Корректность и аппроксимация задач магнитной газовой динамики

Работа посвящена вопросам корректности и аппроксимации уравнений магнитной газовой динамики и обоснованию ряда разностных методов решения начально-краевых задач для одномерных уравнений магнитной газовой динамики.

Необходимость исследования движений электропроводящих жидкостей и газов в электромагнитном поле возникает в связи с изучением ряда известных проблем физики и техники, таких, как исследование управляемых термоядерных реакций, астрофизика, геофизика, проблема превращения энергии, радиосвязь и т. д.

Математические исследования уравнений магнитной газовой динамики, как и уравнений механики вообще, составляют один из разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных. Кроме того, задачи, связанные с этими уравнениями, представляют самостоятельный теоретический интерес, который стимулируется развитием численных методов решения краевых задач на основе ЭВМ.

Система уравнений магнитной газовой динамики в моделях, учитывающих помимо вязкости такие свойства среды, как сжимаемость и теплопроводность, имеет вид [i], ?2] t (j: * и Wot OW и), (u k] diir (* * 9) + 1ot? KjV"HtotH — HeU X H).

Здесь 9 «^ Лв и В соответственно плотность, давление, энтальпия торможения, «ИЛ.Д и абсолютная температура, U — вектор скорости, Н — вектор напряженности магнитного поля, — тензор напряжений, + i!±S + ^ 8-, (dl^).- ^ ,.

Ч * ч}^ 3xL) И Ч ' 4 ^ ^Kj.

— символ Кронекера, — декартовы координаты точек области течения, «t — время, — теплоемкость при постоянном давлении, ^ - магнитная проницаемость, Const>оз и W — коэффициенты магнитной вязкости и теплопроводности, К >. о^и у, ^ - обычный и второй коэффициенты вязкости,.

Система дополняется уравнениями состояния, причем обычно рассматривается совершенный политропный газ: где? — внутренняя энергия, Су — теплоемкость при постоянном объеме.

Основные уравнения магнитной газовой динамики (мгд) (0.1) являются нелинейными и относятся к системе составного типа. Система уравнений мгд (0.1) более сложна по сравнению с системой уравнений Навье-Стокса вязкой сжимаемой жидкости, свойства которых еще полностью не изучены. Надо сказать, что математические свойства основных уравнений мгд еще менее исследованы. В силу нелинейности и отсутствия определенного типа не существует общего метода отыскания решений системы уравнений (0.1). Поэтому одним из основных мощных способов решения задач мгд является конечно-разностный метод или метод сеток. Известно, что для линейных дифференциальных уравнений существует хорошо развития теория разностных схем, а для нелинейных уравнений в частных производных теория разностных схем менее развита.

В связи с этим и вышеуказанными многочисленными приложениями практическая потребность решения задач мгд повышена.

Поскольку между уравнениями Навье-Стокса и уравнениями мгд существует широкая аналогия [I}, то естественно, что для решения задач мгд можно применять методы и идеи, используемые в вязкой газовой динамике. Поэтому кратко остановимся на результатах по уравнениям вязкого сжимаемого газа. Вопросы корректности краевых задач для системы уравнений, описывающих движение вязкой сжимаемой жидкости исследовались в работах Д. Серри-на [3], Д. Нэша [4], И. Итая [51 — [71, А. И. Вольперта и С.И.Худя-ева [8], В. А. Солонникова [91, А. Тани [10, III, Я. И. Канеля [12],.

A.В.Кажихова [131 — [19], А. Мадумуры и Т. Нишиды [20, 211,.

B.В.Шелухина [22] - [2б] и других авторов. Разрешимость уравнений вязкого газа в целом по времени изучена в настоящее время только в случае одномерного движения с плоскими волнами. Исследование корректности в целом начально-краевых задач для упрощенных моделей (модель Бюргерса, модель баротропного газа) проведено в работах [б1, [п]. В работах [l3l, [14] А. В. Кажиховым был предложен другой способ получения априорных оценок и в [l5l — [l9] им установлены глобальные теоремы существования основных начально-краевых задач и задачи Коши для полной системы одномерных уравнений вязкого газа и исследовано поведение решений при неограниченном возрастании времени. Некоторые качественные вопросы теории дифференциальных уравнений вязкого газа, как вопросы существования периодических, почти периодических и ограниченных решений, стабилизации решений исследованы В.В.Ше-лухиным 1.22] - [26], а в [271 — [29] получены результаты, относящиеся к одномерным осесимметрическим течениям. Неоднородные краевые задачи для уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости исследованы в [.30] - [331- отметим, что на трудности в неоднородных задачах впервые обратил внимание Н. Итая [6^. Более подробный анализ исследований по корректности моделей вязкого газа приведен в монографии [" 343. и обзорной статье ['21. Численным методам решения задач вязкого сжимаемого газа посвящено довольно много публикаций (см. [35 — 40} и библиографии к ним), в которых предложены различные схемы, однако существует мало работ со строгими математическими результатами по обоснованию их устойчивости и сходимости. Вопросы устойчивости и сходимости разностных решений для уравнений вязкого сжимаемого газа в настоящее время изучены только в случае одномерного движения. В цикле работ [41 — 43-] Ш. Смагулова, Б. Г. Кузнецова и Ш. Смагуло-ва эти вопросы исследовались только для простейших моделей (модель Бюргерса, модель баротропного газа) и лишь недавно Ш. Смагуловым [44^ доказана сходимость построенных им разностных схем, аппроксимирующих одномерные уравнения вязкого сжимаемого газа с учетом теплопроводности. Следует упомянуть работу Т. Нишиды и Д. Смоллера [45}, в которой доказывается сходимость класса конечно-разностных аппроксимаций для одной нелинейной параболической системы дифференциальных уравнений.

Основным объектом нашего исследования является система уравнений (0.1) в случае одномерного движения. Предположим, что а) течение вязкой сжимаемой жидкости параллельно оси ос. и имеет одну компоненту и вектора скоростиб) магнитное поле И является плоским и перпендикулярным к полю скоростив) все величины являются функциями только от одной пространственной декартовой координаты ОС и от времени «t. Тогда система (0.1) при сделанных выше предложениях и 09 s-C.on.S't^o, const > О поле некоторых преобразований запишется в виде [I» }.

0.2).

Математические трудности, возникащие при анализе уравнений (0.2), как и в случае вязкого газа без учета магнитного поля, связаны с необходимостью иметь оценки строгой положительности и ограниченности плотности ^ .

Наряду с системой (0.2) рассматривается более простая модель, учитывающая по-прежнему свойства вязкости и сжимаемости среды, ею являются уравнения баротропного движения газа в магнитном поле, когда давление р зависит только от плотности ^ at.

Как видно, от системы (0.3) уравнение для температуры Q отделено и решается после определения скорости, напряженности магнитного поля и плотности.

Исследование корректности в целом задачи Коши и краевых задач, а также поведения решений при t для системы (0.3) было проведено Ш. Смагуловым ?46]. В серии работ⁴⁷ — 50^ И. Ферсте установлены локальные теоремы для различных моделей (0.1). Для модели более близкой системе. (0.2) глобальная теорема существования получена А. В. Кажиховым ?51].

Из (0.1), пренебрегая влиянием сжимаемости среды, получим систему уравнений магнитной гидродинамики. Вопросы разрешимости краевых задач для системы уравнений магнитной гидродинамики исследовались в работах О. А. Ладыженской и В. А. Солонникова ?52], [531, Ш. Сахаева и В. А. Солонникова [54], Л. И. Ступялиса ?55, 5б}. В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных численным методам решения задач магнитной гидродинамики (см. ?40*1, [57 — 5S[1 и библиографии к ним). Отметим, что в основе предложенных в «?57}, ?59} алгоритмов численного решения системы уравнений магнитной гидродинамики лежит идея расщепления исходной системы дифференциальных уравнений на отдельные группы: уравнения газовой динамики, уравнение энергии и уравнения, определяющие электромагнитное поле, которые решаются методом конечных разностей с последующей совместной их итерацией. Однако все еще отсутствуют работы. со строгими доказательствами устойчивости и сходимости разностных схем для уравнений магнитной газовой динамики, даже в случае одномерного движения.

Известно, что в одномерных нестационарных задачах вязкой газовой динамики априорные оценки удобнее всего получать в массовых лагранжевых переменных, переход к которым изложен в £3б], а для уравнений вязкого теплопроводного совершенного газа в С 34]. Поэтому исследование задач магнитной газовой динамики ведется в массовых лагранжевых переменных, поскольку после вывода априорных оценок строгой положительности и ограниченности плотности задачи в эйлеровых и лагранжевых переменных становятся эквивалентными.

Система (0.2) в безразмерных переменных Лагранжа имеет вид (см. ?34}, Цзб}) ay* at*.

3if ^ a**' ^ tf* лг^ЖЧ — U f± ч in. w ~ эх* ' vf* а** г г а** ' W*.

Здесь «Х*е (0,^ Theorist >0, J*=4/p* - удельный объемвведенный вещественный параметр n) фактически равен единице, в дальнейшем будем предполагать, что Oi ^^ 1 • Безразмерные переменные определяются соотношениями u*=u/ub f*.?/,?<, (c)» =&/©,, Н=Н/Н, гдеt, = Lfy /0/5) p, = 0/5)pIfy,.

Переменная C^ - массовая лагранжева координата, О — лагранжева координата, ^? Со L — длина отрезка x€[o|Q.

В дальнейшем для удобства записи в системе (0.4) знаки * будем опускать.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 76 наименований. Нумерация формул и теорем ведется отдельно в каждом параграфе. Параграфы для удобства разбиты на пункты. Объем диссертации 146 страниц.

1. Бай Ши-и. Магнитная газодинамика и динамита плазмы. — М.: Мир, 1964. — 301 с.

2. Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. -М.: Физматгиз, 1962. 248 с.

3. SestsUn У. On. of SfiusUoL VYWJtstK, ZcuL. XUch. Awed., 1959, V. 3, hi. 3, >. ZH-2,99.

4. УЬьуЛ' N. Л Susvuy, сУК the. ^лшем^АОьсА, zyutdbion. vertAM. лptx^su/te mx>ch? -Ьеллц. jou/ш, Ma*h. Kfoto^Uwtr. ,.

5. Вольперт А. И., Худяев С. И. 0 задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений. Мат. сб., 1972, т. 87, № 4, с. 504 — 528.

6. Солонников В. А. 0 разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости. В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций. У1. Зап. научн. семинаров ЛОМИ АН СССР, т. 56. -Л.: Наука, 1976, с. 128 142.

7. Tatti Л. Он Ыи. ииЛСаЛS^cn^vcicuc^ Vcl? ccCfiM. lei. 1. ДаЛМ. v. AO} ыА9 p. toq-^гг.Тсигс Л. On. -thej-u^S-t tIvUkCaJL-P tM&VL c4 COm, plZ4si@rLt ЛПЛип^ yyiabCQVL .fU*. iift^.Sei.^n^v.^w.^p.^-AW,.

8. Канель Я. И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа. Дифф. уравнения, 1968, т. 4, В 4, с. 721 — 734.

9. Кажихов А. В. Корректность в целом смешанных краевых задач для модельной системы уравнений вязкого газа. В кн.: Течение жидкости со свободными границами. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1975, вып. 21, с. 18 — 47.

10. Кажихов А. В. 0 глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа. В кн.: Динамика жидкости со свободными границами. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1976, вып. 24, с. 45−61.

11. Кажихов А. В. Некоторые вопросы теории уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости. В кн.: Нестационарные проблемы гидродинамики. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1979, вып. 38, с. 33 — 47.

12. Кажихов А. В. 0 стабилизации решений начально-краевой.задачи для уравнений баротропной вязкой жидкости. Дифф. уравнения, 1979, т. 15, J& 4, с. 662 — 667.

13. Кажихов А. В. К теории краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа. В кн.: Краевые задачи гидродинамики. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1981, вып. 50, с. 37 — 62.

14. Кажихов А. В. 0 задаче Коши для уравнений вязкого газа. -Сиб. мат. журн., 1982, т. 23, № I, с. 60 64.

15. Кажихов А. В., Шелухин В. В. Однозначная разрешимость в целом по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа. Прикл. матем. и механика, 1977, т. 41, В 2, с. 282 291.

16. Л1&Ь$ипилЛ4ъ J^ ushCdc^ Тr Т 1пЛ иплЛСаЛ vraMuc РЧ/MtmforЫы O^MUvbCevvs &fHutriCen. ojctnxi tovuiA^vvvUro. c^cus^ 4. Mouth, У^уоЪо№ 80з v. HOj N. l, p.$>4−404.

17. Л, t Nt^kiUsUТ. УъСАхаА •fowu^-fox, «the. моЪCon OOkV^t^SCMt лП4сои4 f^uA.- Con*.MM., МП, v/ttjp. 109−416.

18. Шелухин В. В. Стабилизация решения одной модельной задачи о движении поршня в вязком газе. В кн.: Некоторые проблемы математики и механики. Динамика сплошной среды. -Новосибирск, 1978, вып. 33, с. 131 — 146.

19. Шелухин В. В. Периодические течения вязкого газа. В кн.: Динамика неоднородной жидкости. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1979, вып. 42, с. 80 102.

20. Шелухин В. В. Существование периодических решений обобщенной системы Бюргерса. IMM, 1979, т. 43, вып. 6, с. 992 -997.

21. Шелухин В. В. Ограниченные, почти периодические решения уравнений вязкого газа. В кн.: Динамика неоднородной жидкости. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1980, вып. 44, с. 147 — 163.

22. Шелухин В. В. Движение с контактным разрывом в вязком теплопроводном газе. В кн.: Динамика жидкости со свободными границами. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1982, вып. 57, с. 131 — 152.

23. Николаев В. Б. О разрешимости смешанной задачи для уравнении одномерного осесимметричного движения вязкого газа. -В кн.: Динамика неоднородной жидкости. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1980, вып. 44, с. 83−92.

24. Николаев В. Б. Глобальная разрешимость уравнений движения вязкого газа с осевой и сферической симметрией. В кн.: Динамические задачи механики сплошной среды. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1983, вып. 63, с. 136 — 141.

25. Николаев В. Б. Глобальная разрешимость обобщенной системы уравнений Бюргерса в осесимметричном случае. В кн.: Задачи гидродинамики со свободными границами. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1984, вып. 64, с. 76−81.

26. Белов С. Я. 0 неоднородных задачах для уравнений Навье-Стокса вязкого газа. В кн.: Материалы ХШ Всесоюзной научной студенческой конференции. Математика. Новосибирск: НГУ, 1979, с. 18 — 24.

27. Белов С. Я. Разрешимость в «целом11 задачи протекания для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости. В кн.: Краевые задачи для уравнений гидродинамики. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1981, вып. 50, с. 3−14.

28. Белов С. Я. 0 задаче протекания для системы уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. В кн.: Динамика неоднородной жидкости. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1982, вып. 56, с. 22 43.

29. Белов С. Я. Задача о заполнении вакуума вязким теплопроводным газом. В кн.: Математические проблемы гидродинамики. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1983, вып. 59, с. 23 -38.

30. Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. НовосибирскНаука, 1983. — 319 с.

31. Полежаев В. И. Численное решение системы одномерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа. -Изв. АН СССР, сер. механики жидкости и газа, 1966, № 6, с. 34 44.

32. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их применения к газовой динамике. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1978. — 687 с.

33. Ковеня В. М., Яненко Н. Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981. — 304 с.

34. Численное исследование современных задач газовой динамики. О. М. Белоцерковский, Д. Г. Головачев и др. М.: Наука, 1974. — 397 с.

35. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. -616 с.

36. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. 2-е изд., исправл. и доп. — М.: Наука, 1980. — 352 с.

37. Кузнецов Б. Г., Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого газа. Препринт № 17, Новосибирск: Ин-т теор. и прикл. механики СО АН СССР, 1982. — 45 с.

38. Смагулов Ш. Об устойчивых разностных схемах дяя модели Бюргерса. В кн.: Динамика жидкости со свободными границами. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1982, вып. 57, с. 77 — 89.

39. Смагулов Ш. Об устойчивых дивергентных разностных схемах для уравнений вязкого газа. В кн.: Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. Новосибирск, 1983, с. 39 50.

40. Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого теплопроводного газа. Докл. АН СССР, 1984, т. 275, Jfc I, с. 31 35.

41. А/йЫи Т., $тхуЩл> 0. of fuwfce сЦ-^isocnct р irruxA^ow.

42. Кажихов А. В. Начально-краевые задачи для уравнений вязкого газа и неоднородной жидкости. Дисс. доктора физ.-мат. наук, Новосибирск, 1982. — 288 с.

43. Ладыженская О. А., Солонников В. А. Решение некоторых нестационарных задач магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости. Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН. СССР. — М. — Л.: Изд. АН СССР, I960, т. 59, с. 115 — 173.

44. Сахаев Ш., Солонников В. А. Оценки решений одной краевой задачи магнитной гидродинамики. Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. — Л.: Наука, 1975, т. 127, с. 76 -82.

45. Ступялис Л. И. Нестационарная задача магнитной гидродинамики. В кн.: Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 8. Зап. научн. семинаров ЛОМИ АН СССР. — Л.: Наука, 1975, т. 52, с. 175 — 217.

46. Ступялис Л. И. Нестационарная задача магнитной гидродинамики для случая двух пространственных переменных. Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. — Л.: Наука, 1980, т. 147, с. 156 168.

47. Самарский А. А., Волосевич П. П., Волчинская М. И., Курдю-мов С. П. Метод конечных разностей для решения одномерных нестационарных задач магнитной гидродинамики. Журн. выч. и матем. физики, 1968, т. 8, № 5, с. 1025 — 1038.

48. Попов Ю. П., Самарский А. А. Полностью консервативные разностные схемы для уравнений магнитной гидродинамики. -Журн. выч. матем. и матем. физики, 1970, т. 10, № 4,с. 990 998.

49. Кацнельсон С. С., Славин B.C. Расчет нестационарных одномерных задач магнитной гидродинамики в эйлеровых координатах. В сб.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1975, т. 6, № 5, с. 51 — 71.

50. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука, 1973. 407 с.

51. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Ha-jjка, 1967.736 с.

52. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. — 587 с.

53. Ривкинд В. Я. Сеточный метод решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости. Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. — Л.: Наука, 1973, т. 125, с. 173 — 186.

54. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

55. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. — 352 с.

56. Самарский А. А., 1Улин А. В. Устойчивость разностных схем. -М.: Наука, 1973. 416 с.

57. Кузнецов Б. Г., Смагулов Ш. Об аппроксимации уравнений Навье-Стокса уравнениями эволюционного типа. В кн.: Семинар «Численные методы решений уравнений баланса» .- АиХ. IUvjAvl 2)2)Я — Rep. MROF/SO, ie#0 } s, qe.

58. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1982. 331 с.

59. Новиков В. А. Теоремы существования и единственности для одной нелинейной системы. В сб.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1975, т. 6, № I, с. 75 -92.

60. Шелухин В. В. Параболическая аппроксимация одной модели вязкого газа. В сб.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1979, т. 10, J& 5, с. III — 126.

61. Фридман А. А. Уравнения параболического типа. М.: Мир, 1968. — 427 с.

62. Байбатшаев Б. Н. О приближенных методах решения одномерных уравнений магнитной гидродинамики. В кн.: Математическиепроблемы гидродинамики. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1983, вып. 59, с. 3 22.

63. Смагулов Ш., Байбатшаев Б. Н. О разрешимости и приближенных методах решения уравнений магнитной гидродинамики. -В кн.: Краевые задачи для нелинейных уравнений. Новосибирск, Ин-т матем. СО АН СССР, 1982, с. 62−68.

64. Байбатшаев Б. Н., Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого теплопроводного газа. В сб.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1984, т. 15, & 5, с. 31 — 47.

65. Байбатшаев Б. Н. Об устойчивости и сходимости разностных схем для одномерных задач магнитной газовой динамики. -В кн.: Тезисы докладов УШ Республиканской научн. конф. по матем. и механ., Алма-Ата, 1984, часть П, с. 9.

66. Байбатшаев Б. Н. О параболической аппроксимации уравнений магнитной гидродинамики. В кн.: Динамика неоднородной жидкости. Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1982, вып. 56, с. 8 — 21.