Моделирование поведения тел из вязкоупругого материала при образовании в них концентраторов напряжений при конечных деформациях

Диссертационная работа посвящена моделированию напряженно-деформированного состояния (НДС) при образовании концентраторов напряжений в нелинейно-вязкоупругом нагруженном теле при конечных деформациях. В диссертационной работе предложена учитывающая динамические эффекты модификация модели образования концентратора напряжений в предварительно нагруженном теле для случая сжимаемых и несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов, разработан алгоритм решения квазистатической и динамической задач о НДС при образовании концентраторов напряжений в нелинейно-вязкоупругом нагруженном теле при конечных деформациях на основе метода конечных элементов и программный модуль, реализующий этот алгоритм. С помощью данного программного модуля проведен ряд численных экспериментов.

Свойства материала описываются соотношениями для сжимаемых и несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов, рассмотренными A.A. Адамовым в своих работах [1]. Учитывается, что возникновение в теле концентратора напряжений приводит (по крайней мере, в окрестности образованной граничной поверхности) к появлению в теле больших дополнительных деформаций, которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие деформации. Отметим, что именно «физически накладываются». Так как в рамках малых деформаций возможна суперпозиция деформаций, когда параметры напряженно-деформированного состояния тела от суммарного внешнего воздействия на тело определяются как сложение параметров напряженно-деформированного состояния тела от каждого воздействия на тело, а в случае конечных деформаций это не так. И поэтому мы говорим о «физическом наложении» (о физическом перераспределении) в теле деформаций и напряжений.

Задачам нелинейной теории упругости посвящено большое количество как отечественных, так и зарубежных работ, в частности работы Г. М. Бартенева [8,9], М. Ф. Бухиной [13], И. В. Блоха [11], Л. М. Зубова [115, 21], Ю.И. Койфмана[65], Д. И. Кутилина [25], А. И. Лурье [44,45], Н. Ф. Морозова [47], В. В. Новожилова [51,52], В. А. Пальмова [54,55], Л. И. Седова [67−69], Г. С. Тарасьева [72−74], Л. А. Толоконникова [75−63], Т. Н. Хазановича [8], К. Ф. Черныха [84,85], P.J. Blatz [89], А.Е. Green [93,94], W.L. Ко [89], М.А.Moony [102], F.D. Murnaghan [103], W. Noll [109], R.S. Rivlin [104], L.R.G. Treloar [79,80], C. Truesdell [81, 109], W. Zerna [93] и многих других.

Более сложными являются задачи связанные с анализом поведения элементов конструкций, когда необходимо учитывать вязкоупругие процессы, происходящие в материале тела. Теория линейной вязкоупругости зародилась еще в XIX веке, когда ведущие физики того времени, такие как Максвелл, Больцман и Кельвин исследовали и экспериментировали с ползучестью стекла, металлов и резин, тогда же были разработаны первые модели — модели Максвелла и Кельвина-Фойхта. Такие модели рассматривались в цикле работ A.A. Ильюшина и Б. Е. Победри [22,23], работах Р. Кристенсена [24], Tchoegl [110], Wineman and Rajagopal [112]. В дальнейшем эти модели получили многочисленные обобщения: в частности, обобщенная модель Максвелла, известная в иностранной литературе как Maxwell-Wiechert model, рассматривалась в [111]. Еще одна модель на основе модели Максвелла — это модель Зенера, известная также как модель стандартного тела, рассматривалась в [87]. Модель стандартного твердого тела так же получила обобщениеобобщенная модель стандартного твердого тела была рассмотрена в работах Lisitsa V.V., Lys E.V. [99].

Описанные выше линейные модели для одномерного случая удобно трактовать при помощи механических моделей, которые наглядно демонстрируют поведение различных вязкоупругих материалов. Эти модели 5 строятся из механических элементов двух типов: линейно-упругая пружина с модулем упругости G (массой этой пружины пренебрегают) — вязкий элемент (демпфер) с коэффициентом вязкости 11 (вязкий элемент представляет собой поршень движущийся в цилиндре с вязкой жидкостью).

Рост интереса к нелинейной теории вязкоупругости пришелся на вторую половину XX века, когда начали разрабатываться синтетические полимеры (такие как нейлон, тефлон и т. д.). На сегодняшний день модели и методы решения задач в данной области достаточно подробно проработаны. Теории и эксперименту задач нелинейной теории вязкоупругости посвящены работы Ю. А. Гамлицкого [17], А. А. Адамова, В. П. Матвеенко, H.A. Труфанова, И. Н. Шардакова [1], Ю. Н. Работнова и его учеников [60−59,62], работы Н. Х. Арутюняна и его учеников [5], А. Д. Дроздова [90], П. М. Огибалова [53], В. В. Москвитина [49], W.N. Findley [92], L.K.Talybly [108]. В этих работах построены модели и дано теоретическое обоснование для малых и конечных деформаций.

Для учета перераспределения конечных деформаций использовалась теория многократного наложения больших деформаций. Создание и развитие теории многократного наложения больших деформаций для тел из упругого материала было осуществлено Г. С. Тарасьевым [50,72−74] и.

В.А. Левиным[96,98,20,29,30,37,38]. Совместно с этими авторами,.

A.B. Вершининым были разработаны численные методы и программные модули для решения таких задач [33,36,37]. Обобщение моделей вязкоупругости на случай многоэтапного нагружения получено В. А. Левиным и K.M. Зингерманом.

97, 19,34] с использованием теории многократного наложения больших деформаций и найдены численно-аналитические решения для квазистатических задач с учетом нелинейностей 2-го порядка. Методы решения и программные модули для решения таких задач с учетом нелинейностей высших порядков разработаны не были. Модель образования 6 концентратора напряжений в предварительно нагруженном теле из нелинейно-вязкоупругих материалов с учетом динамических воздействий ранее не рассматривалась.

Для получения результатов данной работы использовался метод конечных элементов (МКЭ) в совокупности с методом Галеркина. Данный метод был предложен Б. Г. Галеркиным в 1915 г. как приближенный метод решения краевых задач [16]. Ранее в 1913 г. метод применялся для решения конкретных задач теории упругости И. Г. Бубновым, в связи с чем именуется также методом Бубнова-Галеркина. Теоретическое обоснование метода принадлежит М. В. Келдышу (1942). Применение метода конечных элементов к задачам линейной и нелинейной теории упругости подробно рассмотрено в работах JI. Сегерлинда [66], О. Зенкевича [18], Дж. Джу и Р. Тейлора [113,114]. При этом исходная система нелинейных дифференциальных уравнений сводится посредством метода Галеркина к системе нелинейных алгебраических уравнений, которая затем решается с использованием метода Ньютона [10,2]. Полученная на каждой итерации метода Ньютона система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), решается прямым методом решения СЛАУ с использованием LU — разложения[14,86].

Недостатком рассмотренных методов является нерешенность (в общем случае) вопроса об их сходимости в случае применения к нелинейным задачам теории наложения больших деформаций. Поэтому очень важным является сравнение результатов, полученных с использованием этих методов, с результатами расчетов иными методами и с известными точными решениями. В данной работе приводится сравнение с аналитическим решением, полученным для одноосного растяжения однородной пластины, а также сравнение с численно — аналитическим решением, полученным ранее с учетом нелинейностей только 2-го порядка K.M. Зингерманом в [34].

Как уже упоминалось выше, для получения результатов данной работы использовались определяющие соотношения, рассмотренные A.A. Адамовым в его работах [1]. Эти соотношения являются определяющими соотношениями интегрального типа, что приводит к тому, что на каждой итерации метода Ньютона необходимо вычислять интеграл свертки по времени. Ядро свертки в используемых определяющих соотношениях имеет сингулярность в точке t = О. В случае сингулярных ядер методы трапеций и прямоугольников не позволяют рассчитывать интегралы с достаточной точностью, а для использования кубатурных формул более высокого порядка необходимо хранить полную историю перемещений для каждого шага по времени, что является очень неэкономичным с точки зрения используемой памяти. В этом случае, для вычисления интеграла свертки удобно использовать рекуррентную формулу, которую можно получить, разложив исходное ядро в линейную комбинацию экспонент — ряд (конечный) Прони. Этот метод также использовался в [113,99]. Для разложения в ряд Прони использовался метод, полученный Г. Прони в 1795 году [88].

Основные положения диссертации.

Актуальность темы

В связи с разработкой новых материалов (в том числе резиноподобных и полимерных), конструкции из которых способны испытывать в процессе изготовления и эксплуатации конечные деформации, а также усложнением самих конструкций и сложностью нагружения на них, возникает необходимость в создании адекватных механических моделей и разработке систем инженерного анализа (либо программных модулей способных интегрироваться в существующие системы инженерного анализа) для оценки прочностных характеристик элементов таких конструкций. В ряде случаев необходимо учитывать вязкоупругие (в частности, релаксационные) процессы, происходящие в таких конструкциях при их эксплуатации и хранении. Анализ напряженно-деформированного состояния в телах с образующимися отверстиями важен потому, что позволяет конструктору еще на этапе проектирования оценить возможность разрушения элемента конструкции при наличии в нем дефектов.

Целями работы являются: разработка модифицированной модели деформирования предварительно нагруженных тел из сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) или несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов при образовании в них концентраторов напряжениймодификация модели состоит в учете динамических эффектов и граничных условий на внешней границе теларазработка детализированного алгоритма решения квазистатических задач с учетом нелинейностей высших порядков и алгоритма решения динамических задач в рамках описанной моделиразработка программного модуля для решения задачпроведение численных экспериментов для конкретных задач.

Научная новизна работы заключается в адаптации ранее разработанных численных методов решения задач вязкоупругости (включая метод Прони) для сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) и несжимаемых материалов для случая квазистатического и динамического нагружения тела в несколько этапов, а также в решении задач нового класса, в которых при конечных деформациях образуются дефекты (включения и трещины ненулевого раскрытия) в телах из сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) и несжимаемых изотропных вязкоупругих материалов, с учетом квазистатического или динамического перераспределения конечных деформаций.

Достоверность результатов основывается на применении апробированной теории многократного наложения больших деформаций, 9 применении определяющих соотношений и использовании для решения задач методов, апробированных ранее другими авторами. Проводится анализ полученных разложений в ряд Прони, а также результатов, полученных при интегрировании некоторых функций с использованием такого разложения. Также проводится численный (сеточный) анализ сходимости, как по пространству, так и по времени для динамических модельных задач. Полученные в работе результаты согласуются с точным решением, полученным для частного случая.

Практическая ценность работы заключается в возможности использования результатов расчета на начальных стадиях проектирования изделий из резиноподобных и полимерных материалов, а также в задачах мониторинга (например, когда в процессе эксплуатации возникает и может начать развиваться дефект). Разработанный программный модуль использовался при выполнении работ по грантам РФФИ (проекты 11−01−12 043;офи-м-2011, 11−08−1 284-а), госконтракту № 8757р / 14 004 от 14 января 2011 г. с «Фондом содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере» по программе «Участник Молодёжного Научно-Инновационного Конкурса» («У.М.Н.И.К.») и при разработке CAE FIDESYS (Проект поддержан фондом Сколково).

На защиту выносятся: модификация модели образования концентратора напряжений в предварительно нагруженном теле для случая сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) и несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов с учетом динамических воздействийдетализированный алгоритм решения задач в рамках описанной модели и его программная реализациярезультаты численных экспериментов для конкретных задач.

Содержание работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы.

Заключение

.

Таким образом, в диссертации получены следующие основные результаты:

1. Модифицирована модель образования концентратора напряжений в предварительно нагруженном теле из сжимаемых (в том числе и слабосжимаемых) или несжимаемых изотропных нелинейно-вязкоупругих материалов. Модификация состоит в учете динамических воздействий и граничных условий на внешней границе тела.

2. Разработан детализированный алгоритм решения квазистатических задач с учетом нелинейностей высших порядков и алгоритм решения динамических задач в рамках описанной модели.

3. Проведены численные эксперименты и получены следующие эффекты (для тех задач, параметров материала, нагрузок и формы тела, которые указаны в соответствующих параграфах диссертации): a. Показано, что учет нелинейностей порядка выше 2-го является существенным. Выявлено, что разница в решениях, полученных с учетом нелинейностей только 2-го порядка и нелинейностей высших порядков, рассмотренных в работе, достигает 30%. b. Показано, что учет динамических эффектов в задачах рассмотренного типа является существенным. Выявлено, что разница в решениях задач, рассмотренных в работе и полученных с учетом динамических эффектов и без него, достигает 15%. c. Показано, что учет возникновения второго отверстия в задаче о динамическом последовательном образовании является существенным. Выявлено, что различия для решения без возникновения второй полости и для решения с центром второго, расположенного близко к первому, достигают 95%.