Интегральные преобразования и параболические потенциалы применения их к решению некоторых смешанных задач

В начале XIX в. Фурье предложил метод (так называемый метод разделения переменных) для интегрирования (некоторых) линейных дифференциальных уравнений в частных производных при заданных граничных и начальных условиях (задача I). Этот метод и в настоящее время успешно применяется при решении смешанных задач для линейных и квазилинейных уравнений (см. напр. [9], ]2б). Применение метода Фурье к решению смешанных задач с разделяющимися переменными лриводит к задаче разложения произвольной функции из некоторого класса по собственным функциям соответствующей спектральной задачи (задача 2). Если оператор, определенный задачей 2, не является самосопряженным, то отсутствует ортогональность собственных функций и вопрос существования, полноты системы собственных функций, вообще говоря, остается открытым.

В 1827 году Коши [28] для решения задачи I с постоянными коэффициентами предложил новый метод (вычетный метод). Суть метода заключается в представлении произвольной функции А*) в виде интегрального вычета от дроби t гДе Функция эс) при всех значениях jo удовлетворяет рассматриваемого дифференциально^ уравнению, а при значениях J>, обращающих знаменатель в «О», сверх того, и предельным условиям. В 1917 году Я. Д. Тамаркин [2l] отмечает: I. Рассмотрение интегрального вычета функции.

5а f" G (х > *, f) ¦ ^ (I) по методу Ро1исаг€) лишь в частных случаях лриводит к разложению произвольной функции Л*- по фундаментальным функциям во всем пром. (о t &), включая и концы. Для получения более общих результатов необходимо исследовать представление функции в виде интеграла jcc, ai} здесь Z (.

2. Исследование интеграла, аналогичного (Ij), приводит также к разложению функции по фундаментальным функциям термомеханической задачи ЪиЬсх-теР*я (^ouznoci Je? toPe. pefyi&bhnL^ve > i. /5 (/"35)).

3. Метод интегрирования уравнений в частных производных, предложенный Cauchy в мецуаре «Ъиг CctppiicoL-klon da c/es tebiJus etc (Pa, zis, 18 & ?) f может быть после некоторых добавлений сделан вполне строгим.

В середине XX века М. Л. Расулов рассматривал задачу I с переменными коэффициентами. Смешанные задачи, для которых граничные условия спектральной задачи не регулярны, не входят в круг задач, рассмотренных в работе [19] • В этом случае вопрос о существовании формулы разложения Тамаркина, вообще говоря, остается открытым.

Исследование автора показало, что при решении задачи I не обязательно использовать формулу разложения Тамаркина. В настоящей работе предлагается методика, позволяющая решить задачу I при более общих краевых условиях и более слабых ограничениях на данные задачи I.

Настоящая работа состоит из пяти глав и дополнения, содержащего два параграфа.

В первом параграфе первой главы строится фундаментальная матрица уравнения где CL — квадратная матрица порядка П — Y> ~ столбцы размера П — - J3 — -ft-R — некоторая область из j X: 1 М ?-({} - R — достаточно большое лоложительное число, Я — натуральное число. При условиях 1°-3° фундаментальная матрица системы (2) находится в БВДбр? М->)=^ > где? из (1.1,6), которая указана в явном виде*. Предложенный сдособ выбора функции f. л) дозволяет долучить для остаточного слагаемого ТX) более точную оценку которая важна в дальнейших дриложениях.

Результаты этого параграфа сформулированы в теореме I. Второй параграф дервой главы досвящен долучению асимптотических дредставлений решений однородного уравнения, соответствующего (2), дри больших значениях |Х, Этому водросу досвящен ряд работ, например } A BiiKhe/fl [29], Я. Д. Тамаркин [21], [3l] М. А. Наймарк [к], Н. А. Алиев [з], Н.Е. ТиШ41Л [32], Э.А.Код-дингтон и Н. Левинсон [12] и т. д. В этих работах дреддолагается, дри подходящих нумерациях (х), выдолнение условия V.

Re[A Це№/ф * %(*)], хйЦ — X * JLR. (3).

А в приложениях выдолнимость условия (3) приводит к тому, что аргументы 9.(х) 0= и аргументы их разностей не зависят от Х&euro- [7 (надример, см. ограничение 3° на стр. 23, [19]), что на наш взгляд является более жестким ограничением. Отметим, что Ссылки вида (т),(Г7. М),(К. П. М) означают ХП — ую формулу того же параграфа, параграфа П той же главы, параграфа П главы к соответственно. для уравнений спектральной задачи для параболических и гиперболических систем выполняется условие 2° настоящего параграфа. Следовательно, при решении смешанных задач для параболических и гиперболических систем более целесообразны условия и результаты настоящего параграфа, чем ограничения и результаты работ[29], |2l], [32]и т.д., связанные с асимптотическим представлением решений однородных систем, соответствующих (2).

Результаты этого параграфа сформулированы в леммах I и Л В третьем параграфе первой главы строится фундаментальная матрица и изучается асимптотическое поведение решений уравнения.

Л j=0 где — квадратные матрицы порядка % - у, ср — столбцы размера 2 — Р, 1 — натуральные числа— оо<�о<: <^ ,.

Фундаментальная матрица PC*"? > X4) для системы (4) находится в виде У) +, X), где? -из (I.3.4j), которая написана в явном виде.

В работе [l9j прир=!, J- ** для системы (4) по методу Леви-Карлемана построена фундаментальная матрица. Отметим, что при построении фундаментальной матрицы используемые главные матрицы в [19^ и в настоящем параграфе существенно различаются (сравните выражение из (3.2.20) на стр. 122, [I9-] с) из (1.3.4j) настоящего параграфа). Благодаря тому, что здесь ^ •> ?) Л) выбрана в специальном виде (1.3.4j), для остаточного слагаемого ^ получается более точная оценка т+ е*Р (-|1МЬн|) (см.(1.з.бт)), х О которая ваша в дальнейших приложениях.

— 8.

По теореме 2 настоящего параграфа вектор-функция ^ (*Д) =//>(*, М t (i)f№ (5).

О^ И является решением уравнения (4). Результаты связанные с асимптотическим доведением решения однородного уравнения, соответствующего (4), сформулированы в лемме 2.

В четвертом параграфе первой главы доказывается (см. теорему 3) формула обращения.

Z7J=f > (см.(1.4.1)), где у из (5).

Смешанная задача для параболических систем изучалась другими методами рядом авторов (см. напр. i],[2],|1з] ,[17] ,[20] и т. д.).

Вторая глава настоящей работы посвящена исследованию одномерной смешанной задачи, содержащей, вообще говоря, в граничных условиях производную по времени для систем с разрывными коэффициентами, т. е. задачи нахождения решения системы.

L.(ol (*)a (-t)^ А.№QULЛ)¦¦=.

LJ — 0.

6) при граничном условии.

1−1 0 — 0 т-й **. <) J и начальном условии xi (aJL), (8) где Л.. (d = О, ZPC) — квадратные матрицы порядка tti — clскалярная функция- 7 (J=0> #L — «постоянные матрицы размеров а/хЪ^а/^Щ.^ UL «столбцы размера %L —^f — столбец размера Уj ^? Ч у ^ - натуральные числаэе. — о или I- $jL 0= 0> - неотрицательные целые числа, меньше или равные ZP ^ ,(а. <, Т (т>#).

Is '.

— конечные числа.

Во втором параграфе настоящей главы изучается граничная задача с комплексным параметром:

If} • ДО z y^fi® i=i>*>->" ' о) при граничных условиях itvt=i > do.

— ^=, с ща, % от°лбец размера.

7−1, у — постоянный вектор размера У, Р — наименьшее общее кратное чисел Pj7P& ,.

При условиях правильности граничных условий (10) (см. определение I) и A^R^—l^' lA^-R, + frj показывается, что решение задачи (9)-(10) единственное и его можно представить в виде р п rV.. jf ^ (M + (см.(2.2.32)).

Далее, используя результаты главы I, доказывается формула обращения из (II).

Результаты этого параграфа сформулированы в виде леммы 3 и теоремы 3.

— 10.

Используя интегральное преобразование dt, (12) доказывается.

Теорема 4. Пусть выполняются ограничения 1°, 2°, 3° (или З1) и граничные условия (10) правильны. Тогда, если задача (6)-(7) имеет решение, обладающее классическим свойством, то.

I) оно единственное, ««.

II) его можно представить формулой г I ® xfthtyttytik, хе (а. ^Мот), «3> где X — бесконечная гладкая линия в, достаточно далекая часть которой совладает с продолжениями лучей у-/), причем в (13) интеграл по линиям донимается в смысле главного значения.

Далее доказывается существование и единственность решения рассматриваемой задачи.

Отметим, что круг рассматриваемых в настоящем дараграфе задач шире, чем круг задач, рассмотренных в главах I и П работы [19], дажей в случае = =. = ^ = /. Более того, решение смешанной задачи полученное Расуловым в главах I и П работы [ю], вообще говоря, отличается от решения этих же задач, полученного нами. Далее, при решении смешанных задач, мы пользуемся конечным интегральным преобразованием (12) в отличие от интегрального преобразования.

В работе Расулова [ 19] рассмотрен только случай fj = Pz = .= Рп = I.

Q (k) =)exp (-)?+)Q (±)Ji, (14) использованного в работе [l$T|. ^.

Замечание I: В работе [19] предполагается, что Q (*) — аналитическая функция в области {Л: If ^^ «'» ^>0 i и стремится к цулю при | А|—> + 00 равномерно относительно ах у, А (см, напр., в условиях теорем 5,6,10 соответственно на стр. 54, 58, 79, теоремы на стр. 245 и т. д.). Это предположение, на наш взгляд, является довольно жестким ограничением.

Для простоты объяснения других различий междуэтими результатами положим I и f>=f I и для системы фундаментальных частных решений Ч однородного уравнения, соответствующего (9), °i J воспользуемся асимптотическими формулами Биркгофа-Тамаркина х U/J a.

6[а. % ], ML, K = ojJ =, .&bdquo-.и ^• «^:.

15) где х/ С00) — некоторая известная непрерывная вектор-функция, 0) *.

9. (f) — корни характеристического уравнения в смысле Биркго-фа-Тамаркина, М>, 0 — некоторая константа. (Отметим, что, как следует из схематики работ [19] для системы фундаментальных частных решений однородного уравнения, соответствующего (9), необходимо существование асимптотических формул Биркгофа-Тамаркина при J Л ' IЛ | >/ R }. Мы же рассматриваем асимптотическое поведение этих решений только в области R ^ и не требуем чтобы производные g (X, А) (см.(2.2.16)) представлялись в виде остаточных членов Биркгофа-Тамаркина Л ai, а довольствуемся оценками (2.2.17)).

Положим иjjjx, А) = ai’Va), иа'^ .(*, а) = ех^л^ vь, = l 0=1,М,), здесь и //J (a) суть столбцы I размера ztf, /С — ые элементы которых обозначим через и соответственно. к J дм=.

Тогда знаменатель функции Грина задачи (9)-(Ю) будет а?,/.

Из условия параболичности системы Zx 0, — о следует, что.

Л| при 7.

Ref^W].

-£|Л (ври, (см.(2.2.5)). где? — некоторое положительное число. Теперь, разлагая определитель имеем.

16).

О (к к-м-i.

Х60) где X — наивысшая возможная степень Л, некоторое неотрицательное целое число.

Заметим, что число М, входящее в асимптотическую формулу (160), можно выбрать достаточно большим, (т.е.для Я (£) можно получить более точные асимптотические формулы), если m, входящее в (15), достаточно большое.

В этом случае определение I из параграфа 2 настоящей главы принимает следующий вид;

Определение. Граничные условия (10) будем называть правильными, если хотя бы одно из чисел, А 7 отлично от нуля.

Отсюда следует еще одно существенное различие между работой М. Л. Расулова [19] и настоящим параграфом:

Если для задачи (9)-(10) граничные условия (10) регулярны в смысле Биркгофа-Тамаркина — Наймарка-Расулова, то они правильны в смысле нашего определения. Но обратное утверждение неверно.

Покажем это на следующем примере:

UL — UL, х € (о i), i € (о т) ,.

— Ы ' ;

6т) и/ +1*./ + =0, i* (от), (, X€fO/). (8i).

Для этого примера задача (9)-(10) запишется в следующем виде у" - Ц = f (*), х € (о /), (9l) у (о) = о 7 у+у'М+ь/М**- (iOj).

КХ).

Знаменатель функции Грина будет.

Д (х) = l+X+Ue* хХ.

Отсюда видно, что граничные условия (IOj) не регулярны в смысле Биркгофа-Тамаркина — Наймарка-Расулова (см. на стр. 34, [l9]). Таким образом задача (6j) -(8j) не входит в круг задач, рассмот.

— 14 ренных М. Л. Расуловым в работе [19^ .

Определитель (16) для нашего примера равен.

Я.Л, А что показывает правильность, в нашем смысле, граничных условий (I0j). Следовательно, задача (61)-(81) решается методикой, предложенной в настоящей главе.

Теперь рассмотрим смешандую задачу |, (О 0, ±<0. т), гдеа (х)б?~([0 !])^/(х)бСТ[о l]),/(*)=/(<)=0, Re, а fr)^>0 (^ - некоторая константа), ocig а (эс) не является постоянной функцией X? [о I]. Эта задача не решается в работе [l9j, так как из ограничения 3° (стр. 23, [l9]) следует, что М. Л. Расулов рассматривает параболические уравнения, для которыхах^а (эс)~со/7 $-1 при Х&[о Q • Задача (18) решается методом настоящей главы.

Отметим, что для смешанных задач решения, полученные М.Л.Расу-ловым [l9j и нами, вообще говоря, отличаются друг от друга. Сказанное поясним на следующем примере: о) ~ ф (эс), Хб (о где, Q^ 3^j3 — некоторые функции.

Из (1.6.34) на стр. 79 [19] (с учетом (I.2.7I) на стр. 42 [19*]) для решения задачи (19) получим следующую формулу где.

AM l (oЛ Л е е.

Г Xfr-l) -^^эс-т) 2 — ?

J? д (А)= ёл- ?>(*)= J г • (21).

А из (2.3.4) настоящей главы для решения задачи (19) имеем следующую формулу.

О е.

•Ь 2, ляг о.

— t I.

X71M.

Ф 0) е*х.

— А о ел.

22) где Д (л), (3- - из (21).

Таким образом, решения задачи (19) представлены различными выражениями (20) и (22).

Сравнивая (20) и (22) видим, что второе eraлаемое в фигурных скобках (22)^в (20) отсутствует, далее, в (20) в первом слагаемом выражение заменено на ф (х). На наш взгляд эта замена0 неудачная (см. замечание I). Для иллюстрации отличий выражений (20) и (22) в (19) положим v.

Тогда, используя тождество.

Л 4W.

0 е^ е" **.

11 1 X.

1 ех из (20), имеем.

23).

24).

20т) где о ехх елх.

I I.

I Q. J I.

— Л Q.

Непосредственным вычислением получаем lf (o) -fc) = — I при-t > О Следовательно из непрерывности при ~Ь > О получаем, что при осе (О /) — -Ь > О.

25).

Учитывая (24) в (22) имеем.

22т).

Сравнивая (20j) с (22j) и учитывая (25), получаем, что функция U (рс, ~Ь) (определяемая формулой (22j)) является классическим решением задачи (19) при условиях (23)х.

Решению смешанной задачи на сопряжение разнотипных уравнений при определенных условиях посвящен ряд работ (см. напр. [7]).

В третьей главе настоящей работы решается смешанная задача на сопряжение систем разного типа: ftM-f ^ ^ (26) п=р т~о сП L i-l, I, и при граничных условиях г зе (0 SCU) и^tn J w z: 2 21 ^ 4 j-o m-o 4rn ^ y.

— f (-fc).

— fc € T,.

3 € См. сноску ш на стр. 22 и начальных условиях y (K=oil-t] L = !>Z), (28) гдqQ-Sl.xT • SL.~(a (i.i) a (l'Z)) P T=(o т) -ограниченные m) интервалы- 5(0 = 0- &Ln (n — o) 5(C) — m = о, z — n) квадратные матрицы порядка *ttt) — I, (k^o/l-i), UL столбцы разi IP мера — f — столбец размера ^ -j-^JJ o (.'m.

Jj)=l, z)" достоянные матрицы размеров E (i)}V (?-j) о или I- - неотрицательные целые числа r i — 1(0 — натуральные числа.

Во втором параграфе настоящей главы рассматривается краевая задача с параметром xfv^v^t^r3' ' (29) rt-0 m-0 при граничных условиях Я ^ п д"^и / — У.

2I2LZ-2I, А (30) где — столбец размера 1(0 «/ - постоянный столбец размера ср

Дается определение правильности граничных условий (30) и доказывается, что если гранюные условия (30) правильны и выполняются остальные условия леммы 6, то задача (29)-(30) при к имеет единственное решение и его можно представить формулой (3.2.22).

В третьем параграфе настоящей главы, применяя интегральное преобразование ^.

КГ®-= jeAC (31) 0 к задаче (26)-(28), доказывается.

Теорема 8. Цусть выполняются ограничения 1° - 6° и граничные условия (30) правильны.

Тогда, если задача (26)-(28) имеет решение UL (<—1 ,?), обладающее классическим свойством, то /) оно единственное, if) его можно представить формулой 4 l№Xthx)H (32) где t — ii-^R^ - г +^R <*>), % (i > R) некоторое вещественное число, причем интеграл по прямым X понимается в смысле главного значения, т. е. как предел интеграла вдоль отрезка (г.

— Я7, * + дри l, ^ .

Отметим, что, если при решении задачи (26)-(28) мы вместо предложенного конечного интегрального преобразования (31) использовали бы преобразование Лапласа, то ограничения настоящей теоремы существенно изменились бынапример, в (32) вместо J* f (z)dt стоял бы интеграл j Jt. Кроме того, как отмечает.

М.Л.Расулов* [19], интегральные преобразования Лапласа являются слабым аппаратом при решении динамических задач при ненулевых начальных условиях.

Благодаря тому, что все интегралы, содержащиеся в фигурных скобках в (32), конечные, непосредственной проверкой устанавливается, что вектор-функции Ц., «О CL~112), определяемые формуw лой (32), действительно являются решением задачи (26)-(28) и далее дается оценка для этого решения.

Четвертая глава посвящена нахождению решения системы.

33).

• л Яг-^.

L~0 к См. на стр. 243 цитированной литературы. лри граничных условиях.

I о рI .

ЛьсГШ*^4=0=т", ^ «О, (34).

Т] лри х ¦

• <="о и начальном условии.

U (x, o) = (x), херсю), (35) где — квадратные матрицы порядка 1 — а — скалярная функция- - постоянные матрицы размера ръ * ч>) / - j t' т5 > и — столбцы размера Z — / - столбец размера рг ;

Ч-) Р — натуральные числаТ (Т>о), Л7 — некоторые постоянные.

Во втором параграфе этой главы решается вспомогательная задача с комплексным параметром.

ZP — дс.

IV^iJ-1 ' ^ (36) лри граничных условиях /, (3V) где у (х) — вектор-функция размера 1., которая интегрируется в каждой конечной части интервала (о и f (x)-=D (e) лри х-^^, ^ - постоянный столбец размера pt.

Дается определение правильности граничных условий (37). Доказывается следующая.

Лемма 7. Пусть выполняются ограничения 1°, 3°, 4° и граничные условия (37) правильны. Тогда для всяких ^(х), интегрируемых в каждой конечной части интервала (о и у (х лри зс оо t задача (36)-(37) имеет единственное решение tj (x, х) и его можно представить формулой.

— 20.

В третьем параграфе этой главы, применяя интегральное преобразование (12) к задаче (33)—(35) доказывается.

Теорема 10. Пусть выполняются условия 1°-4° и граничные условия (37) правильны.

Тогда, если задача (33)-(35) имеет решение U, обладающее классическим свойством, то оно представляется формулой.

UM) = ^ К" ' e*p[tpJ*aft)J4]l!-(*, Л, <ГМ)).

О О где ^ - бесконечная гладкая линия в R, достаточно далекая часть которой совпадает с продолжениями лучей причем в (38) интеграл по линиям? понимается в смысле главного значения.

В четвертом параграфе настоящей главы непосредственной проверкой показывается, что вектор-функция U (х, •?), определяемая формулой (38), в самом деле является решением задачи (33)-(35), и далее при хф — ±е[о т] показывается неравен.

СТВ0 f Я ifP’f-ЛР, и, г YP-n-ZP+l Л.

1 п-о к-о п~0 К=0 0 ' н оо J? Сх>

Ц = 3 о П—0 К-0 о f «I р = о К— I о fir (>.*№} < где» константа С не зависит от /- ф —^f —? — некоторое положительное число, зависящее от коэффициентов уравнения (33), К (R > 2-М/е) — достаточно большое положительное число.

— 21.

Смешанная задача вида (33)-(35) рассмотрена в гл. З работы jl9j. Отметим, что круг рассматриваемых задач и полученные результаты для них в гл. З работы и в настоящей главе имеют • существенные различия даже в случае* р — I .В самом деле, для иллюстрации рассмотрим задачу нахождения решения уравнения э и Ъ и. , /, U (or), (39) при граничных условиях.

Ш =Щ т] при х—" ~, (40) х-о и начальном условии.

U (x, o)=(x), хб (о оо) — (41) где f > ф — непрерывные и ограниченные функции.

По формуле (3.5.II), стр. 152, [l9] решение задачи (39)-(41) есть.

U (x$=WfP If* ?(х)+ f&(*X>*)f (*)Jl}M, (42) где.

СЫ^^-ё^ ,.

А по формуле (38) для решения задачи (39)-(41) получим следующее выражение ±.

U (X>i) = J= Ja /Г e" xJ^r)f®Jr + L (44) л 0 где (у — из (43). я.

В работе М. Л. Расулова v. 19] гл. З рассмотрен только случаи р=!, т. е.рассмотрена смешанная задача вида (33)-(35) для параболических систем второго порядка, в граничных условиях которой не участвует смешанная производная ^ и (х>i).

— 22.

Таким образом, решение задачи (39)-(41) представлено различными формулами (42) и (44), Сравнивая (42) и (44), видим, что второе слагаемое в фигурных скобках (44) в (42) отсутствует, далее, в (42) в первом слагаемом интеграл Je" ^ Z ^(tfd't заменен Ф (Л). Эта замена, на наш взгляд, неудачная, так как в цити г ¦ руемой работе предполагается, что ^ является аналитической функцией в области IM^R, ~ + f S >0 }, стремящейся к нулю при I AIt"-.00 равномерно относительно axcj, А (см. условия теоремы II на стр. 152 работы [l9])й. Более того в [l9] кроме некоторых специальных функций (например, ^(-t) — ~J=p из стр. 245, [19^) яе указывается класс функций *f (-b), для которых у (А) удовлетворяет этому предположению. В задаче (39)-(41) положим.

V (i).*0- (45).

Тогда из (42) имеем, а из (44) получаем 0.

U (xj) = |. ** (44i).

Таким образом сравнивая (42j) с (44j), увидим, что классическое я Отметим, что если для А^ Rr, удовлетворяющих неравенству Re (-л*) > о, определить 6 <�р (л) по формуле (43), то этот интеграл, вообще говоря, расходится. А если при Л€Л-={\lAl^K,.

IatjAK «» /ч } возьмем в виде (43) и в области (х) определим аналитическим продолжением, то дополнительно должны быть выяснены условия существования такого продолжения,.

Гс?в!нЭоГзЖ^та- (3.1.7), стр. 119, [19] участвует слагаемое^ 44°) (для настоящей задачи J ft= а в дальнейших рассуждениях, по видимому, М. Л. Расулов принял, что это слагаемое равно нулю (т.е. в[19]рассматривается случай когда^>(о)=о), то поэтому функции (42j) и (44j) отличаются друг от друга.

— 23 решение задачи (39)-(41), (45) есть U (*,-fc) из (44j).

Не деречисляя все другие различия между результатами гл. З [l9] и нашими, ограничимся рассмотрением следующей задачи. Найти решение уравнения.

46) дри граничных условиях consi, еэср (Мх), i^O дря сс^, и начальном условии и (*>0)=ф (х), 5С С (о о*), ш непрерывная и ограниченная вектор-функция в [0, ГА — некоторая константа.

Задачи, рассмотренные М. Л. Расуловым в главе 3 [19], не охватывают задачу (46)-(48) (см. ограничения 3°-5° на стр. 141, [l9″ j).

3 я.

По форцуле (4.2.16) имеем А (х)~- + } и, следовательно, граничные условия (47) правильны (см. определение I из настоящей главы). Методами же настоящей главы эта задача решается.

Краевые задачи, содержащие старшие производные в граничных условиях для параболических уравнений, рассматривались в областях прямоугольного типа (см. надр. j^22j) или в областях, имеющих достаточно гладкие боковые границы (см. надр. j^io" ]).

А в областях с криволинейными боковыми границами рассмотрены краевые задачи для параболических уравнений, не содержащие старшие производные в граничных условиях (см. напр., ]jj)• Одним из мощных методов решения смешанных задач для параболических уравнений является метод теории тепловых потенциалов (см. напр. [23], [24], [15], [30]).

— 24.

Последняя глава посвящена решению смешанных задач для параболических систем в областях с криволинейными боковыми границами, не допускающими спрямления с помощью гладких преобразований. При этом краевые условия этих задач, вообще говоря, содержат производную по времени и старшую производную по пространственной переменной. Далее, в граничные условия входят интегро-дифференци-альные слагаемые, которые содержат глобальные граничные значения неизвестной функции.

В настоящей главе решаются следующие задачи.

Задача I. Найти решение уравнения j = 0 J удовлетворяющее начальному условию.

U (ос, о) — 0, %Со) < х < <х> ?

Задача 2. Найти решение уравнения.

— J: (* > (*, $=о, у, а)< * < &-е0>

J-0 удовлетворяющее начальному условию и (*>°)=0, >

Задача 3. Найти решение уравнения t -=n J vt.

— 25 удовлетворяющее начальнощ условию.

U (*, 0) = О, > и граничным условиям .

Задача 4. Найти решение уравнения i i =0 J удовлетворяющее начальному условию и граничным условиям п к-0 n = i 0 iк vh zpx+m^zp кт * х K=r0 h=l рк х ис*>$ * - fk к^т, мг.

— feb t=l oJ ж '^fc) ''.

В задачах 1−4: ч л о уи^ flu) г.

Л) ' V™)) , — квадратные матрицы порядка г — - столбцы размера 1 — -вещественные функцииР? — натуральные числа, Тположительная постоянная.

— 26.

Предлагаемые параболические потенциалы позволяют решить задачи 1−4 при довольно слабых ограничениях на данные этих задач. Здесь доказывается, что при условиях теоремы 12−15 (см.§- 4 настоящей главы) эти задачи имеют решения: llt (x, i) = ± jVVM-,^ r) j?(v)Jt ,.

J — / о ич c*, i)=±± С *- & ^,.

4 j=j i = l.

В § I (из дополнения) дается определение: изображением функции назовем функцию 4, определенную соотношением,.

J"®e*/>/" -A fo (4)J)]f (i:)Jz, о т] f где X — комплексное чиоло.

При условиях теоремы 16 (см.§I из дополнения) показывается, что функция представляется через свое изображение в виде.

— =ihim Jехр[* ''<4~T'<50) где ^ - бесконечная гладкая линия в — плоскости, достаточно далекая часть которой совладает с продолжениями лучей.

Отметим, что в главах 2,3 и 4 мы пользовались (49) и (50). Наконец, во втором параграфе дополнения интегральное лреобразо-вание (49) (при и где, А заменено на, А) применяется к решению смешанной задачи для неклассического уравнения а^Щ^'-^Л), **(«>, М, (51).

Э* j=0 J dxJ 3 — 0 J Эх3^ лри граничных условиях i: г. з, (52) и начальном условии.

U (X>0)=, J) > (53) вдесь£ Я F — известные функции, о^. — постоянные числа. J' J «L ' l к.

При условиях теоремы 17 (см. в настоящем параграфе) доказывается, что если задача (51)—(53) имеет решение, обладающее классическим свойством, то оно представляется формулой (28) из § 2 дополнения. Далее, при условиях теоремы 18 § 2 Дополнения показывается, что функция и (эс,-Ь) из (28) этого же параграфа на самом деле является единственным решением задачи (5Х)-(53), обладающим классическим свойством.

В работе приняты обозначения: L (-SL) — класс измеримых и почти везде конечных функций? (ос), с нормой11= § I э где интеграл по области SL понимается в смысле ЛебегаС (Sh) и С (-М-) — класс непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций до порядка К включительно в области Л, соответственно.

Определение. Мы будем говорить, что? [(l^ij.^fec.

Aрешение параметрической задачи (2.2.1)-(2.2.2) если существуют такие последовательности С (i^i), x&R^, Z=/7л, к=j, д,., удовлетворяющие (2.2.1)-(2.2.2) лри замене на у.**' и f. на } (i = l, tl) таких, чтолрик->^> из Lj,(oс) следует, к) 1 >j (x, h) ttfRL= М.

Понятие решения других дараметрических задач аналогично' вышеприведенному определению.

Отметим, что если от правых частей рассматриваемой смешанной задачи требуется просто интегрируемость, то выполнимость уравнений или краевых условий этой смешанной задачи понимается почти всюду .Так, нал., если ^(^^LCo т), то равенство (2.1.2) выполняется почти при всехЬ е (р т) .

Основные результаты настоящей работы опубликованы в.

— И •.