Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Министерство высшего и среднего специального образования Республики Узбекистан Ташкентский институт текстильной и легкой промышленности Удк 516.517

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Методические указания Ташкент-2010

Аннотация Методическое указание написано в виде справочника, приведены план работы, каждый раздел содержит краткие теоретические введения, решения типовых примеров и задачи для самостоятельного решения. Цель методического указания помочь студентам самостоятельно решать задачи, может оказаться полезной и лицам, желающим повторить элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

СОСТАВИТЕЛЬ Доцент кандидат физ .- матем. наук М. М. Сайдаматов РЕЦЕНЗЕНТЫ ТИТЛП проф. А. З. Маматов, НУУз проф. Б. Атажанов Утверждено научно;

методическим советом института

«_12__"___03____ 2010 г.

Протокол № _4___

Размножено в «_25__»

экземплярах в типографии ТИТЛП

РАЗДЕЛ 1. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Основные формулы

1. Расстояние d между двумя точками М1(Х1 У1) и М2 (Х1 У2) определяются по формуле

d=М1М2= /1.1/

2.Деление отрезка М1М2 в данном отношении.

Точка М делит отрезок М1М2 в отношении, если М лежит на отрезке или на его продолжении и

=, /1.2/

причем перед дробью берется знак «плюс», если точка М лежит между М1 и М2, и знак «минус» — в противном случае. Если дано отношение, то координаты точек М (х, у) определяются по формулам

/1.3/

Если точка М (х, у) является серединой отрезка М1М2, то ее координаты определяются по формулам

/1.4/

3. Общее уравнение прямой Ах+Ву+С=0 /1.5/

При В 0 из /1.5/ получается уравнение у=кх+в, где угловой коэффициент, свободный член .

4. Уравнение прямой по точке М0(х0,у0) и угловому коэффициенту К:

у-у0=к (х-х0) /1.6/

к=tg

5. Уравнение прямой, проходящие через две точки: М1(х1,у1) и М2(х2,у2):

/1.7/

Угловой коэффициент прямой равен

/1.8/

6. Углом между двумя прямыми называется наименьший из углови1

Тангенс угла между прямой с угловым коэффициентами К1 и К2 равен

/1.9/

7. Условие параллельности двух прямых с угловыми коэффициентами К1 и К2 ,

К1=К2 /1.10/

8. Условие перпендикулярности двух прямых с угловыми коэффициентами К1 и К2

/1.11/

9. Расстояние от точки М1(х1,у1) до прямой ax+by+c=0 вычисляется по формуле

/1.12/

ПРИМЕРЫ

1.Дана прямая 2х-3у+3=0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0(1,1):

а) параллельно данной прямой;

б) перпендикулярно данной прямой.

Решение.

а) Определим угловой коэффициент К1 из уравнения данной прямой Из условия параллельности прямых — см. формулу /1.10/ получаем угловой коэффициент искомой прямой По точке М0 и угловому коэффициенту К2 составляем уравнение — см. формулу /1.6/

б) Из условия перпендикулярности прямых — см. формулу /1.11/ определим угловой коэффициент искомой прямой По формуле /1.6/ составляем уравнение перпендикулярной прямой или Ответ: а) 2х-3у+1=0;

б) 3х+2у-5=0

2. Найти проекцию точки Р ()2,1) на прямой, проходящую через две точки: М1(1,-1) и М2(2,0).

Решение. Проекция Р1 является точкой пересечения данной прямой М1М2 и перпендикулярной прямой РР1.

а) Составим уравнение прямой М1М2 см. формулу /1.7/

или Из этого уравнения определим угловой коэффициент: К1=1.

б) Из условия перпендикулярности прямых см. формулу /1.11/ найдем угловой коэффициент прямой РР1:

в) составим уравнение прямой РР1 по формуле /1.6/

или г) найдем координаты проекции Р1, решая совместно два уравнения Ответ:

3. Найти точку Q, симметричную точке Р (5,-2) относительно прямой 5х-3у+3=0

Решение. Точка Q лежит на продолжении перпендикуляра РР1, опущенного из точки Р на прямую, на таком же расстоянии от прямой, что и точка Р. Поэтому точка Q делит отрезок РР1 в отношении

.

А) найдем координаты проекции Р1 (см. решение примера 2). Определим угловой коэффициент К1 данной прямой

.

Тогда угловой коэффициент К2 прямой PQ равен — см. формулу /1.11/

;

Уравнение прямой PQ имеет вид — см. формулу /1.6/

или

.

Координаты точки P1 находим при совместном решении двух уравнений б) Находим координаты симметричной точки по формулам /1.3/:

.

Ответ: Q (-5,4).

4. Зная координаты вершин треугольника А (2,4), В (-1,3) и С (2,-1) найти:

а) уравнение и длину высоты АН;

б) уравнение медианы ВМ в) угол В.

Решение. а) составим уравнение прямой ВС по формуле /1.7/:

или

4х+3у-5=0

Из уравнения ВС определим угловой коэффициент:

угловой коэффициент высоты АН найдем по формуле /1.11/:

Составим уравнение прямой АН по формуле /1.6/:

или

3х-4у+10=0

Расстояние от точки, А до стороны ВС получим по формуле /1.12/:

б) Найдем координаты точки М по формулам /1.7/:

.

Составим уравнение медианы ВМ по формуле /1.7/:

или

х+2н-5=0

в) Угловой коэффициент прямой АВ определим по формуле /1.8/:

Угол В вычисляем по формуле /1.9/:

Ответ: а) АН: 3х-4у+100=0,

б) ВМ: х+2у-5=0

в)

5. Даны вершины треугольника А (4,6), В (-4,0) и С (-1,-4).

Составим уравнение биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине В.

Решение. а) Из школьного курса геометрии известно, что биссектриса ВК делит сторону АС в отношении Определим длины сторон АВ и ВС по формуле /1.1/:

;. Тогда

б) Координаты точки К вычислим по формулам /1.3/:

.

в)Составим уравнение биссектрисы ВК по формуле /1.7/:

или х+7у+4=0

г) биссектриса BL перпендикулярна ВК, следовательно, угловой коэффициент КBL находим по формуле /1.11/:

.

д) Составим уравнение биссектрисы BL по формуле /1.6/:

у-0=7(х+4)

или

7х-у+2В=0

Ответ: ВК: х+7у+4=0, BL: 7x-y+2B=0.

Самостоятельная работа

1. Построить прямую, отсекающую на оси Оу отрезок и составляющую с осью Ох угол: .

2. Дан треугольник с вершинами А (-2, 0), B (2,4), и С (4,0). Написать уравнения сторон треугольника, медианы AE, высоты AD и найти длину медианы AE.

3. Определить вершины и углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями х+3у=0, х=3, х-2у+3=0.

4. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми у=2х, у=-2х и у=х+b.

РАЗДЕЛ 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

№ 1. Векторы. Линейные операции над векторами. Основные понятия и определения

1. Вектором называется величина, которая характеризуется числовым значением и направлением в пространстве.

Геометрически вектор изображается отрезком определенной длины и определенного направления Точка — начало вектора. Точка — конец вектора. Числовое значение вектора называется модулем / длиной / вектора: .

Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и конец совпадают.

Ортом вектора называется вектор, имеющий единичную длину и такое же направление, как и данный вектор .

2. Коллинеарным называется векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Компланарными называются векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

3. Два вектора считаются равными, если:

а) они имеются равные модули / длины/;

б) коллинеарные;

в) одинаково направлены.

4. Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения их на числа.

Суммой двух векторов и называется третий вектор, идущий из начала вектора в конце вектора, когда начало вектора, приложено к концу вектора, сумму можно представить также как диагональ параллелограмма, построенного на векторах и, приведенных к одному началу.

Произведением числа на вектор называется такой вектор, длина которого равна, а направление сохраняется прежним при и заменяется противоположным при. Если, то вектор называется противоположным вектору .

Свойства векторов

1. (переместительный закон)

2. (сочетательный закон).

3.

4.

5. (распределительный закон).

6. (распределительный закон).

7.

8.

Линейной комбинацией n векторов коэффициентами называется вектор, равный

.

5. проекцией вектора на ось (на вектор) называется число, равное, где — проекцией начала, А и — проекцией конца на ось (на вектор), причем знак «плюс» берется, когда направление совпадает с направлением, а знак «минус» в противном случае.

Проекция вектора вычисляется по формуле, где — наименьший угол, на который надо повернуть вектор, чтобы его направление совпало с направлением .

6. Разложение вектора по базису.

Базисом в пространстве называются любые три некомпланарных вектора .

Разложить вектор по базису — это значит представить вектор в виде линейной комбинации

где — числа, называемые координатами вектора в данном базисе.

Базис в плоскости называются любые два неколлинеарных вектораэто значит представить вектор в виде линейной комбинацией, где и — числа, называемые координатами вектора в данном базисе.

Пусть — векторы/ направленные соответственно по осям OX, OY, OZ прямоугольной системы координат, имеющие единичную длину.

Базис называется прямоугольным базисом. Разложение вектора по базису имеет вид, где X, Y, Z — прямоугольные координаты вектора (символическое обозначение:).

Прямоугольные координаты вектора равны проекциям этого вектора на оси координат.

Основные формулы в координатной форме

1. Координаты вектора, заданного двумя точками — началом М1(X1, Y1, Z1) и концом М2(X2, Y2, Z2): X=X2-X1, Y=Y2-Y2, Z=Z2-Z1 /2.1/

Cуммой и разностью двух векторов

2. Модуль (длина) вектора: /2.2/

3. Направляющие косинусы вектора :

, , /2.3/

где — угля между вектором и осями координат OX, OY, OZ соответственно.

Направляющие косинусы связаны формулой

. /2.4/

Орт вектор имеет координаты .

4. Координаты линейной комбинацией векторов

и

/2.5/,

5. Признак коллинеарности векторов и :

/2.6/

ПРИМЕРЫ

1. Определить координаты и модули векторов, заданных двумя точками

Б) Модули векторов находим по формуле /2.2/

Ответ:

2. Определить начало вектора, направляющие конусы и орт, если конец совпадает с точкой

Решение. А) из формулы /2.1/ получаем координаты начала :

Б) Модуль вектора определим по формуле /2.2/:

В) Направляющие конусы вычисляем по формуле /2.3/:

Г)Координаты орта числено равны направляющим конусам:

Ответ:

3. Может ли вектор составлять с координатами осями углы

Решение. Для заданных величин формула /2.4/ не выполняется:

поэтому вектор не может составлять данные углы с осями координат.

4. Даны два вектора и

Определить. По формуле /2.5/ получаем:

5. Определить, при каких значениях б и в векторы и коллинеарны.

Решение. Используя признаки колинеарности векторов — см, формулу /2.6/, составим пропорцию:

6. Найти разложение вектора по базису

Решение. Найдем коэффициенты б, в, г в разложении .

Для этого запишем данную формулу в координатах. Координаты правой части вычислим, используя формулу /2.5/:

Эти координаты должны равняться соответствующим координатам вектора. Следовательно, Решим полученную систему уравнений методом исключения неизвестных /методом Гаусса/:

Самостоятельная работа

1. Определить координаты и модули векторов, заданных двумя точками .

2. Определить, при каких значениях б и в векторы и

коллинеарны.

3. Найти разложение вектора по базису

4. При каких значениях m векторы перпендикулярны

№ 2. Скалярное произведение векторов и его применение. Основные понятия и определения

1. Углом между векторами и будем называть наименьший из двух углов и /считаем, что всегда можно сделать параллельным переносом/.

2. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов, умноженному на косинус угла между ними:

1. Скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, умноженной на проекцию другого вектора на первый вектор:

2. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда-либо один из векторов равен нулю, либо они перпендикулярны.

3. Физический смысл скалярного произведения.

Работа, А равнодействующей несколько сил, приложенных к материальной точке, при прямолинейном точке, при прямолинейном перемещении из положения М1 в положение М2, равна .

Свойства скалярного произведения.

1. /переместительный закон/.

2. /распределительный закон/.

3. /сочетательный закон относительно числового множителя/.

4. /скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его длины/.

Основные формулы в координатной форме.

1. Скалярное произведение векторов и :

/2.7/

2. Угол между векторами и определяется по формуле

/2.8/

3. Признак перпендикулярности векторов и :

/2.9/

ПРИМЕРЫ

1. В Параллелепипеда АBCDA`B`C`D` стороны АВ и АD взаимно перпендикулярны, а стороны АА` образует с ними углы в 1200. Определить длины диагоналей А`С и В`D если длины сторон равны АВ=2, АD=1, AA`=3.

Решение. Рассмотрим векторы. Из рисунка видно, что диагональ, лежащая в плоскости АА`C`C, удовлетворяет соотношению.

Для нахождения используем 4-е свойство скалярного произведения:

Аналогично, диагональ B`D, лежащая в плоскости DD`B`B, удовлетворяет соотношению

Поэтому

.

2. Даны вершины треугольника А (1,2,-1), В (-1,0,1) и С (1,1,1). Определить его внутренний и внешний углы при вершине В.

Решение. а/ Внутренний угол при вершине В образован векторами и. Координаты векторов находим по формулам /2.1/:

б/ Косинус угла при вершине В находим по формуле /2.8/:

.

.

в/ Внешний угол при вершине В равен

3. Найти сектор, зная, что он перпендикулярен к векторам и и удовлетворяет условию

Решение. Обозначим координаты искомого вектора

а/ Из условия перпендикулярности векторов /2.9/ получим Последнее условие примера с учетом формулы /2.7/ примет вид

2Х+2Y-Z=19

б/ Полученную систему трех уравнений с тремя неизвестными решим методом исключения:

.

4. Даны две точки М1(1,0,2) и М2(-1,1,1). Найти проекцию вектора на вектор .

Решение. а/ Определить координаты вектора :

.

б/ Скалярное произведение вычислим по формуле /2.7/:

в/ Проекция вектора на вектор с учетом формулы /2.8/ равна Ответ: .

5. Даны две силы и, приложенные к одной точке. Какую работу производит равнодействующая этих сил, когда её точка приложения прямолинейно перемещается из положения М1(0,1,1) в положение М2(1,-2,1)?

Решение. а/ Равнодействующая сила равна ;

б/ вектор перемещения равен

в/ Работу вычисляем по формуле /2.9/:

Ответ: А=4.

№ 3. Векторное произведение векторов и его применение

1. Ориентация системы векторов в пространстве.

Система трех некомпланарных векторов в пространстве может иметь две ориентации: правею и левую.

Поместим начала трех векторов в одну точку О и проведем через второй и третий векторы плоскость. Если смотреть из конца третьего вектора на конец второго, то первый вектор будет расположен либо с правой, либо с левой стороны от плоскости.

В первом случае система трех некомпланарных векторов имеет правую ориентацию, а во втором случае — левую.

Прямоугольный базис, изображенный на рисунке, имеет правую ориентацию.

2. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символ /или / к удовлетворяющий условиям:

а/ длина вектора равна произведению длин векторов и, умноженному на синус угла между ними:

;

б/ вектор перпендикулярен векторам и .

в/ система трех векторов имеет правую ориентацию. -18;

3. Векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда-либо один из векторов равен нулю, либо они коллинеарны.

4. Геометрический смысл векторного произведения.

Модуль /длина/ векторного произведения векторов и равен площади S параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах:

/2.10/

5. Физический смысл векторного произведения.

Момент силы, приложенной к материальной точке А, относительно точки О равен

. /2.11/

Свойства векторного произведения

1. /антипереместительный закон/

2. /распределительный закон/

3. /сочетательный закон относительно числового множителя/

4. /векторное произведение вектора на себя равно нулю/. Это свойства является следствием п.з. данного параграфа.

Векторное произведение вектора

и

В координатной форме:

/2.12/

ПРИМЕРЫ

1. Векторы и образуют угол Зная, что вычислить площадь параллелограмма, построена на векторах и

Решение. а/ Используя свойства векторного произведения, вычислим

б/ Площадь параллелограмма найден, учитывая геометрический смысл векторного произведения:

.

Ответ: S=21

2. Даны вершины треугольника А (1,-2,3), В (0,2,2) и С (-1,2,1). Вычислить площадь S треугольника АВС и длину высоты h, опущенной из вершины, А на сторону ВС.

Решение: а/ Рассмотрим два вектора и, исходящие из общей точки С. Их координаты равны

По формуле /2.12/ определим векторное произведение этих векторов:

По формуле /2.10/ найдем S1 — площадь параллелограмма, построенного на векторах и :

.

Затем вычислим площадь треугольника АВС:

.

б/ По формуле /2.2/ определим длину сторон СВ:

.

Теперь из соотношения найдем длину высоты:

Ответ:

3. Даны три силы и, приложенные к точке А (0,1,2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно начала координат О.

Решение. а/ найдем равнодействующую силу R по формуле /2.5/:

б/ Вычислим координаты вектора

в/ По формуле /2.11/ определим вектор момента равнодействующей силы в координатной форме:

г/ Вычислим величину момента: затем направляющие косинусы момента:

Ответ:

№ 4. Смешанное произведение и его применение

1. Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор :

2. Смешанное произведение трех векторов равно нулю тогда и только тогда, когда-либо один из векторов равен нулю, либо они компланарны.

3. Геометрический смысл смешанного произведения.

Абсолютная величина смешанного произведения трех векторов равна объему V параллелепипеда, ребрами которого является эти векторы:

/2.13/

Знак смешанного произведения определяет ориентацию системы трех векторов в пространстве: если то система имеет правую ориентацию, если то левую.

Свойства смешанного произведения

1.

2. .

/При перестановке сомножителей смешанное произведение не изменится, если не изменится ориентация системы векторов. Если ориентация системы изменится, то у смешанного произведения изменится только знак/.

Смешанного произведение векторов

,

В координатной форме:

/2.14/

Признаки компланарности векторов

/2.15/

ПРИМЕРЫ

1. Вычислить объем V тетраэдра, вершины которого находятся в точках А (-1,0,1), В (0,1,1), С (4,1,-2) и D (2,-1,0).

Решение. а/ Рассмотрим три вектора и, исходящие из общей точки А. Их координаты равны

.

б/ Вычислим смешанное произведение этих векторов по формуле /2.14/:

в/ Найдем объем параллелепипеда V1, учитывая геометрический смысл смешанного произведения, по формуле /2.13/:

г/ Объем тетраэдра V получим из соотношения

Ответ:

3. При каком значении б четыре точки А (0,1,-1), В (1,0,1), С (1,2,0) и D (1,1,б) лежат в одной плоскости?

Решение. а/ рассмотрим три вектора и, исходящие из общей точки А. Четыре точки А, В, С и D лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы и компланерны.

Координаты этих векторов равны .

б/ Запишем условие компланетности трех векторов и в координатной форме — см. формула /2.15/:

Вычислим полученный определитель разложением по элементам третьей строки:

или1(-1−2)+(б+1)(1+1)=0,или-3+2(б+1)=0,

Ответ:

Самостоятельная работа

1. Построить пирамиду с вершинами 0(0,0,0), А (5,2,0), В (2,5,0), С (1,2,4) и вычислить ее объем.

2. Даны векторы при каком значении m векторы компланарны.

3. Построить пирамиду с вершинами 0(0,0,0), А (5,2,0), В (2,5,0), С (1,2,4) и вычислить площадь грани АВС и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

4. При каком значении б четыре точки А (0,1,-1), В (1,0, б), С (1,2,0) и D (1,1,2) лежат в одной плоскости?

РАЗДЕЛ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Основные формулы

1. Общее уравнение плоскости

Ax+By+Cz+D=0 /3.1/

Высокий /не равный нулю/ вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется её нормальным вектором. Вектор — нормальный вектор плоскости, заданный уравнением /3.1/.

2. Уравнение плоскости по точке М0(Х0,Y0,Z0) и нормальному вектору :

A (X-X0)+B (Y-Y0)+C (Z-Z0)=0 /3.2/

3. Уравнение прямой L в пространстве как линии пересечения двух плоскостей р1 и р2:

/3.3/

Где коэффициент А1, В1, С1 не пропорциональны коэффициентам А2, В2, С2.

4. Канонические уравнения прямой L в пространстве:

/3.4/

М0(Х0,Y0,Z0) — Точка на прямой L.

S={p, q, r} - направляющий вектор прямой L.

5. Параметрические уравнения прямой L в пространстве:

М0(Х0,Y0,Z0) — Точка на прямой L.

S={p, q, r} - направляющий вектор прямой L /3.5/

л — параметр, -?< л

ПРИМЕРЫ

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1,-1,-1) параллельно векторам и .

Решение. а/ По условию задачи векторы и параллельны плоскости. Следовательно, по определению векторного произведения, вектор х перпендикулярен плоскости и может быть взят и качестве её нормального вектора. Найдем координаты вектора :

б/ По формуле /3.2/ составим уравнение искомой плоскости:

— 2(х-1)+2(у+1)-(z+1)=0 или 2х-2у+z-3=0

Ответ: 2х-2y-z-3=0/

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки М1(-1,1,2), М2(0,1,-1), М3(2,-1,-1).

Решение. а/ Рассмотрим векторы М1М2 и М1М3 параллельны искомой плоскости /более того, лежат в этой плоскости/. Следовательно, задача свелась к предыдущей задаче № 1: составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 параллельно двум векторам М1М2 и М1М3.

Координаты нормального вектора ищем по формуле Уравнение искомой плоскости составил по формуле /3.2/:

— 6(x+1)-6(y01)-2(z-2)=0 или 3x+3y+z-2=0

Ответ: 3x+3y+z-2=0

3. Определить, при каком значении б следующие плоскости

3х-6у+бz-4=0 и x-2y-z+1=0

а/ параллельны?

б/ перпендикулярны?

Решение. а/ Заданные плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и коллеарны. Координаты нормальных векторов равны

Запишем условие коллинеарности этих векторов — см. формула /2.6/:

Из пропорции получим б=-3.

б/ Заданные плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и перпендикулярны.

Запишем условие перпендикулярности этих векторов — см. формула /2.9/:

3+12-б=0

Откуда б=15

Ответ: При б=-3. плоскости параллельны, при б=15 плоскости перпендикулярны.

4. Составить канонические и параметрические уравнения прямой Решение. а/ Искомая прямая L является линией пересечения двух плоскостей. Найдем какую-либо точку, принадлежащую прямой L. Для этого в заданных уравнениях плоскостей положим какое-либо неизвестное равным постоянной, например, z=0.

Найдем значения двух других неизвестных из полученной системы уравнений:

Точка М (1,-2,0) лежит на прямой L.

б/ Определим направляющий вектор прямой S. Для этого найдем нормальные векторы плоскостей: .

Вектор будет параллелен обеим плоскостям и, следовательно. Линии их пересечения L. Поэтому возьмем вектор в качестве направляющего вектора прямой L. Найдем координаты вектора :

в/ По формуле /3.4/ составим канонические уравнения прямой L:

г/ По формуле /3.5/ составим канонические уравнения прямой L:

-?< л

Ответ:, х=1−3л, у=2-л, z=2л, (-?< л

5. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки А (0,1,-1) и В (1,-2,0).

Решение. а/ Схематически изобразим прямую /более того, лежит не ней/, то его можно взять в качестве направляющего:

б/ По формуле /3.4/ составил канонические уравнения прямой, проходящей через точку А (0,1,-1) в направлении вектора

.

в/ По формулам /3.5/ составим параметрические уравнения искомой прямой:

-?< л

Ответ:, х=л, у=1−3л, z=-1+л, (-?< л

6. Составить канонические и параметрические уравнение прямой, проходящей через точку М (0,2,2) параллельно прямой Решение. Схематически изобразим искомую прямую L и данную прямую L1. Определим направляющий вектор прямой L. Так как прямые по условию параллельны, то направляющий вектор прямой L можно взять равным направляющему вектору прямой L1. Из заданных канонических уравнений прямой L1 получим:

По формуле /3.4/ составим канонические уравнения искомой прямой L:

По формуле /3.4/ составим параметрические уравнения искомой прямой L:

-?< л

Ответ:, x=2л, y=2+3л, z=2-л, (-?< л

7. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М (1,-2,0) перпендикулярно плоскости

2x-3y+z-1=0.

Решение. Схематически изобразим заданную плоскость р и искомую прямую L. Определим направляющий вектор прямой L. Так как эта прямая по условию перпендикулярна плоскости, то нормальный вектор плоскости параллелен прямой L. Поэтому возьмем вектор в качестве направляющего вектора искомой прямой L:

По формуле /3.4/ составим канонические уравнения прямой:

По формуле /3.5/ составим параметрические уравнения прямой:

-?< л

Ответ:, x=1+2л, y=-2−3л, z=л, (-?< л

8. При каком значении б прямые

и

а/ параллельны? б/ перпендикулярны?

Решение. а/ Сначала из заданных уравнений в соответствии с формулами /3.4/ и /3.5/ определим направляющие векторы прямых Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарны. Запишем условие коллинеарности этих векторов — см. формулу /2.6/:

.

Из пропорции получим

б/ Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы перпендикулярны. Запишем условие перпендикулярности векторов — см. формулу /2.9/:

Отсюда .

Ответ: Прямые параллельны при и перпендикулярны при .

Самостоятельная работа

1. Определить, при каком значении б следующие плоскости

2х-5у+z-4=0 и x-3y-бz+2=0

а/ параллельны? б/ перпендикулярны?

2. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки А (2,1,-1) и В (1,-2,0).

3. При каком значении б прямые и

а/ параллельны? б/ перпендикулярны?

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1,-1,-1)

параллельно векторам и .

РАЗДЕЛ 4. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЯ С ПОМОЩЬЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

№ 1. Простейшие геометрические преобразования

1. Построение графиков функций с помощью осевой симметрии.

А) с помощью симметрии относительно оси ОY

Б) с помощью симметрии относительно оси ОХ

2. Построение графиков функций с помощью сжатия (или растяжения) с осями координат.

А) с помощью сжатия (или растяжения) к оси ОY. Если, то график функции растягивают от оси ОY в раз. Если, то график функций сжимают к оси ОY в раз. При К<0 дополнительно график функции отражают симметрично относительно оси ОY.

Б) с помощью сжатия (или растяжения) к оси ОХ. Если, то график функции растягивают от оси ОХ в раз. Если, то график функций сжимают к оси ОХ в раз. При R<0 дополнительно график функции отражают симметрично относительно оси ОХ.

3. Построение графиков функций с помощью переносов параллельно осям координат.

А) с помощью переноса параллельно оси ОХ на вектор .

Б) с помощью переноса параллельно оси ОY на вектор .

Построение графика функции с помощью композиции преобразований График функции строят из графика функции с помощью последовательного выполнения преобразований 1 — 3:

А)

Если К<0, то дополнительно график функции отражают симметрично относительно оси ОY.

Б)

Если R<0, то дополнительно график функции отражают симметрично относительно оси ОX

В)

Г)

Построение графика функции

График функции при х? 0 (в правой полуплоскости совпадает) получается с помощью симметрии относительно оси ОY, уже построенной для х? 0 части графика.

Построение графика функции

График функции располагается в верхней полуплоскости и получается из графика функции следующим образом: все точки графика функции, лежащие на оси ОХ и выше её, остаются на месте; все точки графика функции б лежащие нише оси ОХ, отражаются симметрично относительно оси ОХ.

ПРИМЕРЫ

1. Построить график дробно-линейной функции

Построение. Вначале данную функцию приводят к виду

:

Порядок построения графика:

А) Б) получают из графика растяжением от оси ОХ в 5 раз (ординаты всех точек увеличиваются в 5 раз).

А) получают на график Г) получают из графика отраженном симметрично относипереносом параллельно тельно оси ОХ. Оси ОХ на вектор .

Д) получают из графика переносом параллельно оси ОY на вектор .

Асимптоты графика:

х=1 и у=-2

точки пересечения с осями:

2. Построить график показательной функции .

Построение. Вначале данную функцию приводит к виду :

Порядок построения графика:

А) y=3x=f (x); Б) получают из графика у=3х растяжением от оси ОY в 2 раза (абсциссы всех точек увеличиваются в 2 раза).

В) получают из графика Г) получают из графи;

отражением симметрично ка переносом параллель;

относительно оси ОY. но оси ОХ на вектор

Точка пересечения с осью ОY:

C5(0,3)

3. Построить график тригонометрической функций y=3cos (2x+1)

Построение. Вначале данную функцию приводят к виду

Порядок построения графика:

А) y=cosx = f (x); Б) y=cos2x получают из графика

y=cosx сжатием к оси ОY в 2 раза.

— 35;

Период Т=2р Амплитуда А=1 Период Т= р Амплитуда А=1

В) y=3cos2x получают из графика Г) получают из гра;

y=cos2x растяжением от оси ОХ фика y=3cos2x переносом пара;

в 3 раза. ллельно оси ОХ на вектор .

Период Т=р Амплитуда А=3 Точки пересечения с осями:

(0;3cos1) и ;

4. Построить график логарифмической функции Построение. Вначале данную функцию производят к виду:

Порядок построения графика:

А) получают из графика

отражением части, расположенной в нижней полу-плоскости, симметрично относи-тельно оси ОХ.

В) получают из Г) получают из графика переносом графика отра;

параллельно оси ОХ на вектор жжением части, расположенной

в нижней полуплоскости, сим;

метрично относительно оси ОХ.

Асимптота х=3

Точки пересечения с осями:

В3(2;0) и D (0;log23)

5. Построить график обратной тригонометрической функции

Построение.

А) Б) получают на гра;

фика растяжением от оси ОY в 2 раза.

В) получают из граГ) получает из фика растяжения от графика переносом оси ОХ в 2 раза. параллельно оси ОХ на вектор Точки пересечения с осями:

Е (-1;0) и F (0;р/3)

№ 2. Графическое решение систем неравенств Множество решений неравенства y>f (x) (или y

На плоскости строят график функции y=f (x). Множество точек плоскости М (x, y), расположенных выше графика y=f (x), является множеством решений неравенства y>f (x), а множество точек М (x, y), расположенных ниже графика y=f (x), является множеством решений неравенства y

Множество решений неравенства f1(x)>f2(x) определяют следующим образом.

На плоскости строят графики функций y=f1(x) или y=f2(x).

Множество точек x оси OX, при которых график первой функции лежит выше графика второй функции является множеством решений неравенства f1(x)>f2(x).

Множество решений системы неравенств получают пересечением множеств решений отдельных неравенств входящих в систему.

ПРИМЕРЫ

1.Найти множество решений неравенства .

Решение: Построим графики показательной функции y=2x и линейной функции .

Определение точки пересечённая А (0,1) и В (2,4) графиков.

Множество точек оси ОХ, при которых график линейной функции лежит ниже графика показательной функции, образует интервал (0,2).

Ответ: (0,2)

2.Построить область, удовлетворяющую системе неравенств вектор произведение неравенство геометрический Построение:

А) Строки график функции: y=arcsin x

Множество решений первого неравенства системы заштриховано на чертеже лежащие на графике функции, не принадлежат множеству решений, на точку, лежащие не на вертикальных пунктирных линиях принадлежат множеству).

Б) Строим график функции :

Множество решений второго неравенства системы заштриховано на чертеже (точки, лежащие на прямых y=±2, не принадлежат множеству решений).

В) Область, удовлетворяющая системе неравенств получается пересечением множеств решений первого и второго неравенств (точки, лежащие на верхней и нижней границах области, не принадлежат множеству решений, а точки, лежащие на баковых границах, принадлежат множеству).

3.Построить область, удовлетворяющую системе неравенств.

Построение:А) Строим график функции

Множество решений первого неравенства системы заштриховано на чертеже (точки, лежащие на оси ОY, не принадлежат множеству решений, так как абсцисса этих точек равна нулю и не входит в область определения функции).

Б) Строим график функции :

Множество решений второго неравенства системы заштриховано В) Области удовлетворяющие системе неравенств, получаются пересеченными множеств решений первого и второго неравенств (точки, держащие на границах областей, включая отрицательную полуось и точку 0, не принадлежат множеству решений системы).

4. Построить область, удовлетворенную системе неравенств Построение:

А) Строим графики функций y=-1 и y=ln (2-x):

Порядок построения график:

y=ln (2-x): 1) y=lnx

2) y=ln (-x)

3) y=ln[-(x-2)]

Б) Строям графики прямых линий В) Область, удовлетворяющая. системе неравенств, изображена на чертеже (границы области не принадлежат множеству решений).

Самостоятельная работа

1. Построить графики функции:

а), б), в) ,

г), д), е) y=4cos (3x-1)

ЛИТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии М: Наука 1985

Бугров Я. С. Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление М:. Наука 1984.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление М:. Наука 1985 Т.

Берман Г. М. Сборник задач по курсу математического анализа М: Наука 1985

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. М: Наука 1980