непосредственно использованы для вычисления равновесных свойств в рамках компьютерного моделирования. Поэтому необходимо представить термодинамические величины для квантовых систем в виде выражений, пригодных для вычислений в рамках метода Монте-Карло. Это достигается с помощью интегралов по траекториям Фейнмана [1,2]. Используя этот формализм, путем аналитических преобразований можно свести статсумму квантовой системы к формально «классической» статсумме, описывающей некоторую классическую систему с большим числом степеней свободы. Например, в простейшем случае одна квантовая частица аппроксимируется замкнутой траекторией («полимерной цепью»), состоящей из соединенных пружинами вершин, находящихся во внешнем поле.

Этот метод, называемый методом Монте-Карло с использованием интегралов по траекториям, получил широкое распространение и является одним из наиболее надежных способов изучения квантовых систем при конечных температурах. Однако при его реализации наблюдаются определенные трудности, связанные с поведением квантовых систем при низких температурах. Разработка нового варианта метода Монте-Карло, использующего фейнмановские интегралы по траекториям, является одной из целей данной диссертации. Для тестирования метода наиболее подходящими являются системы, для которых существуют аналитические решения, поэтому в работе проведены расчеты для системы невзаимодействующих тождественных частиц во внешнем поле.

В то же время недавние эксперименты по конденсации Бозе-Энштейна газов щелочных металлов в магнитных ловушках с использованием метода лазерного охлаждения привело к возникновению интереса к мезо-системам невзаимодействующих тождественных частиц, которые могут быть рассмотрены аналитически. В то время, как выражения для канонической статсуммы и средних для подобных систем при N = 2,3 существуют, они становятся все более и более сложными с увеличением числа частиц. Однако, известно, что выражения для большого канонического ансамбля иногда намного проще из-за снятого ограничения на полное число частиц.

В связи с этим глава 1 данной работы посвящена получению точных выражений (рядов) для большого потенциала Q для систем невзаимодействующих тождественных частиц со спином в произвольном внешнем поле, в том числе и в однородном магнитном поле.

В главе 2 приведены данные расчетов для систем невзаимодействующих квантовых частиц, описанных в главе Рассматриваются системы бозонов и фер-мионов в изотропном гармоническом поле и в поле потенциала Пешля-Теллера, также проводится подробный анализ поведения обеих систем в однородном магнитном поле.

Глава 3 посвящена методу Монте-Карло с использованием интегралов по траекториям. Выводятся аналитические выражения для статсуммы и эстиматоров энергии и квадрата спина в методе вершин-Фурье для систем взаимодействующих тождественных частиц во внешнем поле.

Наконец, в главе 4 приведены результаты расчетов различных ограниченных квантовых систем методом Монте-Карло с использованием ахшроксимации вершин-Фурье интегралов по траекториям. Результаты для систем невзаимодействующих квантовых частиц в изотропном гармоническом поле сравниваются с полученными в главе 2. Приведены также расчеты для систем бозонов и фермио-нов со спином в гармоническом поле при включении электростатического отталкивания между частицами. Приводятся расчеты для ограниченных кулоновских систем — простейших атомов и молекул.

Обзорная часть включена в первые параграфы глав 1 и 3.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В заключение отметим основные результаты проделанной работы.

1. Для систем тождественных невзаимодействующих частиц со спином в произвольном внешнем поле получены ряды по циклам Фейнмановского типа для статсуммы и термодинамических величин — числа частиц, энергии, а в случае магнитного поля также намагниченности и восприимчивости — в большом каноническом ансамбле. Разработана численная процедура, позволяющая с помощью этих рядов получать псевдоканонические средние для этих систем. Показано, что для числа частиц, превышающего несколько десятков, эти средние можно считать практически совпадающими с каноническими.

2. С помощью полученных рядов вычислены химпотенциал, внутренняя энергия, теплоемкость, магнитный момент и средние числа заполнения основного и других состояний для систем бозонов и фермионов со спином в гармоническом поле, в поле Пешля-Теллера и в гармоническом поле в присутствии однородного магнитного поля. Подробно изучено и объяснено влияние магнитного поля на химпотенциал и магнитный момент, для чего влияние поля было разделено на парамагнитный и диамагнитный вклады. Число частиц в расчетах достигало 104.

3. Разработан комбинированный метод Монте-Карло вершин-Фурье интегралов по траекториям для систем взаимодействующих квантовых частиц со спином. На примере одной частицы в кулоновском поле (атом водорода) было продемонстрировано, что этот метод более эффективен, чем его крайние случаи — метод вершин и метод Фурье. Метод вершин-Фурье распространен на системы тождественных квантовых частиц: получены выражения для статсуммы и средних, и, в частности, выражения для примитивного и вириального эстиматоров внутренней энергии. Обменный фактор был получен в двух формах.

4. Созданы программы, позволяющие моделировать методом Монте-Карло вершин-Фурье системы фермионов и бозонов с различным потенциалом взаимодействия в произвольном внешнем поле.

5. Проведены расчеты в рамках разработанного метода для систем невзаимодействующих тождественных частиц со спином в гармоническом поле. Результаты хорошо воспроизводят точные аналитические данные вплоть до низких температур.

6. Проведены расчеты для систем бозонов и фермионов со спином в гармоническом поле при включении электростатического отталкивания между частицами. Отталкивание частиц приводит к ослаблению обменных эффектов.

7. Для систем двух и трех электронов во внешних кулоновских полях точечных ядер проведены расчеты энергии и функций распределения. Хорошо воспроизводятся энергия основного состояния для Не, Н2, Li и Li+. При раздвижении ядер в молекуле водорода Н2 фиксируется разрыв химической связи.