Бесконечные группы подстановок и группы автоморфизмов 2-однородных линейно упорядоченных множеств

Целью настоящей работы является исследование бесконечных сим-ютрических групп и их аналогов среди групп автоморфизмов линейно ¦порядоченных (л.у.) множеств. Такими аналогами являются группы втоморфизмов так называемых 2-однородных л.у. множеств.

Пусть оС, Д. — бесконечные кардинальные числа, об + - следуйте за оL кардинальное число, и) — первый бесконечный кардинал, '.ормальное строение бесконечной симметрической группы S (x) опирает следующая теорема, доказанная Уламом, Шрейером [69] в счётом и Бэром [26] в общем случае: инвариантные.(нормальные)и суб—ормальные подгруппы группы X) исчерпываются членами следующе-'о ряда: е <.

1x1 — мощность множества X. В дальнейшем Маурером [57], иландтом [83] (доказательство Виландта приведено также в книге лоткина рб]), Скоттом [7lJ, Бертрамом [30] были опублшсова-ы различные доказательства этой теоремы. Композиционные факторы яда (I) исследовались Каррасом и Солитером [ssj, Они доказали, то группаSfx)/Sfx, /х1) ни при каком е/</л/ неизоморфна. группе (Xd^JSfX,^), и поставили проблему: есть ли среди компози-ионных факторов бесконечной симметрической группы изоморфные?.

В книге Скотта (?l] поставлена более общая проблема: следует и из S (X* +)/S (X,*t) ^Sfy,^+)/S (y)js), что оС шМ=/У/ ?.

Скотт (7lJ также доказал, что группы. S (Xtи S (х) не явля-тся расщепляемыми расширениями группы финитных подстановок SfX, со) ри помощи 6(X,^)/S (X> ш) (соответственно3(х)/3(хг со)) и поставил опрос: являются ли группы л S (x) расщепляемыми расширениями руппы S (х, Д), /3.

Ыаккензи [6l] доказал, что группа S^xJ/SfX, /X/) не вклады-!ается в группу.

S (X), т. е. S (X) не является расщепляемым расши-юнием S (xjx/) при помощи s (x)/srx /X/). Клер (32] несколько ¦бобщил теорему Маккензи. Однако, его обобщение решает вопрос Скот-'а лишь в очень частных случаях..

Решению вопроса Скотта о расщеплении симметрических групп и роблемы Карраса, Солитера о изоморфизме композиционных факторов: освящены соответственно § I и § 2 настоящей работы..

Используя обобщенную теорему Супруненко [is] о неразложимости ранзитивных подгрупп ограниченных симметрических групп и теорему аккензи [61] о пешюжтюстп *S (xJ/S (% /Х/J в S (x), доказывается..

Предложение 1.4. Группа S (y)/S (y, /У/J не вкладывается в руппу ?(х,/У/*) ни при каком X.

Из этого утверждения и выводится окончательное отрицательное ешение задачи Скотта о расщеплении бесконечных симметрических рупп..

Теорема 1.5. Группы sMs (x) не являются расщепляемыми асширениями группы Sftfi), j3<�°C ..

Пусть P . Таким образом,)облема Карраса, Солитера имеет следующее решение..

Теорема 2.7. Среди композиционных факторов бесконечной симме-шческой группы изоморфных нет..

В направлении более общей проблемы Скотта имеем: из S (X, cL+)/S (xtoL) -S (y, fi*)/S{y, fi) следует o (~j3. Открытым остается вопрос: гедует ли из S (X, V/SfcJjzSfySj/Sfyи), что Х = /У/ ?.

Теорема Улама, Шрейера [70] о совершенности бесконечной симме-шческой обобщалась на изоморфизмы надгрупп знакопеременной группы A fx) см. Виландт [83], [04], Скотт [7lJ и полуавтоморфизмы Ден-щес [35], Херштейн и Рухте [13]. Наиболее общий результат, объе-гаяющий оба эти направления, получен Скоттом [72]: пусть Afx)^ -GS (x), A (y)$F$Sfy) и Cr, F — изоморфные группы, тогда а) шкий изоморфизм индуцируется некоторой биекцией Х-*- У —.

I всякий полуизоморфизм Cr-^F есть произведение отображения 7″ •' Сг — & > Tfgj^g'1 и изоморфизма Cr-^F.

В § 3 настоящей работы мы пытаемся обобщить эти результаты на южения надгрупп бесконечной знакопеременной группы в симметричес-хе. Полученные при этом утверждения используются в главе П при иссле-)вании проблемы Де-Брейна о вложении бесконечных симметрических эупп..

Теорема 3.2. Если A (y)s&sS (y) и y^-^Sfx, /у/) произльное вложение, то существует такая орбита 2 группы w (G) на южестве X, что ограничение У (С-) на этой орбите индуцируется [ещией ..

Следствие 3.3. Пусть A (y)^G-^Sfy) и V-G^-SCx) — такое южение, что V (G) — транзитивная группа подстановок, имеющая нееди-гчное пересечение с подгруппой S (x, /У/), то А/ - /У/ и У инду-фуется некоторой биекцией У—~х ..

В статье Маккензи [6l] в наиболее общей форме сформулирована юблема, изучение которой было начато работами Де-Брейна |3б], [37]: ише группы вкладываются в группы S (x), S (X, d) и S (X,*t)/S (x, js), & при фиксированном бесконечном Л", в частности, для каких ip этих групп одна изоморфна подгруппе другой? Первая часть этой юблемы фактически представляет собой программу исследования, коTorn в свою очередь разбивается на ряд проблем. Так, например, пробила Калужнина (п] - Супруненко [18] о исследовании локально конеч.

IX гр’упп, которые вкладываются в группу финитных подстановок) жет быть отнесена к этой программе. В этом же направлении лежат ieдующие два вопроса из книги Куроша [4], стр. 436: для каждого штересного" класса групп К выяснить а) всякая ли К — группа) щности вкладывается в группу ?(*) — б) существует ли такой эрдинал оС, что всякая К — группа вкладывается при подходящем.

X в группу S (X, ®0 ?.

Интересный подход к проблеме Калужнина — Супруненко, оснований на теореме Виландта [83] о примитивной группе подстановок с фи-ганой подстановкой, предложен в работе Михлеса и Тышкевич [15].: результаты в различных направлениях были развиты в работах Виголь-1 [82], П. Неймана [64], [65] и Сигела [/з], [74]. Строение си-)вских р — подгрупп группы S (X, со) ранее описано Иванютой Гб], [7]. жально нилькотентные транзитивные подгруппы S (x, си) исследовал /пруненко [17] ..

Де-Брейн [Зб] доказал, что любая абелева группа мощности сяадывается в группу Sfx). С друтой стороны в любом неабелевом югообразии групп найдется группа мощности 21*1, которая в S (x) з вкладьшается. Это вытекает из теоремы Маккензи [61] о вложении шмых произведений коммутативных групп в бесконечные симметрические зуппы: ограниченное прямое произведение/7°^- бе I некоммутативных эупп тогда и только тогда вкладывается в группу Sfx), когда каж-ш группа Gl вкладывается в Sfx) и III $ (х. Из этой теоремы, шже вытекает, что ограниченное прямое произведение 2W копий зуппы S (x) в S (x) не вкладывается. Свободное же произведение ший группы S (x), как доказав'! Де-Брейн [36], в Sfx) вкладывает-I. Б связи с последним результатом Шщельским [62] была выдвинута шотеза: всякая свободная группа вкладывается при подходящем X в эуппу S (x, со V. Контрпример к этой гипотезе привел Маккензи [31]. сончательно вопрос о вложении свободных групп в ограниченные симме-жческие группы S (x, <�ц) решен Шелахом [75], |76j: свободная груп-1 мощности у тогда и только тогда вкладывается в группу Sfx,)гда найдется jn <�оС такое, что у. Из этой теоремы и результатов § 5 настоящей работы следует, что при условии выполнения ОКГ зободная группа мощности 2оС+ не вкладывается в группуS (x, cc)/sfic, js) 1 при каком X.

Первый пример группы, которая не вкладьшается в группу S (X, со +) I при каком х, приведен в статье Кнезера иСверчковского [54], жазавших, что свободная метабелева группа мощности (2со)+ не вкла-шается в 5fx, со*) ни при каком х. Отвечая на вопрос Мицельского [62]: всякая ли группа мощности оС вкладывается в группу S (x,<>c), шкензи 61 доказал, что группа С<�с с образ’ующими Cj?.

S (х, «0 ни при каком X. Некоторые свойства группы С^ приводит юр [32]. Другие примеры групп мощности ьС, которые не вкладывали в S (x, bi) приводятся в § I настоящей работы (см. следствие 1.6, юдствие 1.8.)..

Вторая часть сформулированной выше проблемы Де-Брейна представ-[ет собой самостоятельную задачу, которую пере формулируем в следую-зм виде: для класса групп, состоящего из бесконечной симметрической зуппы S (x), её нормальных делителей S (X, <<) и фактор-групп V,"l)/S (Xt р) выяснить когда одна из гр’упп этого класса вкладьшается другую группу..

Понятно, что этот вопрос связан с проблемой определения интек-)в подгрупп симметрических групп. Первый результат в этом направле-т был получен Гохоном [39], который обобщил теоремы Г. Хигмана [44] об индексах подгрупп А (х), доказав, что собственная подгруп-1 G группы Sfx, oQ имеет индекс & /х1 за исключением оL=to ,.

-А (л) •.

Из результатов Болла [28J вытешет, что из IXl^ = 1×1 следует южимость группы S (x)/S (X, в S (x). С другой стороны, как уже смечалось выше, Маккензи [61] доказал невложимость)/$(*> MJ.

S (X) ..

В § 4, § 5 настоящей работы вопрос о существовании вложения штор-группы S (X, oL) j/S (XljSj в ограниченную симметрическую группу (X, Л) сводится к вопросу о существовании над множеством X уль-зафильтров с определенными свойствами..

Пусть D — ультрафильтр над X. Рассмотрим 2> как структу-j (т.е. как подструктуру структуры всех подмножеств множества X) обозначим Aui J) группу всех автоморфизмов этой структуры. Как 5гко видеть, тлеет место следующее утверждение: если 2) — ультра-тльтр над X, то AutD — Aut*LsisE S (x) для любого yej) «для некоторого Уя f 2) s индуцирует тожественную дстановку }. Рычман [67] доказал, что Aut*D является ксимальной подгруппой группы S (x). Подробно строение группы t* D исследовал Санерыб [68]. Обозначал Au-t*D пересечение t*? с подгруппой^AXJ. Очевидно, Aut^D=s (x, об) тогда и толь-• тогда, когда 2) содержит все подмножества X, дополнения ко-Фых имеют мощность меньше оС ..

Основным результатом § 4 настоящей работы является следующая юрема о стабилизаторе..

Теорема 4.2, Если yP! Sfcc6)—-Sfy, A), Л $ х — транзитивное юдставление группы «SAWj ограниченными подстановками и Стабилизатор некоторого элемента множества У в группе Ч*(S (x, и)), | найдется такой ультрафильтр Ь над X, что, А и t^ 2).

Обозначим fiX множество всех ультрафильтров на X • Группа fx) естественным образом действует на множестве * Для каждо неглавного ультрафильтра D положим m (D)*rnini*C/ существует дмножество мощности оС принадлежащее D j ..

Из определения вытекает, что если с — орбита группы S (x) на Х, для элементов которой m/D)saL, то ограничение S (x) на С дуцирует вложение S (X)/S (X, Sfc). Кроме того, С является .кже орбитой группы SCx, oC*J ..

Следствие 4.4. Группа Sfx, oc)/S (x, тогда и только тогда ладывается в группу S (У, Л), Л? х, когда найдется такая орби-, С группы S (X, oC) на множестве рХ, что.

1) для каздого Ъе Су т /2)/ ~jB —.

2) /С/4: /У/ -.

3) каждый элемент из группы S (X, d) сдвигает на с меньше Л ътрафильтров..

В § 5 доказывается, что при условии выполнения ОКГ вопрос о: ожении фактор-групп ограниченных симметрических групп в ограничение симметрические группы сводится к вопросу о существовании убываю: полных ультрафильтров..

Следуя Чену [3l], ультрафильтр D над множеством X назы-.ется убывающе oL — полным, если пересечение любой убывающей со^с-|следовательности подмножеств из D также принадлежит D. Мы ! будем останавливаться на вопросе о существовании убывающе ->лных ультрафильтров (см., например, [31, 22, 23]), Во всех сформу-[рованных ниже результатах § 5 предполагается выполнение ОКГ..

Теорема 5.3. Тогда и только тогда существует вложение.

L)/S (x, j&)^S (Y/ju.)>*ift, либо Cf (/ х/) и существует над множеством мощности js однородный >ывающе cf (/*l) — полный ультрафильтр..

Теорема 5.5. Пусть Х < М. Группа 3 (X, ^)/S (XfJsX jS < оС гда и только тогда вкладывается в группу S (ytu), когда выпол-:ется одно из следующих условий: а) оL ~ предельное кардинальное числоб) оL — непредельное кардинальное число и cffo6) >J2> *) в) оС — непредельное кардинальное число, cf (?) и суще-?вует над множеством мощности? однородный убывающе cf (.

Из теорем 5.3., 5.5. вытекает также решение вопроса о вложении) уппы S (xt *)/S (X, j3) в S (x,.

Следствие 5.6. Группа /S (XfJe}?jB.

I) выполняется одно из условий а)-в) из теоремы 5.5. и.

Для непредельного 06 через? обозначаем максимальное меньшее ос кардинальное число..

2) Cf (l*l.

3) U — непредельны! кардинал, /nctxfcff/X/^ cf (vi).

Группа J класса К называетсяуниверсальной к — группой) щности оL, если ftf/*и любая К — группа, мощность которой ^ вкладывается в группу V. Группа универсальная в классе всех) упп называется просто универсальной. Б. Нейман [бз] доказал, что шверсальной счетной группы не существует. Более того, как доказа-i Каргалолов [8] и Смит [78], универсальной счетной группы нет да-5 в классе трехступенно разрешимых упорядочиваемых групп. Однако, ж условии выполнения ОКГ йонсон [5]] доказал существование универ-1льных групп для всех бесконечных несчетных мощностей. Универсальная) уппа мощности оС называется однороднойуниверсальной группой, если) бые две изоморфные подгруппы группы V, мощность которых меньше •L в ней сопряжены. Из теоремы Йонсона [52] (см. также анонс Вотта (SO]) следует, что при условии выполнения 010? для каждой регулярно более чем счетного кардинала оС существует единственная с точ-)стыо до изоморфизма однородная универсальная группа мощности U шверсальная однородная локально конечная группа построена Ф. Холлом [40]. Такой группой является объединение возрастающего ряда конеч-к симметрических групп ол0 -~o/rf —. — •••, где.

7* / и: SnK — регулярное представление. Ф. Холл жазал, что группа H°V" Sn^ является универсальной локально конеч->й счетной грешной и она определяется единственно с точностью изо-)рфизма в классе локально конечных групп следующими условиями: а) Н счетная локально конечная группа, содержащая изоморфный образ лю->й конечной группыб) любые две конечные изоморфные подгруппы lyrnibi H в ней сопряжены. Другие классы групп, для которых суще-¦вуют счетные универсальные гр’уппы рассматривались в статьях Г. Хиг-иа [45], Базаева [i], Валиева (4] ..

Как известно, бесконечная симметрическая группа Sfx) не явля-'ся универсальной группой мощности 2^*1. Однако, как доказывается § 6 настоящей работы, универсальными группами являются некоторые дуктивные пределы бесконечных симметрических групп..

Элемент S€ S (x) называется регулярной подстановкой, если все •о циклы имеют одинаковую длину. Группа подстановок, все элементы •торой — регулярные подстановки, называются полурегулярной группой установок..

Теорема 6.2. Пусть о^ > и> и группа 1/ такова, что.

1) V является индуктивным пределом бесконечных симметрических >упп: S (Xt)—. — S (Xe)—.>?<�оС я всех €< и является собственной подгруппой группы.

2) всякая регулярная подстановка в группе S (Хе) является так! регулярной подстановкой и в группе S (.'Хл) для всех Л >? — >гда V содержит изоморшнш! образ любой группы мощности оС и и условии вьшолнения ОКГ она является универсальной группой мощ->сти оС.

Для построения универсальных групп, удовлетворяющих условию юремы 6.2., воспользуемся конструкцией диагональных вложений групп установок, введенной Яаргаполовым, Мерзляковьш и Реиесленниковым 9, ю] для доказательства существования пополнения в различных taccax групп и вложения групп в полные простые группы. Эта конструк-[я использовалась также Шутовым [р4] при доказательстве теорем вложил для полугрупп. Пусть X, У — непустые множества. Вложение.

S (x) S (X* У) называется диагональным, если для всех s? s (x) s)(x, y)4S (x), y) ..

Каждому порядковому числу ?< а) ы. поставил в соответствие ти «г ожество С^ мощности? + со «где? — мощность порядкового чис-i?. В каждом множестве С е фиксируете элемент. Обозначим С-%^{множество} множества ЖС£,, состоящее из всех элементов координаты которых отличны лишь на конечном ожестве мест. Для каждогоXс со^ С^^^С71 хС^ и естественны!,] (разом определяется диагональное вложение S (c. Имеем врастающий ряд диагонально вложенных друг в друта симметрических гупп: Sic1) — SCcг)—, ,., aJgC, объединение.

•торого обозначит-л. w^l является группой подстановок на С ..

Следствие 6.3. I) Любая группа мощности оС изоморфна некото-&подгруппе группы Wd «причем эта подгруппа может быть выбрана iK, что она является полурегулярной группой подстановок на множе-ве С —.

2) При условии выполнения ОКГ группа является ушгоерсаль->й группой мощности об для всех оС > и) ..

Изоморфные полурегулярные подгруппы группы W^, мощность кото-ix меньше cffoi) оказываются сопряженными в группе Wot • Отсюда и i следствия 6.3. выводится..

Теорема 6.5. Пусть U >и> - регулярный кардинал, тогда приловии выполнения ОКГ универсальная однородная группа мощности оС шлется объединением возрастающего ряда подгрупп изоморфных W^ ..

Для счетных локально конечных групп имеет место следующий ана->г теоремы 6.2., который обобщает упомянутую выше теорему Ф.Холла..

Теорема 6.6. Пусть счетная локально конечная группа такова, о.

I) является объединением возрастающего ряда конечных симметри-зских групп: SП1 — .S/^—. ¦ причем для любого лого /71 найдется такое L, что гп делит пс —.

2) всякая регулярная в группе Sn подстановка регулярна таки BSni + i — гда группа содержит изоморйный образ любой счетной локально нечной группы..

Группа Ф. Холла [40], очевидно, удовлетворяет условию теоремы 6. Следующая группа рассматривалась в статье Каргополова, Мерзляко-и Ремесленникова [ю] как пример полной простой группы: пусть = С / и Sr>i диагональное вложение, обозначим S{i j ъединение возрастающего ряда диагонально вложенных друт в друга нечных симметрических групп: Sf / уппа За) также удовлетворяет условию теоремы 6.6. Вообще суще-вует 2Ш попарно неизоморфных групп, удовлетворяющих условию этой оремы. Отсюда, в частности, вытекает..

Следствие 6.II. Существует 2Ш попарно неизоморфных простых етных локально конечных групп, каждая из которых содержит изоморш-й образ любой счетной локально конечной группы..

П. Нецман (Коуровская тетрадь, проблема 5.40) поставил вопрос: усть С- - счетная группа подстановок на множестве X. Предполо-м, что она /с — кратно транзнтивна для любого целого К и имеет дшичное пересечение с S (x, со). Ыожно ли так отождествить .Y с диональной плоскостью Q * Q, что? становится её группой авто-меоморфизмов?" В § 6 настоящей работы доказано, что группа подставок, порожденная объединением возрастающего ряда. диагонально вложеп-х друг в друта конечных симметрических групп Sp" и бесконечной клической подстановкой является контрпримером к указанному предложению П. Неймана..

Пусть (X, 4:) — линейно упорядоченное (л.у.) множество. Обозначим Aut (x,<)группу всех его автоморфизмов. Подгруппа зывается ft — транзитивной, если для любых элементов Xi <�••• <�Хк У1<. < Ук т X найдется такой ре С-, что для jex L — i} ч.} к •.

Г. Хигман рассмотрел класс л.у. множеств, для которых most быть проведена параллель между строением группы Aut (X, и? роением бесконечной симметрической группы S (x). Таковыми окатись л.у. множества, удовлетворяющие следующим эквивалентны!/] усло-шм:.

1) группа Aut (X, 2-транзитивна-.

2) группа Aut (X, ?) ктранзитивна для всех К, 2^к< -.

3) л.у. множество X не обладает ни наименьшим, ни наибольшим юментами и каждые два его интервала подобi (т.е. изоморфны)..

Впервые на эту параллель указывалось в обзорном докладе Виландта [84] и его лекциях [83]. Дальнейшие исследования Холланда, Ллойда, пшлери и др. показали, что для групп автоморфизмов л.у. множеств ¦транзитивные Aut (X, 4?) ведут себя как симметрические группы для) упп подстановок неупорядоченных множеств..

Л.у. множества с 2-транзитивными группами автоморфизмов (в даль-гйшем их будем называть 2-однородными), естественно возникают в раз-гчных областях. В частности, они используются при доказательстве юремы вложения структурно упорядоченных групп в полные структурно: орядоченные группы (см. Ллойд [55], Вейнберг [8l]). Таковыми у. множествами, очевидно, являются действительная и рациональная) ямые, однородные универсальные л.у. множества Хаусдорфа [42] и д. Широкий класс таких л.у. множеств доставляет линейно упорядочен-[е поля (см. [44, 48, 81 ])..

Место 2-однородных л.у. множеств в классе всех однородных (т.е. юющих транзитивную группу автоморфизмов) л.у. множеств определяет едующая теорема Ллойда [бб], Холланда [47]: если Aut (X, анзитивная группа подстановок выпуклые области импримитивности торой тривиальны, то либо Aut (X, — 2-транзитивная гр’уппа, бо Awt (Xt$) — регулярная группа подстановок..

Л.у. множества с регулярными AictfX, исследовал 0кума [бб] ..

Г. Хигман (44] доказал, что если X — 2-однородное л.у. множе-во, то нормальный делитель группы Aut (К А (Х} = Aut (Xt *)/ Тхд ограничено сверху и снизу J, Тгдfjce являетпростой группой. Как заметил Виландт [64], А (X, является един-венным минимальным нормальным делителем группы Aut (X, и зани-.ет в ней то же положение, что знакопеременная группа в симметричес-й. Кроме А (х, группа Aut (x, обладает еще двумя естественными рмальными делителями, А (X, 4) и раничено сверху J, А (Х, geAut (Xt^)j Т^д ограничено сниз$" .

§ 7 настоящей работы содержит ряд предварительных утверждений, торые используются в § 8, § 9. Основной целью § 8 является доказа-льство теоремы о нормальной структуре группы всех автоморфизмов однородного л.у. множества..

Теорема 8.1. Пусть группа Aut (X- 2-транзитивна, тогда тривиальные нормальные и субнормальные подгруппы этой группы исчер-ваются подгруппами, А (X, А (х, 4) и, А (X,.

Для случая действительной прямой этот результат получен Ллойдом м. Фукс [2l], стр. 135, см. также Бурбаки [з], стр. 194, 195). енбад [38] заметил, что метод Холланда |4б], дает возможность казать эту теорему для так называемыхSHС — множеств, т. е. л.у. :ожеств, удовлетворяющих условиям: а) X содержит счетное неограни-нное сверху и снизу подмножествоб) любые выпуклые открытые под-:ожества X изоморфны. Отметите, что доказательство теоремы 8.1. в щем случае принципиально отличается от доказательств для указанных ше частных случаев..

Известно, что группа Aut (X, становится структурно упорядочен-й (с.у.) группой, если положить (х) ^fC^) для всех р х. Как доказано Холландом (4б] всякая с.у. группа вкладывается группу всех автоморфизмов некоторого л.у. множества. В ряде работ лланда, Ллойда и Макклери (см., например, [47, 49, 55, 58]) иссле-'вались следующие вопросы о свойствах с.у. групп Aut (X,. а) Каким условиям должны удовлетворять л.у. множества (X,, чтобы с.у. группы и Aut (yt^J былиС — изоморфб) Что можно сказать об автоморфизмах группы Aui (X,, ко->рые сохраняют её структурный порядок (? — автоморфизмах), в част-)сти, когда с.у. группа Aut (X,^J является С — совершенной?.

Из результатов этих работ следует, что в классе 2-однородных ¦у. множеств выполняются..

1. Если Aut (X, ViAwtCy^) изоморфные с.у. группы, то л.у. [ожество (X, изоморфно некоторой орбите группы AutCy, на деде-гндовом пополнении У л.у. множества У.

2. Всякий 6 — изоморфизм (т.е. изоморфизм сохраняющий структурой порядок) с.у. групп Aut (xt ?s)—A (jtC.

3. € - автоморфизмы группы Aut (X, индуцируются автомор-гзмами л.у. множества (Xt 4. J ..

4. С.у. группа Aut (Xf^J тогда и только тогда является € - со-ершенной с.у. группой, когда среди её орбит на множестве XI X нет зоморфных (X) ..

Целью § 9 настоящей работы является изучение взаимосвязи абстрак-гой группы Aut (X, и 2-однородного л.у. множества (х, групй всех автоморфизмов которого она является. Исследуются свойства ¦однородных л.у. множеств с изоморфными, как абстрактные группы,)уппами автоморфизмов, а также внешние автоморфизмы 2-транзитивной >уппы Autfc. Основную роль при этом играет следующее утвержде-[е..

Предложение 9.2. Всякий изоморфизм Aut СК Aut СУ, у групп: ех автоморфизмов 2-однородных л.у. множеств либо сохраняет (т.е. шляется? — изоморфизмом), либо обращает (т.е. является — изо->рфизмом) структурный порядок этих групп..

Из этого утверждения и результатов Холланда, Ллойда и Макклери ЕВОДИТСЯ..

Теорема 9.4. I) Пусть группы Aut СX, и Aut СУ, 2анзитивны. Если они изоморфны как абстрактные группы, то л.у. [ожество (X, is) либо изоморфно, либо антяизоморфно некоторой орбите) уппы Aut СУ, на множестве У ..

2) Всякий групповой изоморфизм 4*:AutCx, индуци-гется либо изоморфизмом, либо антиизоморфизмом л.у. множеств (X,.

У, ..

3) Автоморфизмы группы Aut fe, индуцируются автоморфизма!, 1И антиизоморфизмами л.у. множества СХ, 4?).

4) Группа AutCx, &J тогда и только тогда является совершенной ууппой, когда среди её орбит на множестве X 4 X нет ни изоморфных, 1 антиизоморфных (X, и само л.у. множество (X, не обладает 1тииз оморфизмами..

Для частного случая SHC — множеств этот результат получил зенбад [38] ..

Ллойд [55] доказал, что всякая с.у. группа вкладывается в Ешершенную с.у. группу. Эту теорему обобщает..

Следствие 9.13. Всякая с.у. группа вкладывается в с.у. группу, •торая является совершенной как абстрактная группа..

В силу известного результата Зайцевой [б], Кона [33], Конрада 34] (см., например, книгу Кокорина и Копытова [12], стр. 104−105) lynna Aut (X, является правоупорядоченной группой, и, следователь>, всякая правоупорядоченная группа вкладывается в правоупорядочен-по группу, которая является совершенной как абстрактная группа. Блу->в и Кокорин [2] доказал:-!, что всякая полуоднародная структурно упо-[доченная группа вкладывается в группу всех автоморфизмов и анти->томорфизмов некоторого л.у. множества. Таким образом, всякая полу-щородно структорно упорядоченная группа вкладьшается в полуоднородно? руктурно упорядоченную группу, которая является совершенной как ютрактная группа..

Для групп автоморфизмов 2-однородных л.у. множеств тлеет место гедующий аналог теоремы об изоморфизмах надгрупп знакопеременной) уппы в бесконечной симметрической..

Теорема 9.16. Пусть А (хг SAut (xy ^^FSAutfy, 4?), Х, У.

2-однородные л.у. множества и G-, F — изоморфные группы, тогда) який изоморфизм G——F единственным образом продолжается до изо->рфизма Ac/t (x, **)—Aut (y,. В частности, все автоморфизмы группы Сединственным образом продолжаются до автоморфизмов группы и±(Х, йг) ..

Следствие 9.17. Все автоморфизмы групп, А (х, и, А (X, зляются С — автоморфизмами..

Отсюда вытекает положительный ответ на вопрос Макклери (бО]: гсть Xоднородное универсальное л.у. множество Хаусдорфа |L2], щщируются ли все автоморфизмы подгрупп, А (X, и, А (X, внутренняя автоморфизмами группы A ut (X, ?.

Следствие 9.18. Если X — однородное универсальное л.у. множево Хаусдорфа, то все автоморфизмы подгрупп, А (X, и, А (Х} дуцируются внутренними автоморфизмами группы Aut (X,.

Основные результаты диссертации опубликованы в |85−9б]. Работы 8б], [92] выполнены совместно с В. З. Фейнбергом. В этих работах З. Фейнбергу принадлежит постановка задачи и руководство работой..