Алгоритмические уточнения приближений нелинейных функций и решений дифференциальных уравнений

При решении многих задач физики и техники возникает необходимость исследования нелинейных колебательных систем, фундаментальный вклад в решение данной проблемы внесли И. М. Крылов, H.H. Боголюбов и их ученики [б, 29, 30, 50].

Разработанные и строго обоснованные ими методы образовали мощный, практически удобный математический аппарат исследования.

В работах Ю. А. Митропольского и других авторов на основе замены нелинейной функции полиномом получены оценки погрешности отклонения найденного приближенного решения от точного решения данного уравнения [il, 13,15,16,17,18,20,23,37,47,53] .

В данной диссертационной работе, которая примыкает к указанным выше исследованиям, изучаются вопросы уточнения приближений нелинейной функции и их применение к уточнению приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений.

Актуальность исследования этих вопросов вызвана тем, что для некоторых задач оказывается недостаточно использования разложения нелинейной функции в ряд Тейлора. Поэтому построение различных методов уточнения приближений нелинейной функции является важным и актуальным для теории приближенных методов решений дифференциальных уравнений.

Результаты работы расширяют возможность применения приближенных методов при исследовании нелинейных колебательных движений. Они могут быть применены при решении прикладных задач небесной и классической механики.

К основным результатам диссертации относятся:

1. Теоремы уточнения ТУ1 -ого приближения на основе линейной и нелинейной погрешности.

2. Равномерные методы уточнения с алгоритмом вычисления погрешности. л А.

3. Описаны формулы неравномерных методов уточнения тпого приближения нелинейной функции.

4. Изложены применения методов уточнения приближений к исследованиям колебательных решений консервативной системы дифференциального уравнения второго порядка.

Все результаты, содержащиеся в диссертации, являются новыми, строго математически обоснованы и получены автором лично.

Диссертация состоит из трех глаз.

1. Аман Уллах. Уточнение асимптотического метода исследования нелинейных дифференциальных уравнений. Препринт Института математики АН УССР, 85−58, — К.: 1983, — 34 с.

2. Аман Уллах Уточнение асимптотического метода исследования нелинейных дифференциальных уравнений с регулировкой параметров. Препринт Института математики АН УССР, 84−14, К.: 1984, — 15 с.

3. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М.: Наука, IS79, — 832 с.

4. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. Издание 2-е. М.: Наука, 1979, — 432 с.

5. Бабаков И. М. Теория колебаний. Издание 3-е. М.: Наука, 1968, 560 с.

6. Боголюбов H.H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Издание 4-е. М.: Физмат-газ, 1974, 504 с.

7. Бондарь Н. Г. Нелинейные стационарные колебания. К.: Наукова думка, 1974, — 212 с.

8. Бондарь Н. Г. Некоторые автономные задачи нелинейной механики. К.: Наукова думка, 1969, — 304 с.

9. Бутенин Н. В., Лунц ЯЛ., Меркин Д. Р. Курс теоретической механики. Издание 2-е. М.: Наука, 1979, 544 с.

10. Воробьев H.H. Теория рядов. Издание 3-е. М.: Наука, 1975, 368 с.

11. Вороновская Е. В. Определение асимптотического вида приближения функций полиномами С. Н. Бернштейна. ДАН СССР, сер. А, JS 4, с. 74−85.

12. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Издание П~е, М.: Наука, 1976, 872 с.

13. Гаркави A.JI. О критерии элемента наилучшего приближения. Сибирский математический журнал. Том 5, J5 2, с. 472−476.

14. Гофман Ю. В. Законы, формулы, задачи физики: справочник. -К.: Наукова думка, 1977, 575 с.

15. Дзядык В. К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977, — 512 с.

16. Дзядык В. К. Об эффективном построении многочленов, которые осуществляют близкое к наилучшему приближение функцийе? у sin х и др. Украинский математический журнал, 1973, том 25, $ 4, с. 435−453.

17. Дзядык В. К., Карпенко. Таблицы многочленов для приближенного вычисления элементарных функций. Препринт Института математики АН УССР, 77−28, К.: 1977, — 28 с.

18. Дзядык В. К., Зарицкая З. В., Карпенко С. Ф., Кононова Н. Ф. Об эффективном приближении многочленами элементарных функций. Препринт Института математики АН УССР, 77−21, К.: 1977,42 с.

19. Добронравов В. В., Никитин H.H., Дворников А. Л. Курс теоретической механики. Издание 3-е, М.: Высшая школа, 1974,528 с.

20. Ибрагимов И. И. Об асимптотическом значении наилучшего функций, имеющих вещественную особую точку. Изв. АН СССР, сер. матем., т. 10, }? 5, с. 429−460.

21. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966, -260 с.

22. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: определения, теоремы, формулы. М.: Наука, 1970, — 720 с.

23. Лойцянский Л. Г., Лурье. Курс теоретической механики. Том П, издание 6-е, М.: Наука, 1983, 640 с.

24. Ломов С. А.

Введение

в общую теорию сингулярных возмущений, М.: Наука, 1981, — 400 с.

25. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. ~ Издание 2-е, М.: Наука, 1966, 532 с.

26. Мантуров О. В., Солнцев 10.К., Соркин Ю. И., Федин Н. Г. Толковый словарь математических терминов. М.: Просвещение, 1965, — 540 с.

27. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. К.: Наукова думка, 1971, — 440 с.

28. Митропольский Ю. А. Асимптотические методы нелинейной механики. К.: Институт математики АН УССР, 1979, — 191 с.

29. Натансон И. П. Краткий курс высшей математики. Издание 2-е. М.: Наука, 1968, — 728 с.

30. Немецкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. Издание 2-е, М.: Технико-теоретической литературы, 1949, — 551 с.

31. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Технико-теоретической литературы, 1957, — 844 с.

32. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды: элементарные функции. М.: Наука, 1981, — 800 с.

33. Рой А. Движение по орбитам. М.: Мир, 1981, — 544 с.-11 836. Себехей В. Теория орбит. И.: Наука, 1982, — 656 с.

34. Тамразов П. М. Гладкости и полиногжальные приближения.-К.: Наукова думка, 1975, 272 с. 38. йильчаков П. В. Справочник по высшей математике. К.: Наукова душа, 1973, — 744 с.

35. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том Ш, М.: Технико-теоретической литературы, 1949, 783 с.

36. Хайкин С. Э. Физические основы механики. Издание 2-е, -М.: Наука, 1971, 752 с.

37. Юшкевич А. П. и др. Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми. М.:Наука, 1983, 264 с.

38. Arnold V.I.Mathmatical Methods of Classical Mechanics: Graduate Texts in Mathematics 60, Springer-VerIag, Hew York Ink. America-1978,-464p.

39. Danial A.M.Differential Equations. Longmans, Green and Co. Ltd., London,-1965, -236p.4b. Dickinson Alice B. Differential Equations: Theory & Use in Time & Motion. Addison-V/esley Publishing Company, Inc. California-London-1972,-271p.

40. Jackson D. A General Class of Problems in Approximation. Amer. Journ. of Math., 4b,-215−234pp.48. iJoble B. Numerical Methods: Differences Integration and Differential Equations. T.2, Oliver & Boyd Ltd., London-19b4,372p.

41. Rashid S.A. Principles of Differentiation. Kitabistan Publishers Co., Lahore-1959, -33bp.

42. Samoilenko A.M.& Ronto IT.I. Numerical-Analytic Methods of Investigating Periodic Solutions. Mip Publishers, Lloscow-1 979,184p.

43. Sneddon 1.Й. Encyclopaedic Dictionary of Mathematics forEngineers & Applied Scientists. Pergamon Press Ltd., Oxford, iUew York-197b,-800p.

44. Strubie A.Raimond. Nonlinear Differential Equations. Tata Lie Gr aw-Hi 11 Publishing Company Ltd., Hew l>elhi-1 974,-2b7p.

45. Tahir Hussain, Aftab Ahmad Sh.& Hasir Ahmad Qureshi. Waves and Oscillations. Sh. Ghulam Ali & Sons, Lahore-iy?1t -202p.54. vVylie U.Hay. Differential Equations. McGraw-Hill Book Company, New York, USA-1979,-593p.

46. Yule J.D. Phaidon Concise Encyclopedia of Science and Technology. Phaidon Press Ltd., Oxford-1978, -590p.