Методы теории топологической степени в задачах И.Г. Малкина-В.К. Мельникова для периодически возмущенных систем

Топологическая степень и) векторного поля Р: Мп —> Мп по отношению к открытому множеству С/ с Мп в случае односвязного множества ?/, ограниченного положительно ориентированной жордановой кривой д, и п = 2 введена А. Пуанкаре и известна под названием индекса кривой д по отношению к полю Р (см. [43], Гл. 3). А. Пуанкаре использовал полученную характеристику для анализа существования, числа и типа особых точек двумерных автономных систем. К нему же восходит основная теорема теории топологической степени: если «¿-^(Р, [/) Ф 0, то в С/ имеется особая точка поля Р и свойство аддитивности топологической степени (первое основное свойство степени), именно, если и = 11 и ?/2 и С^ПС/г = О, где с/ьс/2 с м2 — открытые мноэюества, ограниченные положительно ориентированными жордановыми кривыми, то й®?(Р, [/) = (¿-^(Р, С/х) + ¿-^(Р, С/2) (см. [43], с. 38). Также А. Пуанкаре доказал, что если множество и содержит простую особую точку (простой нуль) поляР и достаточно мало, то |с?к2(Р, и) = 1 (в зависимости от того б? к2(.Р, и) = 1 или ^(Р, Ю = —1 А. Пуанкаре делал выводы о типе особой точки), если же в этом малом мноо/сестве нет нулей поля Р, то с^г (Р, и) = 0 (второе основное свойство степени) (см. [43], с. 39). Для случая произвольных открытого ограниченного множества С/ 6 Еп и п € N конструкция топологической степени получена Л. Брауером [48], кто также сформулировал третье основное свойство топологической степени (принцип продолжения Брауера) о том, что степень ?/) остается постоянной, если область и и отображение.

Т1 непрерывно меняются так, что в образ границы ди этой области нигде пе попадает нуль (см. [48], свойство с. 105). Наконец, Ж. Лерэ и Ю. Шаудер рассмотрели случай, когда Р является разностью тождественного и компактного отображений, заданных в банаховом пространстве. Доказывая возможность аппроксимации этой ситуации некоторой конечномерной и используя в последней степень Брауера, Ж. Лерэ и Ю. Шаудер обосновали определение степени в банаховом (бесконечномерном) пространстве (см. [22],.

В диссертационной работе изучаются возможности применения теории топологической степени к задачам И. Г. Малкина и В. К. Мельникова о существовании Т-периодических решений в системе обыкновенных дифференциальных уравнений где /: М х Еп К", д: К х Мп х [0,1] Еп — Т-периодические по первой переменной непрерывные функции и е > 0 — малый параметр. К системам вида (1) приводится большое число уравнений, описывающих разнообразные нелинейные процессы, в частности, уравнения Ван дер Поля, Дуффинга, «синус Гордона» в отсутствии демпфирования, плоского маятника, «хищник-жертва» при учете периодического изменения климата. Одной из наиболее важных рассматриваемых при этом задач является задача о существовании в системе (1) Т-периодических решений. Аналитические методы решения поставленной задачи, как правило, предполагают, что правые части системы (1) некоторое число раз непрерывно дифференцируемы, а также, что известно семейство {?д}ЛеЛ Т-периодических решений порождающей системы.

Одним из основных аналитических методов является основанный на теореме о неявной функции метод малого параметра Пуанкаре (см. Б. П. Демидович х = 1&-х) + ед (1-, х, Е),.

1) х = /(¿-, гг).

2).

11], Гл. III, § 24, М. Розо [44], Гл. 9, § 1), развитием которого для различных ситуаций занимались JI. С. Понтрягин [41], А. А. АндроновА. Витт [1], Н. Г. Булгаков [7], Н. М. Крылов — Н. Н. Боголюбов — Ю. А. Митропольский [33], А. М. Кац [14], И. Г. Малкин [29], В. К. Мельников [31] и другие. В работах всех указанных авторов строится соответствующая задаче бифуркационная функция М, и предъявляется условие о существовании у этой функции простого нуля Ао G А, то есть такого числа, что М (Ао) = 0 и М'(Ао) ф 0. Преимуществом геометрических методов обычно является то, что они работают в случае, когда возмущение д всего лишь непрерывно, а также не требуют нахождения простых нулей бифуркационных функций. Вместо этого предполагается известным поведение решений системы (1) с начальными условиями, принадлежащими границе dU такого открытого ограниченного множества U с Мп, для которого указанное поведение легко устанавливается. Одним из основных геометрических методов доказательства существования Т-периодических решений является принцип неподвижной точки. Наиболее удобное его применение связано с вычислением топологической степени — P, U) некоторого вспомогательного оператора Р: Мп —> Rn, неподвижные точки которого совпадают с начальными условиями Т-периодических решений системы (1), относительно множества U и с проверкой отличия этой топологической степени от нуля. В качестве вспомогательного оператора используется оператор Пуанкаре V?: Мп —" Мп, ставящий в соответствие каждой точке? значение единственного решения х системы (1) с начальным условием ж (0) =? в момент времени Т.

Первая формула для вычисления топологической степени — V?, U) для систем типа (1) получена М. А. Красносельским и А. И. Перовым (см. [18] и [40]) и связана с развитием результата И. Берштейна — А. Халаная [4]. Он основан на предположении о том, что множество U удовлетворяет условию невозвращаемости, то есть из границы dU этого множества исходят в нулевой момент времени) только такие решения, которые не пересекают ди при всех? е (О, Т]. В этом случае М. А. Красносельским и А. И. Перовым установлена формула с1щп (1 — Те, и) = ¿-¿-кп (—/(0, •), С/), позволившая легко считать — 7-е, и) и доказывать существование Т-периодических решений для (1) во многих задачах, где метод малого параметра Пуанкаре ответа не дает, включая все те, где функция д всего лишь непрерывна. Модификация формулы Красносельского-Перова для так называемых т-систем получена Э. Мухамадиевым [38], при этом в левой части рассматриваемой формулы вместо ограниченного множества и берется некоторое бесконечно большое множество. Последним принципиальным результатом в этом направлении является работа А. Капетто, Ж. Мавена и Ф. Занолина [50], где установлено, что если система (2) автономна, то для справедливости формулы Красносельского-Перова достаточно требовать, чтобы ди не содержало начальных условий Т-периодических решений системы (2).

Вторая формула для вычисления топологической степени йщп{1 — и) получена Ж. Мавеном [64] и предполагает, что / = 0. Ж. Мавен установил, что если соответствующий оператор усреднения Фт Крылова-Боголюбова-Митропольского невырожден на ди, то (1^(1 — Те, и) = с? кп (—Фт,?/), не смотря на то, что йшп^—'Ро, и) для рассматриваемой системы не определено. Полученная формула позволила доказать существование Т-периодических решений во многих таких системах, где условия аналитических методов А. А. Андронова, Н. Г. Булгакова, Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского не выполнены. Варианты указанной формулы для различных случаев, в которых условия Ж. Мавена не выполнены, получены М. И. Каменским [12] на основе теоремы Красносельского-Крейна [17] (см. также [11], Гл. V, § 3) о предельном переходе под знаком интеграла. Развитие последней теоремы для систем с наследственностью сделано в работе В. В. Стрыгина [46], что позволило обосновать формулу Мавена и для таких систем.

Н. А. Бобылев и М. А. Красносельский заметили [б], что ни одна из рассмотренных формул не дает геометрического метода решения задач И. Г. Малкина [29] и В. К. Мельникова [31] о существовании для системы (1) Т-периодических решений с начальными условиями, принадлежащими окрестности Т-периодического цикла х порождающей системы (2) в случае, когда последняя автономна (И. Г. Малкиным рассматривался случай изолированного цикла х, а В. К. Мельниковым случай, когда цикл х вложен в некоторое семейство циклов порождающей системы). Указанное замечание обусловлено тем, что выбирая множество и лежащим в окрестности цикла х и удовлетворяющим условиям невозвращаемости, как правило, имеем равенство /(0, •), и) = 0. Использование же формулы Мавена возможно только при дополнительном предположении о том, что система.

1) приводится к такой Т-периодической системе типа (1), в которой / = 0 (см. К. Шнайдер [71]). Последнее возможно в единственном случае, когда система (2), линеаризованная на х, имеет только Т-периодические решения, что естественным образом выполнено лишь для линейных систем.

2). Возникает естественная проблема: разработать формулы вычисления топологической степени — Те, и) для более широких классов множеств 11 и порождающих систем (2), которые позволили бы получить геометрические методы решения задач И. Г. Малкина и В. К. Мельникова с одной стороны и превращались бы в формулы Красносельского-Перова и Мавена в рассмотренных ими ситуациях с другой стороны. Возможный вариант решения сформулированной проблемы предлагается в настоящей диссертационной работе.

Актуальность разработки указанных геометрических аналогов связана еще и с тем, что целый ряд полученных в последнее время математических моделей приводит к системам (1), в которых функцияд не дифференцируема, например, асимметрический осциллятор Е. Н. Дансера.

52], модель колебаний подвесных мостов А. С. Лазера-П. Дж. Маккенна [59] и другие.

Диссертация состоит из трех глав. В первой главе рассматривается случай, когда система (1) имеет вид х = ¡-(х) + ед (Ь, х,?), (3) и предполагается, что граница д] множества 11 С Мп содержит конечное число начальных условий Т-периодических решений автономной порождающей системы.

А = /(я). (4).

Сначала разрабатывается формула для вычисления топологической степени «р£, V) оператора Пуанкаре Т^ системы (3), затем даются приложения этой формулы к задаче о существовании в системе (3) Т-периодических решений с принадлежащими множеству и начальными условиями. Хотя * при этом предполагается, что оператор Пуанкаре Те для рассматриваемой системы определен при всех достаточно малых е > 0 (то есть выполнено условие (Ар) единственности и продолжимости на всю ось решений возмущенной системы с любым начальным условием), в главе даются аналоги полученных теорем для случая, когда указанное предположение не выполнено. В этом последнем случае вместо оператора Пуанкаре 7>е используется интегральный оператор

I г.

9 (<Эех)&-) = х (Т) + I/0х (т))(1т +? ! д (т, х№, фт, ?е[0,Т], о о и вместо топологической степени Брауера — Те, и) — топологическая степень Лерэ-Шаудера «?с ([о, т], кп)(^ — ЯаУ^и), где множество У/и? С ([0,Т], Мп) выбирается таким образом, чтобы множества и и Уи имели так называемую общую сердцевину (см. [21], Гл. 3, § 24) по отношению к Т-периодическим решениям системы (3).

Основным ограничением, используемым в главе 1, является предположение о том, что каждый Т-периодический цикл х системы (4) с начальным условием из д11 является простым, то есть алгебраическая кратность мультипликатора +1 системы.

У = ПШУ (5) равна 1, что соответствует требованиям работы И. Г. Малкина [29].

В диссертации показано, что вклад каждого такого цикла в величину топологической степени — «Р£,£/) может быть посчитан (теорема 1.4) при помощи соответствующих бифуркационных функций Малкина т.

Мх{6)=ъщ п (г (0), зд) J (Цт), д (т-в, х (т), 0))с1т, о где г — произвольное нетривиальное Т-периодическое решение системы? = —(/'х (х (Ь)))*г. В случае, когда 811 не содержит начальных условий Т-периодических циклов системы (4), установленная в теореме 1.4 формула (1.60) для вычисления ??^"(7 — Т?, и) совпадает с формулой Красносельского-Перова. Однако, в покрываемом теоремой 1.4 классе множеств и уже имеются такие, использование которых в формуле (1.60) позволяет получить геометрический вариант решения задачи И. Г. Малкина [29] о существовании Т-периодических решений в системах (3) вблизи цикла х (теорема 1.6), которое, согласно замечанию Бобылева-Красносельского, не может быть получено на основании формулы Красносельского-Перова.

Во второй главе рассматриваются системы общего вида (1) в предположении, что «Ро (0 =? Для любого? € ди. Оказывается (теорема 2.2), выполнения указанного предположения для справедливости формулы Мавена достаточно (из условий Мавена следует, что «Ро (£) —? для любого? 6 Мп), если только так называемый обобщенный оператор усреднения Ф®-: Ж» —> Еп невырожден на ди при всех й 6 [0,Т]. Оператор Фв впервые указан в работе М. И. Каменского.

О. Ю. Макаренкова-П. Нистри [13] и совпадает при в = Т с классическим оператором усреднения Крылова-Боголюбова-Митропольского, входящим в формулу Мавена. Распространение формулы Мавена на такой значительно более широкий класс множеств II позволило получить новые теоремы о существовании для системы (1) Т-периодических решений вблизи 811 (теоремы 2.4, 2.5 и 2.6). При этом, в теоремах 2.5 и 2.6 рассматривается случай системы (3), заданной в пространстве К2, и в качестве множества и берется внутренность Т-периодического цикла х системы (4). Указанный выбор множества II вместе с доказанной в главе 2 формулой для Ф3(я (?)), дающей разложение вектора Ф5(:г (?)) по векторам х{Ь) и у (Ь) (лемма 2.4), где у — линейно независимое с х решение системы (5), позволил получить геометрический метод решения задачи В. К. Мельникова (теорема 2.6). Одним из преимуществ полученного метода, по сравнению с методом Мельникова, является то, что он дает существование для возмущенной системы (3) двух Т-периодических решений, лежащих по разные стороны от порождающего цикла х. Работа предложенного метода проиллюстрирована на примерах уравнения Дуффинга (пример 2.1), системы Гринспана-Холмса (пример 2.2) и одной его модификации, в которой порождающий цикл х вырожден в том смысле, что все решения системы (5) являются Т-периодическими (пример 2.3). При этом для вычисления степени? кг (—Фг, и) используется разработанный в этой же главе метод, связанный с некоторыми предположениями типа четности поля Фт, используемыми в теоремах Борсука-Улама [47].

В третьей главе изучаются свойства Т-периодических решений возмущенных систем (1) и (3), связанные со скоростью их сходимости при е —>• 0.

Пусть {?&}А-ем — сходящаяся к нулю последовательность значений параметра системы (1) и {а^^ем — соответствующая последовательность.

Т-периодических решений этой системы такая, что х{Ь) при к —> сю, (6) где х — Т-периодическое решение порождающей системы (2). Обозначим через Г2(-,?о>?) решение х порождающей системы (2) такое, что х (Ьо) = Доказанная в главе 3 альтернатива (теорема 3.1) утверждает, что-либо начальные условия Т-периодических решений системы (1) сходятся к начальному условию ¡-г (0) порождающего решения х вдоль плоскости € МП: 0, ж (0)) — / = о|, либо сходимость имеет скорость е >

0. При этом, в последнем случае описание поведения решений^ при к —> оо может быть уточнено на основании обобщенного оператора усреднения.

Если функция д непрерывно дифференцируема, и свойство (6) получено применением теорем И. Г. Малкина [29], то сходимость в (6) со скоростью £к уже гарантирована, и теорема 3.1 ничего нового не дает. Однако, если функция д всего лишь непрерывна, или свойство (б) получено иными методами, например, методом Мельникова [31] или при помощи теорем глав 1 и 2, то теоремы о скорости сходимости в (б) в литературе отсутствуют, и теорема 3.1 частично заполняет этот пробел. Полный ответ об асимптотике расстояния между траекториями решений Хк и х в случае, когда функция д непрерывна, дает теорема 3.2 обсуждаемой главы, но в последней теореме дополнительно предполагается, что система (1) имеет вид (3), их является простым циклом. При этом одно из следствий теоремы 3.1 (следствие 3.7) дает условия, при которых расстояния между траекториями решений Хк и х стремится к нулю со скоростью большей, чем.

Каждая глава завершается сопоставлением полученных утверждений с имеющимися в литературе.

Результаты диссертационной работы докладывались на следующих семинарах: академика Д. В. Аносова и профессора Ю. С. Ильяшенко (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2006), профессора.

Ж. Мавена (университет г. Леувен-ла-Нуов, Бельгия, 2005), профессора П. Нистри (университет г. Сиены, Италия, 2005), профессора А. И. Перова (ВГУ, Воронеж, 2005), профессора Н. Хирано (университет г. Йокогамы, Япония, 2004), НОЦ «Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах» (ВГУ, Воронеж, 2004), а также на следующих международных конференциях: Barcelona Conference in Planar Vector Fields (Барселона, Испания, 2006), «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2005), «Trends in Differential Equations and Dynamical Systems» (Реджио Эмилья, Италия, 2005), «12th International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems» (Евора, Португалия, 2004), «International Symposium on Dynamical Systems Theory and Its Applications to Biology and Environmental Sciences» (Хамаматсу, Япония, 2004).

Исследования, включенные в настоящую диссертацию, поддержаны грантом РФФИ 05−01−100, а также грантом для молодых участников проекта VZ-010 «Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах» Минобразования РФ и CRDF (США).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13], [24]-[28], [56], [61]-[63]. Из совместных работ [13, 56] в диссертацию вошли только принадлежащие Макаренкову О. Ю. результаты.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Каменскому Михаилу Игоревичу за постановку задачи, обсуждение результатов и организацию работы над диссертацией.

1. Андронов А. А. К математической теории автоколебательных систем с двумя степенями свободы / А. А. Андронов, А. Витт // Ж. Техн. Физ.- 1934. Т. 4, вып. 1- С. 122−143.

2. Арнольд В. И. Математические методы классической механики /B. И. Арнольд. М.: Наука, 1979. — 432 с.

3. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В. И. Арнольд. М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 400 с.

4. Берштейн И. Индекс особой точки и существование периодических решений систем с малым параметром / И. Берштейн, А. Халанай // ДАН СССР. 1956. — Т. 111, № 5. — С. 923−925.

5. Блехман И. И. Синхронизация в природе и технике / И. И. Блехман.- М.: Наука, 1981. 352 с.

6. Бобылев Н. А. Функционализация параметра и теорема родственности для автономных систем / Н. А. Бобылев, М. А. Красносельский // Дифференциальные уравнения. 1970. — Т. 6, № 11. — С. 1946;1952.

7. Булгаков Н. Г. Колебания квазилинейных автономных систем со многими степенями свободы и неаналитической характеристикой нелинейности / Н. Г. Булгаков // ПММ. 1955. — Т. XIX, вып. 3.C. 265−272.

8. Векторные поля на плоскости / М. А. Красносельский и др.]. М.: Физматгиз, 1963. — 245 с.

9. Горяченко В. Д. Элементы теории колебаний / В. Д. Горяченко. М.: Высш. шк., 2001. — 395 с.

10. Гукенхеймер Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 с.

11. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. Изд. Моск. ун-та, 1998. — 480 с.

12. Каменский М. И. Об одной модификации принципа усреднения для вырожденных уравнений / М. И. Каменский // ДАН СССР. 1996. -Т. 347, № 2. — С. 151−153.

13. Каменский М. И. Об одном подходе в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром / М. И. Каменский, О. Ю. Макаренков, П. Нистри // ДАН. 2003. -Т. 388, Ш. — С. 439−442.

14. Кац А. М. Вынужденные колебания нелинейных систем с одной степенью свободы, близких к консервативным / А. М. Кац // ПММ. -1955. Т. 19, № 1. — С. 13−32.

15. Красносельский А. М. Вынужденные периодические колебания в нелинейных системах / А. М. Красносельский // ДАН СССР. 1984. — Т. 276, № 6. — С. 1356−1359.

16. Красносельский А. М. Новые теоремы о вынужденных периодических колебаниях в нелинейных системах управления / А. М. Красносельский // ПММ. 1986. — Т. 50, № 2. — С. 224−230.

17. Красносельский М. А. О принципе усреднения в нелинейной механике / М. А. Красносельский, С. Г. Крейн // УМН. 1955. — Т. 10, № 3 (65). — С. 147−152.

18. Красносельский М. А. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти-периодических решений у системы обыкновенных дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский, А. И. Перов // ДАН СССР. 1958. -Т. 123, № 2. — С. 235−238.

19. Красносельский М. А. О некоторых признаках существования периодических решений у обыкновенных дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский, В. В. Стрыгин // ДАН СССР. -1964. Т. 156, № 5. — С. 1022−1034.

20. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский. М.: Наука, 1968. — 332 с.

21. Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. М.: Наука, 1975. — 512 с.

22. Лерэй Дж. Топология и функциональные уравнения / Дж. Лерэй, Ю. Шаудер // УМН. 1946. — Т. 1, № 3−4. — С. 71−95.

23. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений / С. Лефшец. М.: ИЛ, 1961. — 388 с.

24. Макаренков О. Ю. Об одном способе построения оператора сдвига для нелинейных уравнений / О. Ю. Макаренков // Труды Молодых Ученых ВГУ. 2002. — № 2. — С. 24−26.

25. Макаренков О. Ю. Об асимптотическом поведении периодических решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравненийс малым параметром / О. Ю. Макаренков // Труды Математического Факультета ВГУ. Воронеж, 2002. — № 7. — С. 83−86.

26. Макаренков О. Ю. Об одной модификации принципа усреднения при исследовании периодического режима КС-усилителя вблизи резонанса / О. Ю. Макаренков // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. 2003. — № 1. — С. 157−160.

27. Малкин И. Г. К теории периодических решений Пуанкаре / И. Г. Малкин // ПММ. 1949. — Т. 13, № 6. — С. 633−646.

28. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний / И. Г. Малкин. М.: Гос. Изд. Техн.-Теор. Лит., 1956. — 492 с.

29. Мельников В. К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях / В. К. Мельников // Тр. Моск. матем. о-ва.- 1963. Т. 12. — С. 3−52.

30. Митропольский Ю. А. О периодических решениях систем нелинейных дифференциальных уравнений, правые части которых недифференцируемы / Ю. А. Митропольский // Укр. Мат. Журн. -1959. Т. 11, № 4. — С. 366−379.

31. Митропольский Ю. А. Принцип усреднения в нелинейной механике / Ю. А. Митропольский. Киев: Наукова думка, 1971. — 440 с.

32. Мишина А. П. Высшая алгебра: Линейная алгебра, многочлены, общая алгебра / А. П. Мишина, И. В. Проскуряков. М. :Физматгиз, 1962. -300 с.

33. Морозов А. Д. О полном качественном исследовании уравнения Дюффинга / А. Д. Морозов // Дифференциальные уравнения. 1976. — Т. 12, №. — С. 241−255.

34. Морозов А. Д. О неконсервативных периодических системах, близких к двумерным гамильтоновым / А. Д. Морозов, Л. П. Шильников // ПММ. 1983. — Т. 47, № 3. — С. 385−394.

35. Мухамадиев Э. К теории периодических вполне непрерывных векторных полей / Э. Мухамадиев // УМН. 1967. — Т. 22, №. 2. -С. 127−128.

36. Мухамадиев Э. К теории периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Э. Мухамадиев // ДАН СССР. 1970. — Т. 194, № 3. — Р. 510−513.

37. Мухамадиев Э. Периодические и ограниченные решения систем двух нелинейных дифференциальных уравнений / Э. Мухамадиев // ДАН Тадж. ССР. 1976. — Т. 19, № 3. — С. 3−6.

38. Перов А. И. Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: дис.. канд. физ.-мат. наук / А. И. Перов. Воронеж, 1959. — 129 с.

39. Понтрягин Л. С. О динамических системах, близких к гамильтоновым / Л. С. Понтрягин // ЖЭТФ. 1934. — Т. IV, вып. 9. — С. 883−885.

40. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л. С. Понтрягин. М.: Наука, 1974. — 332 с.

41. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями / А. Пуанкаре. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. — 392 с.

42. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости / М. Розо. -М.: Наука, 1971. 288 с.

43. Самойленко А. М. К вопросу о периодических решениях дифференциальных уравнений с недифференцируемыми правыми частями / А. М. Самойленко // Укр. Мат. Журн. 1963. — Т. 15, № 3. С. 328−332.

44. Стрыгин В. В. Принцип усреднения для уравнений с наследственностью / В. В. Стрыгин // Укр. Мат. Журн. Т. 22, № 4. С. 503−513.

45. Borsuk К. Drei Satze uber die n-dimensionale euklidische Sphare / K. Bor-suk // Fund. Math. 1933. — V. 20. — P. 177−190.

46. Brouwer L. E. J. Uber Abbildung von Mannigfaltigkeiten / L. E. J. Brouw-er // Mathematische Annalen. 1911. — V. 71. — P. 97−115.

47. Brown R. F. A topological introduction to nonlinear analysis / R. F. Brown.- Boston: Birkhauser, 1993. 144 p.

48. Capietto A. Continuation theorems for periodic perturbations of autonomous systems / A. Capietto, J. Mawhin, Z. Zanolin // Trans. Amer. Math. Soc. 1992. — № 329. — P. 41−72.

49. Cronin J. The point at infinity and periodic solutions / J. Cronin //J. Differential Equations. 1967. — № 3. — P. 31−46.

50. Dancer E. N. Boundary-value problems for weakly nonlinear ordinary differential equations / E. N. Dancer // Bull. Austral. Math. Soc. 1976. -№ 15. — P. 321−328.

51. Greenspan B. Repeated resonance and homoclinic bifurcation in a periodically forced family of oscillators / B. Greenspan, P. Holmes // SIAM J. Math. Anal. 1984. — V. 15. — P. 69−97.

52. Hale J. K. Bifurcation from families of periodic solutions / J. K. Hale, P. Tboas // Classical and celestial mechanics. Princeton Univ. Press, 2002. — P. 351−382.

53. Henrard M. Bifurcation from a periodic orbit in perturbed planar Hamil-tonian systems / M. Henrard, F. Zanolin //J. Math. Anal. Appl. 2003. V. 277. P. 79−103.

54. Kamenskii M. Small parameter perturbations of nonlinear periodic systems / M. Kamenskii, O. Makarenkov, P. Nistri // Nonlinearity. 2004. — № 17. P. 193−205.

55. Krasnoselskii A. M. On some conditions for existence of forced periodic oscillations / A. M. Krasnoselskii, M. A. Krasnoselskii, J. Mawhin // Differential Integral Equations. 1992. — V. 5, № 6. — P. 1267−1273.

56. Krasnoselskii A. M. Periodic solutions of equations with oscillating non-linearities / A. M. Krasnoselskii, J. Mawhin // Nonlinear operator theory. Math. Comput. Modelling. 2000. — V. 32, № 11−13. — P. 1445−1455.

57. Lazer A. C. Large-amplitude periodic oscillations in suspension bridges: some new connections with nonlinear analysis / A. C. Lazer, P. J. McKenna // SIAM Rev. 1990. — №. 32. — P. 537−578.

58. Loud W. S. Periodic solutions of a perturbed autonomous system / W. S. Loud // Ann. of Math. 1959. — V. 70. — P. 490−529.

59. Makarenkov O. New subharmonic solutions for a class of periodically perturbed integrable systems / O. Makarenkov // Proceedings of the Barcelona Conference in Planar Vector Fields, Barcelona, Spain, 13−17 febr. 2006. CRM, 2006. — P. 12−14.

60. Mawhin J. Le Probleme des Solutions Periodiques en Mecanique non Lineaire / J. Mawhin // These de doctorat en sciences, Universite de Liege, 1969.

61. Mawhin J. Degre topologique et solutions periodiques des systemes differentiels non lineaires / J. Mawhin // Bull. Soc. Roy. Sci. Liege. -1969. V. 38. — P. 308−398.

62. Mawhin J. Topological degree methods in nonlinear boundary value problems / J. Mawhin. Providence R.I.: Amer. Math. Soc., 1979. — 122 p.

63. Ortega R. Some applications of the topological degree to stability theory / R. Ortega // Topological methods in differential equations and inclusions: NATO Adv. Sei. Inst. Ser. C Math. Phys. Sei. Dordrecht, 1995. — № 472. P. 377−409.

64. Perron 0. Die Ordnungszahlen der Differentialgleichungssysteme / O. Perron // Math. Zeitschr. 1930. — V. 31. — P. 748−766.

65. Rhouma M. B. H. On the continuation of periodic orbits / M. B. H. Rhouma, C. Chicone // Methods Appl. Anal. 2000. — V. 7. P. 85−104.

66. Rudin W. Principles of mathematical analysis / W. Rudin. NY: McGraw-Hill Book Co., 1976. ~ 351 p.

67. Schneider K. R. Vibrational control of singularly perturbed systems / K. R. Schneider // Lecture Notes in Control and Information Science / Springer Verlag. London, 2001. — V. 259. — P. 397−408.

68. Yagasaki K. The Melnikov theory for subharmonics and their bifurcations in forced oscillations / K. Yagasaki // SIAM J. Appl. Math. 1996. -V. 56, №. — P. 1720−1756.