Краевые задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений

Матемашческое моделирование ряда процессов, изучаемых в физике, химии и биологии, нередко приводит к посчановке нелокальных задач для дифференциальных уравнений с частыми производными.

Нелокальными задачами приняю называп" задачи, еосюящие в отыскании решения дифференциального уравнения, значения ко юрою заданы, но вну1ренних 'Iочках обласчи, либо значения на границе или ее части связаны со значениями во внутренних '1 очках области. Нелокальные задачи в последнее время исследовались многими авторами.

Большой вклад в исследование нелокальных задач внесли Бицадзе А. В., Самарский А. А., Дезии А. А., Ильин В. А., Моисеев Е. И., Жегалов В. И., Нахушев А. М., Кальменов Т. Ш., Репин О. А. и др.

Среди нелокальных задач большой интерес предеивляюг задачи с интегральными условиями.

Нелокальным задачам с интегральными условиями последние юды уде-лжмея пржчалыюе внимание. Краевые задачи с такими условиями не 1 ре-чаю К’я во многих приложениях.

Часчо бывает, чю на границе области протекания реального процесса невозможно измерив значение искомой функции, но можно получип> некоюрую дополни 1ельную информацию об изучаемом явлении во внутренних ючках обласш.

Весьма удобным способом описания налагаемых на искомое решение условий являею’я задание их в интегральной форме как среднее значение решения на принадлежащих области, в ко юрой ищется решение, мнот-образиях.

Подобные ситуации имеют месчо при изучении явлений, происходящих в плазме [36], процессов раепросчранения тепла [1, 9, 14, 40, 42], некоюрых технологических процессов [24], процессов влаюиереноса в поржчых средах [25, 5], а также в обратных задачах [13] и в задачах магматической биологии при описании динамики численное! и популяции особей [20[ и в задачах демографии [2].

Так, при изучении процессов, происходящих в плазме, на границе плазмы неношожно ничем о измерить, поскольку прибор будет уничюжен (расплавлен) из-за очень высокой темпера1уры. Полому можно чолько и з-мери1ь опосредованно среднее значение искомою решения. При математическом моделировании такую ин (})ормацию удобно иредсчавип. в виде ин1еграла.

Такою рода задачи часю во шикают в ма1ематической фичике при исследовании г1 силовых, диффузионных процессов в случае, когда область физических характеристик рассматриваемой среды недоем умна для непо-средспкчшою измерения, т. е. ча<�мь характеристик '-них сред неизвеемна. В ю же время возможно получение дополни i ел ьной информации о характере самою процесса: извечмно некоторое усредненное 'значение '-них характержчик. В часпюеми, дополнительная информация в рассмотренных в pa6oiax |12, 13] обратых задачах задаемся в виде условия i.

J u (t, х) ги{х) dx =.

Нелокальные задачи с интегральными условиями (чавились и изучались для различных дифференциальных уравнений.

В случае обыкновенных дифференциальных уравнений с нелокальными условиями, как было 'замечено в (матье A. JI. Скубачевского и Г. М. Cie6-лова [37], если нелокальные условия записаны в виде ипюграла СЬилыье-са, то рассмафиваемый дифференциальный оператор имеем' пленную в L?(a, b) плошоегь определения и для иеч-ле^дования задачи ме>жне) иекмроить сопряженный операшр. Эю е) бече)Я1епьечво иозве) ляет испеш/ювать многие емапдартные меюды иеч-ле'дования клае-сичеч'ких краевых задач.

Ее-ли же1 ишегральные уе-ловия заданы в виде ишегралов Римаиа или Лепеча, не еч) держащето атомарную ме’ру ке) нцов инн’рвала (а, Ь), то рассматриваемый диеМх’ренциальный опе’ра’юр имечм е) блаемь опреде’ления, не иле)1ную в L2{a, b). Эю приве>дит к тому, что для иеч-ле'дования такой нелокальной задачи нельзя применип, емапдартные" меюды хеня бы 1ююму, чю шчзеттжно пе) емроить сонряжечшый оператор.

Рассмотрим пропой пример, показывающий, чгю пандартые меюды неприменимы для решения нелокальных задач: и ~ их£ = 0, (1).

М) = 0, (2).

4(®, 0) = 0, (3).

0,0 = 0, (4) I.

I К (х)и (х, г)(1х = 0. (5) о.

Попробуем реши 1Ь г-)гу задачу меюдом разделения переменных. Положим и (х, ?) = Х (х) Т (£), тогда после разделения переменных получим для X уравнение.

X" + Х2Х = 0 (0) с условиями.

Х (0) = 0, (7).

I К{х)Х{х)(1х = 0. (8) о.

Пупь К (х) = 1. Из (6) получаем X = ЛсойАа—}- ВбшХх. Применяя условия (7) и (8), получаем синему функций {Х&bdquo-}, где Хп = ь’т^-х. Но эы система неполна в /^[О,/], поэюму меюд Фурьездесь неприменим без соотвек дующих модификаций.

Приходи 1ся изобретать новые меюды для решения нелокальныхзадач. Кроме Ю10, нужно искать решение в обобщенном смысле, то епь расширяв поняше классического решения.

Сначала задачи с нелокальными условиями (манили для параболических уравнений. Первыми рабенами, в коюрых исследованызадачи с интегральным условием для уравнения в частных производных, являкмея, по-видимому, ечатьи Дж. Р. К-эннона, опубликованная в 1903 юду [42|, и К. Рекюриса [45]. Юэннон ?)ассма'|ривал в [42] уравнение.

Щ = ихт, от > 0, € > 0, (9) с начальным условием Коти и (х, 0) = (р (х), х>0, (10) и нелокальным условием.

— г (0.

I и{х, Ь)(Ь = ?(*), х (Ь) > 0, * > 0, © (11) о где Е^), .с (/), — заданные непрерывные функции в [0, оо), причем.

•Го.

Е{0) = I ф) с1т. о.

В рабо! е покачано, чю если общая кчиювая энергия Е некоюрой часги проводника тепла задана как функция времени, начальная температура известна, то при некоюрых требованиях относи 1ельно гладкости (р (х) и Е{Ь) существует едишч венное решение задачи в облаем и г,£): х > 0,? > 0}. Эю означает, чю по заданной начальной тем-пера1уре и заданной полной энергии некоюрой чаем и проводника кчит можно однозначно определить распределение юила в любой момент времени в любой ючке проводника. В случае конечного проводника нужно знать еще значение1 температуры на одном из ею концов.

В 19С4 году Л. И. Камынин в (матье «Об одной краевой задаче юории теплопроводности с неклассическими граничными условиями» [14] рассмотрел задачу с интегральным условием для общем о уравнения параболиче1-скою 1ипа. В 1977 юду Н. И. Ионкин в ематье «Решение1 одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым уеловием» [91 рассмсмрел задачу с ишегральным условием друюго нида для уравнения 1енлоироводно (чи: щ = ихх + F (x, t), О < х < 1, 0 < t < Т, и (х, 0) = <�р{х), 0 < х < 1, u (Q, t) = i/(t), 0 < t < Т, 1.

J и (х, t) dx = fi (t), 0.

В '-мой статье доказано сущеепзованне непрерывною и замкну юй обла-CIи решения. Условие (S) приняю ieiiepb называть условием Самарского. В обзорной (чатье А. А. Самарского «О некоюрых проблемах современной теории дифференциальных уравиений» [30| приведены примеры чадам, при магматическом моделировании коюрых возникает условие (5). Эю 'задачи, описывающие процессы диффузии час шц в 1урбулеитной нла’ше, 'задачи распространения тепла в юнком нагретом счержне.

В pa6oiax В. JI. Камынина ?12, 13] исследукпся Boni) oci>i существования и единс 1 венноеi и решения обраi пых 'задач и их последовательное! ей для параболических уравнений с пеи’звесшой правой ча (чыо и дополни! ель-ным условием переопределения, 'заданным в шпегралыюй форме: I.

Ju (t, x) w{x)dx =.

В (чаш1 [24] рассмотрена 'задача с интегральными условиями, связанными со значениями искомого решения в точках границы: ut = k (t) uXf, 0 < х < 1, 0 < t < Т, и (0, J-) = ио (ж), 0 < х < 1 u,(i, 0) = 0, 0 < t < Т, p (t) u (t, 1) + / u (t, x) dx = po9o +, T), (13) где Uo («r), — заданные функции, po, r/o — 'заданные1 числа. В рабою решен вопрос о сущесчвовании обобщенною решении и зависимое! и СВ0ЙС1 В решении о г гладкости p (t). Условие (13) ошачает, чю ча (чь воще-(чва сосредотчиваеюи на 1ранице пластины В еттье получены юоремы сущее пювании и едишчвенносш обобщенною и классическою решении.

В рабою [5] рассмафивается краевая задача, связанная с процессом илш «переноса в пориешх средах, с нелокальным условием A.M. Нахуше-ва дли одного псевдопараболическою уравнении влаюнереноса. Условие (14) выражает известую скоросчь расхода влаги в слое хо < х < I.

Задачи с инюгральиыми условиями дли параболических уравнений рассмафивались чакже в рабоых [10], [11], [15], [28].

Исследование нелокальных 'задач вызвано как теоретическими инПересами, 1ак и пракшческой необходимостью. Многие си 1уации в нашем мире носят нелокальный характер, ио-шшу использование1 таких условий неизбежно при описании реальных процессов. Например, задачи с нелокальными условиями имеют практическое значение при решении мдач механики твердою гюла. Они позволяют управлял" напряженно-деформированным сосюинием иним, в определенном смысле схожи с задачами управлении, а еще более с задачами 'Iочною управлении [44]. Важносп" развили общей теории нелокальных задач подчеркивалась в работх А. В. Бицадзе [3] и А. А. Самарскою [36[.

Неспшдартый вид краевых условий порождает ряд своеобразных явлений: в некоюрых случаях получаеюя бесконечное число присоединенных функций, полное сисюмы собс! венных и присоединённых функций.

14) фебует особою докачаюльсчна. Нефивиальные вопросы сходимос1и разложений по собственным функциям, вопросы сущеепювания и усюйчи-вос1и решения задачи.

В последние 15 лег появился целый ряд работ, в коюрых исследовались нелокальные1 'задачи с классическим начальным условием, ишегральным условием Самарскою и граничным условием Дирихле или Неймана на одной из границ прямоугольника для параболических уравнений. Эю работы С. М. Алексеевой и Н. К). Юрчука [1, 39], А. Бузиани и Н. — Э. Бенуара, А. Бузиани [41], Д. Кэннона, 3. А. Нахушевой [27, 28].

Следует огмеги1ь, что в рабою ?27) оба граничных условия 'заменены на нелокальные ишегральные. Вмой рабою изучена задача для одномерною однородною уравнения теплопроводноеiи в прямоугольнике D = {(а, 6): 0 < х < а, 0 < у < Ь} с классическим начальным условием и двумя иничральными: а д f.

J и (х, у) clx = <�р (у), 0<�у<�Ь, 0<�а<�а, о и д f.

J и{х, у) dx = ф{у), 0 < у < 6, u <? < а.

Можно 'задавать нелокальное условие' вида: 1 д Г / и (х, t) dx = w (t), 0 < t < Т, и то ееii" скорость расхода влаги в слое 0 < х < I.

Otmcihm, чш некоюрые 'задачи с инюгральными нелокальными условиями для гиперболических уравнений были ноствлены еще в 80-х ю-дах [251, но при их исследовании ишегральные условия заменялись конечной суммой, и, ио сути, изучалась друыя 'задача.

В кни1 е А. М. Нахушева «Уравнения маюматической биологии» [26] рассмофены инюресные примеры процессов физики, химии, биологии, маюмашческое моделирование коюрых приводит к нелокальным задачам с иничральными условиями, в частой и, для гиперболических уравнений, а также выявлена их тесная связь с нагруженными уравнениями.

Гиперболические уравнения в связи с нелокальными условиями начали исследовал ь позднее, чем параболические. Первые шаги в чюм направлении были сделаны JI. С. Пулькиной в 1991;1992 юдах.

Эю счачьи «Об одной нелокальной 'задач"1 для вырождаю1це1Ч) ся гиперболическою у1) авнения» [34] и «Об одной нелокальной задаче для вырождающеюся гиперболического уравнения» [35].

Нелокальные задачи для гиперболических уравнений делят на два класса: инчегральный аналог задачи Гурса и смешанные задачи. Задача, рас-cmoi репная в [34] и [35], относится к первому классу.

Для доказак’льсгва существования решения посчавленная задача своди к-я к ишегральным уравнениям, при эчом используек’Я идея меюда Ф. Трикоми, разрабоишная им для уравнений смешанного чипа [38, с. 98].

Оiме!им }десь чакже paooiy [33].

В рабою Д. Г. Гордезиани, Г. А. Авалишвили «Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды», опубликованную в 2000 юду [G], рассмафиваек’я нелокальная задача для уравнения колебаний ci руны с)2и д2и п л т, «.

W~d^ = 0'0< t < T, (17) m (0.

W*C{t) < &(0> m (t) < «/¿-(О «подвижные ючкисч1) уны [0,l], v, ijj, p, qJ, g — данные дос точно гладкие функции, удовлетворяющие условиям согласования. Доказано, чю нелокальная задача (15)-(17) имеет единственное решение, если выполнены следующие1 условия: a) f, g, P, q € C2[0,T],.

< ?i (i) < &(*) < < r/i (i) < //j (/) < /, при 0.

В рабою Пульки ной JI. С. «Смешанная задача с интегральным условием для гиперболическою уравнения» [30] для уравнения.

Lu = ип — (a (j-, t) их) х + r (s, t) u = f{x, t) (18) в области.

D={{x, t):(Xx.

0,^ = 0 (20) и нелокальным условием I ju (x, t) dx = 0. (21) о.

В pa6oie доказано сущесч вование единственною обобщенного решения.

Нелокальные краевые задачи для параболических и гиперболических уравнений с инюгральным условием на боковой границе сначала в основном рассматривались лишь для одномерною случая. В мноюмерном случае исследования подобныхзадач сначала 01 носились лишь к параболическим уравнениям — см. рабош [43. 17]. Многомерные гиперболические задачи с интегральным условием на боковой границе впервые были рассмспрены А. И. Кожановым и JI. С. Пулькиной в |10]. Осишовимся подробнее на результатах '-ной еттьи. Пусп> Q есп, ограниченная область iipocipaiienm R" с гладкой (для ироскпы бесконечно дифференцируемой) границей Г, Q есть цилиндр Q х (0,Т) (0 < Т < +00), S = Г х (0,Т) оси" мо боковая граница, агз (х, 1), аг (ж, ?), г, ^ = 1, ., п, а (х^) и /(х,£) — заданные и цилиндре функции, и «!(/) — заданные на множеччве1 О, функции, К{х, у,1) — функция, заданная при .г? у? I Е [0,Т].

Ствяи’я следующие чадами.

Краевая задача I: шшги функцию и (х^), являющуюся в цилиндре С} решением уравнения.

Ьи = ии — (а%] Ох1 V г, г) + а1 (.г, ?) иТг + а (х, 1) и = /(ж, ?) (22) и такую, чю для нее вьиюлнякпея условия м (-г, 0) = щ (х), щ (х, 0) = и (х), х 6 Г2, (23) и (м) |(Т,()65 = J К{х, у,1)и{у, 1)(1уШ)?Я- (24) п.

Краевая задача II: нпйти функцию и (х, 1), являющуюся в цилиндре ф решением урлвнения (22) и шкую, чю для нее выполняю? ся условия (23) и условие.

Ои С / К (х, у^)и{у^)(1у[х^Б. (25) и.

Здесь по повюряющимся индексам ведем ся суммирование ог 1 до щ Vх — (^1, • • •) ('('1Ь вектор внуфенней нормали к Г в текущей точке1.

Доказываемся, что при выполнечши не’коюрых условий е>бени краевые задачи имеки единспзешюе решемше в не, коюре) м клае-се (функций.

Обьектом иечмк’дования пре’длаыемой рабош являюп-я не’локальные задачи с ин 1 игральными условиями для мноюмерных гинерболичеч-ких уравнений.

Во1 краткое ечеде’ржание работы.

В первой главе4 рассматриваемся нелокальная задача с линейным интегральным условием для волнового уравнения (обе)значим еч> так: задача 1).

Рассмофим уравнение ии — Аи = /(х, ?) (20) и цилиндре (}т = {(-г, т): з-? О С К", 0 < т < Т}, где П — ограниченная обласп, 13 М" г гладкой границей, и поставим для нею задачу с начальными условиями Коши и (х, 0) = <�р{х) (27) щ{х, 0) = ф{х) (28) и нелокальным условием ди С.

Зт= I К{х, у) и{у, 1)(1у, (29) п где 1р (х), ф (х), К (х, у) заданы, а вт = {(¿-М): х? <912,0 < I < Т} -боковая поверхноеп, цилиндра т• ¿-г — гладкая поверхносчь. Доказана следующая.

Теорема 1.3.1. Пусгь ?(х, Ь) е Ь2д (С^г), Ф) € ф (х) 6 функция К (х, у) непрерывно дифференцируема нот,.

К? х {}), а ¡-лкже выполняася условие.

К2{х, у) + ЧхК{т1У)2)(1х (1у = Я < оо. 7Ъгда чадача (26)-(29) и и имеет едина пенное обобщенное решение ич И^Фг).

Дале"1 в главе1 1 рассмафиваек-я пример — задача о радиальных колебаниях газа в цилиндрической трубке: ии = ап + -иг. (30) г.

Начальные условия нулевые1: и (г, 0) = 0, щ (г, 0) = 0. (31).

Нелокальное условие1 имеем' следующий вид: л г=п = I г и (г, г) е/г+ #(?)•.

32).

В рабою докачываеюя, чю если д (Ь) — непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию д (0) = 0, го задача (30)-(32) имеет единсI венное решение.

Во в юрой главе расемафиваеюя нелокальная задача с линейным интегральным условием для общего уравнения гиперболического типа.

Рассмофим уравнение 0 (71 1,1=1 1 ^ ' 1=1 ф,*)" = /0М) (33) в цилиндре С^т и поставим для него задачу с условиями (27)-(28) и нелокальным условием, являющимся обобщением нелокального условия (29): дн Г соз (п, л,) — / К (х, у) и (у, 1)(1у. (34) г'->=1 1 и.

Однако чдесь иодынюгралыюе выражение линейно зависит от искомой функции, как и в задаче 1.

Теорема 2.2.1. ПупьДх, у) € ¿-^Ш, ф) € ?.}(П), ф (х) е Ь2{П), ядро К (х, у) удовлаворяег условию.

БирК (х, у)<�Щу), а ыкже выполняю I си следующие условия: /?I, тах <2/ д (1ц даг дЬ о 1 777? Яц ?1 дЬ дх1.

I = Л, <оо. п.

Тогда чнднчн (33),(27), (28),(34) имеет едина венное обобщенное решение т VKQr).

В чреп. ей главе рассма’фиваеюя нелокальная задача с нелинейным интегральным условием для гиперболического уравнения.

Далее для уравнения (33) и цилиндре шкчавим чадачу с условиями (27)-(28) и условием.

И $ 11 С.

С08(п,^)|5/ = / К{х1у1^и{у^))йу, (35) п где К (х, у, Ь, и (у^)) — функция, коюрая можег уже нелинейно чавжччь о г искомой функции.

Ичак, у нас есть следующая чадача:

Ьи = /(г, 1) и{х, 0) = <�р[х) щ{х, 0) = ф (х) п у «.

•г^—соа^х^з, = / к (х, у^, и{у, 1))(1у.

Основным резулыаюм '-ной главы являен-я следующая Теорема 3.2.1. Пусп, выполнены следующие условия: х, ь) е ь2Л{0т), ф) е ф (т) е ¿-2(П) — гиах С), дач даг дЬ — / дЬ дхг дЬ 01,.

К (х, у, — К (х, у, и2) | < Щу, ?) |м] - и21, зир / Я2 (у, ?) (1у = < оо, ге[о, Г] J п вир

1с [о, г].

I РШ)<1у М < оо, о dK{x, y, t, ii).

Dt.

A (y, t) M + B (y, t), sup / A2(y, /) dy = Mi < oo, e[o, r] J il.

J B (y, t) dy dt = Ms < oo. о il.

Тогдн тдичн (33), (27), (28), (35) imeev едина пенное обобщенное решение.

И1 W?(Qr).

1. Алексеева С. М., Юрчук Н. И. Меюд квазиобращения для задачи управления начальным условием для уравнения теплопроводности с шпегральным краевым условием. // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. № 4. С. 495 502.

2. Белавпн И. А., Капица С. П., Курдюмов С. П. Ма ионическая модель глобальных демографических процессов с учеюм iipocipanciBeinioiо распределения // Журнал вычисли i ел ыюй ман’матики и математической физики. 1998. Т. 38. № G. С. 885−902.

3. Бицад,}с A.B. К теории нелокальных краевых задач '' Доклады Академии Наук СССР. 1984. — Т. 277, .Vе 1. С. 17 19.

4. Гордиш JI. Задача Коши для гиперболических уравнений. Изд. ИЛМ., 1961. 122 с.

5. Градштейп И. С., Рыжик ИМ. Таблицы ишегралов, сумм, рядов и произведений. Изд. М., 1963. 1108 с.

6. Иопкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводное! и с неклассическим краевым условием // Дифференциальные уравнения. 1977. — Т. 13, Лг° 2. С. 294 304.

7. Ионкии Н. И., Моисеев Е. И. О задаче для уравнения юнлопровод-носчи е двуючечными краевыми условиями // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 7. С. 1284−1295.

8. Ионкин Н. И., Валикова Е. А. Принцип максимума для одной нелокальной самосопряженной краевой задачи // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31, № 7. С. 1232 1239.

9. Камынин D.JI. О предельном переходе в обрашых задачах для параболических уравнений с условием ишегрального переопределения // Дифференциальные уравнения. 199G. Т. 32, № 5. С. 620 626.

10. Камынин D.H., Саролди М. Нелинейная обратная задача для параболическою уравнения высокого порядка // Журнал вычисли к’льной ман’матики и магматической физики. 1998. Т. 38, JV2 10. -С. 1683−1691.

11. Камынгш Л. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводное! и с неклассическими граничными условиями // Журнал вычислительной математики и магматической физики. 1964. Т. 4. № 6. С. 10 061 024.

12. Картпшшик A.D. Трехточечная смешанная задача с интегральным условием по upon рапс i венной переменной для параболических уравнений вюрого порядка // Дифференциальные уравнения. -1990. Т. 26, № 9. — С. 1568 1575.

13. Кожанов А. И., Пулькипа JI.C. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегральною вида для многомерных гиперболических уравнений//Доклады Академии наук, т. 404, т, 2005.

14. Кожанов А. И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений // Beci-ник СамГТУ. 2004, вып. 30. С. 63 69.

15. Котляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных ма1ема1ичеекой физики. М.: «Высшая школа», 1970 г., 712 с.

16. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: «Наука», 1973 г., 408 с.

17. Ладыженская O.A., Солонников В. А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: «Наука», 1967. 736 с.

18. Мигайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: «Наука», 1983. 424 с.

19. Михлип С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: гос. издательство физико-математической литера! уры, 1959 г., 232 с.

20. Муравей Л. А., Филиновский A.B. Об одной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения // Математический сборник. 1991. — Т. 182, № 10. С. 1479−1512.

21. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.27| Нагушсва З. А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частых производных // Дифференциальные уравнения, 1986, том 22, № 1, с. 171−174.

22. Hajyuieea З. А. Первая и вшрая краевая задача в интегральной постновке для параболических уравнений вюрого порядка // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, Xя- 11. — С. 1982 1992.

23. Поптрягин JI.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения Уч-к для ун-чов]. Изд. 4-е М.: «Наука», 1974. 331 с. с ил.

24. Пулькипа Л. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения// Математические заметки, т. 74, вып. 3, с. 435−445, 2003.

25. Пулъкина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения, 2004, том 40, № 7, с. 887 892.

26. Пулькипа Л. С. О разрешимости нелокальной задачи с ин игральными условиями для гиперболического уравнения // Вестник СамГу, 1998. N 2(8), с. 63−67.

27. Пулькипа Л. С. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения // Математические заметки, т. 51, вып. 3, с. 91−96, 1992.

28. Самарский А. А. О некоюрых проблемах современной теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16, № 11. С. 1221−1228.

29. Скубачевский А. Л., Стеблов Г. М. О спектре дифференциальных операторов с облас! ыо определения, не плотой в L-^0,1) // Доклады Академии Наук СССР. 1991. Т. 321. № 6. С. 1158 1163.

30. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производых смешанною типа. М.: Госчехиздат, 1947.

31. Юрчук Н. И. Смешанная задача с интегальным условием для некоюрых параболических уравнений. // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 12. С. 2117−2126.

32. Douziam A., Benouar N-E. Probleme mixte avec conditions integrales pour une class d’equations paraboliques // С. R. Acad. Sei. Paris Ser. I. 1995. V. 321. P. 1177−1182.

33. Bouziani A. On a third order parabolic equation with a nonlocal boundary condition. // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. 2000. — Vol. 13, No. 2. P. 181 195.

34. Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy // Quart. Appl.Math. 19G3.V.21. № 2. P. 155−160.

35. Fridman A. Monotone decay of solutions of parabolic equations with nonlocal boundary conditions // Quat. of Appl. Math. 198G, v. XLIV, K°-3. P. 401 407.

36. Lions J.-L. Controlabite exaete perturbations et stabilisation de systemes distiibues. Masson. Paris. 1988.

37. Rektorifs K. Die Losung der gemischten Randwertaufgabe und des Problems mit einer Integralbedingung «im Ganzen» fur eine1 nichtlineare parabolische Gleichung mit der Netzmethode // Чехосл. матем. ж., 1963, № 2, с. 189−208.

38. Дмитриев В. Б. Смешанная задача с ишегральным условием для гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами при (чарших производных // Сборник научных трудов (чудешов, аспи-рашов и молодых ученых. Выпуск 5. Самара: СамГАПС, 2004. С. 165−166.

39. Дмитриев В. Б. Нелокальная задача для уравнения колебаний мембраны // XII Российская научная конференция. Самара: ПГАТИ, 2005. — С. 324.

40. Дмитриев В. Б. Нелокальная задача для уравнения колебаний мембраны//Труды Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые4 задачи». Самара: Изд-во СамГТУ, 2005. С. 83 85.

41. Дмитриев В. Б. Об одной нелокальной задаче для многомерною волнового уравнения // СамДифф-2005: всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения». Тезисы докладов. Самара: «Универе-грунп», 2005. — С. 28−30.

42. Дмитриев В. Б. О существовании обобщенного решения нелокальной задачи для волнового уравнения // Труды Математического ценфа имени Н. И. Лобачевского Казань: Казанское математическое общество, 2005, Т. 31, с. 58−00.

43. Дмитриев В. Б. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения//Труды Третьей Всероссийской научной конференции «Ма1ема1Ическое моделирование и краевые задачи». Самара: Изд-во СамГТУ, 2006. С. 102 104.

44. Дмитриев В. Б. Об одной задаче для нагруженною уравнения // Дни студенческой науки: Сборник научных трудов студентов, и аспирантов СамГАПС. Выпуск 7. Самара: СамГАПС, 2000. С. 237.