Классическая разрешимость задачи Коши для параболических уравнений

В общей теории дифференциальных уравнений с частными производными особое место занимает проблема поиска условий классической разрешимости различных начально-краевых задач для основных уравнений математической физики. Даже в самых простых случаях эта проблема до сих пор остается актуальной. Рассмотрим, например, задачу Коши для уравнения теплопроводности.

Щ = ихх + f (x, ?) при I > 0, и (х, 0) = у>(х). (0.1).

Напомним, что классическим решением этой задачи называется непрерывная при? > 0 функция и (х:?), имеющая при? > 0 непрерывные производные щ, ихх и удовлетворяющая уравнениям (0.1).

Хорошо известно, что задача Коши (0.1), вообще говоря, не имеет классического решения, если функция f{x, t) только лишь непрерывна и не подчинена каким-нибудь дополнительным ограничениям. Уже в случае, когда правая часть не зависит от переменной ж, в классе ограниченных функций и (х^) задача (0.1) с нулевыми начальными данными эквивалентна обыкновенному дифференциальному уравнению (см. [1]) и'(г) = /(?) при? > 0, и (0) = 0, (0.2) необходимым и достаточным условием классической разрешимости которого является непрерывность функции /(?) при? > 0 и сходимость несобственного интеграла Римана 1 /(*) М < оо. о.

Однако никаких эффективных необходимых и достаточных условий сходимости несобственных интегралов не существует.

Естественно, что для задачи (0.1) дело обстоит еще сложнее. В частности, в рассмотренном случае обыкновенного дифференциального уравнения (0.2) непрерывности и ограниченности правой части /(?) достаточно для существования классического решения, а в случае задачи (0.1) это не так. Имеется пример равномерно непрерывной ограниченной функции /(#,?), для которой не существует классического решения задачи (0.1) (см. [2]).

В некоторых случаях можно сформулировать необходимые и достаточные условия классической разрешимости задачи (0.1) в терминах свойств интеграла, представляющего собой свертку правой части с фундаментальным решением уравнения. Такие условия оказываются трудно проверяемыми, но тем не менее представляются полезными, так как они проясняют роль интеграла Дюамеля в проблеме построения классических решений. Например, справедливо следующее утверждение.

Пусть функция бесконечно дифференцируема в полосе х? М,? Е (0,Т]} и для каждого е? (0,Т) удовлетворяет условию тах|/(М)| <�С{е)гмЫ где М > 0 — некоторая постоянная, не зависящая от е. Для того чтобы существовало ограниченное классическое решение задачи (0.1) с нулевыми начальными данными, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое положительное То, при котором функция.

1 Г [. 1 е~(х~?)2//(? т) ¿-^т при I > е,.

О при£ <? определена на множестве {х? ?? [О, То],? ? (О, То]} и равномерно сходится при ?—> О на любом компакте х < А < оо,? ? [О, То] к некоторой ограниченной функции ь (х, ?).

Необходимость этого условия следует из теоремы 4 и замечания б второй главы диссертации, а достаточность нетрудно доказать, используя гипоэллиптичность оператора теплопроводности.

Данное необходимое и достаточное условие является, вообще говоря, неэффективным, однако, когда функция /(#,?) не зависит от переменной х, оно совпадает с приведенным выше необходимым и достаточным условием классической разрешимости задачи Коши (0.2) для обыкновенного дифференциального уравнения и является его обобщением на многомерный случай. В обоих примерах его можно сформулировать как существование свертки правой части с фундаментальным решением соответствующего уравнения, но в общем случае в отличие от задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения необходимо дополнительно потребовать равномерную сходимость интеграла, представляющего эту свертку.

Целью настоящей работы является поиск эффективных достаточных условий классической разрешимости задачи (0.1), близких к необходимым.

При изучении вопросов такого характера обычно указывают пару линейных многообразий V и Л и определяют в них нормы так, чтобы оператор задачи Коши (0.1) С и —>• (/, был изоморфизмом пространств V и Л и, кроме того, обеспечивал точные коэрцитивные оценки норм решений.

Поиск таких пространств V и 1Z начался еще в работах Ю. Ша-удера [3] и К. Чилиберто [4] и продолжается до настоящего времени (см. [5−22]). Фундаментальную роль в развитии этого направления сыграла работа Ю. Шаудера [3]. В ней впервые были получены априорные оценки решений линейных эллиптических уравнений 2-го порядка в нормах Гёльдера. Впоследствии все аналогичные оценки для решений различных квазиэллиптических уравнений стали называть «шаудеровскими». Лишь спустя 20 лет в 1954 году такого рода оценки удалось получить для линейных параболических уравнений 2-го порядка. Их впервые установил К. Чилиберто [4] в одномерном по пространственным переменным случае. Затем в работах А. Фридмана [5] и Р. Б. Бар-рара [6] они были распространены на многомерный случай. С помощью этих оценок удалось доказать разрешимость основных краевых задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений 2-го порядка (см., например, [8, 14, 9]).

В конце 50-х и начале 60-х годов разрешимостью различных начально-краевых задач для эллиптических и параболических уравнений и систем общего вида занимались многие авторы (см., например, [8−12]). Основополагающую роль здесь вновь сыграла работа по теории эллиптических уравнений [7]. В ней С. Агмону, А. Дуглису и JI. Ниренбергу удалось перейти от уравнений 2-го порядка к системам линейных и квазилинейных эллиптических уравнений произвольного порядка с общими граничными условиями. Развитие этой методики применительно к линейным параболическим системам в наиболее общей форме осуществлено в работе В. А. Солонникова [13]. В частности, показано, что в качестве множеств V и 7Z можно взять пространства функций.

V = с? аД+а/2(15, п = С*?2Щ) ® С2+а{R), 0 < а < 1.

Более широкие весовые гёльдеровские пространства, допускающие определенный рост при ЬЛ 0 как у функции так и у производных функции рассмотрены В. С. Белоносовым [18]. В обоих приведенных примерах старшие производные решения задачи (0.1) попадают в тот же класс функций, что и /(х, ?). В настоящее время аналогичные исследования проводятся уже для квазиэллиптических и квазипараболических систем (см. [21, 22]). В диссертации исследуется вопрос о классической разрешимости задачи Коши.

Ь (и) = ¡-(х^) при ж Е ИГ и * е (0,Г), 0) = у (х) (0.3) с равномерно параболическим оператором о п по п <-,. , ои ТГ-^. , О и, .. ои, .

М =94−1. М*. — Ь ^ &-Г в еще более широких пространствах функций.

Как упоминалось выше, обычно требуют, чтобы правая часть уравнения /(ж, €) и начальные данные (р (х) в той или иной форме удовлетворяли условию Гёльдера. Это условие можно трактовать как равномерную непрерывность со степенным модулем непрерывности со (6) = С5а. Возникает естественный вопрос: какие свойства модулей непрерывности коэффициентов уравнения, правой части и начальных данных гарантируют существование классических решений и точные коэрцитивные оценки их норм? Под точными коэрцитивными оценками норм решений мы понимаем то, что старшие производные решения задачи (0.3) попадают в тот же класс функций, которому принадлежит правая часть уравнения. Иначе говоря, модуль непрерывности старших производных решения совпадает с модулем непрерывности правой части.

Основным вопросом диссертации будет изучение условий коэр-цитивности задачи (0.3) в пространствах функций с квалифицированными модулями непрерывности. Обозначим через и модуль непрерывности начальных данных: и (6) = sup ip (x) — <�р (у). х-у<6.

Исследование однородной задачи Коши с такими начальными данными приведет нас к определению класса функций 1ZUjt, принадлежность которому естественно потребовать от правой части f (x, t), а желание получить точные коэрцитивные оценки однозначно повлечет определение класса решений VUit с тем же самым модулем непрерывности си. Будут установлены необходимые и достаточные требования к модулю непрерывности и, при которых оператор задачи Коши (0.3) является изоморфизмом пространств VWjt и Окажется, что эти необходимые и достаточные условия совпадают с хорошо известными условиями Зигмунда: j^drKC^S), f^dr.

О S.

Этот результат является содержанием первой главы диссертации (теоремы 1 и 2).

Анализ условий Зигмунда проводится в конце первой главы. Впервые они появились в теории рядов Фурье в работе А. Зигмунда (см. [23], а также [24]). Затем они в различных формах встречались в ряде других работ по рядам Фурье (см., например, [25, 26]). Однако их появление в изучаемом нами вопросе вовсе не обусловлено разложениями в ряды Фурье.

Заметим, что эти ограничения не позволяют существенно выйти за рамки степенных модулей непрерывности (утверждения 1, 3 и следствия 1−3). Если модуль непрерывности удовлетворяет условиям Зигмунда, то существуют постоянные 0 < (3 < а < 1 иСьС2>0 такие, что.

Схе < и{£) < при? е [0,1].

Обратное, вообще говоря, неверно. Существует пример выпуклого вверх модуля непрерывности оо*, не удовлетворяющего обопри Ь? [0,1], где 0 < (5 < а < 1 (утверждение 2). Условиям Зигмунда удовлетворяют, например, модули непрерывности вида со (Ь) = 1г/(1/£) с произвольными постоянными С > 0, е (0,1),/Зек.

В первой части второй главы диссертации найдено необходимое и достаточное требование к модулю непрерывности си, гарантирующее классическую разрешимость задачи Коши с нулевыми начальными данными в классе всех равномерно параболических уравнений с непрерывными по Гёльдеру коэффициентами, правые части которых обладают локальным модулем непрерывности со (теорема 3). Интересно, что данное необходимое и достаточное условие совпало с хорошо известным в теории рядов Фурье условием Дини:

Достаточность условия Дини была известна и ранее (см. [27, 30]), а его необходимость впервые доказана в диссертации. Построен пример ограниченной равномерно непрерывной правой части, зависящей от произвольного модуля непрерывности со как от параметра, для которой не существует классического решения задачи (0.1) с нулевыми начальными данными, если модуль непрерывности со не удовлетворяет условию Дини.

Таким образом, построена в некоторой степени законченная теория классической разрешимости задачи (0.3) в терминах модулей им условиям Зигмунда, несмотря на то, что < со*^) < ^ о непрерывности начальных данных и правых частей (см. также [27−32]).

Если рассматривать произвольные непрерывные начальные данные и правую часть уравнения (не являющиеся, вообще говоря, равномерно непрерывными), то мы приходим к проблеме поиска других подходов к нахождению условий классической разрешимости задачи (0.3). Основной идеей при исследовании данного вопроса в настоящей работе послужила следующая естественная аналогия. В случае задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности щ = ихх при t > 0, м (ж, 0) = (р (х), (0.4) где (р (х) — непрерывная функция, хорошо известен следующий результат [1].

Если в тихоновском классе функций существует классическое решение u (x, t) задачи (0.4), то для достаточно малых t > 0 оно представляется интегралом Пуассона со и'.

В связи с этим логично предположить, что для задачи (0.3) может иметь место следующее утверждение.

Если в тихоновском классе функций существует классическое решение и (х^) задачи (0.3) с нулевыми начальными данными, то для достаточно малых? > 0 оно представляется интегралом Дюамеля и (х, Г) =11 г{х, 1,?, т)/(?, т)<1?(1т,.

0 К" где Z (x, г) — фундаментальное решение уравнения Ь{и) = 0. оо.

Эта гипотеза при очень слабых ограничениях на рост непрерывной правой части обоснована в теореме 4 второго параграфа второй главы, где установлено необходимое условие существования классического решения задачи Коши с нулевыми начальными данными для равномерно параболических уравнений с непрерывными по Гёльдеру коэффициентами и непрерывными при t > О правыми частями без каких-либо дополнительных предположений о свойствах модуля непрерывности функции f (x, t). Аналогичные утверждения при более жестких предположениях о данных задачи доказаны в работах [2, 15].

Трудности при обосновании того, что интеграл Дюамеля действительно является классическим решением задачи (0.3) с нулевыми начальными данными, заключаются в том, что функция f (x, t) может иметь плохую гладкость или неограниченно расти как при t —>• 0, так и при |х| оо. Во всех таких случаях классическое решение задачи (0.3) может не существовать.

Основные определения и обозначения. Пусть Т > 0 — произвольная фиксированная постоянная, |ж| — евклидова норма вектора х Е Rn, I — мультииндекс, l = li——-1−1п,.

H (T) = {(x, t):xeRn, ?Е (0,Т)}, D (T) = {(хМ, т): 0 < г < i < Т, G Еп}, П (Т) = {(x, t, e):x 6 Rn, t в [0, Т],? Е (0, Г]}.

Обозначим через С отображение и -> (. где f (x, t) = Liu) в Я (Т), <�р{х) = и (х, 0) при х Е IRn.

Говорят, что функция u (x, t) принадлежит тихоновскому классу функций в полосе {х Е Mn, t Е [io,^]}, если она непрерывна в этой полосе и удовлетворяет условию и{х, 1)<�Сием^ тах где Си, Ми >0 — некоторые постоянные, зависящие от и.

Будем говорить, что в тихоновском классе функций существует локальное по? классическое решение задачи (0.3), если существуют положительная постоянная То и функция являющаяся при? ? [0, То) классическим решением задачи (0.3) и принадлежащая тихоновскому классу функций в полосе Н (То).

Условие (Т). Функция f (x, t) принадлежит тихоновскому классу функций в полосе {х Е? Е при любом фиксированном? Е (0, Т), причем тах|/(:М)| < С/(Фад2, где М} >0 — некоторая постоянная, не зависящая от ?.

Обозначим через Тш множество функций удовлетворяющих условию (Т) и, кроме того, таких, что 1) т.

J С/(£) (И < оо, о где — функция из условия (Т),.

2) для каждой точки (х0⁰) Е Н (Т) существуют такие постоянные С, е > 0, зависящие от /,^о и ¿-о? что для всех я-ж0|<�е, у-хо| < е, |*-*о|<�е выполняется неравенство.

1/ОМ) -/(у, *)|<�Сиф-у|), где а-(<5') — некоторый фиксированный модуль непрерывности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция и (5), определенная и непрерывная при 5 > 0, называется модулем непрерывности, если выполнены следующие условия: и (0) = 0, ш (х) < и (у) при 0 < х < у, ш (х + у) < и{х) +ш (у) при Х, у > 0.

Если (р (х) € С (М.П) является равномерно непрерывной функцией, то удовлетворяет этим условиям и называется модулем непрерывности функции (р.

Лемма 1. Любой модуль непрерывности и обладает свойствами.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем а, X > 0. Пусть п — целая часть а, тогда 0 < а — п < 1. В силу определения 1 имеем си (ах) < ш ((п +)х) <{п + 1) Ца?) < {а +)и){х).

Воспользуемся этим свойством при 0 < 5 Тогда.

Лемма доказана.

Говорят, что модуль непрерывности и удовлетворяет условиям Зигмунда, если существует такая постоянная С, что при 5? (0,1) выполняются неравенства вир р (х) — <�р (у) х-у<6 со (ах) < (а 4- 1) ш{х) при а, х > 0, при 0 < $ <

0.5) о.

0.6).

Заметим, что верхний предел интеграла (0.6) можно заменить на произвольную постоянную Т > 0 и потребовать, чтобы неравенства (0.5) и (0.6) выполнялись для всех J Е (0,Т). При этом, естественно, константа С будет зависеть от w и Т.

Функциональные пространства. Пусть и — модуль непрерывности. Обозначим через множество вещественнознач-ных функций u (x, t), определенных и непрерывных при х Е Мп, t Е [0,Т), имеющих в полосе Н (Т) непрерывные производные Df^u (x, t) при 2к + |/| < 2 и конечную норму.

IMk, = (Diiuhk+ib.

2k+l<2 где u) n sup ^^ t) + bn[t) ^ ^ m у/б) > ' ао = ш (уД), &-о — а — — Д, а, 2 = 62 — и супремум берется по всем точкам (?/, ?), (х^+5) (6 > 0) из полосы Н (Т) таким, что х ф у.

Символом 7ZLOí-т будем обозначать множество пар веществен-нозначных функций (/(ж,?),<�р (х)), определенных и непрерывных при (х, Ь) Е Н (Т) и х Е М. п соответственно, имеющих конечную норму.

1К/^)1к.т = ||/1кт+||Ик w? где.

II/IU.T = </)2, |MU — SHP .

Через обозначим множество непрерывных в Н (Т) функций u (x, t), имеющих конечную норму, ,, и (хЛ) — и (уЛ) u (x, t) — u (x, t + S) Nk, = IMIc + sup ^?ff + sup^где первый супремум берется по всем точкам (x, t) ф (y, t) из полосы Я (Г), второй — по всем точкам (x, t), (x, t + 5) (6 > 0) из полосы Н{Т), и||с = sup и (х, ?)|. x, t)€H (T) множество непрерывных в Н (Т) функций имеющих непрерывные в Н (Т) производные Dt’lxu при 2к + |/| < 2 и конечную норму wk,= Е №iic+ Е.

2k+l<2 2k+l=2.

Аналогично, С— множество непрерывных в К" функций <�р (х), имеющих непрерывные в R™ производные Dlxip для |/| < 2 и конечную норму.

Ы*) — Dj.

Тфу и{х — уI) и и STwnhnW ¦ Е>хФ)-РхУШ.

Wnci = 2s \D*nc + SUP —", пг-«п—• 2.

Наконец, символом СхаТ будем обозначать множество непрерывных в Н (Т) функций и (ж,?), имеющих конечную норму и (х, г) — и{у, г)| и\С°аТ = И|с + sup х — уа ' где, а > 0 и супремум берется по всем точкам (х,£) ф (?/,?) из полосы Н{Т).

Легко показать, что Сш. т, С^ и — банаховы пространства. Очевидна следующая.

Лемма 2. Если и Е Т) Шгт,.

Если (и, 0) Е V Е то.

3(1+^(>/Т))|Н|ы>г||г-||с", Т.

Если и, V Е то.

1Мк, т < 1Мк, т1Мк, т.

1. Тихонов А. Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности // Мат. сб. 1935. Т. 42, № 2. С. 199−216.

2. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

3. Schauder J. Uber lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung // Math. Z. 1934. Bd 38, № 2. S. 257−282.

4. Ciliberto C. Formule di maggiorazione e teoremi di esistenza per soluzioni delle equazioni paraboliche in due variabili // Ricerche Matern. 1954. V. 3. P. 40−75.

5. Friedman A. Interior estimates for parabolic systems of partial differential equations // Journ. Math, and Mech. 1958. V. 7, № 3. P. 393−417.

6. Barrar R. B. Some estimates for solutions of parabolic equations // Journ. Math. Anal, and Appl. 1961. V. 3, № 2. P. 373−397.

7. Ильин А. М., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17, № 3. С. 3−146.

8. Friedman A. Partial differential equations of parabolic type. New York: Prentice-Hall, 1964.

9. Эйделъман С. Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964.

10. Камынин Л. И., Масленникова В. Н. Граничные оценки решения III краевой задачи для параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1963. Т. 153, № 3. С. 526−529.

11. Камынин Л. И., Масленникова В. Н. Граничные оценки решения задачи с косой производной для параболического уравнения в нецилиндрической области // Докл. АН СССР. 1965. Т. 160, № 3. С. 527−529.

12. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3−162.

13. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

14. Ивасишен С. Д., Эйдельман С. Д. 26-параболические системы // Тр. семинара по функциональному анализу / Киев: Ин-т математики АН УССР. 1968. Вып. 1. С. 3−175.

15. Ладыженская О. А., Солонников В. А. О принципе линеаризации и инвариантных многообразиях для задач магнитной гидродинамики // Зап. науч. семинаров ЛОМИ / Мат. ин-т им. В. А. Стеклова. Ленингр. отд-ние. 1973. Т. 38. С. 46−93.

16. Белоносов В. С., Зеленяк Т. И. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений. Новосибирск: Изд-во Новосибирского государственного университета, 1975.

17. Белоносов В. С. Оценки решений параболических систем в весовых классах Гёльдера и некоторые их приложения // Мат. сб. 1979. Т. 110, вып. 2. С. 163−188.

18. Ивасишен С. Д. Матрицы Грина граничных задач для параболических по И. Г. Петровскому систем общего вида // часть I: Мат. сб. 1981. Т. 114, № 1. С. 110−166- часть И: Мат. сб. 1981. Т. 114, № 4. С. 523−565.

19. Белоносов В. С. Внутренние оценки решений квазипараболических систем // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 1. С. 20−35.

20. Белоносов В. С. Классические решения квазиэллиптических уравнений // Мат. сборник. В печати.

21. Zygmund А. О module ciaglosci sumy szeregu sprzezonego z sz-eregiem Fouriera // Prace Mat.-Fiz. 1924. V. 33. P. 125−132.

22. Vallee Poussin Ch. J. de la Lecons sur l’approximation des fonctions d’une variable reelle. Paris: Gauthier-Villars et Cie, 1919.

23. Лозинский С. M. Обращение теорем Джексона // Докл. АН СССР. 1952. Т. 83, № 5. С. 645−647.

24. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций //Тр. Моск. мат. о-ва. 1956. Т. 5. С. 483−522.

25. Слободецкий Л. Н. О фундаментальном решении и задаче Ко-ши для параболической системы // Мат. сб. 1958. Т. 46, № 2. С. 229−258.

26. Ильин А. М. О фундаментальном решении параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1962. Т. 147, № 4. С. 768−771.

27. Ильин А. М. О параболических уравнениях, коэффициенты которых не удовлетворяют условию Дини // Мат. заметки. 1967. Т. 1, № 1. С. 71−80.

28. Матийчук М. И., Эйдельман С. Д. Задача Коши для параболических систем, коэффициенты которых имеют малую гладкость // Укр. мат. журн. 1970. Т. 22, № 1. С. 22−36.

29. Камынин Л. И., Химченко Б. Н. О проблеме Тихонова — Петровского для параболических уравнений 2-го порядка // Сиб. мат. журн. 1981. Т. 22, № 5. С. 78−115.

30. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. Т. 2: Конструктивная теория функций (1931;1953). М.: Изд-во АН СССР, 1954.

31. Ахметов Д. Р. Об изоморфизме, порождаемом уравнением теплопроводности // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 2. С. 243 260.

32. Ахметов Д. Р. О необходимых и достаточных условиях классической разрешимости задачи Коши для линейных параболических уравнений // Мат. труды. 1998. Т. 1, № 1. С. 3−28.

33. Ахметов Д. Р. О классической разрешимости задачи Коши для линейных параболических уравнений // Динамика сплошной среды: Сборник научных трудов / СО РАН. 1998. Вып. 113: Математические проблемы механики сплошных сред. С. 6−12.

34. Ахметов Д. Р. Об изоморфизме, порождаемом уравнением теплопроводности // Международная конференция «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 25−30 августа 1997 г.) / Тезисы докладов. С. 16−17.

35. Ahmetov D. R. On exact coercive estimates for solutions of parabolic equations // Symposium on Applied and Industrial Mathematics «Venice-2» (Venice, Italy, June 11−16, 1998) / Book of Abstracts. P. 1−2.

36. Ахметов Д. Р. О точных коэрцитивных оценках для решений параболических уравнений // Международная конференция «Симметрия в естествознании» (Красноярск, 23−29 августа 1998 г.) / Тезисы докладов. С. 13−15.