Исследования по проблеме Гильберта-Камке

Настоящая диссертация посвящена определению истинного порядка числа слагаемых в проблеме Гильберта-Камке. Проблемой Гильбер-та-Камке называют направление в аддитивной теории чисел, включающее в себя круг задач, связанных с исследованием вопроса об одновременном представлении натуральных чисел суммами ограниченного числа натуральных слагаемых соответственно вида в У%,.

ОСос, .. J X. Другими словами, изучается вопрос о разрешимости следующей системы диофантовых уравнений г i I> lit.

Проблема Гильберта-Камке является естественным обобщением проблемы Варинга, которая, как известно, состоит в изучении базисных свойств последовательности Пых степеней натуральных чисел.

Первые исследования по проблеме Гильберта-Камке были выполнены в 1921 году Э. Камке в работе [ 8 ]. О постановке самой проблемы в данной работе на странице 88 сказано следующее:

HerrHilbert hat vor rund 10 Jahren in einem Seminar allge-mein die Frage nach der similtanen Zerf’dllung von Zahlen in Poten-zen ganzer Zahlen aufgeworfenj d.h. unter welchen mbglichst gerin-gen Einsohr’dnkungen fttr die zu zerfallenden Zahlen, gibt es zu einer gegekenen ganzen Zahl eine positive ganze Zahl von der Art, dajj fttr je n positive ganze Zahlen ^ >•"•, ^ «welo^e jenen Einsohr’ankungen unterliegen, die Gleiohungen.

Sn? r n ^ X. M l = x.

X af=l Л W.

У x%.

N * 3C"i ж.

I I > • - - sich. simul-tgn durch ganze Zahlen Xy^OlSsen 1аавеп?" (перевод: «Господин Гильберт, примерно 10 летуна семинаре ставил общий вопрос об одновременном представлении чисел в виде степеней целых чиселт.е. при каких по возможности наиболее слабых ограничениях на представляемые числа £у имеется для данного целого числа YL ^ И положительное целое число JV = Jf (n) такое, что для любых Я положительных целых чисел i± у. v.,, которые удовлетворяют этим ограничениям, уравнения [(4) J одновременно разрешимы в целых числах?») «.

Как видно из текста цитаты, с точностью до обозначений система [(4)] статьи [" 8] совпадает с системой (!), рассмотренной нами выше (во избежании путаницы мы номера формул из цитируемых работ заключаем в квадратные скобки). Статья Э. Камке поступила в печать в середине 1620 года, и можно считать, что первая постановка «проблемы Гильберта-Камке» была дана Гильбертом в связи с его исследованиями по проблеме Варинга, приведшими в 1909 году к её решению см. [7]).

Само название «Проблема Гильберта-Камке» было, по-видимому, предложено Ю. В. Линником (см. Г28], глава 2).

В цитированной выше постановке проблемы говорится о дополнительных условиях на параметры в системе f (4)], что соответствует условиям на параметры J^, ., TfK в системе (1).

Как следует из сказанного далее в статье Э. Камке, Д. Гильберт показал, что присутствие таких условий является необходимым, в отличие от проблемы Варинга, где никаких дополнительных условий не требуется. Одно из этих условий является следствием неравенств т < г): справедливых в силу неотрицательности чисел,. Условие имеет вид (гп g yv) •.

Второе условие, указанное Д. Гильбертом, таково;

Ki — (rruodp), (8) если только рпростое число и Ю. +• f>-i g /г • Оно справедливо в силу сравнения.

Ху —^у (п^ир), V = k.

Таким образом, для разрешимости системы (I) в натуральных числах СС^ t,. а необходимо выполнение условий двух типов: а) условий, характеризующих разрешимость системы (1) в вещественных числах, например, условий типа неравенств (2), связующих между собой порядки роста правых частей системы (1) — б) условий, характеризующих арифметическую природу решений системы (I), их целочисленность, выраженных, например, в виде сравнений (3).

В дальнейшем условия разрешимости типа а) мы будем называть вещественными условиями, или условиями порядка, а условия разрешимости типа б) — арифметическими условиями.

Условия (2) и (S), указанные Д. Гильбертом, являются необходимыми, но заведомо не достаточными. Поэтому задача, поставленная Гильбертом, по существу определяла исследования в следующих взаимосвязанных между собой направлениях:

1) указать возможно более сильные необходимые условия разрешимости системы (I) типов а) и б);

2) найти достаточные условия разрешимости, возможно более близкие к необходимым условиям предыдущего пункта;

3) при выполнении достаточных условий пункта 2) доказать существование числа X — и такого, что при h система (1) имеет решение для достаточно больших значений параметров.

4) указать возможно более точно наименьшее значение величины t (п),.

В вышеупомянутой статье Э. Камке дал следующие достаточные условия разрешимости системы (2): а) арифметические условия — требуется, чтобы все числа Jfi} .•.,^Сг делились на некоторое — не указанное эффективно — число Д — б) условия порядка — требуется, чтобы при некоторых числах.

Ч > % > ® < ^ * ^ «существование которых для данных ft и h доказывалось, выполнялись неравенства ы К*< < ^ ^.

При указанных условиях Э. Камке доказал существование числа Этот результат в дальнейших исследованиях по проблеме Гильберта.

— Камке по ряду причин рассматривался как предварительный. (см. 33 3). Причины эти следующие.

Во-первых, арифметические условия разрешимости, наличие которых требовал 3. Камке, являются очень жесткими и неестественными. Действительно, наборы чисел э л SfK и >-•> +1} очевидно, должны быть эквивалентны относительно арифметических условий, но условиям 8. Камке может удовлетворять только один из этих двух наборов. К тому же достаточные арифметические условия Э. Камке значительно отличаются от необходимых условий, указанных Д.Гильбертом.

Второй существенный недостаток результата Э. Камке состоял в том, что значение было найдено в неявной форме. Метод.

Э.Камке являлся развитием метода Д. Гильберта решения проблемы Варинга и, как и последний, приводил в случав своей эффективиза-ции к очень и очень большим значениям величины .

Что же касается вопроса о вещественных условиях разрешимости системы (1), то здесь результат Э. Камке можно считать удовлетворительным, несмотря на то, что необходимые условия вещественной разрешимости и достаточные условия этого типа у Э. Камке не совпадали. Здесь необходимо сказать следующее. У 8. Камке объем области U) i точек (J*fx, •••, Л^), соответствующей достаточным условиям разрешимости, составлял конечную часть от объема области сОх, отвечающей необходимым условиям. Истинный же объем области и)^, точек (J^ii W^j, для которых система (1) разрешима в вещественных положительных числах ЭГ^ (чю на самом деле является одновременно необходимым и достаточным условием вещественной разрешимости), постоянно растет с ростом величины — количества слагаемых в уравнениях системы (1).

Но поскольку проблема Гильберта-Камке состоит прежде всего в доказательстве ограниченности &, то область и)(&-) точек э Jfyi), отвечающая этому^, всегда будет составлять лишь конечную часть от объема области, отвечающей неограниченному числу слагаемых, то есть истинное соотношение объемов двух этих областей в принципе то же самое, что и у Э.Камке. Дальнейшие исследования по проблеме Гильберта-Камке мы будем рассматривать в сопоставлении с исследованиями по проблеме Варинга. В 1920 году Харди и Литлвуд, применив разработанный ими вместе с Рамануджаном круговой метод (см. [ 37]) дали новое, гораздо более совершенное решение проблемы Варинга (см. [ 38]). Основной результат, полученный в Гзв], можно сформулировать так: при к * €(уь) и ^ (й-) диофантово уравнение проблемы Варинга сг* +. + сг£ - Jf W разрешимо в неотрицательных целых числах ^ • При ^ А (п) для количества 1(^1) решений уравнения (4) имеет место асимптотическая формула где oi и ув — некоторые зависящие от YI положительные величины. Величина & равна значению некоторого ряда, а величина jS — некоторого интеграла, называемыми обычно особым рядом и особым интегралом проблемы Варинга. Особыми называют подобные ряды и интегралы и в других аддитивных задачах.

В работе Г 38]Харди и Литлвуд доказали также, что величины и A (ft) удовлетворяют неравенствам:

С (а) «YtX^ и А (VI) «пХ» -.

Впоследствии в работе [39] они несколько улучшили этот результат.

В 1924;1928 годах И. М. Виноградов в работах fl],[*2] разработал метод конечных тригонометрических сумм. Этим методом он получил новое, существенно более простое доказательство результатов Харди и Литлвуда в проблеме Варинга. Затем, развивая и совершенствуя свой метод, дополнив его новыми, созданными им методами оценок тригонометрических сумм, И. М. Виноградов принципиально улучшил эти результаты. Его последние оценки сверху величин (г (п) и А{п) имеют вид стр.40).

А (п) < 5) (см. я], стр.97).

Сила этих оценок становится ясной при сопоставлении их с очевидной оценкой снизу для величины :

G (W-) > п •.

Метод И. М. Виноградова позволил получить новые существенные результаты в проблеме Гильберта-Камке и в других близких к ней задачах аддитивной теории чисел. В 1929 году в работе [3J И. М. Виноградов рассмотрел систему из двух диофантовых уравнений «варин-говскогои типа.

5).

Он получил асимптотическую формулу для количества решений этой системы:

YL К.

Здесь снова (Я^- значение особого ряда, а значение особого интеграла задачи. Из этой формулы следует разрешимость системы (5) при условии, что U± > О и > О. Неравенство доказал сам И. М. Виноградов в работе [ъ ], а неравенство (Я±->0 — К. К. Марджанишвили в 1936 году в работе С 29J.

В следующем, 1937 году К. К. Марджанишвили рассмотрел уже полную систему из уравнений типа (5), то есть систему (1) проблемы Гильберта-Камке. В работе [do] для величины — количества решений системы (I) — методом И. М. Виноградова он получил асимптотическую формулу.

JL П (п+1) о ~ бгК * (б) > справедливую при.

4 Aju). где АЛ) — некоторая явно указанная величина, S й|" - соответственно особый ряд и особый интеграл системы («I). Кроме того, К. К. Марджанишвили в этой работе нашёл такую форму арифметических условий разрешимости, в которой они оказались одновременно необходимыми и достаточными. Вещественные условия в [ioj имели тот же вид, что и у Э. Камке в { 8 ]. При выполнении указанных условий разрешимости К. К. Марджанишвили доказал, что величины d и Y положительны, если vi ч. и.

ТОЛЬКО была лолучена оценка х{то ^ YC X.

Это был главный результат работы (до].

В ряде своих последующих работ К. К. Марджанишвили улучшал результаты статьи [ю ] и рассматривал задачи, близкие к проблеме Гильберта-Камке. В работе [зо] для величины А4(п)он получил.

St? оценку Д (уь) «п П, вместо весьма грубой прежней k ^ Yi1 К **. Тем самым для величины ч «пп.-а оценки этой величины, полученной в poj. В 1940 году К. К. Марджанишвили рассмотрел систему (l) в предположении, что неизвестные Xd> являются простыми числами (см. Г31]). Используя идеи метода И. М. Виноградова оценок тригонометрических сумм с простыми числами, он вывел асимптотическую формулу для количества решений при числе слагаемых k порядка Yt, исследовал особый ряд и особый интеграл задачи и доказал её разрешимость при числе слагаемых порядка У,, С >0 — некоторое число. Другими словами, для системы (1) с простыми значениями неизвестных se^., в работе [3lj были получены приблизительно такие же результаты, как и в проблеме Гильберта-Камке. Систему (-1) с простыми числами рассматривал Хуа-Логен в книге [34]. Он доказал асимптотическую формулу для числа решений, но его теоремы и леммы о положительности особого ряда и особого интеграла имели условный характер.

В 1947 году, используя новые оценки тригонометрических сумм, полученные’в [ 5] и [24], К. К. Марджанишвили доказал, что.

А, «у^^я.

Аналогичный результат был получен Г. В. Емельяновым в работе [45J. Перечисленные выше результаты К. К. Марджанишвили в 1949 году вошли в его докторскую диссертацию [ 32] •.

В 1953 году К. К. Марджанишвили в статье [и] рассматривал «выщербленную» систему диофантовых уравнений типа системы (1), отличающуюся от системы (I) тем, что некоторые уравнения в ней опущены. Для этой системы он по-новому сформулировал арифметические условия разрешимости — одновременно необходимые и достаточные, дал новую формулировку достаточных условий вещественной разрешимости и в предположении положительности особого ряда (при малыхk) доказал разрешимость системы (с оценкой количества решений).

— 12 при числе слагаемых &, удовлетворяющих неравенству «пт Ьп п } где Yfl — число уравнений в „выщербленной“ системе. Помимо указанных нами работ различные аспекты проблемы Гильберта-Камке рассматривались в статьях К. К. Марджанишвили [ssj, Ю. В. Линника f2a], А. А. Карацубы [i9]. Весьма полный обзор выполненных до 1934 года работ по аддитивным задачам, близким к проблеме Гильберта-Камке, содержится в книге Хуа Логена Г2?](см. также [~I6j, [i7], U0j,[» 43j, Об]). Сопоставление приведенных выше результатов по проблеме Варинга и проблеме Гильберта-Камке показывает, что асимптотическая формула в обеих задачах была получена при числе слагаемых одного порядка. Точнее, было доказано, что.

А (я) «гс'й.п И At (n) .

В то же время в вопросе о разрешимости ситуация была совершенно иная. Длфбличины & (и) в проблеме Варинга мы имеем к < 6 (У) «п1+е, где &0 — сколь угодно мало и константа в «зависит от? , а для в проблеме Гильберта-Камке имеем только п* с< г (У1) «г (.

Вопрос об арифметических условиях разрешимости был решён окончательно, а об условиях порядка — имел удовлетворительное решение. Из асимптотической формулы (б) при достаточно больших следует существование решений системы (2), если только величины € и § положительны. Но при выполнении условий порядка и положительность jf" была установлена ещё в работе [ГХ]. Таким образом, задача определения истинного порядка величины была сведена к определению истинного порядка числа слагаемых 4, при котором величина б положительна. Отметим кстати, что показатель абсолютной сходимости ряда был установлен Хуа Лагеном в работе [36] (он равен 0.5"г (ки+1)+), а показатель абсолютной сходимости особого интеграла (Г найден в работе А. А. Карацубы, В. Н. Еубарикова и автора [71 ] (он равен OSrt (n~+±)+ ±), кроме того, имеет место равенство б где индекс в бесконечном произведении П пробегает все простые числа натурального ряда.

Многие учёные разделяли мнение о том, что в действительности величина *С ()ь) имеет порядок YI. Исследование особых рядов проблемы Гильберта-Камке и близких к ней задач, выполненные в работах [19],[2б],[33], были направлены на то, чтобы в конечном счёте доказать неравенство б > О при числе слагаемых именно &bdquo-Л+£ порядка К, и полученные там результаты подтверждали эту гипотезу. Так, А. А. Карацуба в работе [19J доказал, что при k > 3ЯпП, справедливо неравенство.

П б > о. р>)г.

Важность задачи нахождения истинного порядка величины г (п) неоднократно отмечал И. М. Виноградов. В разделе 16 своего доклада на Третьем Всесоюзном математическом съезде (см. [13]) он говорил: «Наряду с проблемой Варинга важное значение имеет проблема исследования числа решений системы.

I • • I i «> • • •.. при условии, что каждое. Яц, пробегает значения.

В случае наличия некоторых такого рода неравенств4Аасимптотическая формула для числа представлений при помощи моего метода была выведена К. К. Марджанишвили и Хуа Ло-гэном для значения порядка и, 1^г YI (К, 4^гъуь хуа Ло-гэн). Из этой асимптотической формулы будет следовать и существование представлений, если показать, что сумма некоторого ряда стоящего множителем в главном числе, превосходит положительное постоянное число. Верхняя граница для наименьшего Ь с таким условием установлена (Марджанишвили), однако она ещё очень велика. Важной задачей является установление границы более низкого порядка, например^ границы ~ Ц лЛ QvlYI, «.

В двух последних изданиях своей монографии «Метод тригонометрических сумм в теории чисел» И. М. Виноградов снова писал об этой задаче (см. С б], стр. IS и [9], стр. 12−13).

Задача определения истинного порядка величины, как уже было сказано, является главной целью исследований, составляющих содержание данной диссертации. В результате этих исследований установлено, что величина Ь (ь) удовлетворяет неравенствам j^-i ^ Ъ (и) ^ З^йЛ-и,.

Отсюда вытекает, что истинный порядок числа слагаемых в проблеме Гильберта-Камке равен Т где Т — А. Таким образом, гипотеза о том, что величина имеет порядок и5″ *^ оказалась ошибочной.

Вместе с отысканием порядка величины *t-(n) в данной диссертации рассматриваются и другие аспекты проблемы Гильберта-Камке i) Т. е. выполнения условий порядка см. приведённые выше пункты 1)-4)). Прежде всего,' здесь формулированы вещественные условия разрешимости в такой форме, в которой они по существу являются одновременно необходимыми и достаточными', так как если эти условия не выполняются, то количество решений системы (I) ограничено некоторой величиной, зависящей от параметров И и В диссертации найдены новые, более удобные в использовании формы арифметических условий разрешимости, которые позволяют единообразно формулировать необходимые и достаточные арифметические условия для «выщербленных» систем, систем уравнений с целозначными многочленами произвольного вида и допускают аналогичные обобщения на случай многочленов от многих переменных. Доказана также асимптотическая формула для числа решений системы (I) с оценкой остаточного члена и попутно получено уточнение упрощенной формы теоремы И. М. Виноградова о среднем значении модуля тригонометрической суммы.

В диссертации получены в явном виде оценки значений особого ряда и особого интеграла. Отметим, что все абсолютные постоянные приведены нами в конкретном числовом виде, и это позволяет в принципе указать числовое значение Р основного параметра (при заданных значениях прочих параметров), начиная с которого система (1) будет заведомо иметь решение, если, конечно, выполнены условия разрешимости двух типов.

Обращаясь вновь к пунктам 1)-4) постановки проблемы Гильберта-Камке, можно сделать вывод, что полученный в диссертации результат во всех отношениях весьма близок к окончательному. Сравнение состояния исследований по проблеме Варинга и по проблеме Гильберта—Камке теперь показывает, что обе задачи находятся примерно в одина ковом положении. Более того, в проблеме Варинга неизвестен пока истинный порядок величины A (n.)t в то время как в проблеме Гиль-берта-Камке одновременно с истинным порядком величины) установлен истинный порядок для числа слагаемых, при котором количество решений 17 системы (I) выражается нетривиальной асимптотической формулой.

Следует еще отметить такой факт. При выводе оценки снизу для величины 1(п) попутно было установлено, что система форм, стоящих в левых частях уравнения (I) может нетривиально представлять нуль в поле радических чисел при р = Л только в том случае, когда число неизвестных b удовлетворяет неравенству к * л*.

Данный результат опровергает известную гипотезу о представлении нуля системой форм в поле jaадических чисел. По этой гипотезе нетривиальная представимость нуля должна была иметь место для.

I SL is if & всякого &, превосходящего величину 4 + $,+*- +УС ^ УС Эта гипотеза обобщала гипотезу Артина для одной формы. Гипотеза Артина была уже опровергнута в 1966 году в работах Тержаниана и Бровкина. Они доказали, что для нетривиальной представимости нуля любой формой необходимо выполнение неравенствак -> с (£)13~£.

Используя новые соображения, А. А. Карацуба и автор в работах Гб2], [63],[64] получили и в этом вопросе принципиально более сильную оценку- *к константа в знаке «зависит от X .

В настоящей диссертации используется ряд общих методов аналитической теории чисел. Это — круговой метод в форме конечных тригонометрических сумм, метод И. М. Виноградова оценок тригонометрических сумм вместе с теоремой о среднем и радический метод. Используются также основные идеи работ К. К. Марджанишвили fioj, p[l], C82l i относящиеся к проблеме Гильберта-Камке.

Схема применения кругового метода (в форме тригонометрических сумм) в рассматриваемой задаче такова. Величина 7 = s NK) — количество решений системы (I) записывается в виде кратного интеграла от тригонометрической суммы по единичному Пмерному кубу СО. Затем по каждой переменной интегрирования выделяются «большие дуги», то есть «малые» окрестности рациональных чисел с «малыми» знаменателями. В результате этого в области со выделяется некоторая подобласть U)±. Хотя её объем очень мал в сравнении с объемом всей области интегрирования.

U) (равный! единице), именно на содержится основная часть интеграла СО, дающая главнай член в асимптотической формуле. Данное свойство интеграла 3 отражает основную идею кругового метода. Здесь необходимо подчеркнуть, что ключевым моментом применения кругового метода является оценка остатка, то есть части интеграла отвечающей оставшейся области сО^. Именно эта оценка обеспечивает эффективность всей схемы. Она выводится из теоремы И. М. Виноградова о среднем и его оценок тригонометрических сумм.

Главный член асимптотической формулы содержит, как уже было сказано, в качестве сомножителей особый ряд (э и особый интеграл Ц", и для величины & имеет место равенство в — П «г •.

Во второй главе диссертации доказано, что величины б! г удовлетворяют соотношениям sC7).

P 4 1 где W fp^ есть число решений системы сравнений, которая получается из системы уравнений (i) при замене знаков равенств на сравнения по модулю р. Из соотношения (7) можно получить такое следствие: при достаточно большом к условие б^ > О эквивалентно наличию решений системы (I) в целых радических числах, причем среди этих решений должны быть такие, которые содержат по меньшей мере п попарно различных чисел. Назовём такие решения регулярными. Очень близким по смыслу к этому условию является и установленное в третьей главе диссертации условие положительности величины ft". Его можно сформулировать так: особый интеграл Jf положителен в том и только в том случав, когда система (1) имеет регулярное решение в вещественных неотрицательных числах Хр*., (при достаточно большом &).

Таким образом, в результате применения кругового метода мы приходим к такому критерию: для достаточно большого величина О возрастает вместе с ростом основного параметра ^ в том и только в том случае, когда система Ш имеет регулярные решения во всех полях f> -адических чисел и неотрицательное регулярное решение в поле вещественных чисел. Регулярное решение можно определить ещё как решение, матрица Якоби которого имеет максимальный ранг. К подобному критерию приводит применение кругового метода и в других аддитивных задачах.

Сформулированный критерий мы далее будем называть критерием Харди-Литлвуда-Рамануджана (Х.-Л.-Р.) по имени создателей кругового метода. Заметим, что в теории представлений нуля квадратичными формами над полем рациональных чисел известен весьма похожий критерий, даваемый теоремой Минковского-Хассе (см. Г 44], стр.76): квадратичная форма представляет нуль в том и только в том случае, когда она имеет представление нуля в поле вещественных и во всех полях f> -адических чисел. Исторически круговой метод и критерий Минковского-Хассе были открыты приблизительно в одно и то же время так что оба критерия можно рассматривать как дополняющие друг друга.

Следует ещё отметить, что в последнее время Б. М. Бредихин, развивая идеи И. М. Виноградова (см. [4]}, К. ХоолИ (см. [41]) и Ю. В. Линника (см. [27]), разработал новый метод получения асимптотических формул в аддитивных задачах теории чисел, который, по видимому, можно применить и системе уравнений (1) и доказать для неё критерий Х.-Л.-Р. без использования кругового метода (см. [42],[43]).

Остановимся теперь на |эадическом методе. Мы называем р —адическими методами методы аналитической теории чисел, связанные с использованием сравнений по степени простого числа р. Важную роль в аддитивной теории чисел сыграл разработанный Ю. В. Линникомадический метод доказательства теоремы И. М. Виноградова о среднем значении модуля тригонометрических сумм (см. 24], [25]). В 1962 году А. А. Карацуба в работе [14] разработал другойадический метод, который позволил получить ещё одно fади-ческое доказательство этой теоремы (см.). Методы Ю. В. Линника и А. А. Карацубы имели и общие черты, и существенные отличия. Изложение идейных основ этих методов дано в § 7 первой главы книги [58] .

В последующее время А. А. Карацуба совершенствовал свой метод м и вместе со своими учениками — участниками семинара по аналитической теории чисел в МГУ. Результаты, полученные в данной диссертации, по существу являются дальнейшим развитием Joадичес-кого метода А. А. Карацубы.

В настоящее время этот метод включает в себя несколько приёмов, тесно связанных между собой в идейном отношении, и потому при каждом применении метода используются сразу несколько приёмов к соображений в некоторой комбинации. Укажем далее основные приемы этого метода (см. работы [14] -[23||50]-173]).

1. Использование кругового метода в радической форме.

2. Построение радического аналога % - чисел И. М. Виноградовареализация в радической форме «принципа вложения» Эйлера-Виноградова при оценке числа решений уравнений и сравнений «ва-ринговского» типа.

3. Понижение степени многочлена за счет «сдвига» аргумента (то есть разбиения значений аргумента на прогрессии) на число, кратное некоторой степени простого.

Рекуррентное сведение аддитивных задач на неполную систе.

I л му вычетов по модулю р к сравнениям на полную систему вычетов и 1С задачам того же типа, но с меньшим значением главных и неглавных параметровметоды изучения возникающих систем сравнений.

5. Использование условий регулярности решений уравнений и сравнений в радической форме.

6. Применение переменных параметров в рекуррентном процессе пунктов 2, 3, и методы оптимизации по этим параметрам.

7. Переход от «выщербленных» систем к полным за счет локальногоадического изменения неизвестных.

8. Одновременное использование нескольких модулей.

9. Использование идеи сглаживания в jbадической трактовке.

10. Переход в сравнениях от многочленов к показательным функциям и наоборот.

II. Методы оценок меры множества точек с малым значением функций через значения их параметров и обратных оценок этих параметров через меру вадическом и вещественном вариантахвещественная интерпретация приемов, изложенных в пунктах 2,3,4, 6,7.

Приведем теперь точную формулировку основных результатов диссертации. Перечень этих результатов включает в себя шестнадцать пунктов. При этом центральный результат о порядке числа слага емых в проблеме Гильберта-Камке сформулирован в последнем, шестна? цатом пункте и он является прямым следствием результатов пунктов 1,5,8,13, 14 и 15.

I. При ^(^LK + lkhK+V), к * Р°'£ Для числа решений $ системы (!) при условии I < сР справедлива асимптотическая формула fl i + $ YL Р ~ 30 fi+^и.).

Здесь (5 — особый ряд, Ц1 — особый интеграл проблемы Гильберта—Камке. Показатель абсолютной сходимости ряда 6″ равен 0−5 ±), а интеграла jf ровен О. 5 d.) + ± .

2. Справедлива оценка: ^ ^ у1Ъ°К* В ^.

3. Для среднего значения тригонометрической суммы Г. Бейля S (A), А * (о*!,., cLK), при I ^ справедлива оценка (упрощённая форма теоремы.

И.М.Виноградова о среднем):

1 i.

0 0.

4. Значение & особого ряда проблемы" Гильберта-Камке удовлетворяет соотношениям — а) б = л"" — И i.

0 IX > р Г г.

Здесь величина WGU) определяется как число решений системы сравнений (dh wiw = ос/+ - + ^ (ynUd)j 5 = 1, ., П .

5. Для разрешимости системы сравненийшри достаточно больших VYL и fe, необходимо и достаточно выполнение условий К. К. Марджанишвили, выраженных в форме а) или б) («арифметические условия разрешимости»): а) система линейных уравнений к %6 ^ К, п .

X-L разрешима в целых числах > б) при. числа М4 ,.

М4.

— 23 делятся нацело на tS / - здесь числа определяются из соотношения t г=±

6. Условия а) или б) пункта 5 являются необходимыми условиями отличия от нуля значения величины 6″ - особого ряда проблемы Гильберта-Камке. При выполнении этих условий и при к.

Т — ^ («."-Л1, Зн^-Л) справедливо неравенство ь ^ К.

7. Для разрешимости системы сравнений нг=4 необходимо выполнение, условия к ъ^о где — наименьший неотрицательный вычет числа 4 по модулю S. причем, а целые числа СЦ являются коэффициентами многочлена ?(*), удов' летворяющего условию — (-4 Л.

Hi t=? зс.

W A*).

8. Существуют наборы чисел, удовлетворяющие условию разрешимости пункта 5, для которых при ^ но в то же время для всех таких наборов при 'к ^ 'Т7 =.

— min (к1 L> Зуь!*1-*-) имзем toь* К- >о.

9. В условии а) пункта 5 систему линейных уравнений можно заменить на совокупность взаимно независимых систем сравнений таким образом, что каждому простому числу, не превосходящему.

Yt, будет отвечать своя система по модулю^. Разрешимость каждой такой системы влечет за собой выполнение неравенства.

6J, >о.

10. Среди всех наборов ^к) классов вычетов по модулю в количестве, А 3 А > 0, удовлетворяющих условию разрешимости пункта 9, отвечающему простому числу существует не менее, А (4- 2. d) таких наборов, для которых.

6⁰ при k 0 при к > Т.

11. Для нетривиальной разрешимости системы уравнений.

Ос* +,.+ = О, 4 в поле радических чисел при f-tL необходимо выполнение условия.

12. Величиназначение особого интеграла проблемы Гильберта-Камке при k > 0.5 n (yi+±) +¦ L равна к-кмерному объёму области точек (°с±эс^), удовлетворяющих системе уравнений вида причем О < < при Уп. = •••, к .

13. Характеристикой Д= А, некоторого решения системы уравнений пункта 12 мы называем величину, которая определяется так. Из, А чисел oclt. t ос^ некоторым способом д£ выбираются какие-либо К чисел. Пусть это будут числа.

Положим далее &-0=О и = 1. Тогда.

Для справедливости неравенства jf" > О при 0,5″ и.(и.+ 4) -f 1 необходимо и достаточно выполнение условия («условия порядка»):

Т >0 ^ где X — максимальное значение характеристики Д (эсц—^эс^ на множестве решений системы уравнений пункта 12.

14. Величины ^ и Г удовлетворяют неравенствам ft4−411 r4'3^-^.

15. Пусть. Тогда если особый ряд tf равен нулю, то система Ш не имеет решенийесли особый интеграл у* равен нулю, то число решений ограниченно некоторой константой, зависящей от К и к.

16. Истинный порядок числа слагаемых 4, при котором из необходимых условий разрешимости двух типов — арифметических условий пункта 5 и условий порядка пункта 13 следует разрешимость самой системы уравнений проблемы Гильберта-Камке, имеет вид точностью до СКОлЬ угодно малого? в показателе) Другими словами, ^ /) и.->"*=>

Изложенные выше результаты диссертации полностью опубликованы в работах автора [72],[73j. При доказательствах существенно используются также результаты работы автора [67] и совместных работ [68]-[7i], выполненных при его участии.

Остановимся кратко на содержании отдельных частей диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. В разделе «Введение» дается постановка задачи, т. е. проблемы Гильберта-Камке, излагается история вопроса, методы исследования и полученные в диссертации результаты.

1. Виноградов И. М. Sur ЦП thioreme general de Waring. — Мат.сб., 1924, т.31, с. 490−507.

2. Виноградов И. М. 0 теореме Варинга. Изв. АН СССР. ОФМН, 1928, № 4, с. 393−400.

3. Виноградов И. М. Об одном классе совокупных диофантовых уравнений. Изв. АН СССР, ОФМН, 1929, № 4, с. 355−376.

4. Виноградов И. М. О некоторых новых проблемах теории чисел. Докл. АН СССР, 1934, т.2, Ш 6, с. 337−341.

5. Виноградов И. М. Улучшение оценок тригонометрических сумм. Изв. АН СССР, Сер. мат., 1942, т.6, № 1−2, с.33−40.

6. Виноградов И. М. Метод тригонометрических суш в теории чисел.М.- Наука, 1971.

7. Hilbert D. Beweis fllr die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen. duroh eine feste Anzahl. ft,-ter Potenzen. Math. Ann. 1909, B. 67, s. 281−300.

8. Kamke E. Verallgemeinerungen dea Waring. Hilbertschen Satzes.- Math. Ann., 1921, B. 83, s, 3−38.

9. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел.М.: Наука, 1980.

10. Марджанишвили К. К. Об одновременном представлении чисел суммами полных первых, вторых, -с те пеней. Изв. АН СССР. Сер.матем., 1937, т.1, с. 609−631.

11. Марджанишвили К. К. О некоторых нелинейных системах уравнений в целых числах. Матам.сб., 1953, т.33 (75), Ш 3, с.630−675.

12. Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм.М.: Наука, 1976.

13. Виноградов И. М. Некоторые проблемы аналитической теории чисел.- Тр. третьего Всесоюзного матем.съезда. М., 1958, с.3−13.

14. Карацуба А. А. Проблема Варинга для сравнения по модулю, равному степени простого числа. Вестн. МГУ, сер. I, 1962, № I, с. 28−38.

15. Карацуба А. А. Тригонометрические суммы специального вида и их приложения. Изв. АН СССР. Сбр.матем., 1964, т.28, № I, с. 237−248.

16. Карацуба А. А. О системах сравнений. Изв. АН СССР, Сер.матем., 1965, т. 29, К" 4, с. 935−944.

17. Карацуба А. А. Теоремы о среднем и полные тригонометрические суммы. Изв. АН СССР. Сер.матем., 1966, т. 30, Ш I, с.183−206.

18. Карацуба А. А. Среднее значение модуля тригонометрической суммы. Изв. АН СССР. Сер.матем., 1973, т.36, № 6, с.1203−1227.

19. Карацуба А. А. Об одной системе сравнений. Матем. заметки, 1978, т.19, № 3, с. 389−392.

20. Карацуба А. А. Системы сравнений и уравнения варинговского типа.- Докл. АН СССР, 1965, т.165, №> 2, с. 274−276.

21. Карацуба А. А. О тригонометрических суммах. Докл. АН СССР, 1969, т. 189, № I, с. 31−34.

22. Карацуба А. А. Распределение произведений сдвинутых простых чисел в арифметических прогрессиях. Докл. АН СССР, 1970, т.192, }{г 4, с. 724−727.

23. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.

24. Линник Ю. В. Оценки сумм Вейля по методу И. М. Виноградова. Изв. АН СССР, Сер.матем., 1942, 6(1), с.41−70.

25. Линник Ю. В. О суммах Вейля. Мат.сб., 1943, 12(54), № I, с. 28−39.

26. Линник Ю. В. Некоторые замечания об оценках тригонометрических сумм. Успехи матем. наук, 1959, 14, вып. З (87), с.153−160.

27. Линник Ю. В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах. Л.: Изд. ЛГУ, 1961.

28. Гельфонд А. О., Линник Ю. В. Элементарные методы в аналитической теории чисел. М.: Наука, 1962.

29. Марджанишвили К. К. Об одновременном представлении двух чисел суммами т-ых и П-ых степеней. Докл. АН СССР, 1936, т. 2, 16, с. 257−258.

30. Марджанишвили К. К. Об одной системе диофантовых уравнений.- Докл. АН СССР, 1939, т.22, 112 II, с. 471−474.

31. Марджанишвили К. К. Об одной задаче аддитивной теории чисел.- Изв. АН СССР, Сер.мат., 1940, №. 4, с.193−214.

32. Марджанишвили К. К. Исследования по применению метода тригонометрических сумм к аддитивным задачам. Докторская диссертация.- М. 1949.

33. Марджанишвили К. К. Об одном особом ряде. Тр. МИАН, 1976, 142, с. I74−181.

34. Хуа Ло-ген Аддитивная теория простых чисел. Тр. МИАН, 1947, т.22.

35. Хуа Ло-ген Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. М.: Мир, 1964.

36. Hua Loo-lceng On the number of solutions of Tarry’s problem.- Acta sci. Sinica, 1952, v. I, N I, p. 1−76.

37. Hardy, Ramanujan Asimptotic formulae in combinatory analisis.- Proc. London math. Sos.(2) П (-I9I8), 75−115.

38. Hardy G.H., Littlewood J.E. A new solution of Waring’s problem.- GStt. Machr., 1920, Б. 33−54.

39. Hardy G.H., Littlewood J.E. The number Г (&-) in Waring’s problem. -Proc. London math. Sos., 28(1928), p.518−542.

40. Chen Jing Run On Professor Hua’s estimale of exponential sum.- Soi. Sinioa, 1977, v.20, N 6, p. 7-I-I-7−19.

41. Hooley C. Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge, 1976.

42. Бредихин Б. М. Метод сглаживания в нелинейных аддитивных задачах. Тр. МИАН, 1976, т.142, с.88−100.

43. Бредихин Б. М., Гришина Т. И. Элементарная оценка в проблеме Варинга. Матем. заметки, 1978, т.24, № I, с. 7−18.

44. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1972.

45. Емельянов Г. В. Об одной системе диофантовых уравнений. Уч. записки ЛГУ, Серия матем. наук, 1950, 19, с.3−39.

46. Нечаев В. И. Проблема Варинга для многочленов. Тр. МИАН, 1951, т. 38, с. 190−243.

47. Стечкин С. Б. О средних значениях модуля тригонометрической суммы. Тр. МИАН, 1975, т.134, с.283−309.

48. Чубариков В. Н. Об асимптотических формулах для интеграла И. М. Виноградова и его обобщений. Тр. МИАН, X98I, т.157, с.214−231.

49. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1972.

50. Архипов Г. И. Кратные тригонометрические суммы. Докл. АН СССР, 1974, т.219, Ш 5, с.1036−1037.

51. Архипов Г. И. Теорема о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы. Матем. заметки, 1975, т.17, № I, с.143−153.

52. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. О кратных тригонометрических суммах. Докл. АН СССР, 1975, т.222, № 5, с.1017−1019.

53. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы.- Изв. АН СССР, 1976, т.40, № I, с.209−220.

54. Архипов Г. И. Оценки двойных тригонометрических сумм Г. Вейля.- Тр. МИАН, 1976, 5″. 142, с. 46−66.55*Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Верхняя граница модуля кратной тригонометрической суммы. Тр. МИАН, 1977, т. 143, с. 3−31.

55. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Точная оценка числа решений одной системы диофантовых уравнений. Изв. АН СССР, Сер.матем., 1978, № 6, с. II87-I226.

56. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Распределение дробных долей многочленов от нескольких переменных. Матем. заметки, 1979, К" I, с. 3−14.

57. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы. Тр. МИАН, 1980, т.151, с.1−128.

58. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Об одной системе диофантовых уравнений. Докл. АН СССР, 1979, т. 252, № 2, с. 2−75−276.

59. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических сумм. Докл. АН СССР, 1980, т.252, Ш 6, с. 1289−1291.

60. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н., Кратные тригонометри ческие суммы и их приложения. Изв. АН СССР. Сер.матем., 1980, т.44, № 4, с.723−781.

61. Архипов Г. И., Карацуба А. А. О локальном представлении нуля формой. Изв. АН СССР, Сер.матем., 1981, т.45, Ш 5, с.948−961.

62. Архипов Г. И., Карацуба А. А. О представлении нуля формой в полеадических чисел. Докл. АН СССР. 1982, т.262, № I, с. П-13.

63. Архипов Г. И., Карацуба А. А. Об одной задаче теории сравнений. — Успехи матем. наук, 1982, т.37, N2 5(227), с. I6I-I62.

64. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков в.Н. Новые равномерные оценки кратных тригонометрических сумм. Докл. АН СССР, 1983, т.272, N2 I, с. 11−12.

65. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Особые случаи теории кратных тригонометрических сумм. Изв. АН СССР, 1983, т.47, № 4, с. 707−784.

66. Архипов Г. И. О среднем значении сумм Вейля. Матем. заметки, 1978, т.23, № 6, с. 785−788.

67. Архипов Г. И., Карацуба а.а. Об интеграле И. М. Виноградова.- Докл. АН СССР, 1978, т. 239, № 4, с. 764−766.

68. Архипов Г. И., Карацуба А. А. Новая оценка интеграла И. М. Виноградова. Изв. АН СССР, Сер.матем., 1978, т.42, № 4, с.751−762.

69. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Показатель сходи-' мости особого интеграла проблемы Терри. Докл. АН СССР, 1979, т.248, N2 2, с. 268−272.

70. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Тригонометрические интегралы. Изв. АН СССР. Сер.матем., 1979, т.43, № 5,с. 971−1003.

71. Архипов Г. И. О значении особого ряда в проблеме Гильберта-КамкеДокл. АН СССР. 1981, т.259, III 2, с. 265−267.

72. Архипов Г. И. О проблеме Гильберта-Камке. Изв. АН СССР. Сер.матем., 1984, т.48, № I, с.3−52.