Краевые задачи для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа

Б силу своей исключительной прикладной важности теория уравнений смешанного типа в настоящее время стула одной из центральных проблем современной теории уравнений с частными производными.

В математической литературе имеются многочисленные работы отечественных и зарубежных авторов, в которых для уравнений смешанного типа исследуются основные краевые задачи (задача Трикоми, задача Гел-лерстедта, общая смешанная задача Бицадзе, задача Франкля) и ставится ряд новых задач. Достаточно полная библиография по теорий краевых задач для уравнений смешанного типа содержится в монографиях А. Б. Бицадзе [4И, 4.2}, Л. Берса [4.3], К. Г. Гудерлея [4.4], а также в докторской диссертации A.M.Нахушева [6.1] и в книгах Ш, М. Смирнова [4.5, 4.29].

Среди работ последних лет, опубликованных в центральных изданиях, следует отметить работы А. Б. Бицадзе [5.1,5.?,], В. К. Врагова [5.3], Н. К. Гайдая [5.41, Д. К. Гвазава [6.2], В. П-^идешсо [5.5], М. М. Зайнулабидова [5.6, 5.7], Т. Ш. Калъменова [5.0−5.91, Г. Д.Каратоп-раклиева [5.10, 5.111, М. Мередова [5.12, 5.131, Е. И. Моисеева [5.14−5.17], A.M. Нахушева [5.18−5. 21 ], С. М. Пономарева [5.22−5.25 I, Н. Й. Поливанова Г5.26], М. С. Салахитдинова, А. Хаоанова [5.271, P.ii.Соха дзе [5.2Э].

В этих работах исследовались в основном локальные краевые задачи для уравнений смешанного эллшгтико-гишрболического типа, как о одной, так и с двумя параллельными или перпендикулярными линиями изменения типа в плоек сти и пространстве. Что касается нелокальных краевых задчч для вырождающихся гшерболических уравнений и краевых задач для уравнений мешанного гиперсолпараболического типа, то им посвящено сравнительно мало работ (4,6, 5,29−5.70, 5.131−5.133*1.

Между тем эти уранедая так же как эллептико-гиперболические лежат в основе математических моделей различны! природных явлений. Локальные и нелокальные краевые задачи для таких уравнений встречаются, например, при изучении движения малосжимаемой жидкости в канале, окруженном пористой средой 15.711, в теории распространения электромагнитного поля в неоднородной среде, состоящей из диэлектрика и проводящей среды, и в ряде других областей физики. Так, в канале гидродинамическое давление жидкости удовлетворяет волновому уравнению, а в пористой среде — уравнению фильтра! Ш, которое в данном случае совпадает с уравнением диффузии [4.71. При этом на границе канала выполняются некоторые условия сопряжения. Аналогичная ситуация имеет место для магнитной напряженности электромагнитного поля в указанной выше среде [4.8].

Распространение установившихся волн в стратифицированной жидкости, занимающей неограниченную область, когда частота установившихся колебаний у меньше частоты Вейсяля-Врента, уравнение для амплитуды установившихся колебаний является уравнением гиперболического типа, а если частота установившихся колебаний ы совпадает с частотой Вейсяля-Врента, то происходит параболическое вырождение Г4.301. Многие математические модели теплои массобмена в капилярно пористых предах пластовых систем [4.31], формирования температурного поля в системах, составленной из теплоизолированных с боковой поверхности, ограниченного и полуограниченного стержней с различными тешюфизиче скими свойствами сводятся к задачам для смешанных гиперболо-параболических уравнений, вообще говоря, с разрывными коэффициентами [5.72−5.74, 4.32].

За последние года существенно повысился интерес к нагруженным операторам и их приложениям. В работах [5.134−5.1371 дано общее определения нагруженных интегральных, функциональных и дифференциальных уравнений. Исследован ряд важнейших задач .для основных типов нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных и даны их приложения к долгосрочна>му прогнозу почвенной влаги и динамики грунтовых вод, установлена существенная взамоевязь между нелокальными задачами и нагруженными уравнениями.

Настоящая диссертация посвящена линейным локальным и нелокальным краевым задачам для вырождающихся гиперболических, нагруженных, смешанных гиперболо-параболических типов уравнений второго и третьего порядков с двумя независи мыми переменными, и в ней получены следующие основные результаты.

1. Полностью исследован вощюс однозначной разрешимости видоиз-менненых задач Ноши и нелокальных краевых задач со смещением для гиперболического уравнения с одновременным вырождением типа и прядка яа часта границы.

2. Доказаны теоремы единственности и существования решения краевых задач со смещением для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа с разрывными коэффициентами.

3. Для широкого класса гиперболо-параболических операторов с йе-ха, зктеристической линией изменения типа получены априорные Оценки, из к.-торых, в частоности, следует единственность регулярного решения аналога задачи Трикоюи.

4. Достроена теория как классической, так и обобщенной задачи Трикоми для /равнений смешанного гилерболо-параболического типа.

5. Исследован до конца ряд локальных и нелокальных краевы >- задач для нагруженных, смешанных, смешанно — составных уравнений пиперболо-параболического типа второго и третьего порядков.

Перейдем теперь к более детальному изложению содержания диссер таций, состоящей из четырех существенно взаимосвязанных глав.

1.1. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного Типа.-М.: Ивд во АН СССР, 1959. -164 с.

2. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных произвол—М.: ЬТзд-во «Наука», 1981. -443 с.

3. Берс Л. Матемдтические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики.-М.: Йзд-во ИЛ., 1961. -203 с.

4. Гудррлей K.P. Трия околозвуковых теме ний.-М.- № д • ИЛ., 1960. -421 с.

5. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа.-М. Мзд-во «Наука», 1970. -295 о.

6. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений мешанного и смешанно-составного ТИПОВ.-Ташкент.: Нзд-во «Фан» 1979. ?3S о.

7. Вицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. -М.: Изд-во «Наука». 1968. -234 с.

8. Трякоми Ф. Лекции по уравнениям с частными произг дешми. -М.: Изд-во ИЛ., 1957. -443 с.

9. Гурса д. Курс математического анализа. -т.З, часть 2. -МЛ.: 1&34. ->20 с.

10. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. -МЛ.: 1953. ->79 е.

11. Арре/ Р. Кагоре *Г. de Perlet Fonction hlperç-eometriqueя et hiperafheriques. Pollnomes delimite Gantier УШагя, Parts, 1926. -2T4 p.

12. Положий Г. П. Уравнения математической физики. -М.: Изд воВысшая школа", 1984. «59 о.

13. Карташов Э. М. Аналитические метода в теории теплопроводности твердых тел. -М: Изд-во «Высшая школа», 1985. -480 с.

14. Мартиненк H.A., Пустильников Л. М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами. -М&bdquo— Мзд-во «Наука», 1936, эоз.

15. Карсдоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. U.: Изд-во «Наука», 1947. -288 с.

16. Векуа И. Н. Новые методы решения эллиптических уравненийМЛ.: Физматгиа, 1959. -628 с.

17. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. -М.: Изд-во «Мир», 1985. -590 с.

18. Ляпин E.G. Курс высшей алгебры. -М.: Учпедгиз, 1953. -342 с.

19. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. Огиз, 1947. -192 с.

20. Бабич В. М., Капилевич М. Б. и яр. Линейные уравнения математической финики. -М.: Изд-вс «Наука», 19G4. ¦

21. Джураев Т. Д., Сопуев Д. С., Мамажанов М. Краевые задачи дли уравнений параболо-гиперболичнсеого типа. -Ташкент: Йзд воФан". 1986. -220 с.

22. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. -М.: Иэд-во." Высшая школа", 1985. -304 с.

23. Габов С. А., Свешников Д. Г1. Задачи динамики стратифицирован ных жидкостей. М.: йад-во «Наука», 1982. -389 с.

24. Асиз X. Сетгари Э. Математическое моделирование пластовых систем. -М.- Изд-во «Недра», 1982. 407 с.

25. Щашков А, Г. Системно структурный анализ процесса теплообмена и его применение. -М.: Эиергоиадат, I983. -27 * ¦

26. Бицадэе A.B. К теории одного класса уравнений смешанн г > типа. Некоторые проблемы математики и механики. -Л.: 197Q. -с. 112−119.

27. Бицадзе A.B. К теории owr класса нелинейных уравнений в частных пр изводаых //Дифференц, уравнения. -1977. т.13 т. -с. 1994;2008.

28. Врагов В. Н. К теории краевых задач для уравн ний смеш ihh г^ типа в пространстве t 'Дифференц. уравнения. 1977.-т.17, #1. -с. 1098 -110 °F.

29. Гайдай H.H. О существовании спектра для оператора Трикоми//Дифф<�ренц. уравнения. -1981. -т. 17,№ 1. -с. 31−38.

30. Диденко Б. П. об обобщенной разрешимости граничных в. чдач дляистем дифферонциальных уравнений смешанного типа /ДифФеренц, уравнения. -1973. -т.8, #1. -с, 24−29.

31. Зейнулабидов М. М, 0 некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями выроидения/УДифференц. уравнения. -4969.-т.5, *1. -с. 91−99.

32. Зейнулабидов м.м. Об одной краевой ' задаче для модельного уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения/ ДАН СССР. -1969. т. 188, Яб. с. 986−989.

33. Кальменов Т. Ш. О спектра задачи Трикоми для уравненияЛаврентьева-Биц.две /Диффе>ренц, уравнения. -ЮТ,-т. 13, №. -с. 1718−1725,.

34. Кальменов Т. Ш. О полупериодической задаче Дирихле для одногокласса уравнений смешанного типа /¦'Дифф^ренц, уравнения. -1978. -Т, 14* № 3. -С. 1673−1682.

35. Мередов М. Об одной краевой задаче для одного класса смешанных ураМений//ДифференЦ. уравнений. -1981. -т.17, Мб. -с. 1734 1739.

36. Мередов М. Краевыеадачи для системы многим" рных смешанных уравнений //Дифференц. уравнения. -1981. -т.17, ."6. -с. 836−892.

37. Моисеев Е. Й. НвК' торые т-оремы сдшств-нно'-тн для уравнениясмешанного типа //ДАН СССР. -1978. -т.238, № 3. -с. 531−533.

38. Моисеев Е. И. О теоремах единственности для уравнения смешанного типа //ДАН СССР. -1978. -т.242, ЛИ. -с. 48−51.

39. Моисеев Е. И. О задаче Трикоми для уравнения Геллеротедта //ДАН СССР. -1979. -т.246, №. -275−278.

40. Моисеев Е. И. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Вицадзе //Дифференц, уравнения. -1981. -т.17, №.-с, 325−338.

41. Нахушев A.M. Краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения //ДАН ССОР. -1966. -т.170, № 1 ,-с.38.39.

42. Нахушев A.M. Критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической областиДифференц. уравнения. -1970* -т.6, -с. 190−191.

43. Нахушев A.M. Об одной задаче А. В. Вицадзе / ДАН СССР. -1970. -Т.192, ЯЗ. -с. 499−502.

44. Нахушев A.M. К априорным оценкам для задачи Трикоми и Дарбу //Дифференц. уравнения. -1972. -т.8, #1. -с. 107−117.

45. Пономарев С. М К задаче на собственные значения для уравне-нения Лаврентьева Вицадзе //ДАН СССР. -1979. -т.233, #1. -с. 39−40.

46. Пономарев С. М. Об одной задаче на собственные значения //ДАН СССР. -1979. -т.249, Я5. -С. 1068−1070.

47. Пономарев С. М. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в трехмерных областях //ДАН СССР. -1979. -т.246, J66. -с. 1303−1306.

48. Пономарев С. М, 0 некоторых краевых задачах для уравненийсмешанного типа со спектральным параметром //ДАН СССР. -Т.260, т. -с. 1074−1078.

49. Поливанов Н. И. Уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в неограниченных областях.П. существование сильного решения //Дифференц. уравнения. -1978. -т.14, М. -с. 665−679.

50. Салахитдинов М. С., Хасанов А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения //Дифференц. уравнения. -1983. -т.19, ЛИ. -с. 110−119.

51. Сохадзе Р. И. Первая краевая задача для уравения смешанного типа с весовыми условиями склеивания вдоль линии параболического вырождения //Дифференц. уравнения. -1981. -т.17, №. -с. 150−156.

52. Бясихатлов Х. Г. Об одной краевой задаче .для смешанных парабола-гиперболических уравнений с характеристической линией изменения тина //Дифферент, уравнения. -1977.-т.13, J&1. -с. ю-16.

53. Бжихатлов Х. Г. Краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения и сингулярные уравнения третьего рода //Дифференц. уравнения, -1971. -т.7, JBT. -с. 3−14.

54. Бицадзе A.B. К теории уравнений смешанного типа, порядок которых вырождается вдоль линии изменения типа. Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. -М.: -1972. -С. 47−52.

55. Волкодавов В. Ф., Носов В. А. Доказательство единственности решения одной задачи со смещением для уравнения Эйлера-Дарбу общего вида, Рязань. В сб.- «Дифференц. уравнения». -1976.-вып.8. -с. 78−96.

56. Врагов В. Н. О задаче Копш для некоторых гарабологиперболических уравнений //ДАН СССР.-t973. -т.£12, AS. -с.536−638.

57. Врагов В. К. О смешанной задаче для одного класса гипербо-ло-параболичеоких уравнений //ДАН СССР. -1975.-т.224, J&. -с. 273−276.

58. Врагов Р-.И. Сметанная задана для одного класса гит-рболо-параболичесяш уравнений второго порядка // «ДиффереЩ. уравнения». -1976. -тЛ2, #1. -с. 24−31.

59. Гайдук С. И., Иванов A.B. Об одной задаче на сопряжение уравнений параболическое ¦ и гиперболического типов -'ДАН СССР. -1964. т.8, №. -с. 560−563.

60. Гайдук С.Ii. Применение метода контурного интеграла к оеше-нют эдной задачи на. спряжение уравнений п <раболическ >рс и гиперболического типов //" Дифференц, уравнения*. -1965. -т.1, № 10. -с. 1366−1382.

61. Джураев Т. Д., Шарифбаев Я. С. О некоторых краевыхздачах для уравнения с частными производными третьего п рядка / В кн. Краевые задачи для дифференциальных уравнений, Изд-во «Фан». 1974, серия физ.-мат.наук, ЯЗ. -с. SO-86.

62. Джураев Т. Д., с гтуев А. Об одной пространственной задаче для уравнения смешан®гс пэрабсло-гиперболиченг тина '/Диф Ференц, уравне ния4. -1981. -т.17, ?1. -с. 50 57.

63. Ю. Джураев Т. Д., Мамажшсв М. О корректной постановке краевых задач для ода го класса трапн-ний тр-зтье-г порядка параболгшгерболическ го типа У" 1Щференц. уравнения". -1933.-т. 19, #1. -С. 57−50.

64. Капустин Н.FD. К теории краевых задач для систем уравнений смешанного типа //" Дифферент уравнения". -1983. -т.18, Мб."-с. 1078−1080.

65. Капустин Н. Ю., Сабитов К. Б. О решении одной проблемы в-теории задачи Фртшш для уравнений смешанного типа, '" Диф-ференн. уравнения". -1991. -т.27. JN6. -с. 80−68.

66. Капустин н.ю. Об обощеннсй разрешимости задачи Трикоми для параболо гиперболического уравнения //дан ссср. -1984. -т.274. 166. -с. 1294−1298.

67. Кумыкова С. К., — Нахушева Ф. Б. Об одной краевой задаче для гипврОолическорп уравне шя, вырождающегося внутри о’ласти //" Дифференц. уравнения". -1973. -т.14, т. -с. 50−65.

68. Кумыкова С. К. Краевая задача со смещением для вырождаще-гося внутри области гиперболического уравнения '" Дифференц. уравнения" * -1980. -т.16, -с. 93−104.

69. Кумыкова С. К. Задача с нелокальными условиями на, щуЛ кт<- рИТШ yfi ¦ ькТри ' f iOTH I’ll- ¦ ли ческого уравнения / '^Дифференц. уравнения" 1981. Mr, .№ 1. -с. 82−90.

70. Кхан М. Р. Краевые задачи со смещением дал гиперболическ г уравяенщг -/ «ЯиФЗ>:ренц. уравнения», -1Э82, -т.п. J6. -с. 1082−1085.

71. Шщсо А. Ф, ОС одной нелокальной задаче для ypai нлиия Смешанного параболо гиперб оличе ског типа — «Дй^ференц. уравнения». 1978. -т. 14, №.1 -с. 18Е 186.

72. Haubo А.ф. Нелокальная задача для одного уравнения омевглиног: — гиперболепараболического типа «ДЭДференц.уравнения». -1979. -т.15, #1. -с. 176−177.

73. Нагорный A.M. Краевые задачи для вырождающегося уравнения гиперболо-параболического типа //Изв.АН УзССР. -198! серия Физ.~ мат. наук, JE. -с. 32−36.

74. Нахушев A.M. О некоторых краевых садачах Для гиперболически/. уравяегягй и, равнений смешанног тип: г «Диффе ренц, ур^в-НИЯ». -1969. -Т.5, ЛИ. -о. 44−59.

75. Нахушев A.M. Новая краевая задача для одного вырождавдегося гикерболическ го уравнения //ДАН СССР. 1969. -т.187, № 4. -С. 736−739.

76. Ежихатлов I.V., Нахушев А, МОб одной краевой задач"? для уравнении смешанного парабологиперболического типа ДАН СССР. -1968. -т.183, Ж1, -с. 261−264.

77. Нахушев A.M. К теории краевых задач для уравнений смешанного гиперболпараболического типа /ДАН СССР.-1977. т.235, т. -с. 373−2,76.

78. Нахушев A.M. К теории линейных краевых задач для уравнения второго порядк i смешанного гидарболо-пара^одического типа //" Дифференц. уравнения". -1978. -т.14, #1. -с. 66−73.

79. Попиванов Н. И. Теория краевых задач дня гиперболо параболических уравнений в многомерных областях 'ДБАН, г. г. -фия.-1931.-с. 88−119.

80. Поливанов Н. И. О краевых задачах для гипербола парэболи-боличэских уравнений //" Дифферент уравнения" .-1984. -т.20, № 1 .- с. 104−115.

81. Салахитдинов М. С., Толипов А. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с одной и двумя линиями вырождения //" Дйфференц. уравнения". -1972. -т.В, № 1.-0.134−133.

82. Салахитдинов М. С., Толипов А. О некоторых краевых задачах для однстс класса уравнений смешанного типа /ЛДифференц.уравнения" .-1973. -т.№.-с. 175−183.

83. Салахитдинов М. С. Мирсабуров М. О некоторых краевых задачах со смещением для уравнения гиперболического типа, вырождающегося внутри облаете УЙзв. № УзССР, серия фи-. -мат. наук, -1980. -с. 16−21.

84. М.С., Мирсабуров М. О некоторых краевых зчдечах для гиперболического уравнения, вырождащегося внутри области/^{Дифферент.} уравнения" .-1981.-т.17, №. -с.129−136.

85. Салахитдинов М. С., Бердыше в A.C. Задачи Трикоми да уравнения смешанного параболо-гиперболического тина // Изв. УзССР, серия фиэ. мат.наук.- 1933. с.20−25.

86. Смирнов М. М. Краевая задача типа Вицадзе Самарского для одного уравнения смешанного типа второго рода // Вестник ЛГУ. -1979. -выпуск 1. -0.77−83.

87. Стручина Г. М. Задача о сопряжении двух уравнений //Инж.-физ. журн.~1961 .-т.4, *11 .-с.99−104.

88. Лыков A.B. Применение’методов термодинамики необратимых процессов к ио ледоьанию тешк и маое" >бмена йнж. физ.журн.- 1Эбб. -т.9, яз.-с.132−138.

89. Вицадзе A.B. Линейные уравнения с частными произг дннми мешанного типа Тр .3 Все союзы, матем. ¦ зда.- М.: 1956.-С. 36−42″.

90. Терсенов С. А. Об одном уравнении гиперболического типа, вырождающегося на граница //ДАН СССР. 1959.-т.129, М2, -С. 276−279.

91. Терсенов С.A. FC теории гиперболических уравнений с даннымина линии вырождения //Сибирок, метем.журн. 1Э61. -т.9, W. -с. 913−935.

92. Терсенов С. А. О задаче с данными на линии вырождении для систем уравнений гиперболического типа / ДАН СССР. -1964.-т.155, *й. -с-285−288.

93. GeZZerstedt S, Sur une equation Zineare aux dirlveespartieZXes de type mixte Arkiv Mat,., Astv. ocli Fyslk, 25A"29, 1937. p. 1−23.

94. Piatrier. Comptes Rendus. 1913. -v.156, Л24. — p. 28−31. 5.37. Weinstein A. On the wave equation and th equation of euber-Poisson. The Fifth symposium in AppZiend Math. Mcbraw-НШ York.- 1954. p. 137−147.

95. Кароль И, Л. Краевые задачи для уравнений смешанного аллиптико-гипврболгического тина //ДАН СССР. -1955. -т. 101, je. -с. 793−796.

96. BZum E.K. The solution of the EuZer-Poisson-Barooux equa-tionfor negative values of the poraroeter Duke Kath. J. -1954. v.21, Лй. p. 257−270.

97. Generated! S. Sur un prooZeme aux 11mites pour un equation ltneare aux derive! s mixte, These UppsaZa, 1935.-92 p.

98. Елеев В.A. Краевая задача для одного уравнения гиперболопараболйческ.-г'" ' типа Орджоникидзе, COPv: вып. З, 1976. -С. 31−37.

99. Елеев В. А. О некоторых задачах типа задачи Коши и задачисо смещением для одного вырождающегося гиперболическогоуравнения // «Дифференц. уравнения». -1976. -т.12. П. -с. 46−58.

100. Клеев В. А. Аналог задачи Трикоми для смешанных парабологиперболичеоких уравнений с нехарактери Tire окой линиейизменения типа. //" Диф^ренц. уравнения". 1976. -т.13, !1. -с. 56−63.

101. Елеев В. А. Обобщенная задача Трикоми для смешанных параболе-гиперболических ур ®-не ний//Тезисы докладов республиканского симпозиума по дифференциальным уравнениям. Ашхабад. -1973. -с. 12−13.

102. Елеев В. А. Обобщенная задача Трикоми для смешанных гиперболо параболических уравнений //" Дифференц. уравнения". -1979. -т.15, т. -с. 41−53.

103. Елеев В. А. Обобщенная задача Трикоми для модельного уравнения гиперболо-параболического типа //Краевые задачи дляИ—.Т.: CM-l^iHH Р-: и рО. ДСГР'ЧШГК' П «Л'-ми фуНКПНналыюге анализа и прикладной математики. -Нальчик, вып.2, -1979. -с. 128−131.

104. Гвазава Д. К. О некоторых классах нелинейных уравнений еме смешанного типа. Докт.дисс., Тбилиси, -1979.

105. Бабевко К. И. К теории уравнений смешанного типа. Докт. дисс, (библиотека Института математики .РАН). -1953.