Численное исследование уединённых волн на поверхности жидкости

Как известно, к длинным гравитационным волнам на поверхности мирового океана относятся приливы, штормовые нагоны, волны цунами, а также волны, вызываемые либо атмосферными процессами (анемобарические волны), либо — нелинейным взаимодействием ветровых волн, зыби (инфрагравитационные волны) [1]. Первые три типа длинных гравитационных волн хорошо изучены. Приливы фактически определяют всю жизнедеятельность человека в прибрежных районах морей и океанов, а штормовые нагоны в значительной степени её осложняют. Волны цунами вообще представляют собой серьёзное стихийное бедствие, занимая пятое место в мире по числу жертв согласно статистическим данным за вторую половину двадцатого века [2].

Анемобарические и инфрагравитационные волны в спектре океанских волн занимают промежуточное положение между приливами и зыбью [3] и имеют характерные периоды от нескольких десятков секунд до нескольких часов, а характерные размеры — от нескольких сот метров до нескольких сот километров [1]. Долгое время значение этих волн недооценивалось, поэтому история их исследования значительно короче, чем приливов или штормовых нагонов. В странах Европы и в США интерес к данному типу длинных гравитационных волн возник только после Второй мировой войны и первоначально был связан с проблемой цунами. Было замечено, что в некоторых случаях (которые встречаются сравнительно редко) изменение метеорологических условий над поверхностью океана приводят к генерации сильных длинноволновых колебаний уровня океана [1]. В отечественной литературе такие волны получили название метеоцунамщ так как по разрушительному воздействию на побережье, длинам и периодам они сходны с сейсмическими морскими волнами цунами, характерная длина которых порядка 200 км [2], [4]. Поэтому эти два явления иногда оказываются трудно различимыми, если отсутствует соответствующая сейсмическая информация. Так, пакет длинных волн (высотой до 60 см с периодами от 24 до 60 мин), замеченный 11 мая 1981 года у побережья Южной Африки, поначалу ошибочно был принят за «обычное» цунами и даже описан в сентябрьском номере того же года «Цунами ньюслеттер». И лишь позднее эти волны были идентифицированы как анемобарические колебания, вызванные прохождением глубокого циклона [1]. Однако возбуждение метеоцунамидействительно довольно редкое явление, поскольку далеко не каждый глубокий циклон, фронт или цуг атмосферных волн приводит к образованию заметных поверхностных волн в океане. При каких условиях это всё же происходит? Источники [1] и [2], обобщая многочисленные статистические данные, указывают на резонансный механизм возбуждения: скорость распространения атмосферных возмущений совпадает (хотя бы приближённо) со скоростью длинных гравитационных волн. В частности такой эффект привёл к генерации длинных волн на шельфе о. Лонг-Айленд 23 ноября 1953 года и 20 сентября 1958 года, а также явился причиной катастрофического нагона на Великих озёрах 26 июня 1954 года [1]. Этот тип резонанса геофизики называют резонансом Праудмена по имени исследователя, впервые подробно его описавшего [5].

При математическом описании явления генерации метеоцунами, вызываемого движущимися атмосферными возмущениями (например движущимся тайфуном) в случае двумерных волновых движений приходится отказываться от длинноволновой модели и учитывать нелинейные эффекты вследствие резонансного механизма возбуждения [2]. В [2] показано, что аналогичная ситуация встречается при рассмотрении математической задачи о возбуждении сейсмической волны цунами горизонтальной подвижкой дна, движущейся со скоростью длинных гравитационных волн. Но подвижка дна при подводном землетрясении может перемещаться лишь в пределах зоны очага (которая является относительно небольшой), тайфун же способен передвигаться на значительные расстояния, и тогда учёт резонансных эффектов оказывается наиболее важным. При анализе теоретических и экспериментальных данных в [2] устанавливается тот факт, что на больших расстояниях при любых начальных возмущениях исследуемые волны в отсутствии внешнего воздействия должны описываться нелинейно-дисперсионной теорией. Другими словами, на значительных расстояниях волна приближённо может рассматриваться как уединённая. А это в свою очередь означает, что в резонансном случае возможно усиление уединённой волны движущимся атмосферным возмущением, возникшим на более поздней стадии (при условии одномерности распространения). Вывод упрощённой математической модели взаимодействия уединённой волны с движущимися атмосферными возмущениями приведён в [2]. Таким образом, из приведённых рассуждений однозначно следует, что в • реальных условиях явление генерации метеоцунами в форме уединённой волны представляется вполне возможным.

В целом, нелинейные эффекты всегда оказываются доминирующими при подходе поверхностных гравитационных волн к берегу и тогда уже любую волну можно приближённо рассматривать как уединённую.

Определение параметров, характерезующих зарождение и распространение метеоцунами, имеет огромное значение для попыток предсказания рассматриваемого явления, поскольку при набегании на берег такая волна представляет собой серьёзное стихийное бедствие. При этом опасности подвергаются жилые постройки, автострады, линии электропередачи, а также морские нефтедобывающие вышки, расположенные на шельфе, повреждение которых грозит экологической катастрофой в шельфовой зоне. Кроме того, при набегании цунами на берег, образуется обратный грязевой поток, стекающий в море и также наносящий урон экологической обстановке прибрежной зоны.

С учётом практической важности проблемы метеоцунами возникла необходимость исследования процесса генерации и эволюции анемобарических уединённых волн в лабораторных условиях. Серия таких экспериментов была поставлена в работах [6] - [9]. С целью длительного наблюдения за генерируемой уединённой волной в [б] - [9] использовался кольцевой аэрогидроканал (описание экспериментальной установки приведено в Главе 2), и в результате многократных опытов были определены, в частности, критические параметры, характеризующие возможность зарождения уединённых волн. Одновременно с лабораторными исследованиями в [6] - [9] был проведён численный эксперимент по образованию и распространению уединённых волн в достаточно узком кольцевом канале (двумерная задача), возникающих под действием атмосферного возмущения. При проведении численного эксперимента предполагалось, что атмосферное возмущение представляет собой локализованную область переменного давления, распространяющуюся с постоянной скоростью, равной скорости длинных гравитационных волн (условие резонанса Праудмена). Эти численные расчёты явились первым шагом в большом численном исследовании уединённых волн, которому и посвящена настоящая диссертация, например численное решение конечно-разностным методом трёхмерной задачи о распространении уединённых волн в кольцевом канале произвольной ширины [10] - [12]. Лабораторные эксперименты во многом стимулировали дальнейшее численное моделирование уединённых волн, распространяющихся уже свободно (в отсутствии внешнего воздействия) и испытывающих нелинейные взаимодействия (столкновения) между собой [13], [14]. Этот вопрос подробно рассматривается в Главе 4.

В публикациях [10] - [12] численный эксперимент по моделированию анемобарических уединённых волн в кольцевом канале проводился также и для случая флотирующей жидкости. Согласно С. А. Габову [15] под флотирующей жидкостью понимается жидкость, на поверхности которой плавают, не взаимодействующие между собой, весовые частицы некоторого вещества. Тем самым, можно рассматривать свободную поверхность такой жидкости как весомую с поверхностной плотностью распределения массы ju (x, y)> 0. В геофизике подобная ситуация встречается при исследовании гравитационных волн в той части мирового океана, где некоторые области поверхности покрыты плавающей ледовой крошкой (например волны, вызываемые схождением снежной лавины с крутого скалистого берега). С флотирующей жидкостью приходится иметь дело при очистке или обогащении минерального сырья. До появления работ [10] - [12] влияние флотации (флотирующего вещества) на параметры генерируемых уединённых волн было исследовано в лабораторных условиях [16].

Будучи основоположником теории нелинейных волн на поверхности флотирующей жидкости, С. А. Габов в своей монографии [15] указывает и на одну из первых публикаций, посвящённых динамике флотирующей жидкости, которая дала мощный импульс к созданию общей теорииработу А. С. Питтерса [17] 1950 года.

В связи с вышеизложенным, в данной диссертации были поставлены следующие задачи.

1. Показать при помощи численных расчётов возможность образования в кольцевом канале уединённых волн, возбуждаемых атмосферными возмущениями и тем самым на качественном уровне подтвердить эффект, ранее обнаруженный в лабораторных условиях.

2. При проведении численного эксперимента изучить влияние флотации на параметры генерируемых уединённых волн и провести качественное сравнение результатов вычислений с данными лабораторных наблюдений.

3. Численно исследовать процессы образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся в одном направлении и на встречных курсах в узком кольцевом канале и — на встречных курсах — в узком прямоугольном канале в отсутствии внешнего воздействия.

Краткое содержание диссертации.

Первая глава диссертации посвящена обзору публикаций, затрагивающих вопросы численного (и частично — аналитического и лабораторного) исследования уединённых волн на поверхности жидкости.

Во второй главе проводится численный эксперимент по моделированию уединённых волн на поверхности идеальной несжимаемой флотирующей жидкости в достаточно узком кольцевом канале, возникающих под действием атмосферных возмущений. Первоначально приводится описание установки, на которой были выполнены лабораторные эксперименты и перечисляются основные результаты измерений. Далее приводится математическая постановка общей нелинейной задачи (трёхмерной), которая затем значительно упрощается рассмотрением канала настолько малой ширины, что изменениями зависимых переменных вдоль радиуса канала можно пренебречь. Тогда задача становится двумерной, и при выполнении условия мелкой воды [ 15] она сводится к неоднородной системе уравнений Буссинеска в новой форме при наличии флотации. Полученная система с нулевыми начальными и периодическими граничными условиями решается численно неполным методом Галёркина. Результаты расчётов на качественном уровне сравниваются с данными лабораторных наблюдений.

В третьей главе рассматривается объёмная (трёхмерная) задача о распространении уединённых волн по поверхности идеальной несжимаемой флотирующей жидкости в кольцевом канале, генерируемых атмосферными возмущениями. В этом случае считается, что ширина канала конечна, и форма свободной поверхности жидкости, вообще говоря, может меняться вдоль радиуса канала (математическая модель, наиболее приближённая к лабораторным условиям). При выполнении условия мелкой воды общая нелинейная задача сводится к неоднородной системе уравнений Буссинеска в двумерном случае при наличии флотации. В свою очередь, из системы Буссинеска выводится одно нелинейное дифференциальное уравнение четвёртого порядка, для которого ставятся нулевые начальные и однородные граничные условия 2-го рода. Последнее уравнение с указанными дополнительными условиями решается численно конечно-разностным методом, и на основе полученных данных определяется форма свободной поверхности жидкости в канале. Результаты вычислений сравниваются (на качественном уровне) с результатами лабораторного эксперимента.

В четвёртой главе проводится численный эксперимент по моделированию процессов образования и взаимодействия уединённых волн в достаточно узких кольцевом и прямоугольных каналах в отсутствии внешнего воздействия (флотация не учитывается). Для исследования нелинейного взаимодействия (столкновения) уединённых волн (солитонов), движущихся друг за другом и на встречных курсах в отсутствии внешнего воздействия, используется уравнение Буссинеска, которое описывает поверхностные гравитационные волны на мелкой воде и длинные волны в одномерных нелинейных решётках [18] - [20]. В случае прямоугольного канала численный эксперимент позволил наблюдать отражение уединённых волн от торцевых стенок канала.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Научная новизна диссертации заключается в следующем.

1. Впервые численно решена двумерная нелинейная задача о генерации уединённой волны движущейся областью переменного давления в узком кольцевом канапе в приближении мелкой воды.

2. Решение указанной двумерной задачи приведено для случая флотирующей жидкости.

3. Впервые численно решена трёхмерная нелинейная задача о генерации уединённой волны движущейся областью переменного давления в кольцевом канале произвольной ширины в приближении мелкой воды.

4. Трёхмерная задача решена для случая флотирующей жидкости.

5. Впервые поставлен численный эксперимент с уравнением Буссинеска по моделированию процессов образования и взаимодействия уединённых волн в достаточно узких кольцевом и прямоугольном каналах в отсутствии внешнего воздействия. а) Проведено численное исследование процессов образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся в одном направлении в узком кольцевом канале. б) Проведено численное исследование процессов образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся на встречных курсах в кольцевом и прямоугольном каналах малой ширины.

Результаты диссертации докладывались на научных конференциях Ломоносовские чтения (секция физики) в 2002 г. (два доклада) и в 2003 г., на VIII Всероссийском научном семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» в 2002 г., на научном семинаре по вычислительной математике и математической физике, проводимом на физическом факультете МГУ под руководством профессоров А. Г. Свешникова и А. С. Ильинского, в 2003 г., на научном семинаре кафедры физики моря и вод суши физического факультета МГУ в 2003 г.

Основные результаты диссертации изложены в публикациях [7]-[14], [16].

Заключение

.

Сформулируем основные результаты, полученные в данной диссертации.

1. Для описания нелинейных поверхностных волн в узком кольцевом канале выведена неоднородная система уравнений Буссинеска при наличии флотации в новой форме, которая решена численно неполным методом Галёркина с нулевыми начальными и периодическими граничными условиями.

2. Показано, что в том случае, когда атмосферное возмущение представляет собой волну давления в форме изолированного импульса, бегущую вдоль узкого канала с постоянной скоростью длинных гравитационных волн, на поверхности жидкости образуется уединённая волна, движущаяся со скоростью возмущения.

3. В результате численного эксперимента установлено, что во флотирующей жидкости отклик водной поверхности в форме уединённой волны приобретает заданную скорость возмущения за большее время в сравнении со случаем, когда флотация отсутствует. При этом указанный временной интервал увеличивается по мере возрастания поверхностной плотности флотирующего вещества. Вместе с тем показано, что при наличии флотирующего вещества амплитуда уединённой волны падает, а длина растёт.

4. Для описания нелинейных поверхностных волн в кольцевом канале конечной ширины выведена неоднородная система уравнений Буссинеска в двумерном случае при наличии флотации. Полученная система сведена к одному новому нелинейному дифференциальному уравнению четвёртого порядка, которое решено численно конечно-разностным методом с нулевыми начальными условиями и однородными граничными условиями второго рода. Численное решение данного уравнения позволило рассчитать форму свободной поверхности жидкости в канале.

5. Показано, что в случае канала конечной ширины при определённых условиях волна атмосферного давления в форме изолированного импульса, распространяющаяся вдоль канала с постоянной угловой скоростью, может возбудить уединённую волну на свободной поверхности жидкости, движущуюся с такой же угловой скоростью.

6. Установлено, что эффекты, связанные с флотацией, которые были обнаружены при численном моделировании уединённых волн в узком кольцевом канале, имеют место и в случае кольцевого канала конечной ширины.

7. Проведено на качественном уровне сравнение результатов вычислений с данными лабораторных исследований для флотирующей жидкости и жидкости без флотации, которое показало их удовлетворительное сходство.

8. Проведён численный эксперимент с уравнением Буссинеска по моделированию процессов образования и взаимодействия уединённых волн в достаточно узких кольцевом и прямоугольном каналах в отсутствии внешнего воздействия. а) Выполнено численное исследование процессов образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся в одном направлении в узком кольцевом канале. Показано, что процесс возврата в первоначальное состояние системы уединённых волн, на которые распадается начальное возмущение, является зеркальным отражением процесса распада в пространстве и времени. б) Проведено численное исследование процессов образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся на встречных курсах в кольцевом и прямоугольном каналах малой ширины. В случае прямоугольного канала численный эксперимент позволил наблюдать процесс отражения уединённых волн от вертикальных стенок.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Н. К. Шелковникову за постановку интересных задач и помощь в работе.