Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Аналитические методы решения нелинейных операторно-функциональных уравнений в нерегулярных случаях

Диссертация: Аналитические методы решения нелинейных операторно-функциональных уравнений в нерегулярных случаях
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В силу указанного актуальным вопросом является разработка аналога классической теории ветвления для уравнений вида (0.0.2). В диссертации изложены начала такой теории ветвления. В отличие от классической теории ветвления для решения операторно-функциональных уравнений вида (0.0.2) потребовалось расширить класс, в котором ищется решение, привлекая в качестве его асимптотического приближения… Читать ещё >

Содержание

  • 1. Аналитические решения линейных разностных операторных уравнений с полиномиальной правой частью
    • 1. 1. Регулярный случай, оператор, А — к В непрерывно обратим
    • 1. 2. Нерегулярный случай, оператор, А — кВ фредгольмов
      • 1. 2. 1. Оператор С не имеет В-присоедииенных элементов
      • 1. 2. 2. Оператор С имеет 5-жорданову цепочку длины р
      • 1. 2. 3. Оператор С имеет полный 5-жорданов набор
    • 1. 3. Случай нескольких разностных ФВА в уравнении с полиномиальной правой частью
      • 1. 3. 1. Регулярный случай
      • 1. 3. 2. Нерегулярный случай
  • 2. Операторные уравнения с ФВА нейтрального типа
    • 2. 1. Линейные операторные уравнения с простейшим ФВА нейтрального типа
      • 2. 1. 1. Уравнения с постоянными коэффициентами
      • 2. 1. 2. Уравнения с переменными операторными коэффициентами
    • 2. 2. Линейные операторные уравнения с аналитическим ФВА нейтрального типа
    • 2. 3. Линейные операторные уравнения с несколькими ФВА нейтрального типа
    • 2. 4. Линейные уравнения с ФВА с необратимым оператором при старшем члене
      • 2. 4. 1. Разложение банаховых пространств, (P, Q)~ коммутируемость линейных операторов
      • 2. 4. 2. Редукция сингулярного уравнения с ФВА к регулярным задачам
    • 2. 5. Продолжение решений линейных операторных уравнений с ФВА
    • 2. 6. Квазилинейные операторные уравнения с ФВА
    • 2. 7. Квазилинейные операторные уравнения с несколькими ФВА
    • 2. 8. Метод диаграммы Ньютона для уравнений с ФВА

Аналитические методы решения нелинейных операторно-функциональных уравнений в нерегулярных случаях (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Теория уравнений с функционально измененным аргументом получила бурное развитие в XX веке. Наиболее широко изученным классом таких уравнений являются разностные уравнения. Наряду с обычными разностными уравнениями большой интерес представляют дифференциально-разностные уравнения, интегро-функциональные и операторно-функциональные, т.к. они имеют ряд физических приложений.

Периодом интенсивного развития теории разностных и дифференциально-разностных уравнений является вторая половина XX века. В этот период было опубликовано наибольшее количество работ, посвященных таким уравнениям. Важные результаты и обширная библиография есть в работах и монографиях Эльсгольца Л. Э. [52],[53],[54], Зверкина A.M. 15],[16],[17], Халаная А[46],[47],[48], Беллмана Р. 5],[6], Васильевой А. Б. 11],[12],[13], Каменского Г. А[18],[19], Норкина С. Б. 23], Азбелева Н. В. 1],[2],[3], Скубачевского

A.JI. 36],[37],[38], Мышкиса А. Д. [22], Шарковского А. Н. [49], Шевело

B.Н. [50], Черепенникова В. Б. [51] и др. В последнее время большой вклад в современную теорию функционально-дифференциальных уравнений внесли Азбелев Н. В., Рахматуллина Л. Ф, Скубачевский A. J1. и др. Несмотря на такой всплеск интереса к разностным и разностнодифференциальным уравнениям, некоторые проблемы решения нелинейных дифференциально-разностных уравнений являются открытыми и сейчас.

Наряду с теорией дифференциально-разностных уравнений теоретический и практический интерес представляют операторные уравнения, возмущение аргумента t в которых не является сдвигом, а является функциональным возмущением видаа (£), где a (t) — заданная непрерывная функция. При этом особый интерес представляет задача построения решения в окрестности неподвижных точек t*, в которых выполняется равенство a (t") = Отметим, что в окрестности точек не являющихся неподвижными для функционального возмущения аргумента (далее, ФВА) а (£), построение решений можно производить методом шагов (см гл. 2, § 8) В диссертации без ограничения общности полагаем t* = 0. В работе предполагается, что а (0) = О и |а/(0)| < 1. Такое возмущение аргумента естественно назвать нейтральным функциональным возмущением аргумента. В известной литературе есть лишь частные результаты, касающиеся построения решений алгебраических функциональных уравнений в окрестности неподвижных точек возмущения a (t). При этом исследовались аналитические решения, проблема ветвления решения не ставилась. Интерес к этой задаче возникает уже при изучении линейных алгебраических функциональных уравнений. Рассмотрим уравнение

Очевидно, что при к ф- 2 решением примера (0.0.1) является функция

В дальнейшем будем называть этот случай регулярным. В регулярном случае однородное уравнение имеет только тривиальное решение. Заметим, что при к = 2 решение данного примера не может быть найдено в классе функций аналитических в некоторой окрестности нуля.

0.0.1)

В этом случае вещественным решением примера является функция x (t) = ~tnt+ct, где с произвольная постоянная и i=0 является особой точкой. В дальнейшем будем называть этот случай нерегулярным (сингулярным или резонансным). В сингулярном случае однородное уравнение, соответствующее уравнению (0.0.1), имеет ненулевое решение. Отметим, что уравнению с ФВА могут удовлетворять формальные ряды, сходящиеся только в одной точке. Например, уравнение x (t) = t + tx{2t) имеет формальное решение

00 п—0 которое можно получить методом неопределенных коэффициентов или методом последовательных приближений.

Таким образом, при решении простейших алгебраических функциональных уравнений возникают интересные эффекты: при определенных условиях решение уравнения существует в классе функций имеющих логарифмо-степенную асимптотику в окрестности нуля. Решение теряет свойство единственности и становится параметрическим пучком решений, метод неопределенных коэффициентов и метод последовательных приближений могут дать лишь формальный ряд с нулевым радиусом сходимости. Поэтому построение аналитической теории уравнений вида

F (x (t), x (a (t)), t) = 0 (0.0.2) и более общих интегро-операторных уравнений с ФВА представляет несомненный теоретический интерес. Для таких уравнений до последнего времени не были получены аналоги теоремы о неявном операторе, даже в конечномерном случае, нет результатов по теории ветвления решений, а были только частные результаты, например работы польских математиков Baron К., Ger R., Matkowski J., Smajdor W. [55],[56],[57].

Целью диссертационной работы является доказательство теорем существования решений операторных уравнений вида (0.0.2) и разработка приближенных методов построения непрерывных решений x (t) —> 0 при t —> 0, где 0 — неподвижная точка возмущения a (t). Т.к. в нелинейном случае уравнение (0.0.2) может иметь несколько малых решений x (t), то неподвижная точка ФВА может оказаться точкой ветвления решения. Основы теории ветвления решений нелинейных уравнений изложены в классической монографии М. М. Вайнбсрга и В. А. Треногина [10]. Современная теория ветвления использует широкий спектр аналитических, топологических, теоретико-групповых методов и позволяет проводить качественный и алгоритмический анализ многих классов разветвляющихся решений. В области теории ветвления решений нелинейных уравнений имеется громадное количество литературы (см. библиографию в Вайнберг М. М., Треногин В. А. 9], Красносельский М. А. [21] и др.). Однако с этой точки зрения в известной нам литературе других авторов рассматривались уравнения без функционального возмущения аргумента, а методы построения асимптотических приближений разветвляющихся решений предполагали представление решений в виде рядов Ньютона-Пыоизе (по дробным степеням параметра).

В силу указанного актуальным вопросом является разработка аналога классической теории ветвления для уравнений вида (0.0.2). В диссертации изложены начала такой теории ветвления. В отличие от классической теории ветвления для решения операторно-функциональных уравнений вида (0.0.2) потребовалось расширить класс, в котором ищется решение, привлекая в качестве его асимптотического приближения логарифмо-степенные асимптотики. В качестве приложения теории операторных уравнений вида (0.0.2) в работе дан способ построения непрерывных и обобщенных решений интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода с функциональным возмущением аргумента. В диссертации используются методы теории линейных операторов, аппарат обобщенных жордановых цепочек В. А. Треногииа, метод диаграммы Ньютона, теория интегральных уравнений и сведения из теории обобщенных функций.

Содержание работы

Согласно принципа «от простого к сложному» диссертация начинается с изучения линейных операторных уравнений вида

Ax{t) — Bx (a{t)) = f (t), (0.0.3) где А, В — линейные ограниченные операторы, действующие из вещественного банахова пространства Е в вещественное банахово пространство 1^(0)1 < 1> /(0 «непрерывная, достаточно гладкая функция со значениями в /(0) = 0.

Определение 0.0.1. Оператор, А будем называть оператором при старшем члене уравнения (0.0.3).

Оператор, А может быть как непрерывно обратимым, так и фредгольмовым. Некоторые из операторов, А — (а'(0))кВ, к = 1,2,. тоже могут быть фредгольмовыми.

Замечание 0.0.1. Если (or'^O) | > 1, оператор В фредгольмов или непрерывно обратим, то в некоторой окрестности нуля modicho рассматривать это уравнение, поменяв ролями операторы, А и В.

Указанный класс линейных уравнений с ФВА практически не описан в математической литературе. Из тех работ, в которых рассматриваются близкие задачи, можно отметить результаты полученные Черепенниковым В. Б. 51] и Апарциным А. С. 4]. В этих работах рассматриваются дифференциально-разностные и интегральные уравнения нейтрального типа с аналитическим возмущением аргумента нейтрального типа. Уравнение (0.0.3) можно классифицировать как операторное уравнение с ФВА нейтрального типа.

В работе строятся решения линейных и нелинейных функциональных уравнений с функционально возмущенным аргументом t в классе X непрерывных вещественных функций со значениями в банаховом пространстве Е. Как правило, это будет банахово пространство с нормой

1Ы1х — тпах \x (L). | t

Для построения решений линейных и нелинейных операторных уравнений с ФВА нейтрального типа в излагаемом методе требуется строить полиномиальные решения для набора разностных уравнений с запаздывающим аргументом и полиномиальной правой частью. Такие уравнения имеют вид

Ax (z) — kBx (z + а) = Pm (z). (0.0.4)

Здесь А, В — выше описанные линейные операторы, числовой аргументг: Е R1, к и, а — вещественные числа, правая часть т

Fm (z) =2prnzi i=О

— определенный полином аргумента г степени т, коэффициенты РТ°- еЕ2, г = 3~ш.

Искомое решение x (z) уравнения (0.0.4) в работе строится в виде полинома аргумента г, порядок которого определяется максимальной длиной обобщенных жордановых цепочек операторных коэффициентов уравнения.

Работа состоит из двух глав и Приложения.

В первой главе приводятся результаты, касающиеся исследования уравнения (0.0.4). Эти результаты являются необходимыми для исследования линейных и нелинейных уравнений с ФВА.

В § 1.1 главы 1 рассматривается уравнение (0.0.4) в случае непрерывной обратимости оператора, А — к В (регулярный случай). Построенное решение является единственным и строится в виде полинома той же степени, что и правая часть Pm (z). Второй параграф первой главы посвящен сингулярному случаю, когда оператор, А — к В является фредгольмовым и dimN (A — к В) = п > 1. Второй параграф разделен на три подпараграфа. В § 1.2.1 главы 1 оператор, А — кВ является фредгольмовым и не имеет-присоединенных элементов, dimN (А — к В) = п. В этом случае решение строится в виде полинома, степень которого на 1 больше степени Pm (z). Решение зависит от п свободных параметров. В § 1.2.2 главы 1 оператор, А — кВ является фредгольмовым и имеет В-жорданову цепочку длины р, dimN (A — к В) = 1. В этом случае решение строится в виде полинома, степень которого больше степени Pm (z) на длину жордановой цепочки [10]. Решение зависит от р свободных параметров.

В § 1.2.3 главы 1 оператор, А — кВ является фредгольмовым, dimN (A — к В) — п, оператор, А — к В имеет полный 5-жорданов набор присоединенных элементов. В этом случае решение строится в виде полинома, степень которого больше степени Pm (z) на длину максимальной жордановой цепочки в наборе. Решение не является единственным и является пучком к параметров, где к — корневое число

В-жорданова набора оператора, А — кВ, т. е. к = р +. + рп, где piдлины 5-жордановых цепочек оператора, А — кВ. Во второй главе рассматривается уравнение вида

F (x (t), x (a (t)), t) = 0 (0.0.5) и его обобщение с несколькими ФВА. Всегда предполагается F (0, 0, 0) = 0, а (0) = 0, |а'(0)| < 1, и строятся решения x (t) —> 0 при t 0.

Если производныещ^, gxfa (t)) в точке (0? О? 0) не равны нулю, то такое уравнение (0.0.5) будем называть квазилинейным. Если эти производные равны нулю, то уравнение (0.0.5) будем называть нелинейным.

Оператор, А = щту|(о, о, о) назовем оператором при старшем члене уравнения (0.0.5).

Во второй главе на основе результатов главы 1 доказаны теоремы существования и изложен способ построения решения линейного уравнения (0.0.3) с ФВА нейтрального типа и дано последовательное обобщение этих результатов на квазилинейные уравнения с несколькими нелинейными функциональными возмущениями аргумента. Рассмотрен случай, когда оператор при старшем члене уравнения не является непрерывно обратимым. Показано что во фредгольмовом случае и этот случай сводится к разобранным. В § 2.1 главы 2 исследуется линейное операторное уравнение с простейшим функциональным возмущением аргумента, т. е при a (t) = at, где |а| < 1. Полученные результаты обобщаются на уравнение с функциональными операторными коэффициентами вида

A (t)x{t) — B (t)x (at) = /(?). (0.0.6)

В § 2.2 главы 2 исследуется линейное операторное уравнение с нелинейным ФВА вида

Ax{t) — Bx{a{t)) = f (t), (0.0.7) где a (t) — достаточно гладкая функция, а (0) = 0 и |а'(0)| < 1. Строятся локальные решения в окрестности нуля. В § 2.3 главы 2 рассмотрены линейные операторные уравнения с несколькими возмущениями аргумента вида

A^xit) — A2(t)x{a2{t)) —. — AN (t)x (aN (t)) = f (t). (0.0.8)

Операторi (O) предполагается непрерывно обратимым, а^(0) = 0, |oij-(0) | < 1 для всех г, /(?) — достаточно гладкая функция. В § 2.4 главы 2 приведены результаты исследования уравнения (0.0.3) при отсутствии непрерывной обратимости оператораi (0) при старшем члене уравнения. Здесь предполагается, что оператор >U (0) фредгольмов с нетривиальным пространством нулей. Получены достаточные условия, позволяющие случай с фредгольмовым оператором4i (0) сводить к задачам, рассмотренным ранее. В § 2.5 главы 2 на примере линейного операторного уравнения с ФВА показано, что решение при определенных условиях может быть продолжено стандартным методом шагов из теории уравнений с запаздывающим аргументом в область, лежащую вне окрестности неподвижных точек t*: a (t*) = t~ .

В § 2.6 главы 2 результаты предыдущих параграфов применяются к построению решений квазилинейного операторного уравнения с нелинейным функциональным возмущением аргумента с переменными коэффициентами вида

A (t)x (t) — B{t)x{a{t)) = R (x (t), x (a (t)), t), (0.0.9) где R (x (t), x (a (t)), t) — нелинейное операторное отображение,

R (x (t), x (a (t)), t) — Я (0, 0,0)|| = 0[(||:г (£)|| + |k (a (0)||)2].

В § 2.7 главы 2 рассмотрены линейные и квазилинейные, операторные уравнения с несколькими возмущениями аргумента вида

A1(t)x (t) — A2{t)x (a2(t)) —. — AN (t)x{aN (t)) = R (x (t), x (a2(t)),., x (aN (t)), t). (0.0.10)

Операторi (O) предполагается непрерывно обратимым, аг-(0) = 0, |с^(0)| < 1 для всех г.

В § 2.8 главы 2 на основе модифицированного метода диаграмм Ньютона и изложенных результатов для квазилинейных уравнений, предлагается процедура построения малых разветвляющихся решений нелинейных операторных функциональных уравнений вида

F{x{t), x{a{t)), t) = 0.

А именно, с помощью метода диаграммы Ньютона задача сводится к квазилинейному уравнению и ряду задач (0.0.3), (0.0.6), (0.0.7), (0.0.9), изученных выше.

Таким образом, в главах 1,2 диссертации предложен аналитический метод построения непрерывных решений линейных и нелинейных операторных уравнений с ФВА в окрестности неподвижных точек функциональных возмущений аргумента. Метод позволяет строить решения в окрестности точек ветвления и использует сочетание метода неопределенных коэффициентов, метода последовательных приближений, диаграммы Ныотона и аппарат полных обобщенных жордановых наборов [10] для операторных коэффициентов линеаризованного уравнения. Доказательство сходимости метода использует классическую схему принципа сжимающих отображений. В Приложении диссертации результаты, изложенные в главе 2, применяются для исследования нелинейных интегральных уравнений Вольтерра I рода с функциональным возмущением аргумента. В первом параграфе Приложения строится обобщенное решение нелинейного интегрального уравнения Вольтерра I рода t

J K (t, s) O (s) + ax (as) + g{slx (s), s))ds = f (t), (0.0.11) о где ядро К и функции д, f — аналитические в окрестности нуля, причем п к^ S) = y, K-itn-isl+от + ит i=о

В параграфах 3.1.1 и 3.1.2 Приложения используются результаты Н. А. Сидорова и Д. Н. Сидорова [34], касающиеся построения обобщенного решения нелинейного интегрального уравнения Вольтерра I рода без функционального возмущения аргумента. Результаты параграфа 3.1.3 Приложения позволяют строить непрерывные и обобщенные решения нелинейных интегральных уравнений Вольтерра I рода (0.0.11). Полученные результаты могут использоваться при построении решений интегральных уравнений, встречающихся в энергетике [20]. Во втором параграфе Приложения строится обобщенное решение системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра I рода t г тп тKij (t, s)(xj (s)+^r, ajsxj (as)+9j (slx (s), s)) ds = fi (t), i = 1 ,., m, { 7=1 s=l

0.0.12) где матрица К и вектор-функции д, f — аналитические в окрестности нуля, причем п

K (t, s) = Y, + det^ о, i = 0,1,., п. г=0 gj (slx (s), s) — ^(s^xi (s),., slm3xm{s), s), minhj = I > n. ij

Следуя работе [35], обобщенные решения системы (0.0.12) строятся в виде суммы сингулярной части с носителем в нуле и регулярной части. Коэффициенты сингулярной части определяются из системы линейных алгебраических уравнений, регулярная часть вычисляется путем сочетания метода неопределенных коэффициентов и метода последовательных приближений. Таким образом, в третьей главе доказаны теоремы существования и дан аналитический способ построения классических и обобщенных решений операторных и интегральных уравнений с ФВА. На основе полученных результатов можно строить решения и более общих классов операторпо-интегральных уравнений вида t t F (x (t), x (a (t)), J K (t, s) x (s)cls, J Q (L, s) x (a (s))ds, t) = 0, о о где o:(0) = 0, с функциональным возмущением аргумента t нейтрального типа в окрестности точки t = 0, встречающихся в приложениях, например, в [20].

Результаты диссертации опубликованы в работах [28], [29], [30], [32], [34], [40], [41], [42], [43], [33], [45], докладывались на конференциях:

— Всероссийская конференция &bdquo-Математическое моделирование и вычислительно-информационные технологии в междисциплинарных исследованиях", 6−7 июня 2009 г., Иркутск;

— Школа-семинар &bdquo-Нелинейный анализ и экстремальные задачи", 23−30 июня 2008 г., Иркутск;

III международная конференция «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования» посвященная 85-летию Л. Д. Кудрявцева, М: МФТИ, 2008, с.320−322;

— РАММ Proc.Appl.Math.Mech. Willey-VCH Verlag GambH, volume 7, Issue 1, December 2007, p.1 040 805−1 040 806;

— ICIAM-2007, The book of abstracts ICIAM-2007, Zurich, July 2007, p.334;

— Зональная межвузовская конференция &bdquo-Математика и проблемы её преподавания в вузе", 2007 г., Иркутск;

— IX Международная Четаевская конференция &bdquo-Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", 12−16 июня 2007 г., Иркутск;

— &bdquo-Ляпуновские чтения, Презентация информационных технологий", 14−15 декабря 2006 г., Иркутск;

— International Conference Nonlinear Equations, Alushta, September 17−25, 2005, Donetsk, p.96−97;

— IV Всероссийская конференция &bdquo-Математика, информатика и управление", 1−5 ноября 2005 г., Иркутск;

— XII Байкальская международная школа-семинар &bdquo-Методы оптимизации и их приложения", 2−8 июля 2005 г., Иркутск;

— &bdquo-Ляпуновские чтения, Презентация информационных технологий", 21−21 декабря 2004 г., Иркутск;

— Зональная межвузовская конференция &bdquo-Математика и проблемы её преподавания в вузе", 2003 г., Иркутски систематически в ИГУ на семинаре &bdquo-Дифферециальные уравнения" (руководитель проф. Н.А.Сидоров).

Тема исследования входит в план НИР ИГУ, согласно задания Федерального агенства по образованию, проект 2007;01−03. Автор выражает глубокую благодарность д.ф.-м.н., профессору Н. А. Сидорову за постановку задач, постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Заключение

В классической теории ветвления хорошо известно, что в невырожденных аналитических случаях решения могут быть найдены в виде сходящихся рядов Ныотона-Пьюизе по целым или дробным степеням малого аргумента. В диссертации в предположении сжатости ФВА (|ai'(0)| < 1) классические методы теории ветвления применены для решения операторно-функциональных уравнений. Серьезной трудностью явилось то обстоятельство, что теперь коэффициенты решения сами являются полиномами по степеням логарифма аргумента. Поэтому построение ветвей решения операторно-функциональных уравнений потребовало разработки специальной техники даже в невырожденных случаях.

Выделим основные результаты работы:

В работе заложены основы аналитического метода решения нелинейных операторно-функциональных уравнений в нерегулярных случаях, А именно

1. Для линейных и квазилинейных операторно-функциональных уравнений с ФВА нейтрального типа a (t), а (0) = 0 |с/(0)| < 1 доказаны теоремы существования решения в окрестности неподвижных точек ФВА a (t). Предложен метод последовательных приближений решений таких уравнений, а также указана асимптотика этих решений. Сформулированы условия единственности решения. Разобран случай, когда решение может зависеть от определенного числа свободных параметров.

2. Задача построения решений нелинейных операторных уравнений с ФВА a (t) в окрестности неподвижных точек a (t) с помощью метода диаграммы Ньютона сводится к нескольким квазилинейным уравнениям с ФВА, решения которых строятся в виде логарифмо-степенных рядов.

3. Результаты, полученные при исследовании нелинейных операторных уравнений с ФВА, применены к изучению нелинейных интегральных уравнений Вольтерра I рода с ФВА. Указана структура искомого решения. Предложен способ построения обобщенных решений в виде регулярной и сингулярной составляющих зависящих от определенного числа свободных параметров.

Построение теории ветвления решений операторно-функциональных уравнений в многомерных вырожденных случаях (например, когда x (t), где t 6 Rn) потребует привлечения более сложных методов и является трудной проблемой, ждущей своего решения.

Изложенные методы можно применить для решения встречающихся в приложениях операторно-интегральных уравнений [4] с ФВА, и при решении ряда начально-краевых задач с ФВА. Некоторые результаты были получены в дипломных работах студентов ИМЭИ.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Н.В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1991. — 280с.
  2. Н.В., Култышев С. Ю., Цалюк B.C. Функционально-дифференциальные уравнения и вариационные задачи. М.: Ижевск: Ин-т компьют. исслед.: Регуляр. и хаотическая динамика, 2006.
  3. Н.В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений: Методы и прил. М.: Ин-т компьютер, исслед., 2002.
  4. А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН. -1999, 193 с.
  5. Bellman R. Asymptotic series for the solutions of linear differencial-difference equations. // Rend. Circolo nat. Palermo, 7, 3(1958), 261 269.
  6. Bellman R. Dinamic programming approach to optimal inventory processs with delay in delivery. // Quart. Appl. Math., 18, 4(1961), 399−403.
  7. О. В. Линейные операторные уравнения с функциональными изменениями двух аргументов. // Вестник
  8. Иркутского Университета: Ежегодная научно-теоретическая конференция аспирантов и студентов, материалы. Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2007. с.96−98.
  9. А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Наука, 1998. — 288 с.
  10. М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956.
  11. М.М., Треногин В. А. Теория ветвлений решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969, 528 с.
  12. А.Б. Уравнение нейтрального типа с малым запаздыванием. // ДАН СССР, 145 3(1962), 768−786.
  13. А.Б. Уравнения нейтрального типа с малыми запаздываниями. / / Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, 2(1963), 50−67.
  14. А.Б. К вопросу об асимптотическом поведении решений нейтрального типа с малым запаздыванием. // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, 4(1967), 154−163.
  15. В. С. Обобщенные функции в математической физики. М: Наука, 1976.
  16. A.M. Общее решение линейного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом. // Научные доклады высшей школы физ.-мат. науки, 1(1959), 30−37.
  17. A.M. Теоремы существования и единственности для уравнений с отклоняющимся аргументом в критическом случае.
  18. Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, 1(1962), 37−46.
  19. A.M. Об определении понятия решения для уравнения с отклоняющимся аргументом нейтрального типа. / / Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, 4(1967), 278−283.
  20. Г. А. О существовании и единственности решения диффференциально-разностных уравнений нейтрального типа. // Учен. зап. МГУ, 181, математика 8(1956), 83−89.
  21. Г. А. Краевая задача для нелинейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом нейтрального типа. / / Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, 1(1962), 47−51.
  22. М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1964.
  23. А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим агрументом. М: Наука, 1972, — 352с.
  24. С. Б. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом // Учен. зап. МГУ, 181, математика 8(1956), 59−72.
  25. Poincare H. Sur les equations lineaires aux differentielles ordinaires et aux differences finies // Amer. J. Math. — 1885. — v. 7, p. 213−217- 237−258.
  26. H.A. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления.- Иркутск: Изд-во ИГУ, 1982 г. Гл. 4.
  27. Nikolay Sidorov, Boris Loginov and others Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. Kluwer Academic Publishers. — Dordrecht/Boston/London .- 2002, p.547.
  28. Сидоров H. A, Благодатская E.B. Дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшем дифференциальном выражении// СО АН СССР, Иркутский вычислительный центр, Препринт № 1, 1991, 35 с.
  29. Н.А., Сидоров Д. Н., Труфаиов А. В. Построение обобщенных решений нелинейных интегро-дифференциальных уравнений // Вестник МАГУ Математика. — 2005., № 8. — С. 123−138.
  30. II.А., Сидоров Д. Н., Труфаиов А. В. Существование и структура решений систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерры первого рода// Известия ИГУ, серия Математика. — 2007, том 1, — С. 267−274.
  31. N.A. Sidorov, D.N. Sidorov, A.V. Trufanov. Generalized solutions of nonluinear integral-functional equations // Nonlinear boundary problems journal, 16, 2006, p.96−106.
  32. Сидоров H. A, Романова О. А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождением // Дифференциальные уравнения, 1983. Т.19, № 9,-С.1516−1526.
  33. Н.А., Труфапов А. В. Структура решений линейных операторных уравнений с функциональным возмущением аргумента / / Труды Средневолжского Математического общества. 2006. — Т. 1, № 8. — С. 104−109.
  34. II.А., Труфанов А. В. Нелинейные операторные уравнения с функциональным возмущением аргумента нейтрального типа // Дифференциальные уравнения, 2009, том 45, № 12, С.1804−1808.
  35. Сидоров H. A, Фалалеев M.B. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной // Дифференциальные уравнения, 1987. Т.23, № 4,-0.726−728.
  36. А.Л. О колеблющихся решениях линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. Дифференциальные уравнения. Т.Н. 3. 1975. С. 462−469.
  37. Skubachevskii A.L. Elliptic functional differential equations and applications. Birkhauser, Basel. 1997. p.304.
  38. А.Л. Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением. Труды ММО. Т.59. 1998. С. 240−285.
  39. В.А. Функциональный анализ. — М, 1986.
  40. Тру фанов А. В. Структура решения функциональных уравнений с функциональным изменением аргумента // Улан-Удэ: Вестник БГУ, серия 13(«Математика и Информатика») вып. З 2006, 82−87 с. (в перечне ВАК 2006)
  41. А.В. Операторные уравнения с функциональными возмущениями аргумента // Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири: сб. науч. тр. Иркутск: Изд-во БГУЭП, 2005, с.240−249.
  42. А.В. Квазилинейные операторные уравнения с функциональными возмущениями нейтрального типа // Вестник
  43. Самарского Государственного технического университета. 2007, стр. 105 — 109.
  44. А. Периодические и почти-периодические решения систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. // Revue da mathematiques pures et appliquees. Acad. RPR, 4,4(1959), 685−691.
  45. А. Периодические решения линейных систем с запаздыванием // Revue da mathematiques pures et appliquees. Acad. RPR, 6,1(1961), 141−158.
  46. А. Теория устойчивости линейных периодических систем с запаздыванием. // Revue da mathematiques pures et appliquees. Acad. RPR, 4,4(1961), 633−653.
  47. A.H., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения, Киев: Наук, думка, 1986, — 280с.
  48. В.Н. Осцилляция решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- Киев: Наук, думка, 1978, — 154с.
  49. В.Б. Диссертационная работа на соискание степени д.ф.-м.н.
  50. Л.Э. Периодические решения квазилинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. // Труды III Всесоюзного матем. съезда 1956 года. АН ССР, 4(1959), 41.
  51. Л.Э. Качественные методы в математическом анализе. М.: Гостехиздат, 1955.
  52. Л.Э. О приближенном интегрировании дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. УМН, 6, 3(43)(1951), 130.
  53. Baron К., Ger R., Matkowski J. Analytic solutions of a system of functional equations // Pubis, math. 1975, vol.22, № 3−4, p.189−194.
  54. Smajdor W. Local analytic solutions of functional equations // Annal Pol on. math. 1967, vol.19, №, p.37−45.
  55. Smajdor W. Local analytic solutions of functional equations // Annal Polon. math. 1970, vol.24, p.39−43.
  56. A.N.Sidorov, D.N.Sidorov, A. V. Trufanov Generilized solution of integral-functional equations: construction and applications in power industry// PAMM Proc.Appl.Math.Mech. Willey-VCH Verlag GambH, volume 7, Issue 1, December 2007, p.1 040 805−1 040 806.
  57. A.N.Sidorov, D.N.Sidorov, A. V. Trufanov Generalized solution of integral-functional equations// The book of abstracts ICIAM-2007, Zurich, July 2007, p.334.
  58. А.N.Sidorov, D.N.Sidorov, А. V. Trufanov Construction of the generalized solution of nonlinear integral-functional equations// International Conference Nonlinear Equations, Alushta, September 17−25, 2005, Donetsk, p.96−97.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!