Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных уравнений

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Диссертация посвящена прямым и, в частности, проекционным методам решения различных классов одномерных сингулярных интегральных и интегрально-дифференциальных уравнений (кратко: с.и.у. и с.и.д.у.) — а также приближенным методам вычисления сингулярных интегралов с ядрами Коши и Гильберта.

1.

Актуальность темы

Хорошо известно [14, 27, 55, 11, 62], что многочисленные теоретические и прикладные задачи математики, механики, астрофизики, электродинамики, теории упругости и т. д. приводят к различным классам сингулярных интегральных и сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. В подавляющем большинстве случаев решить такие уравнения в замкнутом виде не удается. Поэтому как для теории (которая в настоящее время достаточно хорошо разработана), так и для практики, важна и необходима разработка приближенных методов их решения с соответствующим теоретическим обоснованием. Под теоретическим обоснованием [63] следуя академику Л. В. Канторовичу, мы понимаем следующий круг вопросов:

1) Доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений.

2) Доказательство сходимости приближенных решений к точному решению.

3) Установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных.

Далее заметим, что когда даже в весьма редких частных случаях существуют решения с.и.у. в замкнутом виде, то для доведения результата до числа требуется вычисление сингулярных интегралов (с.и.). Поэтому естественно возникает необходимость разработки приближенных методов вычисления с.и.

За последние годы значительное развитие получили приближенные методы вычисления с.и. [9, 13, 29, 43] и решения различных классов с.и.у. и с.и.д.у [9, 15−20, 49, 59, 60]. Однако, несмотря на сказанное выше, здесь все еще остается много нерешенных задач, связанных со строгим теоретическим обоснованием приближенных методов, а также с их сравнительным анализом. Настоящая диссертация в некоторой степени восполняет этот пробел.

2. Цель работы. Работа посвящена вопросам дальнейшего развития методов приближенного вычисления с.и. с ядрами Коши и Гильберта и оптимизации методов по порядкуразработке прямых методов решения ряда классов интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с теоретическим обоснованием.

3. Методика исследований. При выводе и обосновании получаемых в работе результатов существенно используются некоторые положения из конструктивной теории функций, общей теории приближенных методов функционального анализа, теории функций и приближений, теории интегральных и интегро-дифференциальных уравненийпри этом мы следуем методике изложенной в монографиях Б. Г. Габдулхаева [22, 27, 30].

4. Научная новизна. Получен ряд новых квадратурных формул для с.и. и дан способ оценки погрешности к.ф. для с.и. с ядрами Коши и Гильберта. Доказана оптимальность по порядку некоторых из этих к.ф. на ранее нерассмотренных классах аналитических, гармонических и целых функций. Предложены полиномиальные методы, сплайн-методы и различные варианты метода механических квадратур решения ряда классов с.и.у. Построено функциональное пространство ¥-р, в котором сингулярный оператор с ядром Коши, ограничен при любых 1 < р < оо. В метрике указанного пространства дается эффективная оценка приближенного решения характеристического с.и.у. и сингулярного интегро-дифференциального уравнения.

5. Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты пополняют общую теорию приближенного интегрирования, могут найти применения при дальнейшем развитии приближенных методов при решении конкретных прикладных задач, встречающихся в механике, математической физике и других областях, приводящих к с.и., с.и.у. и с.и.д.у.

Диссертация является самостоятельным исследованием автора, по ее материалам им опубликованы 12 работ [105−116]. В работах [113−115], постановки всех задач принадлежат первому соавтору — научному руководителю профессору Билсуру Габдулхаевичу Габдулхаеву, остальная часть выполнена автором. В работе [116] вклад авторов примерно одинаков.

Значительные результаты в этой области получены В. В. Ивановым [60], А. А. Бабаевым [3], Б. Г. Габдулхаевым [27, 30], И. К. Лифановым [9], М. А. Шешко [104]. В развитие приближенных методов решения таких задач весомый вклад внесли также Пресдорф [85], Д. Г. Саникадзе [89, 90], Б. И. Мусаев [78, 79] и другие. Подробный обзор полученных в этом направлении результатов и обширную библиографию можно найти в специальных обзорных работах В. В. Иванова [56], Б. Г. Габдулхаева [14] и в монографиях этих же авторов [22, 60].

Ниже мы кратко остановимся лишь на работах, имеющих непосредственное отношение к теме диссертации. Рассмотрим с.и. видов:

Jx = J (x-, t)= p{r)x{r)dT, te (-l- 1) (0.1).

— 1 T~t.

1 2л (J — s.

Jx = J (x-s) =— x ((T)ctg-da, xe (0.2).

2лг 0J 2.

Первые результаты по квадратурным формулам (к.ф.) для с.и. вида (0.1) получены В. В. Ивановым (см. [60]). Б. Г. Габдулхаев (см. гл. I [22]) подробно исследовал наиболее удобные для приложений интерполяционные к.ф. для с.и. (0.2). Им получены весьма эффективные равномерные оценки погрешности этих формул на различных классах функций.

Исследования Б. Г. Габдулхаева по к.ф. для (0.1) и (0.2) продолжены в диссертациях его учеников JI.A. Онегова [84], Р. Н. Шарипова [101], JI.A. Апайчевой [1]- в работах Б. И. Мусаева и В. В. Салаева [79], Ф. Д. Гахова и И. Х. Фесчиева [43] и других.

Далее остановимся на некоторых результатах Г. Н. Пыхтеева и ряда его последователей. В работах [87, 88] выводятся формулы для вычисления с.и. (0.1) при /0(0 = 1 и pit) = (I-/2) 2, их (г)е На [-1- 1]. Эти формулы содержат полиномы Чебышева и специальные функции — полилогарифмы. Им указаны некоторые классы функций, от которых с.и. вычисляется точно. В работах Д. Г. Саникидзе [89- 90] получен ряд к.ф. для с.и. (0.1), основанных на выделении регулярной части с.и. и применении к последней какой-либо известной к.ф. Погрешности предлагаемых к.ф. оцениваются для непрерывно дифференцируемых плотностей.

В работах М. А. Шешко [103, 104] рассматриваются вопросы сходимости к.ф. для с.и. (0.1) в классе плотностей На, 0 < а < 1- в качестве узлов к.ф. приняты корни полиномов Якоби с весом p (t)=(l-t)a (l+t)? при а>-1,? > -1. В частности при, а > 0,? > 0 установлены некоторые равномерные оценки на [-1- 1].

В работе A.A. Бабаева и P.C. Садырханова [3] для с.и. при Ь = [аЬ], где а, Ь — действительные числа, вводится к.ф. и доказывается ее, равномерная сходимость на любом внутреннем для [аЬ] отрезке и устанавливается скорость сходимости. В работе болгарских математиков.

66] рассматриваются различные к.ф. для с.и. (0.1) при />(0 = (1-г) 2, устанавливаются оценки погрешности к.ф. в равномерной и среднеквадратичной метриках.

В последние годы появилось довольно большое количество работ, посвященных методам приближенного вычисление с.и. В связи с этим возникла задача построения и исследования наилучших (т.е. оптимальных) в каком-либо смысле методов вычисления различных классов сингулярных интегралов, понимаемых в смысле главного значения по Коши.

Заметим, что вопрос об оптимизации квадратурных формул для регулярных интегралов в настоящее время можно считать достаточно хорошо разработанным (см. монографии Н. С. Бахвалова [7], В. И. Крылова [72], С. М. Никольского и Н. П. Корнейчука [82]), чего нельзя сказать об оптимизации к.ф. для сингулярных интегралов. Дадим краткий обзор.

Первые результаты по оптимизации квадратурных формул для с.и. получены В. В. Ивановым [57], а затем (другим способом и в иной т [T-t постановке) Б. Г. Габдулхаевым [21−24], см. также [34].

Задача оптимизации к.ф. для с.и. (0.2) поставлена в гл. III монографии [22] следующим образом: с.и. (0.2) вычисляется приближенно с помощью к.ф.

J (x-, s)~JNx = J (Pnx-s), xeFaX, Рпе%, (0.3).

Pn:X-+XnczC2″, где X = С2п или Ь2(0, 2ж), F = {х} — некоторое множество из X, а <�Рп={Рп} — некоторое множество конечномерных операторов Рп, отображающих X на подпространство 1&bdquo-сХ размерности не выше N=N (n), где п — некоторое натуральное число. За оптимальную оценку погрешности класса к.ф. (0.3) предложена величина:

VN (F) = inf inf sup || Jx — JPnx || X, (0.4).

Xn.

При этом в гл. III [22] рассмотрены пять классов операторов fPn={Pn},.

Рп: X —> Хп, и в каждом случае на основе результатов конструктивной теории функций и теории поперечников множеств в пространствах С2л и L2 (0, 2п) установлены достаточные условия оптимальности (по порядку и асимптотической) к.ф. для с.и. (0.2) на ряде классов функций. Ясно, что формула (0.3) эквивалента следующей: n.

J (x-, S) — J{Pnxs) =^Ak (s)fk (x), хе С2л, (0.5) к=1 где {Ак (¿-')}Г ~{A{kN)}<^-C2n — некоторая система непрерывных функций, не зависящих от плотности х (ст), a {fk — некоторая система непрерывных (вообще говоря, нелинейных) функционалов в пространстве Cl7l. В частном случае, когда fk (x) = x (sk), k = 1, N, где {^Jf — некоторая система попарно неэквивалентных узлов, имеем к.ф. в обычном смысле: n.

Jx = JN (x-, s) = Y, Ak (s)x (sk), (0.51) к=1 т. е. построенную на основании информации, заданной значениями плотности в узлах. В этом случае оптимальная оценка погрешности определяется следующим образом:

Vn (F)= inf sup || Jx — Jnx j| Cln. (0.41) xzF.

В работе [23] для с.и. с ядром Гильберта, плотность которого принадлежит компактному множеству F с С2п, предложен метод оптимизации квадратурных формул, основанный на теории поперечников компактов в функциональных пространствах С2п и Ь2(0, 2п). В частности, установлены достаточные условия оптимальности по порядку, а также асимптотической оптимальности, ряда классов квадратурных формул на некоторых компактных классах гладких периодических функций. Исследования по оптимизации квадратурных формул для с.и. продолжены в работах JI.A. Онегова [84], JI.A. Апайчевой [1], Б. И. Мусаева [78] и другихподробный результат соответствующих результатов имеется в обзорной работе [14] и диссертации Р. Н. Шарипова [101]. В работе [21] для одномерного с.и. с ядром Гильберта рассмотрена оптимизация квадратурных формул с простыми фиксированными равноотстоящими узлами на классах дифференцируемых функций, определяемых модулем непрерывности. В работе Ю. И. Маковоза и М. А. Шешко [76] показана оптимальность по порядку на классе На[-1, 1], 0 < а < 1, к.ф. для с.и. с ядром Коши, основанной на аппроксимации плотности интерполяционными полигонами в равноотстоящих узлах.

Начиная с тридцатых годов прошлого века, когда ещё не было полной ясности в теории сингулярных интегральных уравнений, стали разрабатываться приближенные методы их решения (М.А. Лаврентьев, М. В. Келдыш, Г. Мультхоп). В настоящее время теорию приближенных методов решения с.и.у. можно считать достаточно хорошо разработанной. Основные результаты в этом направлении изложены в монографиях В. В. Иванова [54, 60], Б. Г. Габдулхаева [22, 27, 30], С. М. Белоцерковского — И. К. Лифанова [9], М. А. Шешко [288].

Дадим краткий обзор результатов по прямым методам решения одномерных сингулярных и интегро-дифференциальных уравнений с интегралами в смысле главного значения по Коши. По определению академика С. Л. Соболева, прямыми методами решения операторных (в том числе и сингулярных) уравнений называются такие приближенные методы, которые приводят к решению конечных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Этими методами мы и пользуемся при решении некоторых классов с.и.у. и с.и.д.у. из глав II и III этой диссертации.

Рассмотрим с.и.у. нормального типа с подвижной особенностью.

А* = а (*)*(0 + — + к (т, 1) х (т)с1т=у (0, (Еу (Об).

71 * т-г 2Ш * / К У.

Ах = а (г)х ({) + Гх (т)щ-с1т + — к (т, 1) х{т)<1т = у (*) (о 7).

2я ~ 2 2тс? где а, Ь, к (по обоим аргументам) и у — известные непрерывные функции, д- - искомая функция, а у — единичная окружность с центром в начале координат.

В работах [26, 27, 30] предложено обоснование проекционных методов решения с.и.у. вида (0.6) и (0.7) — рассмотрены методы коллокации, Галеркина, подобластей и наименьших квадратов в пространстве Нр, Ьр (1 < р < °о), Яр (1 < р < со, 0 < Р < 1) и С. Установленные оценки погрешностей исследуемых методов, обладающих тем свойством, что они автоматически прослеживают структурные свойства коэффициентов этих уравнений. Первые результаты по методу механических квадратур (м.м.к.) для уравнения (0.7) получены Б. Г. Габдулхаевым в работах [18,39]. Им предложены вычислительные схемы м.м.к., основанные на применении квадратурных формул по N=211+1 равноотстоящим узлам, и дано их теоретическое обоснование в пространстве гёльдеровых функций Нр (0 < р < 1). В работе [38] дано теоретическое обоснование в пространстве функций Ь2=Ь2(0, 2к) вычислительных схем м.м.к. из [18,19,39], и установлены эффективные оценки погрешностипри этом равномерная сходимость м.м.к. была доказана как следствие сходимости в среднем. В случае с с.и.у. с ядром Гильберта в работах [29, 35] рассмотрены сходимости методов коллокации и механических квадратур в пространствах Hp и СгяВ ряде работ Пресдорфа и Зильбермана (см. [85, 86]) результаты работ [18, 20, 25, 26, 31, 35, 36], полученные для квадратурных и коллокационных методов решения уравнений (0.6), (0.7) в пространствах Hp и Lp, перенесены на системы уравнений вида (0.6). Заметим, что в монографии [85] излагается также большое число интересных результатов по проекционным методам решения различных классов с.и.у.

Пусть Г=?/Г=1Гк, где Гк — гладкие контуры, имеющие общими только концы сь с2, .спи ПС (Г) — множество ограниченных измеримых функций, имеющих конечные предельные значения при стремлении t к toe Г, вдоль каждой дуги этого контура. Цель работы Р. В. Дудучава [51] составляет исследование условий нётеровости и индекса с.и.у. с фиксированными особенностями вида.

A (p = a (t)(p (t) + — ?k (T, t)(p (T)dT = f (t), (0.8) лх гт t0 г где a (t), Ь (0еПС (Г), а интегральный оператор с ядром к (т, t) вполне непрерывен в пространстве Lp (Г). В работе [98] приближения искомой функции ф (т) в с.и.у. (0.8) ищется в виде полинома j=l и дается оценка быстроты сходимости в пространстве Hp (0 < ср < 1) в виде соотношения ф — фп II < En" где бп > 0 при п—> СО.

Многие задачи, имеющие важное прикладное значение, приводятся к сингулярному интегро-дифференциальному уравнению (с.и.д.у.) вида: r=0 f (t), te Г (0.9) тй*г Г-Г где я/г), кг (Ь т),/(т) — заданные функции.

Уравнение вида (0.9) рассмотрел впервые Л. Г. Магнарадзе [74]. Допуская, что ап кп /- достаточное число раз дифференцируемые функции, а Г — простой замкнутый контур, он сводит это уравнение к эквивалентному сингулярному или регулярному интегральному уравнению в виде сводки формул без указания способа их получения, и как утверждает Ю. М. Крикунов [70,71] с ошибками, неполно и очень сложно.

В этих работах для с.и.д.у. (0.9) ставится задача: определить функцию ср^), принадлежащую классу так, чтобы она удовлетворяла уравнению (0.9) и граничным условиям.

Решение этой задачи он сводит к решению обобщенной краевой задачи Римана.

В работе Г. Х. Кирова [65] доказывается устойчивость решения задачи.

0.9) — (0.10) в пространствах Нт+Р и, где Нт+р = И%у) — линейное нормированное пространство ш раз непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условию (0.10), и таких, что с.

В работе [33] дано обоснование полиномиального метода В. К. Дзядыка [50] для решений интегро-дифференциальных уравнений с ядрами Гильберта. В [26] решения с.и.д.у. вида (0.9)-(0.10) предлагается квадратурно-интерполяционный метод, сочетающий в себе элементы м.м.к. и интерполяционного метода. Доказывается сходимость указанного метода, и устанавливаются оценки погрешности в пространствах Нт+Р и.

0 < Р < 1. Изучается влияние свойств коэффициентов уравнения (0.9) на скорость сходимости квадратурно-интерполяционного метода, а также методов коллокации и редукции в пространствах С. М. Никольского.

Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы. Нумерация формул ведется по главам. Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формируется цель работы, проводится обзор литературы по исследуемой теме, излагается краткое содержание диссертации.

1. Апайчева Л. А. Приближенное вычисление сингулярных интегралов и прямые методы решения интегральных уравнений /Л.А. Апайчева/ Дис.канд. физ-мат. наук: 01.01.01, 1986, 119 с.

2. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. /Н.И. Ахиезер/ М.: Наука, 1965, 407 с.

3. Бабаев А. А. Об одном квадратурном процессе для сингулярного интеграла и его приложений. /А.А. Бабаев, Р.С. Садырханов/ Докл. АН СССР, 1974, т.214, № 4, с. 743−746.

4. Baxter G.A. norm inequality for a «finite-section» Wiener-Hopt equations. /G.A. Baxter/ Illinois J.Math. 7 (1963), c. 97−103.

5. Бари H.K. О наилучшем приближении тригонометрическими полиномами двух сопряженных функций. /Н.К. Бари/ Изв. АН СССР, сер. матем., 1955, т. 19, № 5, 285−302 с.

6. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. /Н.К. Бари/ М.: Физматгиз, 1961,936 с.

7. Бахвалов Н. С. Численные методы, т. I /Н.С. Бахвалов/ М.: Наука, 1975,631с.

8. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции. /Г. Бейтмен, А. Эрдей/ -1973,456 с.

9. Белоцерковский С. М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. /С.М. Белоцерковский, И.К. Лифанов/ -М.: Наука, 1985,256 с.

10. Бойков И. В. К приближенному решению сингулярных интегродифференциальных уравнений. /И.В. Бойков, И.И. Жечев/. Дифференц. уравнения, 1973, т.9, № 8, с. 1493 — 1502.

11. Велев Г. Д. К приближенному вычислению сингулярных интегралов. /Т.Д. Велев, JI.A. Апайчева/ Функциональный анализ и его приложения. — Казан. Ун-т. — 1975, с.52−59.

12. Габдулхаев Б. Г. Некоторые вопросы теории приближенных методов /Б.Г. Габдулхаев/ Казань, 1968. — Вып. 5. — с. 20−22.

13. Габдулхаев Б. Г. Некоторые вопросы теории приближенных методов. /Б.Г. Габдулхаев/ Изв. вузов. Матем. 1971, № 6, с. 15−23.

14. Габдулхаев Б. Г. Некоторые вопросы теории приближенных методов. III. /Б.Г. Габдулхаев/ Годишн. Софийск. Ун-т. Мат. Фак. 168−1969 (1970). 63, с. 39−51.

15. Габдулхаев Б. Г. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур. /Б.Г. Габдулхаев/ Докл. 3-й Сибирск. Конференции по мат. и мех. 1964. Томск, Изд-во Томск. Ун-та, 1964, с. 92−94.

16. Габдулхаев Б. Г. Об одном общем квадратном процессе и его применении к приближённому решению сингулярных интегральных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев/ Докл. АН СССР, 1968.179, № 3, с. 515 517.

17. Габдулхаев Б. Г. Об одном прямом методе решения интегральных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев/ Изв. вузов. Матем., 1965, № 3, с. 51−60.

18. Габдулхаев Б. Г. Об оптимальных квадратурных формулах для сингулярных интегралов. /Б.Г. Габдулхаев/ Изв. вузов. Матем. -Матем. — 1978. — № 3. — с. 24−39.

19. Габдулхаев Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. /Б.Г. Габдулхаев/ Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1980, 232 с.

20. Габдулхаев Б. Г. Поперечники и оптимальные квадратурные формулы для сингулярных интегралов. /Б.Г. Габдулхаев/ Докл. АН СССР, 1977, т.2,№ 3, с. 513−516.

21. Габдулхаев Б. Г. Поперечники и оптимизация численных методов решения сингулярных интегральных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев/ -Изв. вузов. Матем., 1977, № 8. с.95−98.

22. Габдулхаев Б. Г. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур. /Б.Г. Габдулхаев/ Докл. АН СССР, 1968. 179, № 2, с. 260−263.

23. Габдулхаев Б. Г. Прямые методы решения некоторых операторных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев/ Изв. вузов, Матем., № 4, 1972, с.32−43.

24. Габдулхаев Б. Г. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и их некоторые применения. /Б.Г. Габдулхаев/ Уч., зап. Казанск. ун-та, 1965, 125, № 2, с. 7−17.

25. Габдулхаев Б. Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев/ Казань, 1995, 288 с.

26. Габдулхаев Б. Г. Аппроксимация в Н-пространствах и приложения. /Б.Г. Габдулхаев/ Докл. АН СССР, — 1975. т.223, № 6. с. 1293−1296.

27. Габдулхаев Б. Г. Аппроксимация полиномами и сплайнами решений сингулярных интегральных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев/ Тезисы научных сооб. Международной конф. по теории приближенных функций. Калуга, 24−28 июля 1975 г. с.26−27.

28. Габдулхаев Б. Г. Полиномиальные аппроксимации по В. К. Дзядыку решений сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев/ Изв. вузов. Матем., 1978, № 6, с. 51−62.

29. Габдулхаев Б. Г. Решение нелинейных интегральных уравнений методом редукции. /Б.Г. Габдулхаев, В.Е. Горлов/ Изв. вузов. Математика. 1976. № 2. с.3−13.

30. Габдулхаев Б. Г. Метод механических квадратур для сингулярных интегральных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев, П.Н. Душков/ Изв. вузов. Мат., 1974. № 12, с. 3−14.

31. Габдулхаев Б. Г. К численному решению интегральных уравнений методом механических квадратур. /Б.Г. Габдулхаев/ Изв. вузов. Матем. 1972. № 12. с.23−39.

32. Габдулхаев Б. Г. Квадратурные кубатурные формулы для сингулярных интегралов и их некоторые приложения. /Б.Г. Габдулхаев/ Межд. конф. по конструкт. Теории функций. Резюме докл. Варна, 1970, с.3−4.

33. Габдулхаев Б. Г. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур. /Б.Г.Габдулхаев/Изв. вузов, Матем., 1965, № 5, с.43−51.

34. Гагаев Б. М. О некоторых классах ортогональных функций. /Б.М.Гагаев/ Изв. АН СССР, сер., матем., 1946, т. Ю, с. 197−206.

35. Гагаев Б. М. Ортогональные системы функций, в которых система производных также ортогональна. /Б.М. Гагаев/ Тр. Рязанск. радиотехн. ин-та. дифференц. уравн. 1969, вып. 20, с. 3−9.

36. Гахов Ф. Д. Краевые Задачи. /Ф.Д. Гахов/ М.: Наука, 1977, 640 с.

37. Гахов Ф. Д. О приближенном вычисление сингулярных интегралов. /Ф.Д. Гахов, И.Х. Фесчиев/ Изв. АН БССР. сер. физ.-мат. наук. -1977.-№ 4.-с.5−12.

38. Гохберг И. Ц.

Введение

в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. /И.Ц. Гохберг, Н.Я. Крупник/ Кишинев, Штиница, 1973, 426 с.

39. Гохберг И. Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. /И.Ц. Гохберг, И.А. Фельдман/ М.: Наука, 1971, 352 с.-11 646. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. /И.С. Градштейн, И.М. Рыжик/ М.: ГИФМЛ, 1962, 1115 с.

40. Даугавет И. К.

Введение

в теорию приближения функций. /И.К.Даугавет/ Л.: Изд-во ЛГУ, 1977, 184 с.

41. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. /Д. Джексон/ -М.: 1948, 260 с.

42. Джуракулов Р. О доведении до числа решений сингулярных интегральных уравнений, представленных в замкнутой форме. /Р.Джаракулов, В. В. Иванов, М.И. Исраилов/ Изв. вузов. 1982., № 4 (239), с. -27−34.

43. Дзядык В. К.

Введение

в теорию приближения функций. /В.К.Дзядык/ Изд-во ЛГУ, 1977, 487 с.

44. Дудучава Р. В. Сингулярные интегральные уравнения с фиксированными особенностями в ядре на кусочно-гладких линиях. /Р.В. Дудачава/ Сообщ. АН ГССР 1978, т.91., № 2. с. 293−296.

45. Завялов Ю. С. Методы сплайн функций. /Ю.С. Завялов, И. Б. Квасов, В.Л. Мирошниченко/М.: Наука, 1980, 352 с.

46. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. /А. Зигмунд/ I. М.: Мир, 1965,618 с.

47. Иванов В. В. Методы вычислений на ЭВМ. /В.В. Иванов/ Киев: Наукова думка, 1986, 584 с.

48. Иванов В. В. Об оптимальных алгоритмах вычисления сингулярных интегралов. /В.В. Иванов/ ДАН СССР, 204, № 1. 1972, с.21−24.

49. Иванов В. В. Об оптимальных по точности алгоритмах приближения функции некоторых классов ЭВМ. /В.В. Иванов/ В кн.: Теория приближения функций, М., Наука, 1977, с. 195−200.

50. Иванов В. В. Приближенное решение особых интегральных уравнений. /В.В. Иванов/ДАН СССР, 1956. т.110, № 1, с. 15−18.

51. Иванов В. В. Теория приближенных методов и её применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. /В.В.Иванов/ Киев: Наукова думка, 1968, 287 с.

52. Иванов В. В. Приложение теории краевых задач и сингулярных интегральных уравнений в теории автоматического управления. /В.В.Иванов/ Дифф. ур-ия 7, № 2, 1971, с. 355−358.

53. Каландия И. А. Об одном прямом методе решения уравнения теории крыла и его применения в теорию упругости. /И.А. Каландия/ Мат. сборник, т. 42(84), № 2,1957, с. 247−271.

54. Канторович JI.B. Функциональный анализ в нормированных пространствах. /Л.В. Канторович, Г. П. Акилов/ М.: Физматгиз, 1959, 684 с.

55. Канторович Л. В. Приближенные методы высшего анализа. /Л.В.Канторович, В.И. Крылов/ М.: Физматгиз, 1962, 708 с.

56. Киров Г. Х. Върху устойчивстта на решенията на сингулярною интегро-дифференциално уравнения. /Г.Х. Киров/ Научн. тр. Высш. пед. ин-т Пловдив, 1970, 8, № 1, с. 17−24.

57. Киров Г. Х. О приближенном вычисление сингулярных интегралов. /Г.Х. Киров, М. С. Найденова, Т.С. Железнякова/ Научн. тр. Пловдив, ун-т, 1972, т. 10, № 2, с. 35−45.

58. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа. /А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин/ М.: Наука, 1981, 544 с.

59. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. /Н.П.Корнейчук/ М.: Наука, 1976, 320 с.

60. Красносельский М. А. Приближенное решение операторных уравнений /М.А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко, Я. Б. Рутицкий, В.Я. Стаценко/ М.: Наука, 1969, 455 с.

61. Крикунов Ю. М. Обобщенная краевая задача Римана и линейное сингулярное интегро-дифференциальное уравнение. /Ю.М. Крикунов/ Учен. зап. КГУ. Казань, т.116. кн.4, 1956, с. 195−200.

62. Крикунов Ю. М. О решении обобщенной краевой задачи Римана и линейного сингулярного интегро-дифференциального уравнения. /Ю.М. Крикунов/ Уч.зап. Казанск. ун-та, т.112, № 10, 1952, с.191−199.

63. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. /В.И. Крылов/ М.: Наука, 1967, 500 с.

64. Магомедов Г. М. Об интегральных уравнениях с фиксированной сингулярностью. /Г.М. Магомедов/ ДАН СССР. 1973, т.209, № 3, с. 548−550.

65. Маковоз Ю. И. Об оценке погрешности квадратурной формулы для сингулярного интеграла. /Ю.И. Маковоз, М.А. Шешко/ Изв. АН БССР, сер. физ-мат. наук 1977. — № 6. с.36−41.

66. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. /С.Г. Михлин/ М., 1962. 254 с.

67. Мусаев Б. И. Об одном общем квадратурном процессе для особого интеграла. /Б.И. Мусаев/ Докл. АН Аз. ССР. 1983. — т.99 № 1, с. 7−10.

68. Мусаев Б. И. О сходимости квадратурных процессов для сингулярного интеграла с ядром Гильберта. /Б.И. Мусаев, В.В. Салаев/ Сб.: проблемы теории функций. Материалы всесоюзной школы по теории функций. Баку, 1977. 1980, с. 186−195.

69. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. /Н.И.Мусхелишвили/ М.: Физматгиз, 1968, 512 с.

70. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. /И.П. Натансон/ М, — Л.: Гостехиздат, 1949, 688 с.

71. Никольский СМ. Квадратурные формулы. /С.М. Никольский/ М.: Наука, 1974, 253 с.

72. Никольский СМ. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многихпеременных. /С.М. Никольский/ Труды. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 1951.т.38. с. 244−278.

73. Онегов Л. А. О квадратурных и кубатурных формулах для сингулярных интегралов. /Л.А. Онегов/ Дис. канд. физ-мат. наука: 01 01 01 Защищена 26.04.79- к231 113. — Казань, 1979, 149 с.

74. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. /З.Пресдорф/ М.:Мир, 1979, 493 с.

75. Пресдорф 3. О сходимости методов редукции и ко л локации для систем сингулярных интегральных уравнений. /3. Пресдорф, Б. Зильберман/ ДАН СССР, т.226, 1976, № 3.

76. Пыхтеев Г. Н. О вычислении некоторых сингулярных интегралов с ядром типаКоши. /Г.Н. Пыхтеев/ПММ. Т. ХХ1И, 1959, с. 1074−1082.

77. Пыхтеев Г. Н. Приближенные методы вычисления интегралов типа Коши специального вида. /Г.Н.Пыхтеев/ Новосибирск: Наука, 1982, 128 с.

78. Саникидзе Д. Г. Квадратурные процессы для интегралов типа Коши. /Д.Г. Саникидзе/ Математ. заметки. -1972. т.11, № 5, с.517−526.

79. Саникидзе Д. Г. О сходимости квадратурного процесса для некоторых сингулярных интегралов. /Д.Г. Саникидзе/ Журнал вычисл. матем. И мат. физ., т. 10, № 1, 1970, с. 189−196.

80. Сегё Г. Ортогональные многочлены. /Г. Сегё/ М.: 1962, 495 с.

81. Софронов И. Д. Приближенному решению сингулярных интегральных уравнений. /И.Д. Софронов/. ДАН СССР, 1956, т.111, № 1.

82. Стечкин С. Б. Сплайны в вычислительной математике. /С.Б. Стечкин, Ю.Н. Субботин/ М.: Наука, 1976, 249 с.

83. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. /П.К. Суетин/ М.: Наука, 1976, 327 с.

84. Тимман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. /А.Ф. Тимман/ М.: Физматгиз, 1960, 624 с.

85. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. /В.М.Тихомиров/ М.: МГУ, 1976, с. 304.

86. Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач. /А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин/ 3-е изд., исправлен. — М.:Наука, 1986, 288 с.

87. Унгиадзе A.B. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений с неподвижными особенностями. /A.B. Унгиадзе/ Труды Тбил. мат. ин-та, 1987, т87, с. 126−135.

88. Фадеев Н. П. О дифференциальных уравнениях для некоторых ортогональных многочленов. /Н.П. Фадеев/ Изв. вузов. Матем. 1976, № 5, с. 99−103.

89. Хведелидзе Б. В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций. Сингулярные интегральные уравнения и некоторых их приложения. /Б.В. Хведелидзе/ Труды Тбилисского Матем. ин-та Ан Груз. ССР, т.23, 1957, с. 3−158.

90. Шарипов Р. Н. Оптимальные по порядку методы вычисления сингулярных интегралов /Р.Н. Шарипов/ Дис.канд. физ-мат наук. 01.01.01. Защищена 1983 Казань, 106 с.

91. Шешко М. А. О методах приближенного решения сингулярных интегральных уравнений. /М.А. Шешко/ ДАН БССР, 1977, т.21, № 12, с. 1067−1069.

92. Шешко М. А. О сходимости квадратурных процессов для сингулярного интеграла. Изв. вузов. Матем. 1976, № 12, с. 108−118.

93. Шешко М. А. Сингулярные интегральные уравнения с ядрами Коши и Гильберта и их приближенное решение. /М.А. Шешко/ Люблин, 2003, 288с.

94. Хазириши Э. О. О некоторых ортогональных системах функций. /Э.О.Хазириши/ Изв. вузов. Матем., 1981, № 6 (229), с.59−64.

95. Хазириши Э. О. О приближенном вычислении сингулярных интегралов со специальными весами. /Э.О. Хазириши/ Тезисы, IX Конф. мат-ов высш. уч. заведений, Груз. ССР, г. Батуми, 1981. с. 7576.

96. Хазириши Э. О. О приближенном вычислении сингулярных интегралов с ядром Коши. /Э.О. Хазириши/ Тез. докл. Научной сессии АТУ, Сухуми, 1982, с.20−21.

97. Хазириши Э. О. О приближенных решениях сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. /Э.О. Хазириши/ Вестник Адыгейского ун-та, № 2, 1999, с. 56−59.

98. Хазириши Э. О. Об оптимальных по точности квадратурных формулах для сингулярного интеграла. /Э.О. Хазириши/ Труды Абх. ун-та, 1987, т.5, с. 161−169.

99. Хазириши Э. О. Один аналог формулы Кристоффеля-Дарбу. /Э.О.Хазириши/ Труды Абх. ун-та, 1985, т. З, с. 230−233.

100. Хазириши Э. О. Оптимизация квадратных формул для сингулярных интегралов. /Э.О. Хазириши/ Доклады адыгской (черкесской) международной Академии наук, т.2, № 1, Н., 1996, с.34−39.

101. Хазириши Э. О. Численные методы решения сингулярных интегральных уравнений с дискретными особенностями.Э.О.Хазириши/ Тезисы, докладов V всесоюзного симпозиума, г. Одесса, 1991, с. 61−62.

102. Габдулхаев Б. Г. О приближенных решениях сингулярных интегральных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев, Э.О. Хазириши/ Сообщ. АН ГССР, 1985, т.117, № 2, с. 249−252.

103. Габдулхаев Б. Г. Прямые методы решения одного класса сингулярных интегральных уравнений. /Б.Г. Габдулхаев, Э.О. Хазириши/ Дифф. ур-ия. 1986. т. ХХП, № 3, с. 496−503.

104. Хазириши Э. О Прямой метод решения одного класса сингулярных интегральных уравнений. /Э.О. Хазириши, Н. Т. Халитов, Л.Е.Шувалова/. Труды мат. центра имени Лобачевского Н. И. Материалы международной научной конференции, Казань, 2002, с. 125−130.