Тригонометрические приближения функций и продолжения непрерывных функций

Диссертация состоит из двух глав.

Первая глава посвящена изучению приближения функций тригонометрическими полиномами, свойств наилучших приближений в метрике Lp, свойств коэффициентов наилучших приближений в метрике Lp. Получены условия сходимости, равномерной сходимости, равномерной ограниченности и равномерной ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения в L для некоторых классов функций.

Вторая глава посвящена изучению продолжений непрерывных функций, заданных на компактах метрических пространств.

Перейдем к подробному изложению результатов первой главы. Пусть f (x) — 2−7Гпериодическая функция, имеющая ряд Фурье оо + ^Г^ аь cos кх + Ък sin кх. (0.1) к=1 а" П.

Обозначим Tn (/- хр) — -j- + ^ cos кх + sin кх — тригонометричеfc=1 ский полином наилучшего приближения функции /в?р, 1<£?<оо. Для удобства положим Tn{fx) = Тп (/-ж- 1) — полином наилучшего приближения функции / в L1 и <Sn (/-х) — Tn (f-x- 2) — частичная сумма ряда (0.1). Если функция f (x) непрерывна на интервале (0, 27г), то полиномы наилучшего приближения Tn (f]x) единственны (см. [9, с. 452−454]).

Пусть {ак}^-о — последовательность чисел. Условимся обозначать Аак — акa. k+1, Агак = Аг~1ак — Д^а^+ъ к = 0,1,., г = 1,2,.

Будем называть последовательность {a/cj-^Lg <7-монотонной, если все разности, до q-то порядка включительно, неотрицательны: Агак > 0, к = 0,1,., i = l.q. Для удобства выражения иногда вместо фразы 3-монотонная будем писать — трижды монотонная, и так далее, 2-монотонную последовательность принято называть выпуклой. Для n-монотонности последовательности достаточно потребовать только ее стремление к нулю и неотрицательность всех п-х разностей. Очевидно, что достаточно потребовать только неотрицательности всех п-х разностей.

Б. Надь (1938 г., см. [16]- [12], с. 92- [6], с. 50) доказал, что если коэффициенты Фурье ah, 0 < к < оо, четной 27г-периодической функции f (x) образуют неотрицательную трижды монотонную стремящуюся к нулю последовательность, то коэффициенты а£ полиномов Тп (/- х) вычисляются по формулам: оо ак = X (1)'(afe+2Kn+i) — afc+(2/+2)(n+i)), fc = 0, neiV, /=о см. также [12, с. 92]). Более того, верно равенство.

М — ЗДж) = cos (п + 1)® Пг + с2 cos (кх), п' г + fc=l где оо 2 XI (1)Zafc+(2i+l)(n+l)5.

Z=0 оо и последовательность {c?}fc=0 — выпукла.

Также для нечетной 2 7г-периодической функции д (х) Надем же (1938 г., см. [16]- [12], с. 103- [6], с.

50) было установлено, что если Ьк образуют неотрицательную дважды.

Еоо Ьъ к= 1 к сходится, то коэффициенты Щ. полиномов Тп (д х) вычисляются по формулам оо.

Ьк = X} b-A- + (2i+2)(n+l))j к—1, ., П. (0.2).

1=0.

Более того, верно равенство оо д[х) — Тп{д х) = sm (n—l)x^2XJDj (x), j=o где оо.

В главе 1 исследуются вопросы сходимости, равномерной сходимости, равномерной ограниченности и равномерной ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения Тп (/-ж) в L для функций, которые разлагаются в ряд Фурье по косинусам с монотонно убывающими коэффициентами. Находятся также точные значения следующих величин ½ + cos хf ¦ • • + ап cos паmm mm mm vn И n>0 l>ai>—>an>0×½ + a + • • • + dT bi sin x + • • • + bn sin nx mm mm mm n>0 l>bi>—->bn>0 ж?[0,7г] &1 H——-b bn.

В § 1 главы 1 доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.1. Если Ъп О, А2Ьп > 0, ряд^t сходится и.

9(х) = X^fcLi Ък sin (кх), то для равномерной ограниченности полиномов Тп (дх) необходимо и достаточно, чтобы числа пЪп были ограничены.

Теорема 1.2. Если Ьп 4- О, А2Ъп > 0, ряд YlkLi^к сх°дится и д (х) = X^fcLi bk sin (кх), то для равномерной сходимости полиномов Тп (дх) необходимо и достаточно, чтобы nbn —> 0 при п —У оо.

Теорема 1.3. Если Ъп 4- 0- А2Ь п > 0, ряд к—1^к годится и g (x) — Ьк sin {кх), то последовательность полиномов Тп (дх) сходится при любом х. Равномерная сходимость будет на промежутке 27 г — при любом достаточно малом 5.

Теорема 1.4. Если ак 4. О, А2ак > О, АЗак > 0 и f (x) = ^ + X^fcLi ак cos (кх), то последовательность полинолюв Тп (/-ж) сходится при любом х не кратном 2тг. Равномерная сходимость будет на промежутке (5, 27 г — (5) при любом 5 Е (0,7г).

Теорема 1.5 Пусть ак 4- 0- A> 0, АЗак > 0, к = 0,1,и f (x) = 4?- + Y^kLi ак cos (кх). Тогда для равномерной сходимости полиномов Tn (fx) необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд + ^Ук—ак) и то же самое условие необходимо и достаточно для равномерной ограниченности полиномов Tn (f]x).

В § 2 главы 1 доказаны теоремы.

Теорема 1.6. Пусть невозрастающая последовательность неотрицательных чисел {ttnj^Li удовлетворяет условиям.

Аап > 0, А2ап > О, АЗап > О (Vn > 0), оо.

0е) = у + ак COS к=1 U ап = 0(п-1) при п —> оо.

Тогда полиномы наилучшего приближения Тп (/-ж) функции f{x) равномерно ограничены снизу.

Теорема 1.7. Пусть монотонно стремящаяся к нулю последовательность положительных чисел {cn}^L0 удовлетворяет условию sup псп = оо. п> 1.

Тогда можно построить стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел {an}^L0 так, что.

Аап > 0, Д2ап > 0, А3ап > 0, ап < сп (Vn > 0), функция оо.

0е) = у + ak cos положительна, f? L^ при всех р? (0, оо), ко полиномы наилучшего приближения Tn (fx) не являются равномерно ограниченными снизу, то есть inf minTn (f]x) = — оо. n> 0 х.

В § 3 главы 1 доказаны теоремы.

Теорема 1.8 Пусть {an}^Lo ~ последовательность неотрицательных чисел и выполнены условия.

Аап > 0, А2ап > 0, АЗап > 0, А4ап > 0, п = 0,1.

Пусть оо о) = у + afc cos fc=l.

Тогда полиномы Тп (/-ж) — равномерно ограничены снизу.

Теорема 1.9 Для любого, а > 0, кроме, люэюет быть, одного значения olq = 0.985., которое будет определено ниже, существует тикая функция f{x) — что последовательность {Тп (/- ^щ-)} ограничена снизу, но последовательность.

Tn (/- неограничена снизу.

В § 4 главы 1 строится пример непрерывной функции, имеющей монотонно убывающие коэффициенты Фурье, такие, что ее полиномы наилучшего приближения в метрике L°° имеют немонотонные коэффициенты Фурье.

В § 5 главы 1 построен пример функции f (x), коэффициенты Фурье которой образуют монотонно убывающую последовательность, но коэффициенты всех полиномов наилучшего приближения f (x) в L Tn (fx) = Tn (fx 1) не обладают свойством монотонного убывания.

Пусть даны числа 1 > а > а^ >. > ап > 0, 1.

Тп (х ах,., ап) = - + а±cos х +. + ап cos пх, Л.

Ln (ab ., a") = i + oi +. + an, 1.

Dn (x) = - + cos x +. + cos nx z ядро Дирихле.

В § 6 главы 1 доказаны теоремы.

Теорема 1.11. а). Для любого х и для любого натурального п существует такое к — 0,1,., п, что верно равенство.

Тп[Х] $ 1, CLn) 1 гл / mill -———Г^- =.

1>а1>а2>.—>ап>0 Ln (tti, ., ап) к + ^ б).

Тп (ж-аь ., an) 1 mmг- = -l>ai>a2>.>an>0 hn (Oi, ., CLn J о.

Пусть даны числа 1 = Ъ > 62 > ••• > Ьп >0,.

Мп (х-: 62, •••) Ьп) = sin х + 62 sin 2х -{-. + Ьп sinпх,.

Ln (b2, ., bn) = 1 + b2 + —¦ + Ьп,.

Dn{x) = sin ж +. + sin nx сопряженное ядро Дирихле. Теорема 1.12.

Мп (ж-62,., 6″) mm —=— = хе[о, тг], 1>б2>.>ьп>о, п>о Ln (62,., Ьп).

3 — л/33)³⁰ — 2/33 v J —— = цо = -0.184.

Следствие. Пусть а&- 4- 0, & = 0,1,., && 4- 0, к = 1, 2,. и ряды + XlfcLi аАX^fcLi^fc сходятся. Тогда для всех х выполнено неравенство.

ОО / оо у + CLk cos > -i f у + У^ Qfc fc=i V fc=i и для всех х Е [0,7г] оо / оо.

У) bfc sin /еж > fj, Q I У^ 6fc fc=l fc=l.

Перейдем к подробному изложению результатов второй главы. Пусть Е — компакт в метрическом пространстве X, f — непрерывная функция, заданная на Е. Определенная при всех 5 > 0 функция coE (f-S)= sup f (x1)-f (x2) (0.3).

Х!, Х2ЕЕ, p (x1,x2).

Напомним, что функция си (<5) называется модулем непрерывности, если она возрастает, непрерывна, w (0) = 0 и + 62) < +^(^2), 62 > 0. Обозначим через Lip (Euj) — класс функций, заданных на Е, таких, что выполнено неравенство f (Xl) — f (x2)I < и (р (хъх2)) (Ужьж2 G Е)..

Напомним, что если Е — выпукло, то модуль непрерывности непрерывной функции / на Е всегда является модулем непрерывности в смысле приведенного выше определения..

Заметим также, что если Е — выпукло, то (см. ниже) любую непрерывную функцию / на Е можно продолжить на все метрическое пространство X с сохранением модуля непрерывности (см. ниже)..

Компакт Е в банаховом пространстве X условимся называть С-выпуклым, если любую непрерывную функцию, заданную на Е, можно непрерывно продолжить на все пространство X так, чтобы выполнялось равенство wxifi =^еЦ-, <5) Для любого положительного <5..

Известно (теорема Титце-Урысона см. [8]), что любую непрерывную функцию /, заданную на замкнутом множестве Е, можно непрерывно продолжить на X с сохранением ее максимума и минимума..

Е. Макшейн (1934 г., см. [15]) доказал, что если / Е Lip (E]Uj), то функции.

F+{x)=M (f (y)+L,(p (x, y))) уеЕ и.

F~(x) = sup (f (y) — w (p (x, y))), уеЕ задающие продолжения / с Е на X, принадлежат классу Lip (Xw). Этот же результат доказали Chipser J и Geher L. (1955 г.).

Мильман В.А. (1997 г., см. [10]) доказал, что если со — непрерывная неубывающая функция, такая, что u (t)Jt — не возрастает, то любую функцию / Е Ыр{Еш) можно так продолжить на все пространство X, что это продолжение F{x) будет принадлежать классу Lip (XuS) (при этом не обязательно cu (0) = 0)..

Если Е — выпуклый компакт и / - непрерывная функция на Е, то функция lje (/, 6) является модулем непрерывности, а значит, удовлетворяет условиям теоремы Макшсйна при — (/-$)¦ Следовательно, / допускает продолжение с Е на все пространство X с сохранением модуля непрерывности (т.е. сox (f, S) = ше{/, 5), У5 > 0)..

Таким образом, из результата Макшейна следует, что если Евыпуклый компакт, то Е — С-выпуклый..

В главе 2 рассматриваются компакты Е в метрических пространствах Х: обладающие таким свойством, что любую непрерывную функцию, заданную на Е, можно продолжить на все пространство X так, чтобы выполнялось неравенство си х (/, 5) < 8), ' V<5 > 0, 6eR. (0.4).

Рассматривается вопрос о нахождении наименьшей константы С (будем обозначать ее дальше С = С (Е)): которую можно взять в этом неравенстве. Даются оценки этих наименьших постоянных С (Е)в случае, когда Е — кусочно гладкая кривая на плоскости без самопересечений. Описываются пространства, в которых понятия выпуклости и С-выпуклости совпадают..

Пусть множество Е есть кусочно-гладкая кривая на плоскости без самопересечений. Обозначим через 1(х 1,^2) — длину дуги кривой от точки х до Х'2. В случае замкнутой кривой кривая считается ориентированной в положительном направлении, то есть против часовой стрелки..

Обозначим.

Л-А (7ГАх2,ХХ)}.

У±- — — ьир г ,.

Х1,ГЕ2 еЕ р (х 1, Ж2) если Е — замкнутая ориентированная кривая, и.

А = А (Е)= sup i^i если E — незамкнутая кривая. В § 1 главы 2 доказана.

Теорема 2.1 Пусть множество Е есть кусочно-гладкая кривая без самопересечений. Тогда справедливы оценки.

А < С (Е) < —[—А], где квадратные скобки означают целую часть числа..

В § 2 главы 2 доказывается, что в случае, когда Е является границей квадрата или эллипса, достаточно близкого к окружности, С{Е) = 2..

В § 3 главы 2 доказывается, что в случае, когда Е — окружность, С (Е) = 2..

В § 4 главы 2 доказана.

Теорема 2.2. Если Е — невыпуклый компакт гильбертова пространства Н, то существует такая непрерывная функция f, заданная на Е, что для некоторых S > 0 и С > 1 при любом непрерывном продоллсении f на Н справедливо с > 1..

В § 5 главы 2 доказана.

Теорема 2.3. а) Если банахово пространство строго нормировано, то в нем любой С-выпуклый компакт является выпуклым. б) В любом банаховом пространстве X, которое не является строго нормированным, всегда существует С-выпуклый компакт, который не является выпуклым..

1. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. / Ж. Дьедонне М.: Мир, 1964. — 430 с..

2. Крейн А. Е., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. / А. Е. Крейн., А. А. Нудельман М.: Наука, 1973. 551 с..

3. Мильман В. А. Продолжение функций, сохраняющее модуль непрерывности / В. А. Мильман // Матем. заметки. 1997. — Т.61. № 2. С. 236−245..

4. Стечкин С. Б. Избранные труды: Математика. / С.Б. СтечкинМ.: Наука. Физматлит. 1998. 384 с..

5. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного / А. Ф. Тиман М.: Физматгиз, 1960. — 624 с..

6. Chaundy T.W., Jolliffe А.Е. The uniform convergence of a certain class of trigonometrical series / T.W. Chaundy., A.E. Jolliffe // Proc. London Math. Soc. 1916. — V. 15. — P. 214−216..

7. Jolliffe A.E. On certain trigonometrical series which have a nessesaryand sufficient condition for uniform convergence / A.E. Jolliffe // Cambridge Philisophical Soc. 1919. — V. 19. — P. 191−195..

8. McShane E. Extention of range of function / E. McShane // Bull.Amer. Math.Sos. 1934. — V.4. № 12. — P. 837−842..

9. Nagy B. Uber gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonomet-rischen Entwicklungen / B. Nagy // 1. Periodischer Fall, Berichte der math. — phys. Kl. Acad, der Wiss. zu Leipzig. Bd. 90. 1938. P. 103−134..

10. Колесников B.C. О продолжении непрерывных функций с компакта на плоскость / B.C. Колесников // Научные труды ИвГУ. 1999. -№ 2. — С. 65−72..

11. Колесников B.C. Об одной характеристике строго нормированных банаховых пространств /B.C. Колесников // Научные труды ИвГУ. 2001. — № 4. — С. 53−58..

12. Колесников B.C. Об ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения /B.C. Колесников // Математические заметки. 2006. — Т. 79. № 6. — С. 870−878..

13. Колесников B.C. О полиномах наилучшего приближения / B.C. Колесников // Математика и ее приложения. 2004. — №. 1. — С. 93−96..

14. Колесников B.C. О продолжении непрерывных функций / B.C. Колесников // Тезисы докладов Международной школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н. В. Ефимова. -Ростов-на-Дону, 2000. С. 117−118..

15. Колесников B.C. Об одной характеристике строго нормированных банаховых пространств /B.C. Колесников / / Тезисы докладов Воронежской зимней матеметической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Воронеж, 2001. — С. 142−143..

16. Колесников B.C. О полиномах наилучшего приближения / B.C. Колесников // Вестник Тамбовского Университета. 2003. — Т. 8. № 3. — С. 397−398..

17. Колесников B.C. О полиномах наилучшего приближения одной бесконечно дифференцирунмой функции /B.C. Колесников // Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы «Современные методы теории функций и их приложения». Саратов, 2004. — С. 99−100..

18. Колесников B.C. Об ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения /B.C. Колесников // Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы «Современные методы теории функций и их приложения». Саратов, 2006. — С. 88−89..

19. Колесников B.C. Условия ограниченности и неограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения в среднем / B.C. Колесников // Математика и ее приложения: журнал Ивановского математического общества. 2009. — Вып. 1(6). — С. 59 — 82..