Разработка и обоснование математических моделей для расчета электромагнитного поля в анизотропной среде

Актуальность темы

В теоретической электротехнике существует ряд проблем, актуальных как с практической, так и с теоретической точек зрения. Одной из них является проблема расчета электромагнитного поля в линейной анизотропной среде. Она возникает, например, при расчете поля в кристаллических структурах, излучения ЭМП, в намагниченной плазме и т. п. В электротехнике этот вопрос появляется при моделировании электромагнитных устройств, содержащих шихтованные магнитопроводы, реакторы, электродвигатели, аналоговые электрофильтры, которые представляют так называемую мелко слоистую анизотропную среду. Известные универсальные численные методы для расчета поля здесь непригодны, в связи с тем учет влияния шлихтовки на распределение поля, потерь мощности, индуктивности обмоток и т. д. производится в настоящее время по приближенным методикам, основанным на решениях частных задач и результатах натурных экспериментов. Возможность применения универсальных численных методов возникает после замены мелко слоистой среды сплошной анизотропной средой.

В настоящее время считается общепризнанным, что проектирование различных электротехнических устройств должно быть основано на применении современных методов расчета электромагнитного поля. Такими методами являются метод конечных элементов и метод интегральных уравнений.

Для расчета поля находит применение метод конечных элементов, однако при большой размерности задачи эффективность этого метода невысока из-за медленной сходимости и больших вычислительных погрешностей. В случае же открытой задачи возникает необходимость введения дополнительных ограничений, что делает метод еще менее эффективным. Для линейных сред наиболее эффективен метод интегральных уравнений. Математические модели, построенные с помощью метода интегральных уравнений наиболее адекватно учитывают геометрические и функциональные особенности электротехнических устройств, за счет чего и достигается высокая точность.

Однако, несмотря на большие потенциальные возможности этого метода, его применение сдерживается рядом факторов. Один из них относительная сложность математических моделей на основе ГИУ. В частности, в математических моделях, основанных на ГИУ, присутствуют сингулярные интегралы, в результате чего осложняется как анализ моделей, так и их численная реализация.

Разработано много математических моделей в виде различных систем сингулярных уравнений, но многие из них предназначены для расчета полей в изотропных средах. Но для наиболее распространенных современных электротехнических устройств: трансформаторов, реакторов, электрических машин — характерно наличие шихтованных магнитопроводов, а следовательно, расчет поля нужно вести с учетом анизотропии. В этих случаях можно использовать метод ГИУ.

Построение систем с помощью этого метода является определенной научной проблемой, т.к. теоретическое исследование получаемых систем рассмотрено недостаточно. Представляют теоретический интерес следующие вопросы:

1. К какому типу относятся интегральные операторы систем, получаемых при построении моделей для расчета поля в анизотропных средах. Являются ли они операторами Фредгольма (и следовательно обладают известными свойствами) или же они сингулярны.

2. Довольно сложным является вопрос о существовании и единственности решения полученных систем. Так как в случае наличия в системе сингулярных интегралов, невозможно сделать вывод о существовании решения на основе его единственности.

3. Теоретическое обоснование формул для предельных значений скалярных и векторных произведений, используемых при построении систем ГИУ с точки зрения теории потенциалов.

4. Проблемой является также методика построение процесса регуляризации систем сингулярных ИУ и его обоснование.

Наличие таких проблем позволяет сделать вывод о том, что теоретическое обоснование математических моделей для расчета поля в анизотропной среде фактически отсутствует. В связи с этим можно утверждать, что тема данной работы является актуальной как с практической, так и с теоретической точки зрения.

Цель работы. 1) Методика построения математических моделей для расчета электрического и магнитного поля в однородной и кусочно однородной анизотропных средах. На основе ГИУ, которые предназначены для расчета полей любого физического характера. 2) Обоснование возможности практического использования разработанных моделей путем теоретического анализа и численного эксперимента.

Методы исследований. Поставленные задачи решались с использованием теории интегральных уравнений, теории потенциала и метордов численного решения интегральных уравнений.

Научная новизна и значимость полученных результатов заключается в следующем:

1. Разработаны новые математические модели на основе метода разделения областей в форме систем интегральных уравнений для расчета магнитостатического поля в однородной анизотропной среде.

2. Разработана новая реализация метода частичного разделения областей для расчета магнитостатических полей в кусочно-однородной анизотропной среде.

3. Получены новые математические модели для расчета плоскопараллельного и осесимметричного квазистационарного электромагнитного поля в анизотропной среде.

4. Установлено, что построенные уравнения являются системами сингулярных интегральных уравнений (СИУ).

5. Выведены формулы для предельных значений производных скалярного и векторного потенциалов, являющиеся аналогами известных формул Ляпунова-Таубера.

6. Получены аналоги закона Био-Савара-Лапласа для однородной анизотропной среды.

7. Предложен новый метод доказательства разрешимости полученных систем основанный на введении специальной союзной задачи, чем обоснована возможность их практической реализации.

8. Проведена численная реализация разработанных моделей и показана их практическая применимость.

Практическая ценность работы. Разработанные математические модели могут быть использованы при проектировании электротехнических устройств — реакторов, электрических машин, устройств индукционного нагрева, аналоговых фильтров.

Основные положения, выносимые на защиту: 1. Новые математические модели в форме систем ГИУ для расчета статических и квазистационарных электромагнитных полей построенные на основе метода разделения областей.

2. Методика построения математических моделей с применением метода ГИУ включающая:

2.1 Новые формулы для векторов поля и векторных потенциалов.

2.2 Правила вывода формул для предельных значений производных потенциалов на кусочно-гладких поверхностях.

2.3 Способы введения расчетных функций плотностей зарядов и токов на граничных поверхностях в представлениях для потенциалов при реализации метода частичного и полного разделения областей.

3. Доказательство разрешимости полученных систем сингулярных интегральных уравнений.

4. Новый способ регуляризации систем сингулярных интегральных уравнений, основанный на введении союзных задач.

Апробация работы.

Доклады на конференциях 1. Одиннадцатая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». Доклад на тему: «Математическая модель на основе векторного интегрального уравнения для расчета магнитного поля». М.: МЭИ, 2005. т. 1.-С. 318 2.0диннадцатая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». Доклад на тему: «Граничные интегральные уравнения для расчета магнитного поля в кусочно-однородной анизотропной среде». М.: МЭИ, 2005. Т.1.-С.318−319 3. Кадников С. Н., Сергеева И. Е. Векторный потенциал и магнитное поле в однородной анизотропной среде. — Сб. научных трудов Международной технической конференции хи Бенардосовские чтения. Иваново, ИГЭУ, 2005 г. — С. 126−130.

4. Двенадцатая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». Доклад на тему: «Определение условий разрешимости векторного интегрального уравнения для расчета магнитного поля» М.: МЭИ, 2006. Т.1.-411.

5. Двенадцатая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». Доклад на тему: «Вопросы расчета поля в кусочно-однородной анизотропной среде с помощью граничных интегральных уравнений» М.: МЭИ, 2006. т.1. с. 412.

6. Кадников С. Н., Веселова И. Е. Граничные интегральные уравнения для расчета поля в анизотропной магнитной среде.-Сб. научных трудов Международной технической конференции XIV Бенардосовские чтения. Иваново, ИГЭУ, 2007 г, т.1., — с. 6.

7. Кадников С. Н., Веселова И. Е. Формулы перестановки сингулярных интегралов.-Сб. научных трудов Международной технической конференции XV Бенардосовские чтения. Иваново, ИГЭУ, 2009 г.

Обзор основных результатов, полученных в настоящее время по этой теме.

Методика построения ГИУ для расчета статического магнитного поля впервые была предложена Колесниковым, где расчет поля постоянного магнита сведен к системе уравнений первого и второго рода, полученных с использованием скалярных потенциалов простого слоя. Другая модель в виде системы интегральных уравнений второго рода, для построения которой использовались потенциалы простого и двойного слоев, рассматривается в книге Тозони О. В. и Маейргойз.

И.Д. «Расчёт трёхмерных электромагнитных полей.» — Киев: Техника, 1974.-352с.

Аналитические методы расчетов электрических полей в анизотропных средах предложены в работах Нетушила А. В. «Электрические поля в анизотропных средах» / Электричество-1950.№ 3.-с.9 и «Электрические поля в анизотропных средах» / Изв. ВУЗов. Электромеханика — 1962. № 5. В статьях исследуются криволинейная анизотропия и статические поля. Основной из предложенных — метод изотропирующих преобразований координат (видимо впервые предложенный автором) — метод с помощью которого дифференциальные уравнения для потенциала в анизотропной среде приводятся к уравнению Лапласа. Рассмотрены специальные изотропирующие деформации с помощью которых получаются дифференциальные уравнения, приводимые к уравнению Лапласа в цилиндрических координатах. Приводится целый ряд простых примеров по применению разработанного подхода. В частности дается вариант метода зеркальных отражений для диэлектрических сред с одноосной анизотропией. Приводится также ряд примеров, некоторые из них носят элементарный характер, но есть и более сложные, например о полостном конденсаторе с аксиальной анизотропией. Во второй статье рассматривается также метод, состоящий в непосредственном отыскании решения для анизотропной области и сопряжении его с решением для изотропной области. К этому методу можно отнести и метод, рассматриваемый в работе Белявского А. С., Поливанова Я. А. «Сердечник из ферромагнитной анизотропной ленты» / Изв. ВУЗов. Электромеханика — 1959. № 10.

В начале XX века для расчёта электростатических и магнитостатических полей в мелкослойчатых средах было предложено моделировать эти среды анизотропными. Острейко В. Н. был сделан вывод о малой пригодности данного метода («Расчёт электромагнитных полей в многослойчатых средах: Сб.ст.» /ЛГУ. Л., 1981). Однако в статье Толпаева В. А., Шахнабатовой Л. Б. «О точности моделирования в статических расчетах мелкослойчатых сред анизотропными» Изв. ВУЗов Электромех.-1988. № 6, указаны примеры, в которых мелкослойчатая среда, со стремлением к нулю толщин изотропных слоев, достигает «анизотропного состояния» быстрее, чем это указано у Острейко В. Н. В статье рассматривается математическая модель в виде слоистого цилиндра состоящего из п слоев диэлектрика, разделенных воздухом. В качестве источника внешнего поля рассматривается диполь и точечный заряд, находящиеся вне этого цилиндра. Расчет поля для решения краевой задачи проводится методом функций комплексной переменной, с разложением в ряды Лорана. Предлагается рекуррентный алгоритм расчета коэффициентов разложения. Он позволяет получить решение в замкнутой форме при любом количестве слоев. Результаты расчета поля при наличии диэлектрического включения в виде многослойного цилиндра сравниваются с результатами расчета поля с теми же внешними источниками при наличии сплошного диэлектрического цилиндра с анизотропной диэлектрической проницаемостью, которая эквивалентирует исходные слои цилиндра.

Результаты расчетов показали, что эквивалентирование сплошной анизотропной средой при данном виде диэлектрического включения обеспечивает точность не хуже 4−5% при диэлектрической проницаемости диэлектрика порядка 1000. Число слоев при этом должно быть не менее 100. При увеличении числа слоев точность эквивалентирования возрастает. Результаты статьи показывают, что метод эквивалентирования путем замены слоистой среды сплошной анизотропной может приводить к практически приемлемым результатам. Для расчета потоков смещений в электростатических полях, искаженных круглым мелкослойчатым включением, мелкослойчатую среду можно моделировать как радиально-анизотропную.

Для расчетов плоскопараллельных полей предложены несколько аналитических методов. Метод разделения переменных Фурье использован в статье А.В.Иванова-Смоленского, Ю. В. Абрамкина. «Критериальная оценка электромагнитных явлений в прямоугольных магнитопроводах с анизотропной электрической проводимостью"/Изв. ВУЗов Электромех.-1983. № 1-с.25./Изв. ВУЗов Электромех.-1975. № 8, для плоскопараллельной задачи по расчету электромагнитного поля с учетом анизотропии удельной проводимости (анизотропия магнитной проницаемости не рассматривается). Полученные результаты позволяют в линейном приближении оценить электромагнитные явления в бесконечно длинном магнитопроводе, с конечным прямоугольном сечении с учетом анизотропии электрической проводимости. Однако геометрия рассматриваемой задачи сведена к максимально простой. Ильин Г. П., Карасев А. В. в работе «Расчет магнитного поля и тяговых усилий в муфтах на постоянных анизотропных магнитах"/Изв. ВУЗов Электромех.-1983. № 1-с.25, используют тот же метод Фурье для расчета магнитного поля в модели магнитной муфты с учетом анизотропии постоянных магнитов. Решение получено для векторного магнитного потенциала в плоскопараллельном приближении. Модель очень простая и с теоретической точки зрения интереса не представляет. Фактически как таковое влияние анизотропии не учтено (анизотропия в одной составляющей).

Брынский Е. А, Острейко В. Н., Черников Ю. Л. в статье «Расчет внутренней индуктивности токонесущего пакета стальных пластин» / Изв. ВУЗов Электромеханика.-1976. № 3 дают методику расчета плоскопараллельного статического магнитного поля в пакете токонесущих стальных пластин также на основе метода Фурье, но при идеализированных граничных условиях. Авторы не приводят сравнение со сплошной анизотропной средой. Полученные результаты свидетельствуют о том, что погрешность расчета в данной идеализированной модели может быть значительной.

В статье Князя А. И. «Электромагнитные плоскопараллельные поля в кусочно-неоднородных анизотропных средах»./ Изв. ВУЗов Электромех.-1978. № 12, рассматривается методика расчета плоскопараллельного поля с использованием теории р-аналитических функций с одновременным учетом неоднородности и анизотропии в линейной постановке (без учета нелинейности). Несмотря на то, что в названии заявлены электромагнитные поля, рассматриваются только статические, в частности, электростатические поля в неоднородной анизотропной среде. На характер анизотропии и неоднородности накладываются жесткие ограничения путем установления связи отношения метрических коэффициентов с отношением элементов диагонального тензора диэлектрической проницаемости. Это позволяет свести с помощью теории р-аналитических функций исходное дифференциальное уравнение к уравнению Лапласа относительно новой потенциальной функции. Это позволяет в дальнейшем свести краевую задачу к сингулярному интегральному уравнению.

Практического интереса статья не представляет, поскольку в случае, если геометрию задачи можно вписать в криволинейную систему координат, то такая задача может быть легко решена методом сеток. Даже если это не удается, то можно использовать метод конечных элементов. Поэтому такой подход представляет только теоретический интерес.

Расчету плоскопараллельных полей посвящены также статьи Толпаева В. А. Так в статье Толпаева В. А., Шахнабатовой Л. Б. «Комплексные потенциалы плоскопараллельных электрических и магнитных полей в анизотропных средах» / Изв.ВУЗов. Электромеханика.- 1984. № 3, рассматривается методика расчета электрических и магнитных плоскопараллельных стационарных полей в анизотропных средах. Для расчетов вводится криволинейная ортогональная система координат с использованием которой исходное уравнение поля в анизотропной среде сводится к известному уравнению Бертрана. Решение этого уравнения может быть получено в форме комплексных потенциалов, которые являются аналитическими функциями комплексного переменного. В статье приводится пример исследования плоскопараллельного электростатического поля цилиндрического конденсатора, заполненного диэлектриком с центральной анизотропией. Решение получено в аналитической форме. Рассмотренная задача является чисто иллюстративным примером. Связь с реальными характеристиками анизотропного диэлектрического конденсатора не указана.

Расчёт статических полей в нелинейных и анизотропных средах методом конечных элементов рассмотрен в статье Демирчана К. С., Солнышкина Н. И. «Расчёт трёхмерных магнитных полей методом конечных элементов» /Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1975,№ 5. Этот же метод используется для расчёта трёхмерного магнитного поля в нелинейных анизотропных средах в статье Гаспаряна А. С., Новика Я. А. «Метод конечных элементов в расчетах трехмерного магнитного поля с учетом нелинейных магнитных свойств, неоднородности и анизотропии материалов"/ Изв. ВУЗов. Электромеханика.- 1987, № 11. Учёт анизотропии и неоднородности среды осуществляется заменой шихтованной среды на эквивалентную сплошную анизотропную среду.

Маергойз И.Д. в статье «Расчет магнитостатических полей в неоднородных анизотропных и нелинейных средах» предлагает использовать итерационные методы расчёта. В их основе лежит метод вторичных источников. Приведенные итерационные методы применимы для разнообразных форм границ раздела сред и для произвольного расположения токонесущих проводников. В случае если сильно проявлена неоднородность автором предлагается использовать модифицированный итерационный метод с заменой этой среды кусочно-однородной анизотропной средой.

Статья Поливанова К. М., Кутяшова В. А. «Поверхностный эффект в анизотропных листах"/ Изв. ВУЗов Электромех.-1958. № 3, предлагает базу для исследования анизотропных свойств стали путем сопоставления результатов расчета поля в анизотропной среде с результатами измерений с помощью специального прибора, предложенного авторами.

В статье подробно рассматривается магнитное и электрическое поля в плоском листе. Задача, рассматриваемая авторами, имеет точное решение и позволяет подробно исследовать характер электромагнитного поля при наличии анизотропии. Однако результаты, полученные авторами, носят частный характер и с точки зрения разработки универсальных методов расчета электромагнитного поля в анизотропной среде интереса не представляют. Интерес представляет приведенная в статье зависимость индукции от направления вектора Я относительно направления прокатки, хотя эти данные относятся только к слабым полям.

Численным расчетам поля посвящена также статья Толпаева В. А., Жернового, Петренко «Численный расчет емкости цилиндрического конденсатора с анизотропным диэлектриком» / Изв. ВУЗов. Электромеханика.-1989. № 6. При заданном законе распределения главного направления анизотропии, расчет поля цилиндрического конденсатора сводится к решению дифференциального уравнения эллиптического типа. Уравнение подобного типа встречалось в теории фильтрации. Затем это уравнение решается методом сеток (видимо на прямоугольной сетке, так как в статье геометрия сетки не указана). Переход от аналитических методов к численным говорит о том, что аналитические методы для подобных задач (даже для плоскопараллельного поля) бесперспективны.

Структура и объем работы. Диссертационная работа общим объемом 156 страниц состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы.

Основные выводы и результаты, полученные в данной работе, состоят в следующем:

1 Для плоскопараллельного и осесимметричного магнитостатических и квазистационарных полей в анизотропной среде.

• разработаны новые математические модели в виде систем интегральных уравнений, в том числе математические модели для случая стыков;

• доказано, что полученные системы уравнений содержат сингулярные интегралы;

• доказана возможность эффективной численной реализации;

• предложен новый способ реализуемости полученной системы, основанный на введении союзной задачи и на применении регуляризации.

• получены новые формулы предельных значений для ,.

• получена новая формула (аналог закона Био-Савара-Лапласа) для магнитостатического поля в анизотропной среде.

2 Получен специальный вывод векторного интегрального уравнения, предназначенного для расчета магнитного поля заданного распределения токов в присутствии ферромагнитных тел. Доказано, что оно является уравнением типа Фредгольма, у него существует решение, решение единственно.

3 Для трехмерного магнитостатического поля в анизотропной среде.

• предложен новый метод частичного разделения областей.

• разработана специальная методика обоснования практической реализуемости полученных систем интегральных уравнений, основанный на использовании специальных интегральных операторов. которые использовались при построении математических моделей;

• получены две новые математические модели (с полным разделением областей и без разделения областей определения скалярных и векторных потенциалов);

• доказано, что полученные системы уравнений содержат сингулярные интегралы;

• доказана возможность эффективной численной реализации;

• получена новая формула, выражающая закон Био-Савара-Лапласа для однородной анизотропной среды.

4 Путем численных экспериментов на модельных задачах установлено, что необходим учет влияния анизотропии при проектировании электромагнитных устройств, содержащих магнитпроводы, причем это касается как расчета интегральных параметров, так и распределения магнитного поля.

5 Установлена достоверность полученных результатов путем сравнения с данными эксперимента.

Заключение

.