Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений в банаховом пространстве

Различные задачи математической и теоретической физики приводят к. дифференциальным уравнениям, которые содержат малый параметр при старшей производной. Для построения приближенных решений таких уравнений эффективно применяются асимптотические методы. Широкий класс задач исследуется методами, связанными с теорией пограничного слоя (см. з],[4], [б]). С. А. Ломовым и его сотрудниками интенсивно разрабатывается метод регуляризации (см. [21]). Однако указанные методы не работают в случаях, когда исследуются быстро колеблющиеся решения.

Для обыкновенных дифференциальных уравнений в классических работах Грина и Лиувилля был развит асимптотический метод построения быстро колеблющихся приближенных решений, который впоследствии был применен Вентцелем, Крамерсом и Бриллюэном к задачам квантовой механики и получил название метода ВКБ (см., например, ?39],[~40]). Этот метод в основном применяется в тех случаях, когда решение ищется в области, которая не содержит. точек поворота.

Существенным достижением последних двух десятилетий было создание метода канонического оператора В. П. Маслова ([22], [24]-[2б]). Этот метод позволил построить асимптотику в целом для ряда важнейших задач математической физики. В разработку теории метода канонического оператора включился ряд ведущих математиков в СССР и за рубежом (см. 7], [20], [2б], [29], [l2] -[l9]).

Отметим ещё большой цикл работ по асимптотическим методам в теории дифракции волн, выполненных В. М. Бабичем, B.C. Булдыревым и их сотрудниками (cm. i] ,[27]).

Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве объединяют в себе различные черты как обыкновенных дифференциальных уравнений так и уравнений с частными производными. В связи с этим развитие асимптотических методов построения приближенных решений таких уравнений является актуальной задачей. Первая попытка применения метода В. П. Маслова к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве была сделана С. Г. Крейном в простейшей ситуации, когда ядро и коядро соответствующего операторного коэффициента одномерны (см. [9], [io]). Настоящая работа посвящена исследованию более общей ситуации в случае произвольных конечных размерностей ядра и коядра и неотрицательности индекса. Перейдем к формулировкам основных результатов. В § I говорится о постановке задачи и накладываются основные ограничения. А именно в вещественном банаховом пространстве Е задан полиномиальный операторный пучок m где Afc — линейные, ограниченные операторы, действующие в Е. Рассматривается дифференциальное уравнение к-^-ШГ-о, (2) где^Y — искомая функция со значениями в комплексификации пространства Е «h — малый вещественный параметр. Гладкая функция.

Mr, k) называется формальным асимптотическим решением порядка Ь уравнения (2), если.

А^М-д мгм-оа14) о) при k О .

Нашей задачей является построение формального асимптотического решения N — го порядка для уравнения (2).

Наложим ряд ограничений на заданный операторный пучок.

1. На вещественной плоскости (, Х, Л) задана такая ограниченная кривая, лежащая в полосе CL ^ X 4 в, что оператор при каждом является полуфредгольмовым оператором с постоянной размерностью коядра, равной /I, и размерностью ядра, большей или равной Ц

2. Существует гладко зависящий от t^[o, iJ проектор пространства? на.

Ы Bft).

3. В коядре и ядре оператора 13 It) ввделены гладко зависящие от.

Мод] базисы е/уде^щ,.,.

4. На кривой Г имеется конечное число точек X — и Л — поворота. Ни одна точка кривой не является одновременно точкой Х~ и Лповорота. Начало и конец кривой не являются точками поворота. Предполагается, что.

Х (о)=- CL, Х (1)=8 и на Г нет особых точек.

Наличие точек поворота связывается с существованием присоединенных векторов к собственным векторам пучка I ~ /(х) •.

Во втором параграфе строится формальное асимптотическое решение Nго порядка для уравнения (2) в проекции окрестности кривой Г, не содержащей точек X — поворота («X — окрестности) на ось ОХ методом ВКБ в виде.

— б где S’fac) = X (Ux))t, а^fj (х) удовлетворяют системе уравнений.

5).

• -т 1 t ' = /? 1.

— Ж.

S’M1-A (xj) 4(x)—-tcth фи,.).

В третьем параграфе для проекции Л — окрестности на ось О ОС строится формальное асимптотическое решение Д/ -го порядка для уравнения (2) методом В. П. Маелова в виде ffjc, fi) — фтс.

— аО где ~ S М ^ХЩЬ)), a *f /А) удовлетворяют системе уравнений.

Ш-(710]>Ш)=о №~ 01J у () — Ol,%(y-o.

7) спЛм-о.

Здесь с. к-е, «л.

СПУ Miil^L^T-, ad s) е.

В четвертом параграфе кратко говорится о результатах из теории метода стационарной фазы и приводится вывод явной формулы для второго члена асимптотики в этом методе.

В пятом параграфе на основе результатов из теории метода стационарной фазы строится формальное асимптотическое решение.

V — го порядка на отрезке [CL, в] в виде z. t k) = L /. (8) где.

Yfc (X, k) (ГМ)) являются асимптотическими решениями Nго порядка в соответствующих проекциях JC~ окрестностей на ось ООО., а есть некоторые срезающие функции.

В шестом параграфе проводится глобализация решения нулевого порядка. Здесь выводится система дифференциальных уравнений Jk ru гладко разрешимая на всём отрезке [О, IJ, решение (i) которой позволяют построить формальное асимптотическое решение нулевого порядка уравнения (2) на всем [(1,6] по формуле.

Ш11) = t Н. т)еСШ (гмГ1)е^(х) it* о х L f I/1,^ /м. v> «Ш.

Г? S (Z, i (Xh, у /A, x.

— o= fU.

J / Ш = I Ate.

VgM.

10) г/4.

Здесь являются некоторыми срезающими функциями, а — иццекс Маслова дуги.

В седьмом параграфе при переходе к другим ненулевым сечени ям вида eft), l (t)eH) выводится матрица преобразования функций Yl (^) • Оказывается, что где.

• |.

Здесь.

— алгебраические дополнения элементов cL’J ^ (i) в матрице (d>i У.

Особый интерес представляет случай замкнутой кривой Г «когда возникает вопрос об однозначности решения. В восьмом параграфе для такой кривой строится глобальное формальное асимптотическое решение нулевого порядка и выводится условие его однозначности («условие квантования»), которое имеет вид.

§>dx.

П2) где & определяется из равенства С0 с в .

В девятом параграфе выводится система дифференциальных уравнений tHfflw * - I ь ,(13) М] * К гладко разрешимая на всём отрезке [0,1], решение ^ (i) которой вместе с J^ (I) позволяют построить формальное асимптотическое решение первого порядка уравнения (2) на [cl,€] по формуле.

Ш) — L e/L s (^lx))х.

YL^O xf jhvr m Е^тФ +1 x.

•". к,-1 VP ii (1пс!Шо)^Ш)±4г) л Г I е VzfT J е х п.

— >v> k (.

f.

J/r) — / A^x. tfo) ч.

Здесь и Ц: ft) определяются по следующим формулам vm, I ^^/-jc'l vg^f ZwvfiMг x (i5).

LwfM гь.. I.

ЩД l/ffill/P сю i [tilth.

Л 1−1 1.

1 z J.

Г It) // ¦ vj (t) щ^)).

В формулах (15) и (16), J. Z определяются из соотношений.

Ь" и Ь.

— 12 п. где el’HI-^hZ^^eJi),.

С-/? ptf’O (I'M lz/>l>

В (14)? ft) определена на всём отрезке [0,l] и удовлетворяет соотношению.

Затем для решения (14) выводится условие однозначности, которое имеет прежний вид (12).

Наконец в десятом параграфе рассматривается пример, для которого выписывается «условие квантования» .

Результаты диссертации докладывались на семинарах профессора С. Г. Крейна в Воронежском лесотехническом институте (ВЛТИ), на ежегодных научных конференциях ВЛТИ, в Воронежских зимних математических школах и на 43-ей научной конференции по дифференциальным уравнениям Латвийского госуниверситета им. П. Стучки.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3lj, [32], [33].

Отметим некоторые технические особенности текста. Формулы нумеруются двумя числами, первое из которых соответствует номеру параграфа, второе — номеру формулы.

Автор выражает глубокую благодарность профессору С.Г. Крей-ну за постановку задачи и руководство работой.

— 13.

1. Бабич В. М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач. — М.: Наука, 1972. — 456 с.

2. Буслаев B.C. Производящий интеграл и канонический оператор Маслова в методе ВКБ. Функц. анализ и его прил., 1969, т. З, вып. 3, с. 17−31.

3. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. 464 с.

4. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.-272с.

5. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд. МГУ, 1978. — 106 с.

6. Вайнберг Б. Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Изд. МГУ, 1982. — 294 с.

7. Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики.- М.: Мир, 1981. 504 с.

8. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. — 544 с.

9. Котко Л. А., Крейн С. Г. Точки поворота и метод Маслова. Воронеж, 1981, 25 с. Рукопись представлена Воронеж, лесотехн. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 28 апреля 1981, № 2550−81.

10. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.

11. Кучеренко В. В. Квазиклассическая асимптотика функции точечного источника для стационарного уравнения Шрёдингера. Те-ор. и матем. физика, 1969, т. I, № 3, с. 384−406.

12. Кучеренко В. В. Асимптотика решения системы /(Xfih^)u,=0 при hо в случае характеристик переменной кратности. -Изв. АН СССР. Сер. матем., 1974, т. 38, № 3, с. 625−662.

13. Кучеренко В. В. Формула коммутации $ ' псевдодифференциального оператора с быстро осциллирующей экспонентой. — Матем. сборник, 1974, т. 94, вып. I, с. 89−113.

14. Кучеренко В. В. Асимптотические решения уравнения с комплексными характеристиками.- Матем. сборник, 1974, т. 95, вып. 2, с. 163−213.

15. Кучеренко В. В., Осипов Ю. В. Асимптотические решения гиперболического уравнения с характеристиками переменной кратности.-Докл. АН СССР, 1979, т. 249, № 2, с. 289−293.

16. Кучеренко В. В., Осипов Ю. В. Асимптотические решения уравнений с характеристиками переменной кратности. Успехи мат. наук, 1980, т. 35, вып. 4, с. 159−160.

17. Кучеренко В. В., Осипов Ю. В. Асимптотические решения обыкновенных дифференциальных уравнений с вырождающимся символом. -Матем. сборник, 1982, т. 118, вып. I, с. 74−103.

18. Кучеренко В. В., Осипов Ю. В. Обоснование формальных асимптотических решений для обыкновенных дифференциальных уравнений с выровдающимся символом. Матем. сборник, 1983, т. 121, вып.6, с. 156−175.

19. Лере Ж. Лагранжев анализ и квантовая механика. М.: Мир, 1978. — 264 с.

20. Ломов С. А.

Введение

в общую теорию сингулярных возмущений.- 97 М.: Наука, 1981. 400 с.

21. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы.-М.: Изд. МГУ, 1965. 553 с.

22. Маслов В. П. Метод ВКБ в многомерном случае. Приложение к книге Дж. Хединга «Введение в метод фазовых интегралов» .-М.: Мир, 1965, с. 177−237.

23. Маслов В. П. Операторные методы. М.: Наука, 1973. — 543 с.

24. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях.-М.: Наука, 1977. 384 с.

25. Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976. — 296 с.

26. Математические вопросы теории распространения волн. II: Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 104. /Под ред. В. М. Бабича.Л.: Наука, 1981. 240 с.

27. Мищенко А. С., Стернин В. Ю. Метод канонического оператора в прикладной математике, ч. I. М.: Изд. МИЭМ, 1974. 189 с.

28. Мищенко А. С., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевые многообразия и метод канонического оператора. М.: Наука, 1978.352 с.

29. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Иностр. литерат., 1953. — 348 с.

30. Сапронов И. В. О высших приближениях в методах ВКБ и Маслова.-У1Л школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тезисы докладов. Рига: ЛГУ им. П. Стучки, 1983, т. 2, с. 7273.

31. Сапронов И. В. О высших приближениях в методах ВКБ и Маслова. Воронеж, 1984, 18 с. Рукопись представлена Воронеж, лесотехн. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 25 апреля 1984, № 2606−84.

32. Котко JI.А., Сапронов И. В. Асимптотическое решение дифференциального уравнения с точками поворота в банаховом пространстве. Сб. Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения, Куйбышев: Изд. КРУ, 1983, с. 66−77.

33. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: Иностр. литерат., 1962. — 352 с.

34. Федорюк М. В. Метод стационарной фазы для многомерных интегралов. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1962, т. 2, I, с. 145−150.

35. Федорюк М. В. Метод стационарной фазы и псевдодифференциальные операторы. Успехи мат. наук, 1971, т. 26, вып. I, с. 67−112.

36. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. — 352 с.

37. Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. — 368 с.

38. Фрёман Н., Фрёман П. У. ВКВ-приближение. М.: Мир, 1967.-168с.

39. Хединг Дж.

Введение

в метод фазовых интегралов (метод ВКБ).-М.: Мир, 1965. 240 с.

40. HMulJ.B. СоъгеАее! fto/lb-SotnmJbfM (fmdtun.conditions fib (юпяфагшШ Sybils ~ h™ ¦ Phy*-, 1. O-/**.