Треугольные преобразования мер

Общая характеристика работы.

Актуальность темы

Хорошо известно, что всякая радоновская вероятностная мера на метрическом пространстве является образом меры Лебега на отрезке (или любой другой безатомической вероятностной меры) при некотором борелевском отображении. Однако часто возникает задача о преобразовании одной заданной меры в другую с помощью отображений из более узких классов. Эта тематика, восходящая к опубликованным еще в 30−50-х годах прошлого столетия классическим трудам А. Д. Александрова, Н. Н. Боголюбова, Н. М. Крылова, JI.B. Канторовича, Дж. фон Неймана, Ю. В. Прохорова (см. 1,2'3,4'5), связана с целым рядом классических проблем из теории меры, теории экстремальных задач, нелинейного анализа, геометрии многообразии и теории нелинейных дифференциальных уравнений, а также с известной задачей Монжа-Канторовича о перемещении масс (называемой также транспортной задачей). Взаимодействие всех этих направлений привело не только к ярким результатам о преобразованиях мер, но и к открытию интересных связей между различными областями и неожиданным приложениям. Например, были получены новые нелинейные функциональные неравенства, обобщающие изопериметрические неравенства и неравенства Соболева. В основе неравенств такого рода часто лежат формулы замены переменных для отображений, переводящих одну меру в другую и удовлетворяющих каким-либо ограничениям типа вариационных неравенств или условий монотонности. Александров А. Д. О поверхностной функции выпуклого тела. Матем. сб., 1939, т. 6(48), в. 1, с. 167−174. г,.

Bogoliouboff N.N., Kryloff N.M. La theorie generale de la mesure dans son application a I’etude de systtm. es dynamiques de la mdcanique non-lineaire. Ann. Math., 1937, v. 38, p. 65−113.

Канторович Л.В. О перемещении масс. ДАН СССР, 1942, т. 37, в. 7−8, с. 227−229.

Neumann Л. von. Einige Satze uber messbare Abbildungen. Ann. Math., 1932, v. 33, p. 574−586. dIIpoxopoB Ю. В. Сходимость ыучайных процессов и предельные теорелш теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 2, с. 177−238.

В последние два десятилетия здесь появились новые плодотворные идеи, в том числе в работах М. Талаграна0, Я. Бренье7, Р. Маккэна8. В частности, Бренье и Маккэн установили, что всякую абсолютно непрерывную вероятностную меру на конечномерном пространстве можно перевести в любую другую вероятностную меру на этом пространстве посредством градиента выпуклой функции, причем преобразование такого типа единственно.

Обсуждаемые вопросы отражены также в монографической литературе, например, в книгах9'10'11,12'13,14,15, полностью или частично посвященных этим вопросам и их связям с другими направлениями.

Среди разнообразных классов отображений, рассматривавшихся многими авторами, следует особо выделить отображения монотонного типа, представляющие собой различные обобщения возрастающих функций на прямой (к А. Н. Колмогорову восходит важное наблюдение, что всякое вероятностное распределение на прямой можно получить монотонной функцией из всякого безатомического вероятностного распределения на прямойэто делается с помощью функций распределения и обратных к ним). Имеются два почти не пересекающихся класса таких многомерных и бесконечномерных обобщений: градиенты выпуклых функций и рассматриваемые в диссертации треугольные возрастающие отображения.

Talagrand М. Transportation cost for Gaussian and other product measures. Geom. Funct. Anal., 1996, v. 6, p. 587−600.

Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector valued functions. Comm. Pure Appl. Math., 1991, v. 44, p. 375−417. Q.

McCann R.J. Existence and uniqueness of monotone measure-preserving maps. Duke Math. J., 1995, v. 80, p. 309−323.

Судаков B.H. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений. Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1976, т. 140, с. 1−190.

10Rachev S.T., Riischendorf L. Mass transportation problems. V. 1,2. Springer, New York, 1998.

Ustiinel A.S., Zakai M. Transformation of measure on Wiener space. Springer, Berlin, 2000.

1'^Ledoux M. The concentration of measure phenomenon. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2001.

13VilIani C. Topics in optimal transportation. Amer. Math. Soc., Rhode Island, 2003.

Богачев В. И. Основы теории меры. Т. 1,2. 2-е изд. РХД, Москва-Ижевск, 2006.

1 f.

Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. РХД, Москва-Ижевск,.

2008.

Треугольные отображения выделяются среди прочих используемых нелинейных преобразований тем, что имеют простую структуру и задаются конструктивно. Они находят многочисленные применения на стыке выпуклой геометрии и теории вероятностей (см. работы16'17). В совместных работах автора с В. И. Богачевым и А.В. Колесниковым18'19 было предпринято первое систематическое исследование треугольных преобразований мер (некоторые результаты этих работ включены в диссертацию). Дальнейшее развитие эти исследования получили в работав0'21'22, а также в работе автора23. Интересно отметить, что треугольные отображения, почти никогда не являясь оптимальными, обладают, тем не менее, многими свойствами, близкими к оптимальным отображениям. С учетом сложной структуры последних это делает треугольные отображения полезным инструментом теории меры и геометрии. Например, в работе19 для треугольных отображений весьма общего вида получены обобщения так называемого неравенства Талаграна (установленного им для гауссов-ских мер). Достоинства треугольных преобразований особенно явственно проявляются в бесконечномерных пространствах, когда они строятся покомпонентно с использованием уже найденных на предыдущих шагах компонент. Из эффектных непосредственных применений треугольных преобразований отметим данное с их помощью В. И. Богачевым и А. В. Колесниковым положительное решение старой проблемы из теории гауссовских мер, состоявшей в возможности перевода гауссовской меры.

Knothe Н. Contributions to the theory of convex bodies. Michigan Math. J., 1957, v. 4, p. 39−52.

Bobkov S.G. Large deviations via transference plans. Adv. Math. Research, 2003, v. 2, p. 151−175.

Богачев В.И., Колесников A.B., Медведев К. В. О треугольных преобразованиях мер. Докл. РАН. 2004. Т. 396, N 6. С. 727−732.

•^Богачев В.И., Колесников А. В., Медведев К. В. Треугольные преобразования мер. Матем. сб., 2005, т. 196, п 3, 3−30.

Богачев В.И., Колесников А. В. Нелинейные преобразования выпуклых мер. Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 51, № 1, с. 27−51.

Александрова Д. Е. Сходимость треугольных преобразований мер. Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, № 1, с. 145−150.

Жданов Р.И., Овсиенко Ю. В. Оценки соболевских норм треугольных отображений. Вестник МГУ. Сер. матем., мех., 2007, № 1, с. 3−6.

Medvedev K.V. Certain properties of triangular transformations of measures. Theory of Stochastic Processes. 2008. V. 14, N 1. P. 95−99. на бесконечномерном пространстве во всякую абсолютно непрерывную относительно нее вероятностную меру отображением, представляющим собой возмущение тождественного отображения посредством векторного поля со значениями в пространстве Камерона-Мартина. Интересно отметить, что остается открытым поставленный В. И. Богачевым и А. В. Колесниковым вопрос о возможности выбора такого отображения в классе канонических треугольных отображений: полученное ими отображение конструируется из канонических треугольных, но не обязательно является таковым. Треугольные отображения могут быть полезны и при изучении предельных теорем теории вероятностей, использующих какие-либо упорядочения типа ассоциированности (см.24) или мартингальную зависимость.

В диссертации исследован ряд фундаментальных свойств канонических треугольных преобразований. Основные результаты работы относятся к доказательству существенной единственности канонических треугольных преобразований и обоснованию формул замен переменных для них. Кроме того, изучается поведение канонических треугольных преобразований при слабой сходимости мер. Следует отметить, что все эти вопросы ранее не рассматривались, хотя в цитированных выше работах Кноте, Талаграна и Бобкова сами треугольные отображения использовались. Это объясняется тем, что до сих пор рассматривались треугольные преобразования лишь весьма специальных мер типа гауссовских и равномерных распределений на ограниченных выпуклых множествах, что заметно упрощало наиболее характерные для диссертации проблемы.

Цель работы. Установить существенную единственность канонических треугольных преобразований мер. Получить формулы замены переменных для канонических треугольных преобразований мер на конечномерных пространствах. Исследовать слабую сходимость выпуклых мер в случае абсолютно непрерывной предельной меры. од.

Булинский А.В., Шашкин А. П. Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем. Физматлиг, М., 200S.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Получены формулы замены переменных для канонических треугольных отображений вероятностных мер на конечномерных пространствах.

2. Доказана существенная единственность канонических треугольных преобразований вероятностных мер на конечномерных и бесконечномерных пространствах.

3. Доказана сходимость по вариации слабо сходящихся выпуклых мер в случае абсолютно непрерывной предельной меры. В качестве применения установлена сходимость канонических треугольных преобразований слабо сходящихся выпуклых мер.

Методы исследования.

В работе применяются методы теории меры, в частности, теория условных мер, функционального анализа, теории вероятностей, а также некоторые оригинальные конструкции.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в различных вопросах теории меры, нелинейного анализа, теории случайных процессов и их приложений.

Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре &bdquo-Бесконечномерный анализ и стохастика" под руководством В.И. Бо-гачева и Н. А. Толмачева (2004;2008 гг.), на международном семинаре. Бесконечномерный стохастический анализ" в Билефельде (Германия, 2006;2008 гг.), на конференциях молодых ученых Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова (2007, 2008 гг.) и на международной конференции &bdquo-Пространство Скорохода. 50 лет спустя" в Киеве (июнь, 2007 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора (две из них в соавторстве), список которых приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих 6 параграфов, и списка литературы из 43 наименований. Общий объем диссертации составляет 60 страниц.

1. Александров А. Д. О поверхностной функции выпуклого тела. Матем. сб., 1939. т. 6(48), в. 1, 167−174.

2. Александрова Д. Е. Сходимость треугольных преобразований мер. Теория вероятн. и ее примен. 2005. Т. 50, N 1. С. 145−150.

3. Богачев В. И. Гауссовские меры. Наука, М., 1997.

4. Богачев В. И. Основы теории меры. Т. 1,2. 2-е изд. Регулярная и хаотическая динамика. Москва Ижевск, 2006.

5. Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. Регулярная и хаотическая динамика. Москва Ижевск, 2008. '.

6. Богачев В. И., Колесников А. В. Нелинейные преобразования выпуклых мер и энтропия плотностей Радона-Никодима. Докл. PAH. t2004. Т. 397, N 2. С. 155−159. *.

7. Богачев В. И., Колесников А. В. Нелинейные преобразования выпуклых мер. Теория вероятн. и ее примен. 2005. Т. 51, N 1. С. 27−51.

8. Булинский А. В., Шашкин А. П. Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем. Физматлит, М., 2008.

9. Жданов Р. И., Овсиенко Ю. В. Оценки соболевских норм треугольных отображений. Вестник МГУ. Сер. мех., матем. 2007. N 1. С. 3−6.

10. Канторович Л. В. О перемещении масс. ДАН СССР. 1942. Т. 37, N 78. С. 227−229.

11. Колесников А. В. Неравенства выпуклости и нелинейные преобразования мер. Докл. РАН. 2004. Т. 396, N 3. С. 300−304.

12. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

13. Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. Физматлит, М., 2004.

14. Прохоров Ю. В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен. 1956. Т. 1, N 2. С. 177−238.

15. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. Мир, М., 1973.

16. Судаков В. Н. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений. Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1976. Т. 140. С. 1−190.

17. Bobkov S.G. Large deviations via transference plans. Adv. Math. Research. 2003. V. 2. P. 151−175.

18. Bogoliouboff N.N., Kryloff N.M. La theorie generale de la mesure dans son application, а Г etude de systemes dynamiques de la mecanique non-lineaire. Ann. Math. 1937. V. 38. P. 65−113.

19. Borell C. Convex measures on locally convex spaces. Ark. Math. 1974. V. 12, N 2. P. 239−252.

20. Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector valued functions. Comm. Pure Appl. Math. 1991. V. 44. P. 375−417.

21. Cordero-Erausquin D. Some applications of mass transport to Gaussian-type inequalities. Arch. Rat. Mech. Anal. 2002. V. 161. P. 257−269.

22. Fernique X. Extension du theoreme de Cameron-Martin aux translations aleatoires. Ann. Probab. 2003. V. 31, N 3. P. 1296−1304.

23. Feyel D., Ustiinel A.S. Transport of measures on Wiener space and the Girsanov theorem. C. R. Acad. Sci. Paris. 2002. T. 334, N 1. P. 1025−1028.

24. Feyel D., Ustiinel A.S. Monge-Kantorovitch measure transportation and Monge-Ampere equation on Wiener space. Probab. Theor. Relat. Fields. 2004. V. 128, N 3. P. 347−385.

25. Feyel D., Ustiinel A.S. Solution of the Monge-Ampere equation on Wiener space for general log-concave measures. J. Funct. Anal. 2006. V. 232, N 1. P. 29−55.

26. Feyel D., Ustiinel A.S., Zakai M. The realization of positive random variables via absolutely continuous transformations of measure on Wiener space. Probab. Surv. 2006. V. 3. P. 170−205.

27. Hajlasz P. Change of variables formula under minimal assumptions. Colloq. Math. 1993. V. 64, N 1. P. 93−101.

28. Kechris A. Classical descriptive set theory. Springer, Berlin New York, 1995.

29. Knothe H. Contributions to the theory of convex bodies. Michigan Math. J. 1957. V. 4. P. 39−52.

30. Kolesnikov A.V. Convexity inequalities and optimal transport of infinite-dimensional measures. J. Math. Pures Appl. 2004. V. 83, N 11. P. 13 731 404.

31. Ledoux M. The concentration of measure phenomenon. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2001.

32. McCann R.J. Existence and uniqueness of monotone measure-preserving maps. Duke Math. J. 1995. V. 80. P. 309−323.

33. Neumann J. von. Einige Satze iiber messbare Abbildungen. Ann. Math. 1932. V. 33. P. 574−586.

34. Otto F., Villani C. Generalization of an inequality by Talagrand. and links with the logarithmic Sobolev inequality. J. Funct. Anal. 2000. V. 173. P. 361−400.

35. Rachev S.T., Riischendorf L. Mass transportation problems. V. 1,2. Springer, New York, 1998.

36. Rado Т., Reichelderfer P.V. Continuous transformations in analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1955.

37. Talagrand M. Transportation cost for Gaussian and other product measures. Geom. Funct. Anal., 1996, v. 6, p. 587−600.

38. Usttinel A.S., Zakai M. Transformation of measure on Wiener space. Springer, Berlin, 2000.

39. Villani C. Topics in optimal transportation. Amer. Math. Soc., Rhode Island, 2003. Работы автора по теме диссертации.

40. Богачев В. И., Колесников А. В., Медведев К. В. О треугольных преобразованиях мер. Докл. РАН. 2004. Т. 396, N 6. С. 727−732.

41. Богачев В. И., Колесников А. В., Медведев К. В. Треугольные преобразования мер. Матем. сб. 2005. Т. 196, N 3. С. 3−30.

42. Medvedev K.V. Certain properties of triangular transformations of measures. Abstracts of the International Conference «Skorokhod space. 50 years on», 17−23 June, 2007, Kyiv, Ukraine, Sections 1−2 «Skorokhod space and functional convergence», pp. 32−33.

43. Medvedev K.V. Certain properties of triangular transformations of measures. Theory of Stochastic Processes. 2008. V. 14. N 1. P. 95−99.