Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Групповой анализ линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений

Диссертация: Групповой анализ линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Выполненное групповое расслоение уравнений Ламе классической динамической теории упругости привело к эквивалентной им системе (R.L) линейных дифференциальных уравнений первого порядка, содержащей наименьшее число дополнительных функций и включающей в себя две классические системы математической физики: систему уравнений безвихревой акустики и систему уравнений Максвелла, что позволяет… Читать ещё >

Содержание

  • Глава 1. Структура точечных преобразований, допускаемых системой линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянным коэффициентами
    • 1. Определяющие уравнения и преобразования эквивалентности
    • 2. Условия X-автономности основной алгебры Ли
    • 1. Постановка задачи. Структура алгебраической системы
    • 2. Одномерный случай (п = Х)
    • 3. Многомерный случай (/7 > 1). Канонические системы
    • 4. Двумерный случай (/7 = 2). Критерии х-автономности основной алгебры Ли
    • 5. Многомерный случай (п > 1). Критерии х-автономности основной алгебры Ли
    • 6. (г, /) — пара. Необходимое условие не х — автономности основной алгебры Ли
    • 7. Групповое свойство исключительной системы
    • 8. Сводка результатов об х — автономности основной алгебры Ли системы линейных дифференциальных уравнении
    • 9. Квазилинейная система
    • 10. Примеры
    • 11. Обзор выполненного исследования X — автономности основной алгебры Ли системы линейных дифференциальных уравнений
    • 3. Свойство второй координаты операторов, допускаемых системой линейных уравнений
    • 1. Постановка задачи. Определяющие уравнения
    • 2. Одномерный случай (/7 = 1)
    • 3. Многомерный случай {п > 1). Система, основная алгебра Ли которой не х — автономна
    • 4. Многомерный случай {п > 1). Система, основная алгебра Ли которой х — автономна
      • 4. 1. Основная теорема. Критерий существования нелинейного отображения, матрица Якоби которого коммутирует с каждой матрицей из некоторого множества матриц
    • 1. Неприводимое множество Е
    • 2. Приводимое множество X
      • 2. 1. Многомерные факторы
      • 2. 2. Одномерные факторы
        • 2. 2. 1. Sph =
        • 2. 2. 2. Spl.*
      • 4. 2. Свойство второй координаты в многомерном случае [п > 1) .для системы, основная алгебра
  • Ли которой х — автономна
    • 5. Достаточные условия линейной автономности основной алгебры Ли
    • 6. Алгоритм исследования линейной автономности основной алгебры Ли
    • 7. Примеры
    • 8. Сводка результатов
    • 9. Обзор выполненного исследования свойства линейности второй координаты
  • Глава 2. Групповые свойства и законы сохранения квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка
    • 1. Касательные преобразования, допускаемые квазилинейными дифференциальными уравнениями второго порядка
    • 2. Точечные преобразования, допускаемые слабонелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка
    • 3. Законы сохранения первого порядка для слабонелинейных дифференциальных уравнений второго порядка
    • 4. Законы сохранения первого порядка для линейных дифференциальных уравнений второго порядка
    • 5. Классификация по законам сохранения первого порядка линейных гиперболических дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными
    • 1. Случай: h-k^
    • 2. Случай:. h-k =
    • 3. Инвариантная характеристика случаев расширения множества законов сохранения первого порядка
    • 6. Сводка результатов
  • Глава 3. Групповая классификация систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями двух переменных
    • 1. Постановка задачи
    • 2. Групповая классификация гиперболических систем
    • 1. Случай: а-Ьф
    • 2. Случай: а-Ь =
    • 3. Групповая классификация параболических систем
    • 4. Групповая классификация эллиптических систем
    • 5. Групповая классификация эллиптических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными
    • 6. Сводка результатов
  • Глава 4. Групповой анализ уравнений Ламе классической динамической теории упругости
    • 1. Групповое расслоение уравнений Ламе
    • 1. Основная группа
    • 2. Групповое расслоение
    • 2. Система (RL)
    • 3. Групповое свойство системы (RL)
    • 4. Классификация частично инвариантных решений системы (RL) и уравнений Ламе
    • 1. Оптимальная система подалгебр основной алгебры Ли
    • 2. Типы частично инвариантных решений системы [RL^j и уравнений Ламе
    • 3. Универсальные инварианты подгрупп основной группы G9 системы (RL) и уравнений Ламе
    • 4. Виды инвариантных решений
    • 5. Теорема о разложении инвариантных решений системы (RL^j
    • 6. Теорема о разложение инвариантных решений уравнений Ламе
    • 7. Примеры частично инвариантных решений
    • 1. Простые волны
    • 2. Плоский случай
    • 8. Дифференциальные связи
    • 9. Волны сдвига в трехмерной упругой среде
    • 1. Конформно-инвариантная система первого порядка, описывающая волны сдвига
    • 2. Комплексные переменные
    • 10. Сводка результатов
  • Глава 5. Групповой анализ уравнений Ламе классической статической теории упругости
    • 1. Групповое расслоение
    • 2. Решение автоморфной системы
    • 3. Групповое свойство разрешающей системы
    • 4. Преобразования Кельвина
    • 5. Комплексные переменные
    • 1. Комплексная система (RLS)
    • 2. Инвариантные решения системы (RLC)
    • 3. Простые волны системы (RLC)
    • 6. Двойные волны сдвига системы (RLS)
    • 7. Сводка результатов
  • Глава 6. Групповой анализ нелинейных вязкоупругих одномерных моделей Кельвина
    • 1. Групповая классификация
    • 1. Случай: Я^О
    • 2. Случай: Я =
    • 2. Инвариантные решения
    • 1. Я = 1- — произвольная функция, удовлетворяющая условиям: (J'{ux) > 0, <�У"(их) Ф
    • 2. Я = 1- <�т'(г/х) = ехрмд
    • 3. Я — 1- сг'{их) = и" {ОС — произвольное ненулевое вещественное число)
    • 3. Сводка результатов
  • Глава 7. Законы сохранения и групповые свойства уравнений гидродинамики и уравнений газовой динамики
    • 1. Теорема о порождающем законе сохранения для системы дифференциальных уравнений
    • 2. Законы сохранения и групповые свойства уравнений движения идеальной несжимаемой жидкости
    • 1. Общие уравнения
    • 2. Законы сохранения для уравнений Эйлера
    • 3. Законы сохранения для уравнений безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости
      • 3. 1. Случай: п>Ъ
      • 3. 2. Случай: п =
    • 4. Законы сохранения для уравнений потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости
    • 5. Естественные нелокальные переменные для уравнений Эйлера при п
    • 3. Законы сохранения и групповые свойства уравнений гаювой динамики
    • 1. Общие уравнения
    • 2. Законы сохранения для уравнений одномерного движения газа
    • 3. Законы сохранения для уравнений движения газа при п>
    • 4. Законы сохранения для уравнений безвихревого движения газа
    • 5. Законы сохранения для уравнений потенциального движения газа
      • 5. 1. Одномерный случай
      • 5. 2. Многомерный случай
    • 4. Законы сохранения и групповые свойства уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука
    • 1. Законы сохранения
    • 2. Групповое расслоение
    • 3. Лагранжевы переменные
    • 5. Законы сохранения и групповые свойства уравнений изэнтропического движения газа
    • 1. Общие уравнения
    • 2. Законы сохранения для уравнений одномерного изэнтропического движения газа
    • 3. Групповая классификация уравнений одномерного изэнтропического движения газа
    • 4. Групповые свойства и законы сохранения для уравнений изэнтропического движения газа при п >
    • 5. Законы сохранения для уравнений безвихревого изэнтропического движения газа
    • 6. Законы сохранения и групповые свойства уравнений потенциального изэнтропического движения газа
    • 6. Групповая классификация систем дифференциальных уравнений некоторых инвариантных подмоделей газовой динамики
    • 1. Групповая классификация фактористем эволюционных подмоделей
    • 2. Групповая классификация фактористем неэволюционных подмоделей
    • 7. Сводка результатов

Групповой анализ линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Во второй половине XIX в. норвежский математик Софус Ли начал систематически исследовать непрерывные группы преобразований, называемые теперь группами Ли. Теория групп Ли долгое время оставалась в стороне от возможных приложений к дифференциальным уравнениям математической физики. Начиная с середины прошлого столетия исследования, выполненные Л. В. Овсянниковым [82] - [123], его учениками и последователями [1] - [18], [35] - [60], [67], [69], [73] - [77], [124], [125], [129] - [135], [139], [143], [146], [154] - [185], [187] - [228], [233]. [234], [248], [253] показали, что методы теории групп Ли являются эффективным способом изучения структуры множества решений дифференциальных уравнений. В настоящее время это математическое направление получило название группового анализа дифференциальных уравнений. Основные понятия п алгоритмы современного группового анализа дифференциальных уравнений заинтересованный читатель может найти в известной книге Л. В. Овсянникова [101]. Следует отметить также книгу Н. Х. Ибрагимова [45] и книгу П. Олвера [124].

В настоящей диссертации приведены результаты, полученные автором в области группового анализа некоторых классов линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений математической физики.

Актуальность темы

обусловлена тем, что математические модели многих явлений реального мира формулируются в виде линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений. Информация о структуре операторов, допускаемых дифференциальным уравнением, и его законах сохранения существенно упрощает как отыскание этих операторов и законов сохранения, так и поиск решений данного уравнения. Групповая классификация и классификация дифференциальных уравнений по законам сохранения позволяют, в частности, выявить значения и формы экспериментально определяемых физических величин и зависимостей наиболее перспективных с точки зрения математического исследованияполучить новые физические величины, сохраняющиеся с течением времени.

Целью работы является решение следующих проблем: — Исследование проблемы линейной автономности основной алгебры Ли системы линейных дифференциальных уравнений, относящейся к индуцированному работой JI. В. Овсянникова [104] новому направлению исследований в области группового анализа дифференциальных уравнений.

— Изучение структуры касательных преобразований, допускаемых квазилинейными дифференциальными уравнениями второго порядка, точечных преобразований, допускаемых слабонелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка, законов сохранения первого порядка для слабонелинейных дифференциальных уравнений второго порядкаклассификация по законам сохранения первого порядка линейных дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

— Решение задачи групповой классификации систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями двух переменных.

Групповой анализ системы уравнений Ламе классической динамической и статической теории упругости. Групповое расслоение этих уравнений относительно бесконечной подгруппы, содержащейся в нормальном делителе их основной группы.

— Групповой анализ квазилинейного дифференциального уравнения третьего порядка, описывающего продольные колебания вязкоупругого стержня в модели Кельвина [136], [246], [247].

— Исследование вопроса о взаимосвязи между групповыми свойствами и законами сохранения для систем дифференциальных уравненийотыскание всех законов сохранения нулевого порядка для уравнении Эйлера движения идеальной несжимаемой жидкости, для уравнений движения газа, для уравнений изэнтропического движения газа (при этом во всех случаях рассматриваются также уравнения, описывающие соответствующие безвихревые движения, как с потенциалом вектора скорости, так и без этого потенциала). Выяснение групповой природы расширения множества законов сохранения для рассматриваемых систем дифференциальных уравнений.

— Исследование методами группового анализа одной из подмоделей газовой динамики, получившей несчастливый номер 13 в основополагающей работе [107], в которой JI.B. Овсянниковым было начато систематическое изучение подмоделей газовой динамики, а именно: системы уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука.

— Групповая классификация систем дифференциальных уравнений двадцати основных подмоделей уравнений газовой динамики (Программа «Подмодели», руководитель: академик JI.B. Овсянников). Отыскание случаев расширения основной группы этих систем по сравнению с соответствующим нормализатором.

Научная новизна и основные результаты, выносимые на защиту:

— Впервые получены необходимые и достаточные условия х-автономности основной алгебры Ли комплексной системы линейных дифференциальных уравнений, которые для комплексной квазилинейной системы становятся достаточными условиями х-автономности основной алгебры Ли.

— Впервые получены достаточные условия линейной автономности всех операторов, допускаемых системой линейных дифференциальных уравнений.

— Впервые предложен алгоритм исследования системы линейных дифференциальных уравнений относительно хавтономности и линейной автономности ее основной алгебры Ли.

— Впервые получены структурные теоремы: о касательных преобразованиях, допускаемых квазилинейными дифференциальными уравнениями второго порядка, о точечных преобразованиях, допускаемых слабонелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка, о законах сохранения первого порядка для слабонелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, о законах сохранения первого порядка для линейных дифференциальных уравнений второго порядкавыполнена классификация по законам сохранения первого порядка линейного гиперболического дифференциального уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.

— Впервые выполнена групповая классификация систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями двух переменных. Тем самым, решена в простейшем случае одна из задач группового анализа, поставленная JI.B. Овсянниковым [98]. Установлена связь между результатами групповой классификации систем и соответствующих дифференциальных уравнений второго порядка. Проведена групповая классификация линейного эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.

— Впервые выполнен групповой анализ системы уравнений Ламе классической динамической теории упругости. Найдена основная группа Ли v преобразований этой системы. Выполнено групповое расслоение уравнений Ламе относительно бесконечной подгруппы, содержащейся в нормальном делителе их основной группы. Разрешающая система (RL^J этого расслоения, включает в себя две классические системы математической физики: систему уравнений безвихревой акустики и систему уравнений Максвелла, что позволяет использовать более широкие группы для получения точных решений уравнений Ламе. Получена конформно-инвариантная система дифференциальных уравнений первого порядка, описывающая волны сдвига в трехмерной упругой среде, содержащая наименьшее число дополнительных функций. Комплексификация этой системы позволяет получить новые классы точных решений уравнений Ламе.

— Впервые выполнен групповой анализ системы пмерных (/2 >2) уравнений Ламе классической статической теории упругости. Найдена основная группа Ли преобразований этих уравнений. Выполнено групповое расслоение относительно бесконечной подгруппы из нормального делителя их основной группы. Получено общее решение автоморфной системы, которое являетсямерным аналогом формулы Колосова-Мусхелишвили. Разрешающая система в имеющих физический смысл двумерном и трехмерном случаях оказывается конформно-инвариантной, в то время как сами уравнения Ламе допускают лишь группу подобий евклидова пространства. В двумерном случае разрешающая система совпадает с системой Коши-Римана, что и позволяет успешно применять методы теории функций комплексной переменной в плоских задачах статической теории упругости. Структура разрешающей системы в трехмерном случае позволяет естественным образом ввести комплексные переменные. Полученная комплексная система дает возможность получать новые классы точных решений разрешающей системы, а, следовательно, и уравнений Ламе.

— Впервые выполнена групповая классификация квазилинейного дифференциального уравнения третьего порядка, описывающего продольные колебания вязкоупругого стержня в модели Кельвина [136], [246], [247] относительно произвольного элемента: напряжения и коэффициента вязкости. Указаны краевые задачи, для которых полученные решения могут служить в качестве тестовых решений.

— Предложен новый метод, названный методомоператоров, получения всех законов сохранения для системы дифференциальных уравнений. Эффективность метода Аоператоров показана на примерах уравнений гидродинамики и газовой динамики, для которых найдены новые законы сохранения. Установлено, с какими дополнительными свойствами симметрии рассматриваемых уравнений связаны эти законы сохранения.

— Впервые исследована методами группового анализа одна из подмоделей газовой динамики [107], а именно: система уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука. Специальный выбор массовых лагранжевых переменных позволяет привести пмерную (л > 2) систему уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука к эквивалентной ей редуцированной системе, содержащей (я—1) пространственных переменных, которая, в частности, при п — 2 с помощью комплексных зависимых и независимых переменных записывается в виде одномерного комплексного уравнения теплопроводности.

— Впервые проведена групповая классификация систем дифференциальных уравнений двадцати основных подмоделей уравнений газовой динамики (Программа «Подмодели», руководитель: академик Л.В. Овсянников). Найдены все случаи расширения основной группы каждой из этих систем по сравнению с соответствующим нормализатором.

Теоретическая и практическая ценность работы состоит в том, что ее результаты носят общий характер и могут быть использованы при аналитическом и численном исследовании различных задач математической физики, связанных с решением дифференциальных уравнений. В частности, значимость работы состоит в следующем:

— Предложенный алгоритм исследования системы линейных дифференциальных уравнений относительно хавтономности и линейной автономности ее основной алгебры Ли значительно упрощает отыскание основной алгебры Ли рассматриваемой системы.

— Структурные теоремы: о касательных преобразованиях, допускаемых квазилинейными дифференциальными уравнениями второго порядкао точечных преобразованиях, допускаемых слабонелинейными дифференциальными уравнениями второго порядкао законах сохранения первого порядка для слабонелинейных дифференциальных уравнений второго" порядкао законах сохранения первого порядка для линейных дифференциальных уравнений второго порядка — дают возможность получения информации о свойствах указанных объектов для рассматриваемых уравнений без непосредственных вычислений.

— Выполненная групповая классификация систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями двух переменных является решением одной из задач группового анализа, поставленной JT.B. Овсянниковым [98].

— Выполненное групповое расслоение уравнений Ламе классической динамической теории упругости привело к эквивалентной им системе (R.L) линейных дифференциальных уравнений первого порядка, содержащей наименьшее число дополнительных функций и включающей в себя две классические системы математической физики: систему уравнений безвихревой акустики и систему уравнений Максвелла, что позволяет использовать более широкие группы для получения точных решений уравнений Ламе. Найденный в плоском случае общий вид находящихся в инволюции систем, полученных добавлением к уравнениям системы одной или двух дифференциальных связей, уменьшает число параметрических производных, тем самым сужает произвол в решении этой системы, что упрощает отыскание ее точных решений. Полученная конформно-инвариантная система дифференциальных уравнений первого порядка, описывающая волны сдвига в трехмерной упругой среде, содержащая наименьшее число дополнительных функций позволяет получать новые классы точных решений уравнений Ламе.

— Выполненное групповое расслоение п-мерных (/7 >2) уравнений.

Ламе классической статической теории упругости позволило перейти от уравнений Ламе к равносильному им объединению двух систем первого порядка: автоморфной и разрешающей. Полученное общее решение автоморфной системы является пмерным аналогом формулы Колосова-Мусхелишвили. Разрешающая система в имеющих физический смысл двумерном и трехмерном случаях оказывается конформно-инвариантной, в то время как сами уравнения Ламе допускают лишь группу подобий евклидова пространства. Комплексификация разрешающей системы дает возможность получать новые классы точных решений уравнений Ламе.

— Полученные точные решения квазилинейного дифференциального уравнения третьего порядка, описывающего продольные колебания вязкоупругого стержня в модели Кельвина могут служить в качестве тестовых решений при численном решении соответствующих краевых задач для этого уравнения.

— Предложен новый метод, названный методом Аоператоров, получения всех законов сохранения для системы дифференциальных уравнений. Эффективность метода Аоператоров показана на примерах уравнений гидродинамики и газовой динамики, для которых найдены новые законы сохранения. Установлено, с какими дополнительными свойствами симметрии рассматриваемых уравнений связаны эти законы сохранения.

— Результаты группового анализа системы уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука могут быть использованы, например, при моделировании движения очень холодного газа или для описания движения газа перед фронтом очень сильной ударной волны.

— Выполненная групповая классификация систем дифференциальных уравнений двадцати основных подмоделей уравнений газовой динамики позволила выделить подмодели с более широкой, чем соответствующий нормализатор, основной группой. В частности получена групповая интерпретация известного преобразования Мунка и Прима [267], которое позволяет преобразовать любое непрерывное стационарное решение с уравнением состояния р — Ii^pS^ либо в изэнтропическое (S = const), либо в изодинамическое (В—const).

Методы исследования: в работе были использованы методы группового анализа дифференциальных уравнений, аналитические методы теории дифференциальных уравнений.

Достоверность полученных результатов определяется применением строгих математических методов, математическими доказательствами полученных формул, совпадением их для частых случаев с известными формулами, а также физической интерпретацией полученных закономерностей.

Апробация работы. Основные научные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных форумах:

— Школа-семинар «Математические методы в механике», посвященная 70-летию академика JL В. Овсянникова. (Новосибирск. Россия. 1989).

— «Sixth National Congress of Theoretical and Applied Mechanics» (Varna, Bulgarian Academy of Sciences. National Committee of Theoretical and Applied Mechanics. Bulgaria. 1989).

— Международный семинар «Современный групповой анализ» (International Workshop «Modern Group Analysis»). (Уфа. Россия. 1991).

— IV Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной матемашки и механики», посвященной памяти академика А. Ф. Сидорова. (Абрау — Дюрсо. Россия. 2008).

— Международная конференция «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвященная 100-летию со дня рождения Сергея Львовича Соболева. (Новосибирск. Россия. 2009).

— Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение», приуроченная к 90-летию академика Л. В. Овсянникова. (Новосибирск. Россия. 2009).

— Международная научная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», посвященная памяти академика А. А. Самарского в связи с 90-летием со дня его рождения. (Москва. МГУ им. М. В. Ломоносова, ИПМ РАН, ИММ РАН. Россия. 2009).

— International Conference «Modern Group Analysis (MOGRAN-13)». (Ufa, Russia. 2009).

— Всероссийская конференция «Математика в приложениях», приуроченная к 80-летию академика С. К. Годунова. (Новосибирск. Россия. 2009).

На различных стадиях выполнения работа обсуждалась на семинарах, руководимых ведущими учеными:

— Семинары под руководством академика JT. В. Овсянникова в Новосибирском государственном университете и в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН.

— Семинар «Математика в приложениях» под руководством академика С. К. Годунова в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

— Семинар под руководством члена — корреспондента РАН В. В. Пухначева в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН.

Публикация результатов. По теме диссертации опубликовано 37 работ, в том числе 1 монография. Из совместных публикаций (3 статьи и 2 тезисов докладов на конференциях) в диссертацию включены результаты, полученные непосредственно автором. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [198], [199], [202], [218] - [223J, изданных в журналах, входящих в Перечень ВАК РФ ведущих рецензируемых научных журналов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы из 272 наименований. Объем диссертации составляет 388 страниц.

Основные результаты диссертации таковы:

1. Получены необходимые и достаточные условия Xавтономности основной алгебры Ли комплексной системы линейных дифференциальных уравнений, которые для комплексной квазилинейной системы становятся достаточными условиями х-автономности основной алгебры Ли. Установлена х-автономность основной алгебры Ли некоторых систем уравнений механики.

2. Получены достаточные условия линейной автономности всех операторов, допускаемых системой линейных дифференциальных уравнений. Установлена линейная автономность основной алгебры Ли некоторых систем уравнений механики.

3. Предложен алгоритм исследования системы линейных дифференциальных уравнений относительно хавтономности и линейной автономности ее основной алгебры Ли.

4. Получены достаточные условия отсутствия касательных преобразований (их совпадения с продолженными точечными преобразованиями) для квазилинейного дифференциального уравнения второго порядкаприведен пример, показывающий, что эти условия, вообще говоря, нельзя существенно ослабить.

5. Получены достаточные условия линейной автономности операторов, допускаемых слабонелинейным дифференциальным уравнением второго порядка: приведен пример, показывающий, что их дальнейшее существенное ослабление, вообще говоря, невозможно.

6. Получены теоремы о структуре законов сохранения первого порядка для слабонелинейного дифференциального уравнения второго порядка, о структуре законов сохранения первого порядка для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

7. Выполнена классификация по законам сохранения первого порядка линейного гиперболического дифференциального уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными. Получена инвариантная характеристика (в терминах инвариантов Овсянникова) нетривиальных случаев расширения множества законов сохранения первого порядка для этого уравнения.

8. Выполнена групповая классификация систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями двух переменных. Тем самым, решена в простейшем случае одна из задач группового анализа, поставленная JI.B. Овсянниковым [98]. Установлена связь между результатами групповой классификации систем п соответствующих дифференциальных уравнений второго порядка. Проведена групповая классификация линейного эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.

9. Найдена основная группа Ли преобразований системы уравнений Ламе классической динамической теории упругости. Выполнено их групповое расслоение относительно некоторой бесконечной подгруппы, содержащейся в нормальном делителе основной группы. Разрешающая система (RL) этого расслоения, эквивалентная вместе с автоморфной системой уравнениям Ламе, оказывается эквивалентной (после переобозначения функций) этим уравнениям и без автоморфной системы и занимает особое место среди систем первого порядка, эквивалентных уравнения Ламе, а именно: она содержит наименьшее число дополнительных функций и является единственной 4 (с точностью до линейного невырожденного преобразования дополнительных функций) такой системой, эквивалентной уравнениям Ламе. Система (R?) допускает ту же самую основную группу Ли преобразований, что и уравнения Ламе, только действующую в другом пространстве. Эта система включает в себя две классические системы математической физики: систему уравнений безвихревой акустики и систему уравнений Максвелла, — что позволяет использовать более широкие группы для получения точных решений.

357 уравнений Ламе. Выполнена классификация частично инвариантных решений системы и уравнений Ламе. Для этого построена оптимальная система подгрупп их основной группы, указаны возможные виды их частично инвариантных решений. Исследована структура инвариантных и некоторых классов частично инвариантных решений системы (RL.

Доказана теорема о представлении ее инвариантных динамических решений в виде суммы инвариантных решений уравнений безвихревой акустики и инвариантных решений уравнений Максвелла. Анало1 ичная теорема установлена и для инвариантных динамических решений уравнений Ламе, которые, как оказалось, за исключением двух классов инвариантных решений, являются суммой инвариантных потенциальных и инвариантных солепоидальных решений этих уравнений. В плоском случае найден общий вид находящихся в инволюции систем, полученных добавлением к уравнениям системы (RL) одной или двух дифференциальных связей.

Получена линейная однородная симметрическая t-гиперболическая (по Фридрихсу) система дифференциальных уравнений первого порядка, описывающая волны сдвига в трехмерной упругой среде. Эта система содержит наименьшее число дополнительных функций и является конформно-инвариантной. Ее структура позволяет ввести комплексные зависимые и независимые переменные, что оказывается удобным для получения точных решений. Приведены примеры частично инвариантных решений.

10. Найдена основная группа Ли преобразований системы п-мерных {п> 2) уравнений Ламе классической статической теории упругости. Выполнено групповое расслоение этих уравнений относительно бесконечной подгруппы, содержащейся в нормальном делителе их основной группы. Это позволяет перейти от уравнений Ламе к эквивалентному объединению двух систем первого порядка: автоморфной и разрешающей. Получено общее решение автоморфной системы, которое является п мерным аналогом формулы Колосова — Мусхелишвили. Разрешающая система в имеющих физический смысл двумерном и трехмерном случаях оказывается конформно-инвариантной, в то время как сами уравнения Ламе допускают лишь группу подобий евклидова пространства. В двумерном случае разрешающая система совпадает с системой Коши — Римана, что и позволяет успешно применять методы теории функций комплексной переменной в плоских задачах статической теории упругости. В трехмерном случае следствием конформной инвариантности разрешающей системы является наличие для ее решений преобразований, аналогичных преобразованию Кельвина. Найден общий вид таких преобразований. При п = 3 структура разрешающей системы (RLS) (позволяет естественным образом ввести комплексные переменные. Полученная комплексная система (.RLC) удобна для построения классов точных решений системы (RLS). Выполнена классификация инвариантных решений системы (RLC). подгрупп группы, допускаемой системой (RLC). Найдены ее существенно различные инвариантные решения. С помощью этой системы получены специальные двойные волны системы (RLS). Найдены двойные волны системы (RLS) при сдвиговых деформациях упругой среды.

11. Выполнена групповая классификация квазилинейного дифференциального уравнения третьего порядка, описывающего продольные колебания вязкоупругого стержня в модели Кельвина [136], [246], [247], относительно произвольного элемента: напряжения и коэффициента вязкости. Для каждой из этих моделей найдены все наиболее интересные с точки зрения физических приложений существенно различные инвариантные решения рассматриваемого уравнения. Указаны краевые задачи, для которых полученные решения могут служить в качестве тестовых решений.

12. Доказана теорема о порождающем законе сохранения, которая стала основанием для алгоритма, названного методом Аоператоров,.

Построены оптимальные системы к — параметрических позволяющего получить все законы сохранения для системы дифференциальных уравнений из одного ее закона сохранения нулевого порядка, имеющего ранг, равный числу независимых переменных системы. Последнее условие является более слабым структурным ограничением для системы дифференциальных уравнений, чем существование лагранжиана.

13. Эффективность метода Аоператоров показана на примерах уравнений гидродинамики и газовой динамики. С помощью этого метода найдены все законы сохранения нулевого порядка для уравнений Эйлера движения идеальной несжимаемой жидкости, для уравнений движения газа, для уравнений изэнтропического движения газа. При этом во всех случаях рассматриваются также уравнения, описывающие соответствующие безвихревые движения, как с потенциалом вектора скорости, так и без этого потенциала. Для лучшей иллюстрации эффективности метода Аоператоров в качестве порождающих законов сохранения берутся различные законы сохранения. Для указанных систем дифференциальных уравнений найдены новые законы сохранения, как локальные, так и нелокальные.

14.Для уравнений газовой динамики в тех случаях, когда происходит расширение множества законов сохранения, выяснена групповая природа этого расширения либо с помощью групповой классификации этих уравнений (например, для уравнений одномерного изэнтропического движения газа), либо с помощью обобщенных симметрий первого порядка (для уравнений одномерного движения газа), либо с помощью операторов более общего вида (в частности, для обобщенного газа Чаплыгина).

15. Методами группового анализа исследована одна из подмоделей газовой динамики, а именно: система уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука. Эта подмодель получила несчастливый номер 13 в основополагающей работе [107], в которой JI.B. Овсянниковым было начато систематическое изучение подмоделей газовой динамики. Для системы уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука методом Аоператоров найдены все законы сохранения нулевого порядка. Выяснена групповая природа полученных законов сохранения. Выполнено групповое расслоение данной системы относительно бесконечного нормального делителя ее основной группы Ли преобразований. С помощью перехода к массовым лагранжевым переменным найдены нелокальные симметрии первого порядка для исходной системы. Специальный выбор массовых лагранжевых переменных позволяет привести /7-мерную (/7 > 2) систему уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука к эквивалентной ей редуцированной системе, содержащей (/7 — 1) пространственных переменных, которая, в частности, при /7 = 2 с помощью комплексных зависимых и независимых переменных записывается в виде одномерного комплексного уравнения теплопроводности.

16. Для системы уравнений изэнтропического движения газа выявлена особая роль газа Чаплыгина, как с групповой точки зрения, так и с точки зрения законов сохранения для этой системы.

17. Приведены результаты групповой классификации систем дифференциальных уравнений двадцати основных подмоделей уравнений газовой динамики, полученные автором в рамках программы «Подмодели» (руководитель: академик Л.В. Овсянников). Найдены все случаи расширения основной группы каждой из этих систем по сравнению с соответствующим нормализатором. В частности, такое расширение происходит для подмодели установившихся движений газа с уравнением состояния p — h{^pS). Расширяющий оператор имеет вид Z0=.

S, В) — произвольная функция энтропии 5 и функции Бернулли.

В = |и|" + 2/(/?7 р) (i (p, р) — удельная энтальпия). Оператор Хф, характеризует наличие двух важнейших интегралов для системы уравнений, описывающих установившиеся движения газа: интеграла энтропии и интеграла Бернулли.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Показать весь текст

Список литературы

  1. А.В. Симметрии линейных уравнений с частными производными и фундаментальные решения П УМН. 1991. Т. 49. Вып. 4. С. 143−144.
  2. А.В. Симметрии линейных уравнений с частными производными и фундаментальные решения // Докл. АН. 1995. Т.342. № 2. С. 151−153.
  3. А.В. Симметрии и фундаментальные решения многомерного обобщенного осесимметрического уравнения Лапласа // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31, № 10. С. 1697- 1700.
  4. А.В. Локальные и нелокальные симметрии. Точные решения уравнений абсолютно неустойчивых сред // УМН. 1996. Т. 51. Вып. 5. С. 223.
  5. А.В. Периодические инвариантные решения уравнений абсолютно неустойчивых сред // Известия АН. Механика твердого тела. 1997. № 2. С. 14 20.
  6. А.В. Инвариантные решения уравнений абсолютно неустойчивых сред // Известия АН. Механика твердого тела. 1998. № 1. С. 110−115.
  7. А.В. Периодические по пространственной переменной точные решения системы уравнений одномерной газовой динамики//УМН. 1998. Т. 53. Вып. 4. С. 198.
  8. А.В. Точные решения, описывающие изэнтропическое одномерное движение политропного газа // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. 1998. Т. 223. Вып. 4. С. 148- 152.
  9. А.В. Линейные дифференциальные соотношения между решениями класса уравнений Эйлера Пуассона — Дарбу // Известия АН. Механика твердого тела. 2001. Т. 63. № 1. С. 15 -20.
  10. А.В. Симметрии и соотношения между решениями класса уравнений Эйлера Пуассона — Дарбу // Докл. АН. 2001. Т.381. № 2. С. 176- 179.
  11. В.К., Бублик В. В., Бытев В. О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука. 2003.
  12. В.К., Капцов О. В., Пухначев В. В., Родионов А. А. Применение теоретико — групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: ВО Наука. 1994.
  13. В.К., Родионов А. А. Групповой анализ уравнений плоских течений идеальной жидкости в лагранжевых координатах // Докл. АН СССР. 1988. Т. 298. № 6. С. 1358−1361.
  14. В.К., Родионов А. А. Групповая классификация и точные решения уравнений плоского и вращательно-симметричного течения идеальной жидкости в лагранжевых координатах//Дифференциальные уравнения. 1988. № 9. С. 1577−1586.
  15. .Д., Бытев В. О., Сенашев С. И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Новосибирск: Наука. 1985.
  16. И.Ш., Газизов Р.К, Ибрагимов Н. Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход // Итоги пауки и техники. Серия: Современные проблемы математики. Новейшие достижения. 1989. Т. 34. С. 3−83.
  17. А.А. Группа Ли, допускаемая уравнениями движения идеальной несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды.
  18. Вып. 7. Новосибирск. 1971. С. 212−214.
  19. В.О. К задаче о редукции // Динамика сплошной среды. Вып. 5. Новосибирск. 1970. С. 146−148.
  20. Г. Теория групп и квантовая механика. М.: Наука. 1986.
  21. И.Н. О метагармонических функциях // Труды Тбилисского математического института АН Гр. ССР. 1943. № 12. С. 105−174.
  22. Винберг. Линейные представления групп. М.: Наука. 1985.
  23. A.M., Красильщик И. С., Лычагин В. В. Введение в теорию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1986.
  24. B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.
  25. И.И., Бабегико В. А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука. 1979.
  26. Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. 1967.
  27. И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука. 1971.
  28. С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1971.
  29. С.К., Роменский Е. И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Науч. Книга. 1998.
  30. А.Н. Симметрии сплошных сред. Успехимеханики. 2003. Т. 2. N 1. С. 126−183.
  31. И.С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука. 1971. 3 1. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир. 1964.
  32. .А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука. 1986.
  33. . Основы современного анализа. М.: Мир. 1964.
  34. Д.П., Штерн А. И. Представления групп Ли. М.: Наука. 1983.
  35. Н.Х. Групповые свойства некоторых дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. 1967.
  36. Н.Х. Групповые свойства волновых уравнений для частиц с нулевой массой //Докл. АН СССР. 1968. Т. 178. № 3. С. 566−568.
  37. Н.Х. К групповой классификации дифференциальных уравнений второго порядка // Докл. АН СССР. 1968. Т. 183. № 2. С. 174−177.
  38. Н.Х. Об инвариантности уравнений Дирака // Докл. АН СССР. 1969. Т. 185. № 6. С. 1225−1228.
  39. Н.Х. Группы обобщенных движений // Докл. АН СССР. 1969. Т. 187. № 1. С. 25−28.
  40. Н.Х. Инвариантные вариационные задачи и законы сохранения // Теоретическая и математическая физика. 1969. Т. 1.№ 3. С. 350−359.
  41. Н.Х. Группы Ли в некоторых вопросах математической физики. Новосибирск: НГУ. 1972.
  42. Н.Х. Законы сохранения в гидродинамике // Докл. АН СССР. 1973. Т. 210. № 6. С. 1307−1309.
  43. Н.Х. Группы Ли Беклунда и законы сохранения // Докл. АН СССР. 1976. Т. 230. № 1. С. 26−29.
  44. Н.Х. Тождество Нётер // Динамика сплошной среды. 1979. Вып. 38. Новосибирск. С. 26−32.
  45. Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. 1983.
  46. Н.Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Знание. 7/1991.
  47. Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике // УМН. 1992. Т. 47. Вып. 4(286). С. 83−144.
  48. Н.Х. Инварианты гиперболических уравнений: решение проблемы Лапласа // ПМТФ. 2004. Т. 45. № 2. С. 11−21.
  49. О.В. Расширение симметрий эволюционных уравнений //Докл. АН СССР. 1982. Т. 262. № 5. С. 1056−1059.
  50. О.В. Дифференциальные связи и определяющие уравнения//
  51. Вычислительные технологии. 2001. 6(2). С.334−337.
  52. О.В. Инволютивные распределения, инвариантные многообразия и определяющие уравнения V СМЖ. 2002. Т.43. № 3. С.539−551.
  53. Kaplsov О. V. and Verevkin I. V. Differential constraints and exact solutions of nonlinear diffusion equations // J. Phvs. A.: Math. Gen. 2003.36. P. 1401−1414.
  54. О.В. Инварианты характеристик систем уравнений с частными производными // СМЖ. 2004. Т.45. № 3. С. 577−591.
  55. Капцов О.В.. Заблуда А. В. Инварианты характеристик // Вестник ЮГУ. Физико-математические пауки. 2004. № 3. С. 57−61.
  56. Kaptsov О. V., Zahluda A. V. Characteristic invariants and Darboux’s method 11 J. Pliys. A: Math. Gen. 38 (2005). P. 31 333 144.
  57. Kaptsov O.V., V Schmidt A.V. Linear determining equations for differential constraints// Glasgow Math. J. 47A. 2005. P. 109−120.
  58. О. В. Ефремов PI.А. Инвариантные свойства модели дальнего турбулентного следа// Вычислительные технологии. 2005, т. 10 № 6, с. 45
  59. О.В. Применение преобразований Myiapa Дарб) к интегрированию дифферецалытых уравнений Препринт № 3. 2005. ИВМ СО РАН. С. 1−16.
  60. О.В. Инвариантные ген юры и дифференциальные уравнения с частными производными// СМ Ж. 2006. Т.47. №>2. С. 316−328.
  61. О.В. Эквивалентность линейных дифференциальных уравнений с частными производными и преобразования Эйлера-Дарбу// Вычислительные технологии. 2007. Т. 12. JNM. С. 59−72.
  62. А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.:Мир, 1971.
  63. А.И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука. 1986.
  64. Г. В. Применение комплексной переменной к теории упругости. М.: ОНТИ. 1935.
  65. О.А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука. 1973.
  66. Л.Д., Лившиц Е. М. Теория упругости. М.: Наука. 1987.
  67. Л.Д., Лившиц Е. М. Тидродинамика. М.: Наука. 1988.
  68. .В. Построение оптимальных систем подгрупп группы Ли преобразований, допускаемой уравнениями газовой динамики // Динамика сплошной среды. 1973. Вып. 7. Новосибирск. С. 12−24.
  69. Ляе А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ. 1935.
  70. Е.В. Инвариантные подмодели ранга два уравнений газовой динамики // ПТМФ. 1999. Т. 40. № 2.
  71. С. Б. Асимптотическая нормальная форма скобки Пуассона для одномерных моделей жидкости // Вестник Новосибирского госуниверситета. 2005. Т.5. Вып.4. С. 3−12.
  72. С. Б. Теорема Дарбу для распределенных гамильтоновых систем // Вестник Новосибирского госуниверситета. 2004. Т.4. Вып.1. С. 37—55.
  73. С. Б. Нормальные формы для градиентных систем с кососимметричной структурной матрицей // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8. № 6. С. 60- 69.
  74. С.В. О неизэнтропических стационарных пространственных и плоских нестационарных двойных волнах //ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 2. С. 255−260.
  75. С.В. Групповая классификация уравнений двумерных движений газа // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 4. С. 5662.
  76. С.В. Об одном классе частично инвариантных решений плоских течений газа // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 10. С. 1825−1827.
  77. С.В. Групповая классификация уравнений движения газа в постоянном поле сил // ПМТФ. 1996. Т. 37. № 1. С. 4247.
  78. В.М. К теории частично инвариантных решенийдифференциальных уравнений // 1972. Динамика сплошной среды. Вып. П. Новосибирск. С. 82—93.
  79. Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Изд-во АН СССР. 1954.
  80. В. Теория упругости. М.: Мир. 1975.
  81. В.В. Теория упругости. JL: Судпромгиз. 1958.
  82. JI.B. Новое решение уравнений гидродинамики // Докл. АН СССР. 1956. Т. 111. № 1. С. 47−49.
  83. Л.В. Группы и инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1958. Т. 118. № 3. С. 439−442.
  84. Л.В. Групповые свойства уравнения Нелинейной теплопроводности // Докл. АН СССР. 1959. Т. 125. № 3. С. 492−495.
  85. Л. В. Групповые свойства уравнения С.А.Чаплыгина // ПМТФ. 1960. № 3. С. 125−145.
  86. Л.В. Об отыскании группы линейного дифференциального уравнения второго порядка // Докл. АН СССР. 1960. Т. 132. № 1. С. 44−47.
  87. Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР. 1962.
  88. Л.В. О бесконечных группах отображений, задаваемых дифференциальными уравнениями // Докл. АН СССР. 1963. Т. 148. № 1. С. 36−39.
  89. Л.В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ. 1966.
  90. Л.В. Уравнения динамической конвекции моря. Препринт ИГиЛ СО АН СССР. Новосибирск. 1967.
  91. Л.В. Групповое расслоение уравнений пограничного слоя // Динамика сплошной среды. 1969. Вып. 1. Новосибирск. С. 24−35.
  92. Л.В. Частичная инвариантность // Докл. АН СССР. 1969. Т. 186. № 1. С. 22−25.
  93. Л.В. Групповое свойство определяющих уравнений // Динамика сплошной среды. 1971. Вып. 7. Новосибирск, С. 5−11.
  94. Л.В. Аналитические группы. Новосибирск: НГУ. 1972.
  95. Л.В. Групповые свойства уравнений механики // В кн.: Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука. 1972. С. 381−393.
  96. Л.В. К обоснованию теории мелкой воды // Динамика сплошной среды. 1973. Вып. 15. Новосибирск. С. 104−125.
  97. Л.В., Ибрагимов Н. Х. Групповой анализ дифференциальных уравнений механики // Итоги пауки и техники. Серия: Общая механика. 1974. Т. 2. С. 5−52.
  98. Л.В. Некоторые задачи, возникающие в групповом анализе дифференциальных уравнений // Динамика сплошной среды. 1974. Вып. 18. Новосибирск. С. 211- 238.
  99. Л.В. Введение в механику сплошных сред. Часть I. Новосибирск: НГУ. 1976.
  100. Л.В. Введение в механику сплошных сред. Часть И. Новосибирск: НГУ. 1977.
  101. Л.В. Групповой анализ дифференциальныхуравнений. М.: Наука. 1978.
  102. JI.B. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука. 1981.
  103. Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Новосибирск: Препринт ИГиЛ СО РАН. Новосибирск. 1992.
  104. Л.В. О свойстве х-автономпи // Докл. АН. 1993. Т. 330. № 5. С. 559−561.
  105. Л.В. Об оптимальных системах подалгебр // Докл. АН. 1993. Т. 333. № 6. С. 702−704.
  106. Л.В. Изобарические движения газа // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 10. С. 17 921 799.
  107. Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика //ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 4. С. 30−55.
  108. Л.В. Двойные звуковые волны // СМЖ. 1995. Т. 36. № 3. С. 611−618.
  109. Л.В. Особый вихрь // ПМТФ. 1995. Т. 36. № 3. С. 45−52.
  110. Л.В. Регулярные и нерегулярные частично инвариантные решения // Докл. АН. 1995. Т. 343. № 2. С. 156−159.
  111. Л.В. Инвариантные интегральные законы сохранения // Докл. АН. 1996. Т. 351. № 5. С. 559−602.
  112. Л.В. Регулярные типа (2, 1) подмодели уравнений газовой динамики//ПМТФ. 1996. Т. 37. № 2. С. 3−13.
  113. Л.В., Чупахин А. П. Регулярные частично инвариантные подмодели уравнений газовой динамики // ПММ. 1996. Т. 60. № 6. С. 990−999.
  114. Л.В. Каноническая форма инвариантныхподмоделей газовой динамики. Препринт № 3−97 ИГиЛ СО РАН. Новосибирск. 1997.
  115. Л.В. Групповая классификация подмоделей газовой динамики // Тр. Математического института им.
  116. B.А.Стеклова. 1998. Т. 223. С. 21−29.
  117. Л.В. Об иерархии инвариантных подмоделей дифференциальных уравнений // Докл. АН. 1998. Т. 361. № 6.1. C. 740−742.
  118. Л.В. Плоские течения газа с замкнутыми линиями тока//Докл. АН. 1998. Т. 361. № 1. С. 51−53.
  119. Л.В. Некоторые итоги выполнения программы «Подмодели» для уравнений газовой динамики // ПММ. 1999. Т. 63. № 3. С. 362−372.
  120. Л.В. О «простых» решениях уравнений газовой динамики политропного газа // ПМТФ. 1999. Т. 40. № 2. С. 5−12.
  121. Л.В. Газовый маятник // ПМТФ. 2000. Т. 41. № 5. С. 115−119.
  122. Л.В. О периодических движениях газа // ПММ. 2001. Т. 65. № 4. С. 567−577.
  123. Л.В. Симметрия барохронных движений газа // СМЖ. 2003. Т. 44. № 5. С. 1098−1109.
  124. Л.В. Групповая классификация уравнений вида у" = /(jc, у) II ПМТФ. 2004. Т. 45. № 2. С. 5−10.
  125. Олвер 77. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир. 1989.
  126. Ю.Н. Исследование некоторых инвариантных решений уравнений пограничного слоя // ЖВМиМФ. 1961. Т. 1. № 2. С. 280−294.
  127. JI.С. Непрерывные группы. М.: Наука. 1973.
  128. В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука. 1986.
  129. М.М. Линейная алгебра. М.: Наука. 1986.
  130. В.В. Групповые свойства уравнений Навье Стокса в плоском случае // ПМТФ. 1960. № 1. С. 83−90.
  131. В.В. Инвариантные решения уравнений Навье — Стокса, описывающие движения со свободной границей // Докл. АН СССР. 1972. Т. 202. № 2. С. 302−305.
  132. В.В. Неустановившиеся движения вязкой жидкости со свободной границей, описываемые частично инвариантными решениями уравнений Навье Стокса // Динамика сплошной среды. 1972. Вып. 12. Новосибирск. С. 131−146.
  133. В.В. Эволюционные уравнения и лагранжевы координаты // Динамика сплошной среды. 1985. Вып. 70. Новосибирск. С. 127−141.
  134. В.В. Преобразования эквивалентности и скрытая симметрия эволюционных уравнений // Докл. АН СССР. 1987. Т. 294. № 3. С. 535−538.
  135. В.В. Точные решения уравнений гидродинамики, построенные на основе частично инвариантных // ПМТФ. 2003. Т. 44. № 3. С. 18−25.
  136. В.В. Точные решения уравнений движения несжимаемой вязкоупругой среды Максвелла // ПМТФ. 2009. Т. 50. № 2. С. 16−23.
  137. Ф., Сёкефалъви-Надь Б. Лекции по функциональномуанализу. М.: Мир. 1979.
  138. .Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука. 1978.
  139. С.Р. Групповые свойства модели теплопереноса с учетом релаксации теплового потока. Препринт № 105 ИПМ АН СССР. М. 1988.
  140. Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука. 1970.
  141. Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука. 1970.
  142. СеррЖ.-П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир. 1969.
  143. А.Ф., Шапеев В. П., Яненко Н. Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука. 1984.
  144. И.Н., Бери Д. С. Классическая теория упругости. М.: ГИФМЛ. 1961.
  145. М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966.
  146. Ю.Ф. Об одном групповом свойстве систем дифференциальных уравнений // Динамика сплошной среды. 1971. Вып. 6. Новосибирск. С. 201−207.
  147. С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск: НГУ. 1973.
  148. А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1972.
  149. К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир. 1975.
  150. Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977.
  151. Э. Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. II. М.: Наука. 1963.
  152. С.П. Метод внешних форм Картана. М.- Л.: Гостехиздат, 1948.
  153. Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. Л.- М.: ОНТИ. 1937.
  154. В.И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений квантовой механики. М.: Наука. 1990.
  155. С.В. Одно инвариантное решение уравнений мелкой воды // Динамика сплошной среды. 1969. Вып. 3. Новосибирск. С. 82−90.
  156. С.В. Бесконечные непрерывные группы преобразований трехмерного пространства, задаваемые системами дифференциальных уравнений первого порядка // Динамика сплошной среды. 1972. Вып. 12. Новосибирск. С. 131−146.
  157. С.В. О структуре псевдогруппы, допускаемой уравнениями идеальной несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. 1976. Вып. 24. Новосибирск. С. 105−115.
  158. С.В. Нестационарное инвариантное решение уравнений газовой динамики, описывающее растекание газа до вакуума//ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 6. С. 967−975.
  159. С.В. Квазилинейные параболические уравнения, допускающие бесконечные алгебры Ли Бэклунда // Математические заметки. 1990. Т. 47. Вып. 1. С. 168−170.
  160. С.В. Применение контактных преобразований неоднородного уравнения Монжа — Ампера в одномерной газовой динамике // Докл. АН СССР. 1990. Т. 310. № 2. С. 333−336.
  161. С.В. К анализу инвариантных подмоделей ранга три уравнений газовой динамики // Докл. АН. 1995. Т. 341. № 6. С. 764.766.
  162. С.В. Подмодель винтовых движений в газовой динамике//ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 1. С. 53−65.
  163. С.В. Винтовые движения в газовой динамике с давлением и плотностью, зависящими только от времени // Математические заметки. 1996. Т. 59. Вып. 1. С. 133−141.
  164. С.В. Подмодель вращательных движений газа в однородном поле сил // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 2. С. 263 271.
  165. С.В. Подмодель вращательных движений в газовой динамике // ПМТФ. 1998. Т.39. № 6. С. 37−45.
  166. S.V. Khabirov. Submodels of gasdynamics, Inter-disciplinary workshops symmetry analysis and mathematical modeling. Mmabatho-Pretoria. 1998. P. 76−85.
  167. S.V. Khabirov, G. Unal. Submodels of isotropic turbulence. Interdisciplinary workshops symmetry analysis and mathematical modeling. Mmabatho-Pretoria. 1998. P. 86−93.
  168. С.В. Течения газа по спиральным поверхностям уровня // ПМТФ. 1999. Т.40. № 2. С. 34−39.
  169. S.V. Khabirov. Submodels of the Spiral Stationary Motion in Gras Dynamics. Modern Group Analysis VII. Mars Publishers, Symmetry Foundation. 1999. Thondheim, Norway. P. 181−187.
  170. С.В. Приведение инвариантной подмодели газовой динамики к каноническому виду // Математические заметки.1999. Т. 66, Вып. 3. С. 439- 444.
  171. S.V. Khabirov. Optimal systems of symmetry subalgebras for big models of gasdynamics // Quastions Mathematicae. 2001. Volume 24, Number 2. P. 133−146.
  172. S.V. Khabirov, G. Unal. Group analysis of the von Karman -Howarth equation. Part II. Phisical invariant solution // Elseiver. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 7(2002). P. 19−30.
  173. С.В. Нерегулярные частично инвариантные решения ранга 2 дефекта 1 уравнений газовой динамики // СМЖ. 2002. Т. 43. № 5. С. 1168−1181.
  174. С.В. Течения газа со спиральными и винтовыми линиями уровня // ПМТФ. 2002. Т. 43. № 6. С. 32−38.
  175. S.V. Khabirov. Optimal systems of symmetry subalgebras for big models of gasdynamics // Selsuk Journal of Appliid Mathematics. 2002. Vol. 3, № 2. p. 65−80.
  176. S.V. Khabirov. Definition of the differential invariant submodels and an example of its classification // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. Elseiver. 9(2004). P. 473−480.
  177. С.В. Непрерывное радиальное ограниченное движение газа под действием поршня // ПМТФ. 2004. Т. 45. № 2. С. 124−135.
  178. С.В. Классификация дифференциально инвариантных подмоделей // СМЖ. 2004. Т. 45. № 3. С. 682−701.
  179. С.В. Задача Гурса о непрерывном сопряжении радиальных прямолинейных движений газа // Математические заметки. 2006. Т.79, Вып.4. С. 601−606.
  180. С.В. Моделирование схождения сферической ударнойволны по теплопроводному газу // Сибирский журнал индустриальной математики. Том X. № 1(29). 2007. С. 140−152.
  181. С.В. Частично инвариантные решения для подмодели радиальных движений газа // ПМТФ. 2007. Т. 48, № 5. С. 2634.
  182. С.В. Непрерывное сопряжение специальных неизэнтропических одномерных движений газа // Труды института математики и механики УрО РАН. Т. 14, № 1. 2008. С. 22−30.
  183. С.В. Галилеево-инвариантная осесимметричная автомодельная подмодель газовой динамики без закрутки // ПМТФ. 2009. Т. 50, № 2. С. 46−52.
  184. Р.С. Структура группы и базис законов сохранения // Теоретическая и математическая физика. 1982. Т. 52. № 2. С. 244−251.
  185. Ю.А. Групповое свойство уравнений Ламе // Динамика сплошной среды. 1973. Вып. 14. Новосибирск. С. 138−140.
  186. Ю.А. Групповой анализ уравнений Ламе // Динамика сплошной среды. 1975. Вып. 23. Новосибирск. С. 219−225.
  187. Ю.А. О линейных дифференциальных уравнениях второго порядка, допускающих группу максимальной размерности // Динамика сплошной среды. 1976. Вып. 24. Новосибирск. С. 124−137.
  188. Ю.А. О групповых свойствах уравнения Дарбу // Динамика сплошной среды. 1976. Вып. 27. Новосибирск. С. 101−115.
  189. Ю.А. О построении методами группового анализа обобщенных формул Пуассона // Динамика сплошной среды. 1979. Вып. 39. Новосибирск. С. 135−151.
  190. Ю.А. Установившиеся колебания в неоднородном полупространстве при наличии гиперплоскости вырождения // Динамика сплошной среды. 1983. Вып. 63. Новосибирск. С. 94−106.
  191. Ю.А. Нелинейные вязкоупругие одномерные модели Кельвина // Динамика сплошной ' среды. 1984. Вып. 64. Новосибирск. С. 121−131.
  192. Ю.А. Групповая классификация одного класса систем квазилинейных уравнений // Динамика сплошной среды. 1984. Вып. 67. Новосибирск. С. 135−144.
  193. Ю.А. Инвариантные продольные колебания вязко-упругого стержня // Динамика сплошной среды. 1985. Вып. 71. Новосибирск. С. 144−155.
  194. Ю.А. Об условиях единственности решения уравнения колебаний в неоднородной среде с максимальной симметрией // Динамика сплошной среды. 1986. Вып. 75. Новосибирск. С. 151−159.
  195. В.Ю., Чиркунов Ю. А. Конформная инвариантность в эластостатике // Динамика сплошной среды. 1987.Вып. 82. Новосибирск. С. 110−120.
  196. В.Ю., Чиркунов Ю. А. Групповое расслоение уравнений Ламе // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 3. С. 471177.
  197. В.Ю., Чиркунов Ю. А. Групповые свойства уравнений классической теории упругости // Докл. АН СССР. 1988. Т. 302. № 6. С. 1353−1356.
  198. В.Ю., Чиркунов Ю. А. Групповые свойства уравнений теории упругости // В кн.: Математические методы в механике. Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР. 1989. С. 38.
  199. Ю.А. Групповая классификация систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями двух переменных // Докл. АН СССР. 1990. Т. 314. № 1. С. 155−159.
  200. В.Ю., Чиркунов Ю. А. Законы сохранения для уравнений гидродинамики и газовой динамики // Международный семинар «Современный групповой анализ». Уфа. 1991. С. 28−29.
  201. Ю.А. Об одной конформно-инвариантной системе первого порядка, равносильной волновому уравнению // СМЖ. Депонирована в ВИНИТИ за № 1604-В91 от 15.04. 1991 г. 15 с.
  202. Ю.А. Законы сохранения уравнений гидродинамики // Применение математических методов в исследовании динамических процессов. Новосибирск: НГАЭУ, 2002. С. 125 131.
  203. Ю.А. Законы сохранения безвихревого движения идеального газа // Применение математических методов в исследовании динамических процессов. Новосибирск: НГАЭУ, 2002. С. 132−138.
  204. Ю.А. Групповая классификация уравнений одномерного изэнтропического движения газа I! Применениематематических методов в исследовании динамических процессов. Новосибирск: НГАЭУ. 2002. С. 139−142.
  205. Ю.А. Групповые свойства уравнений голоморфного вектора // Применение математических методов в исследовании динамических процессов. Новосибирск: НГАЭУ, 2002. С. 143−147.
  206. Ю.А. Групповое свойство обобщенных уравнении Коши — Римана // Математические методы в прикладных исследованиях. Новосибирск: НГАЭУ, 2003. С. 166−169.
  207. Ю.А. Групповой анализ линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Новосибирский государственный университет экономики и управления. 2007.
  208. Ю.А. Законы сохранения для уравнений газовой динамики //Всероссийская конференция «Математика в приложениях», приуроченная к 80-летию академика С. К. Годунова. Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН. 2009. С. 269−270.
  209. Chirkunov Yu.A. On the structure of point transformations, admitted by system of linear differential equations // International Conference «Modern Group Analysis (MOGRAN-13)». Ufa, Russia. 2009. P. 36.
  210. Ю.А. Метод А-операторов и законы сохранения для уравнений газовой динамики // ПМТФ. 2009. Т. 50. № 2. С. 5360.
  211. Ю.А. О групповых свойствах и законах сохранения для квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка // ПМТФ. 2009. Т. 50. № 3. С. 64−70.
  212. Ю.А. Системы линейных дифференциальных уравнений, симметричные относительно преобразований, нелинейных по функции // СМЖ. 2009. Т. 50. № 3. С. 680−686.
  213. Ю.А. Условия линейной автономности основной алгебры Ли системы линейных дифференциальных уравнений // Докл. АН. 2009. Т. 426. № 5. С. 605−607.
  214. Ю.А. Групповое расслоение уравнений Ламе классической динамической теории упругости // Известия АН. Механика твердого тела. 2009. № 3. С. 47−54.
  215. Ю.А. Законы сохранения и групповые свойства уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 4. С. 587−593.
  216. А.П. Нелинейные конформно-инвариантные уравнения в пространстве V4 с нетривиальной конформной группой // Динамика сплошной среды. Вып. 25. Новосибирск. 1976. С. 122−152.
  217. А.П. О барохронных движениях газа // Докл. РАН. 1997. Т. 352. № 5. С. 624−626.
  218. А.П. Барохронные движения газа. Общие свойства и подмодели типов (1, 2) и (1, 1). Новосибирск: Препринт ИГиЛ СО РАН № 4- 98. Новосибирск. 1998.
  219. А.П. Не барохронные подмодели типов (1, 2) и (1, 1) уравнений газовой динамики. Препринт ИГиЛ СО РАН № 5−98. Новосибирск. 1998.
  220. Ю.И. Метод дифференциального приближения. Новосибирск: Наука. 1979.
  221. Л.П. Непрерывные группы. М.: ИЛ. 1947.
  222. Л.П. Риманова геометрия. М.: ИЛ. 1948.
  223. А.И. Задача о наклонной производной теории потенциала. Новосибирск: Наука. 1985.
  224. Ames W.F. Nonlinear partial differential equations in ehgineering. New York London< Acad. Press, 1965. — Vol. 1- 1972. — Vol. 2.
  225. Anderson R.L., Kumei S. Wulfman C.E. Generalisation of the Concept of Invariance of Differential Equations. Results of Applications to Some Schrodinger Equations. Phys. Rev. Letters, 1972, 28, № 15,988−991.
  226. Andreev V.K., Kaptsov O.V., Pukhnachov V.V., Rodionov A.A. Applications of Group-Theoretical Methods in Hydrodynamics. -Netherlads. Kliver Academic Publishers. 1998. -396 p.
  227. Birkhoff G. Analytical Groups Trans. Amer. Math. Soc., 1938, 43, № 1, 61−101.
  228. Birkhoff G. Hydrodynamics. Princeton, New Jersey, Princenton University Press, 1960 / Перевод Биркхоф Г. Гидродинамика. М.: Ил. 1963.
  229. Birkhoff G. Dimensional analysis of partial differential equations. Electrical Engineering, 1948, 67, 1185−1188.
  230. Bluman G.W., Cole J.D. The general similarity of the heat equation. J. Math. And Mech., 1969, 18, № 11, 1025−1042.
  231. Buckingham E. Model experiments and the forms of empirical equations. Trans. Amer. Soc. Mech. Tbg., 1915, 37, 263−296.
  232. Cahdotti E., Palmieri C., Vitale D. On the Inversion of Noether’s Theiorem in the Lagrangian Formalism. Nuovo Cimento, 1970, 70 A, 233−246.
  233. Cartan E. Sur la structure des groupes infmis de transformation. CEUVRES, Partie 2, v. 2, Paris, 1953, 571−714.
  234. Cole J.D. Perturbation Methods in Applied Mathematics. Toronto -London, 1968 / Пер. Дж. Коул. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир. 1972.
  235. Delsarte J. Les groupes de transformations lindares dans l’espace de Hilbert. Memorial Г Academe Sci. Paris. Fash. LVII, Paris, 1932, 1−60.
  236. Dikson L.E. Differential equations from group standpoint. Ann. Of Math., ser. 2, 1924, 25, 287−378.
  237. Germain P., Liger M. Une nouvelle approximation pour Гё1ис1е des ecoulement subsoniques et transsoniques. C.R. Acad. Sci. Paris, 1952, № 234, 1846−1848.
  238. Greenderg J.M., MacCamy R.C., Mizel V.J. On the Existence, Uniqueness, and Stability of Solutions of the Equation
  239. S'{ux ^ju^ + Лихх = pQUtr Journal of Mathematics and Mechanics. 1968. V. 17, № 7. P. 707−728.
  240. Greenberg J.M. On the Existence, Uniqueness, and Stability of Solutions of the Equation p0X, t =E (Xx)Xvv +A%xxl. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 25. 1969. P. 575−591.
  241. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations. Edited by N.H. Ibragimov. CRC Press. USA :
  242. Vol. 1. Symmetries, exact solutions, and conservation laws. 1994. 429 p.
  243. Vol. 2. Applications in engineering and physical sciences. 1995.546 р.
  244. Vol. 3. New trends in theoretical developments and Computational methods. 1996. 536 p.
  245. Harrison B.K., Estabrook F.B. Geometric approach to invariance groups and solutin of partial differential systems. J. Math. Phys. 1971. 12. № 4. P. 653−666.
  246. Indnii T. Contraction of Lie Groups and their Representations. Group Theoretical Concepts and Methods in Elementary Particle Phesics. Lectures of the Istanbul Summer School of Theor. Phys., Ankara, Turkey, 1962.
  247. Indnii Т., Wigner E.P. On the Contraction of Groups and their Rapresentations. Proc. Nat. Acad. Sci. (USA), 1953, 39, № 6, 510 524.
  248. Killing W. Ueber die Grundlagen der Geometrie. J. Reine und Angew. Math. (Crelle), 1892, 108, 121−186.
  249. Kucharczyk P. Teotia grup Liego w zastosowaniu do rownan rozniczkoeych czastkwych. Warxzawa, Inst. Podstawowych Problemow Techniki Polckiej Akad. Nauk, 1967.
  250. Kurasishi M. On the local theory of continuous infinite pseudo-groups, I, II, Nagoea Math., J., 1959, 15,225−260- 1960, 19,55−91.
  251. Lie S. Uber die Integration durch bestimmte Integrale von einer Klasse linearer partiellen Differentialgleichungen. Arch. Fur Math., 1881, 6, Helt 3,328−368.
  252. Lie S. Classification und Integration von gewohnlichen Differentialgleischungen zwichen x, y, die eine Gruppe von Transformationen gestaten. Archiv for Math. Og Naturv., Christiania, 1883,9,371−393.
  253. Lie S. Uber Differentialinvariaten. Math. Ann., 1884, 24, 52−89.
  254. Lie S. Allgemeine Untersuchungen uber Differentialgleichungen die eine continuirliche, endliche Gruppe gestatten. Math. Ann. 1885, 25, Heft- 71−151.
  255. Lie S. Untersuchungen uber undenliche Kontinuirliche Gruppen. Ber. Sachs., 1895, 21, 43−150.
  256. Lie S. Engel F Theorie der Transformatiosgruppen, Bd. 1, 2, 3. Leipzig, Teubner, 1888, 1890, 1893.
  257. Medolaghi P. Sulla Theoria dei gruppi infmiti continui. Annali di Matematica, 1897, 25, 179−217.
  258. Medolaghi P. Classificazione delle equationi alle derivate parziali del secondo ordine, che ammetono un gruppo infmito di transformationi puntali, Annali di Mai. Рига Appl. Ser. IIIй, 1898, 1, 229−263.
  259. Michal A.D. Differential invariants and invariant partial differential equations under continuous transformation groups in normed linear spaces. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1951, 37, № 9, 623−627.
  260. Morgan A.J.A. The reduction be one of the number of independent variables in some systems of partial differential equations. Quart, J. Math. Oxford (2), 1952, 3, № 12, 250−259.
  261. Morgan A.J.A. On the construction of constitute equations for continuous media. Arch. Mechaniki Stosowanej, 1965, 17, № 1, 145−174.
  262. Munk М., Prim R. On the multiplicity of steady gas flows having the same streamline pattern // Proc. «Nat. Acad. Sci. USA, 1947. -V. 33.-P. 137−141.
  263. Noether E. Invariante VariationsprobJeme. Kgl. Ges. Wiss., Nachr., Gottingen, Math.-Phys. Kl., 1918. P 235−257/ Перевод в сб. Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз. 1959. С. 611−630.
  264. Pauli W. On the Conservation of the Lepton Charge. Nuovo Cimento, 1957, 6, № 1, 204−214.
  265. Penrose R. Conformal Treatment of Infinity. Relativity, groups and topology the 1963 Les Houches Lectures, New York, 1964< 565 593 / Перевод в сб. Гравитация и топология. М.: Мир 1966. С. 152−181.
  266. Rogers С. The Construction of Invariant Transformations in Plane Rotatoinal Gasdynamics. Archive Rat. Mech. Anal. 1972, 27, № 1, 36−46.
  267. Truesdell C. A First Course in Rational Mechanics of Continua. New York London, 1972.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!