Равенство Парсеваля для рядов Фурье по системе Хаара

Содержание

• Обзор предшествующих результатов

Равенство Парсеваля — равенство, выражающее квадрат нормы элемента в векторном пространстве со скалярным произведением через квадраты модулей коэффициентов Фурье этого элемента по некоторой ортогональной системе элементов- так, если X — сеиарабсльное векторное пространство со скалярным произведением (,), || || — соответствующая ему норма и {еп} — ортогональная в X система, еп ф 0, п = 1,2,., то равенством Парсеваля для элемента х € X называется равенство

1М12 = ?к121ЫР,

71—1 где

6п), г. ап — / > П — -Ц, А ¦ 1 коэффициенты Фурье элемента х по системе {еп}&trade-=1.

Если система {е,^^ ортоиормированная, то равенство Парсеваля имеет вид

1мр = ?м2п=1

Выполнение равенства Парсеваля для данного элемента х € X является необходимым и достаточным условием того, чтобы ряд Фурье этого элемента по ортогональной системе {еп} сходился к самому элементу х по норме пространства X. Выполнение равенства Парсеваля для любого элемента х 6 X является необходимым и достаточным условием для того, чтобы ортогональная система {еп}£°=1 была полной системой в X.

В случае, когда пространство X = Ь2[—тг, тг] состоит из действительных функций, квадрат которых интегрируем по Лебегу на отрезке [—тг, тг], функция / е Ь2[—тг, тг], в качестве полной ортогональной системы функций взята тригонометрическая система функций и

00 а0 ~ —- + ^ ап cos пх + Ьп sin пх, п=1 где знак ~ понимается в смысле сходимости в метрике Ь2] тогда равенство Парсеваля имеет вид

1 Г 2 00 п=1 7 Г и называется классическим равенством Парсеваля- оно было указано М. Парсевалем (М. Рагееуа!, 1805). В этом равенстве

71 к

7 Г ап — [ f (x) cos nxdx, к J 7 Г 7Г

Ьп = — I f (x)sinnxdx

7 Г J

7 Г коэффициенты Фурье функции /. Если д? Ь2[—тг, тг] и 00

7 ~ — + ^ а^ cos nrc + b’j sin пх, п=1 то равенство Парсеваля выглядит следующим образом:

1 Г 1 00

— / f{x)g (x) dx = -a0ao + ^(a"a'n + бД) т ^ - i 7 Г и называется обобщенным равенством Парсеваля.

Вышеприведенные формулы имеют место не только для случая /? Ь2, д е ь2, но и в ряде других случаев. Два функциональных класа К и К' будем называет дополнительными, если обобщенное равенство Парсеваля имеет место для любых / Е К и д € К'. При этом сумма ряда в правой части понимается в смысле суммирования каким-либо методом.

Теорема. Следующие пары классов являются взаимно дополнительными: (/) Ьр[-7Г, 7г] и Ьр'[—7Г, 7г], ^ + ^ = 1, 1 < р < оо- (//) В -- класс ограниченных периодических функций и Ь[—7Г, 7г] -- класс интегрируемых по Лебегу функций. В последнем случае сходимости моэюет не быть, по ряд в равенстве Парсеваля суммируется методом средних арифметических (С, 1) (см. [1, с. 26, 255]).

Теорема. Если / интегрируем, а по Лебегу, а д имеет ограниченное изменение, то ряд в правой части равенства Парсеваля сходится (см. [1, с. 257]).

Часто тригонометрический ряд, соответствующий функции /(ж), удобнее задавать в следующей форме: 00 м — х) п=—со при этом коэффициенты Фурье сп функции / определяются формулами

7 Г — 7Г

Для такого представления тригонометрического ряда широко известно классическое равенство Парсеваля, относящееся к рядам Фурье-Стилтьеса. Теорема. Если /(х) — -периодическая непрерывная функция на [0,2-к],

G (x) — 2к-периодическая с точностью до линейной составляющей функция ограниченной вариации на [0,27г]- то: г 2f +00

-(Я -S) J f (x) dG (x) = №dG (k (1)

0 k=—oo где

2тг f (k) = ^ J f (x)e~ikxdx о и

2тг dG (k) = ^-(R-S) 1 e~ikxdG{x) 27 Г J 0 соответственно коэффициенты Фурье функции f (x) и коэффициенты Фурье-Стилтьеса функции G (x), ряд в правой части равенства (1) может не сходиться, но суммируется методом, средних арифметических, интеграл в равенства Парсеваля и интегралы, определяющие коэффициенты Фурье-Стилтьеса функции G (x), понимаются как интегралы Римапа-Стилтьеса (см. [1, с. 26, 255]).

B.C. Горячева в [2] показала, что в этом утверждении можно разрешит!, функции f (x) иметь конечное число разрывов первого рода при условии, что функция G{x) в них непрерывна, а также привела примеры, когда для некоторых пар функций равенство Парсеваля не выполняется. Из примера, построенного ею, видно, что для тригонометрической системы существуют такие ограниченная функция / и непрерывная функция ограниченной вариации G, что определен и конечен интеграл Лебега-Стилтьеса

2л-

L — S) f f (x) dG (x), а равенство Парсеваля для этой пары функций / и G о не выполняется. Достаточно в качестве функции G{x) взять функцию Кантора (канторову лестницу) па [0, 2тг], а в качестве фунцкии / — функцию, равную нулю на интервалах постоянства й и равную единице в остальных

2тг точках отрезка. В этом случае (Ь — 5) / ?(х)сЮ (х) существует и равен 1, о, а ряд в правой части равенства Парсеваля равен 0.

Т.П. Лукашенко в [3| доказал равенство Парсеваля для тригонометрических рядов Фурье-Стилтьеса и метода суммирования Римана (см. [4, с. 12]) при более слабых условиях на функции.

Теорема. Пустпъ 2тт-периодическая комплексиозпачная функция /(х) и 2тг-периодическая с точностью до линейной составляющей комплексиозпачная функция интегрируемы по Лебегу, функция /(ж) интегрируема на периоде (любом отрезке длины 2тг) в смысле Римана-Стилтьеса

У*Ч по функции Тогда выполняется равенство Парсеваля (1), где /(к) и (Ю (к) — соответственно коэффициенты Фурье функции f (x) и коэф)-фициенты ряда Фурье-Стилтьеса функции С (х), считающегося равным сумме производной линейной составляющей С (х) и почленно продифференцированного ряда Фурье 2тт-периодической части ряд в правой части равенства может не сходиться, по он суммируется методом Римана 2).

Существенную роль играет тот факт, что интеграл в равенстве Парсеваля понимается в смысле Римаиа-Стилтьеса. Т. П. Лукашенко в работе [5] было замечено, что для интеграла Лебега-Стилтьеса равенство Парсеваля по тригонометрической системе функций не может быть верным ни для одной функции О ограниченной вариации, которая не является абсолютно непрерывной.

Если же функция является абсолютно непрерывной, то

L-S) J f (x) dG (x) = (L) J f (x)g (x)dx, a a где g (t) = G'(t) п.в.(см. [7, с. 61]). И встает вопрос о выполнении равенства Парсеваля в случае, если наряду с функциями fug интегрируемо по Лебегу и их произведение / д.

В работе [5] Т. П. Лукашенко было доказано:

Теорема Если fug такие 2тг-периодические комплекснозначпые интегрируемые в смысле широкого интеграла Дапжуа с почти всюду дифференцируемыми первообразными (функции, что произведение Mf -g интегрируемо по Лебегу, где Mf (x) = sup F (x+h)~h^x~h) неабсолютная макi/o 1 сималъная функция Харди-Литтлвуда функции f, F — неопределенный интеграл функции то выполняется равенство Парсеваля для метода суммирования Римана

1 +00

— у 2)? тт

0 к=—оо

А при обобщении результатов для тригонометрической системы на т-мерное пространство в работе [8] Т. П. Лукашенко для интеграла Римана-Стилтьеса были получены следующие результаты:

Теорема. Пусть функция /: Мт —С является 2ж-периодической по каоюдой переменной и интегрируема по Лебегу па Тгп = [0,2тг]1П, функция (7: Мт —) С является суммой 2т:-периодической по каждой переменной функции и линейной функции и интегрируема по Лебегу на Тт. Если функция / интегрируема по функции (7 в смысле Римана-Стилтьеса на любом брусе Т&trade- = njlifa. ej + 27г]7 то выполняется равенство Парсева-ля:

Jyn (R-S) f /<Ю = (Я, 2)? /"¿ОД, (2) ^ ^ Тт kez™ где к) = /№,.¦, У = J-J /(t)e-?kt dt ! dtm, fm U m / 2 ¦ 2П dG (k) = dSfa, ., U = n (/ ^ соответственно коэффициенты Фурье функции /(х) и коэффициенты Фурье-Стилтьеса функции G (x), ряд в правой части равенства Парсе-валя может не сходиться, но суммируется методом Римана (7?, 2).

А затем, в работе [8] Т. П. Лукашенко были получены результаты для тригонометрических рядов Фурье-Лебега в m-мерном пространстве. Введем вспомогательное Определение. Пусть х, у G Mm тогда m х, у] = Д [min {xj, yj}, max {Xj, yj}}. j=i rn rn

Для бруса П = Y[aj, bj] его мера (объем): jП| = |bj — aj-j=i j=i

Тогда :

Теорема Если функция f: Жт —> С является 2тт-периодической по каждой переменной и интегрируема по Лебегу на Тт = [0,2тт]т, аддитивная функция бруса G ограниченной вариации па Тт 2тт-периодична по каждой переменной, то ряд ]Г) /(к)г/6'(к) суммируется методом РикеЕт мана (Я, 2) к числу 5 тогда и только тогда, когда где функция бруса имеет вид ^(П) = (Ь) / //ей. и

Теорема. Пусть функция /: Мт —С является 2п-периодической по каждой переменной и интегрируема по Лебегу на Тт = [0,27г]т- неотрицательная аддитивная функция бруса С определена на всех брусах из Жт и 27Г-периодична по каждой переменной. Если, существует интеграл Лебега Стилтьеса от ЭДТ/ = тах{|/|, М/} по (7 на Тт, где М/(х) -— яир^гдр (П — содержащие точку х кубы, т. е. брусы с ребрами оди

Пэх паковой длины- ^(П) = (Ь) f ¦¦¦ f /сИ функция бруса) — неабсолютная

II максимальная (функция Харди-Латтлвуда функции / по кубам, и

1)или мера р (Е) = / /Ш/^) сЮ (Ь) абсолютно непрерывна относие тельно меры Лебега,

2)или существует интеграл Лебега от fMg на Тт, где Mq (x) = sup

О (П)

ПЭх 1 1

II. — содержащие точку х кубы,) — максимальная функция Харди Литтл-вуда функции бруса С по кубам, то выполняется равенство Парсеваля

-щгАЬ-в) /.|/<�Ю=(Д, 2)? /(к)55(к), (3) где /(к) и (1С (к) — соответственно коэффициенты Фурье функции / и коэффициенты Фурье-Стилтьеса фщикции, 6 интеграл в равенстве

3) является интегралом Лебега-Стилтьеса, ряд в правой части равенства Парсеваля может не сходиться, но суммируется методом Римана

Основные определения

Данная работа посвящена исследованию условий выполнения аналога равенства Парсеваля для рядов Фурье по системе Хаара:

В первой главе интеграл в равенстве понимается в смысле Римапа-Стил-тьеса и выясняется при каких условиях на функции /(ж) и й (х) равенство остается верным. Исследования проводятся для комплекснозначных функций на отрезке [0,1] (а также на «модифицированном» отрезке [0,1]*) и на т—мерном брусе Пт = [0,1]т (и, соответственно, на «модифицированном брусе» П* = [0,1]*т). Во второй главе аналогичные исследования проводятся для случая, когда интеграл в равенстве понимается в смысле Лебега-Стилтьеса.

Определение. Система Хаара —- это ортопормированная система функций на отрезке [0,1]: х? [0,1], в которой

Я, 2).

00 0

XIМ = 1, а функция Хп{х) с 2к < п ^ 2к+1, к имеет вид

О, если х ^ Д. хп{х) = если ж? Д+, если ж е концах отрезка [0,1] выбираются так, чтобы выполнялись равенства:

Так определенные функции системы Хаара имеют разрывы в двоично-рациональных точках отрезка [0,1]. Поэтому более естественно и удобно рассматривать функции системы Хаара на модифицированном отрезке [0,1]*, на котором все внутренние двоично-рациональные точки «раздваиваются». Каждая внутренняя двоично-рациональная точка из отрезка [0,1] образует левую точку х — 0, соответствующую «бесконечному» двоичному разложению числа х, члены которого равны 1, начиная с некоторого номера, и правую точку ?+0, соответствующую «конечному» разложению числа ж, члены которого равны 0, начиная с некоторого номера. Таким образом, точка х = модифицированного отрезка — двоичное разложение числа х € [0,1], т. е. х = А каждое двоично-рациональное число может быть двумя способами записано рядами такого вида: один ряд будет конечный, другой — бесконечный, в котором с некоторого номера все х1 равны 1 (подробнее см. [9, с. 13]).

Хп (0) = НшДнй, Хп (1) = Пт Хп{ 1

Введем метрику:

00 ?=1 хз — У-Л Я

В такой метрике расстояние между точками отрезка [0,1]*, соответствующими двум различным разложениям двоично-рациональной точки, не *, * * равно нулю и верно неравенство р (х, у 1 ^ х — у, где х и У — соответственно любые двоичные разложения хм у (см. [9, с. 20]).

Определим систему Хаара на модифицированном отрезке.

Определение. Система Хаара на модифицированном отрезке [0,1]* — это система функций {Хп (#))пЦ> х € [0,1]*, в которой Х{х) = 1, а функция Хп{х) с2к <п ^ 2к+17 к € имеет вид:

Хп (х) = <

О, если х? А*, 2*/2, если х € А+*, -2к/2, если х? А~*- где

А* = г — 1 г

Д+* =

1 ^п

Д&bdquo--* =

2 г — 1 «г «г-1 «2г — 1 '

1^{ = п-2к^2к, подмножества модифицированного отрезка.

Заметим, что так определенные отрезки А* с 2к < п ^ 2к+1, к 6 Ъ+, не пересекаются и образуют разбиение [0,1]*.

Система Хаара на [0,1]* состоит из непрерывных (относительно введенной на [0,1]* метрики р) функций. При введении операции покоординатного сложения по модулю 2 для элементов модифицированного отрезка последний становится компактной коммутативной группой, а мера Хаара на [0,1]* совпадает с перенесенной с [0,1] мерой Лебега (раздвоение счетного числа точек несущественно -- мера раздвоенного множества нуль) [9, с. 13−21, 40−41, 315−320].

Укажем, что произойдет с определениями интеграла Римапа-Стилтьееа и широкого интеграла Данжуа [7, с. 348−374] во введенной метрике.

Определение. Функция ¡-(х) интегрируема по функции (7(ж) на [0,1] в смысле Римана-Стилтьеса и / се интеграл, если для любого г > 0 существует 6 > 0 такое, что для любого разбиения Т = (¿о = 0 < и < ¦ ¦ < < £п1 < п = 1) диаметра меньше 8 (т.е. — 11 < 5) отрезка [0,1] и для любого выбора точек? = (£ь ,£п), удовлетворяющего условиям ??-1 ^ ^ & ^ и,? = 1,2,., п, имеем: п

Й0 — - /

Интеграл Римана Стилтьеса на [0,1]* определяется так же, как на [0,1]. только мелкость отрезков разбиения при этом понимается в смысле введенной метрики р. При этом для любого к при мелкости разбиения меньше 2~к все точки вида ^ ± 0, ] = 0,., 2к, являются концами отрезков разбиения.

Для определения широкого интеграла Данжуа необходимо сначала ввести понятие аппроксимативной производной.

Определение. Плотность измеримого множества Е на Ж в точке х -предел (если он существует) отношения^Нш ^^, где Е П 131 — мера Лебега пересечения множеств Е и Д И — мера Лебега множества Б, Б — произвольный отрезок, содержащий точку х. Точка плотности — точка, в которой плотность равна 1.

Определение. Аппроксимативный предел — предел функции /(х) при х xq по множеству Е, для которого является точкой плотности. Аппроксимативный предел обозначается lim ар f (x).

Аппроксимативная производная обобщение понятия производной, в которой обычный предел заменяется аппроксимативным пределом. Если для функции /(ж) действительного переменного х существует то он называется аппроксимативной производной функции f (x) в точке доопределение. Порция множества —- пересечение множества с интервалом в случае множества на прямой и с открытым кругом или шаром, с открытым прямоугольником или параллелепипедом в случае множеств в m-мерпом (т ^ 2) пространстве.

Определение. Функция f (x) интегрируема в смысле широкого интеграла Данжуа на [0,1], если существует такая непрерывная функция F (x) на [0,1], что ее аппроксимативная производная почти всюду равна f (x) и, каково бы ии было совершенное множество Р С [0,1], существует порция Р, на которой F (x) абсолютно непрерывна. При этом

Функция /(аг) интегрируема в смысле широкого интеграла Данжуа па модифицированном отрезке [0,1]*, если ее сужение на [0,1] интегрируемо в смысле широкого интеграла Данжуа (какие значения /(ж) принимает на раздваиваемом счетном множестве двоично-рациональных точек, несущественно для интегрирования) — значения интеграла па [0,1]* считаем равными его значению на [0,1] (см. [7]).

Х→Х0 у /м — /ы lim ар--—1 х→хо X Хд

0,1]

Отдельные результаты работы сформулированы для рядов Фурье по системе Уолша. Определим систему Уолша на отрезке [0,1]. Определение. Рассмотрим на полуинтервале [0,1) функцию

1, приж&euro-[0,±-), го (яг) = < при х 6 l) и продолжим ее периодически с периодом 1 на всю числовую ось. Определим функции rn (x) = rQ (:2кх), fc = 0,1,2,., представляющие собой сжатия функции го (х) в 2к раз. Функции гп (х) называются функциями Радемахера.

Система Уолша — это ортонормированная система функций {а-п (ж)}^=0, х (Е [0,1], в которой щ{х) = 1, а при п > 1:

00 к{п)-1 w"W = nh+iWr (n) = ^(n)+iW П ЫЫХк{п), к=0 к=О где Хк — коэффициенты двоичного разложения п (см. |6], стр. 150).

Для обобщения результатов из пространства Ж в пространство Rm введем понятие бруса и определим интеграл в m-мерном пространстве.

Определение. Брусом в m-мерном пространстве будем называть дет картово произведение отрезков: П = [] [а,-,

3=1

Разбиением бруса П является любая система попарно неперекрывающихся (не имеющих общих внутренних точек) брусов такая, что к п-ищ. к=1

Функцией бруса (9 будем называть отображение брусов в С. Функция бруса аддитивна, если для любого разбиения любого бруса П, на К котором С определена, верно равенство <3(П) = к=1

Аддитивной функции бруса С определенной на всех брусах из Мт сопоставим функцию точки О: Мт С по формуле т / т

С (х) = , хт) = Дsign (a:i)G I Д[тт{0,^}, тах{0,^}] о функции sign (ж) см [1], стр. 14). Легко проверить, что 1 где сумма берется по всем возможным наборам (?ъ.,?т) таким что а} или Ьт{]) — число а^ в наборе, у = 1 ,., т. И еск к ли П = и Пь ТО С (П) =? С (Щ).

Система Хаара, заданная на единичном брусе П — [0,1]т — такая система функций {Хп (х)}п, что: П Ж, х"(х) = Хт,., пп{хи ¦ ¦, хт) -= Хп!(ж1)---Хпт (жт) = и]"=1ХтЧ{х]), щ — компоненты (координаты) п, X) — компоненты х, п}? Ъ+, € [0,1] а Хп, (ж?) — функции системы Хаара, заданной на отрезке [0,1].

При этом (так же как и в одномерном случае) для непрерывности функций системы Хаара в точках с двоично-рациональными координатами, удобно рассматривать функции системы не на единичном брусе Пт = [0,1]т, а па «модифицированном» брусе П*"' = [0,1]*т.

Пусть точка на П*&trade- = [0,1]*™ имеет координаты (х,., х*п) = х*. Кажос дой координате х*к соответствует разложение в ряд ^ х^к2~]к. Тогда на

Зк=1

П*т метрика: т оо г | к=1 Ь=1

Система Хаара на ГР"' состоит из произведения функий Хаара, заданных на [0,1]*т. Функции построенной системы Хаара непрерывны относительно введенной метрики (см. [9], стр. 15).

Определение. Функция /: П С интегрируема по функции <2: П С в смысле Римана-Стилтьеса и I ее интеграл, если для любого е> 0 существует 5 > 0 такое что для любого разбиения бруса П на брусы диаметра меньше 5 и для любого выбора точек £к Е Щ имеем: к к=1 где С (Щ.) — функция бруса.

Интеграл Римаиа-Стилтьеса на ГР"' определяется так же как и на Пш, только мелкость разбиения понимается в смысле введенной метрики как тахсПат (Щ). к

Обзор результатов по главам

В первой главе рассматриваются ряды Фурье-Стилтьеса по системе Хаара. При этом удалось существенно (по сравнению с результатами для тригонометрической системы) снизить требования на функции / и (7. Глава состоит из двух параграфов. В первом из них функции заданны на отрезке [0,1] (и на модифицированном отрезке [0,1]*), во втором — обобщение результатов на случай т-мерпого пространства (результаты на брусах П и П*т). т

Во второй главе рассматриваются ряды Фурье-Лебега по системам Ха-ара и Уолша. Структура второй главы повторяет структуру первой.

В первом параграфе первой главы для случая модернизированного отрезка доказано:

Теорема

1.1. Пусть /(х) и — комплекснозначиые функции на [0,1]*, f (x) интегрируема в смысле широкого интеграла Данжуа на [0,1]* и интегрируема в смысле Римаиа-Стилтьеса по функции на [0,1]*. Тогда выполняется равенство Парсеваля

00 я-5) у

ОД]* к=1 где т = и, Хк) = (П) I /(х)Хк (х)<1х

0,1]* и

2д (к)= I хк (х)(Ю (х) од]* соответственно коэффициенты Фурье-Данэ/суа функции / и коэффициенты Фурье-Стилтьсса функции (? по системе Хаара, интеграл в равенстве Парсеваля и в определении коэфхфициеитов функции С? является интегралом, Римаиа-Стилтьеса, ряд в правой части равенства Парсеваля сходится, а черта сверху означает комплексное сопряжение.

Чтобы теорема имела место на обычном отрезке [0,1], необходимо усилить требования на функцию С (ж).

Теорема

1.2. Пусть ¡-(х) и С (х) — комплекснозначиые (функции па отрезке [0,1], функция ф{х) интегрируема в смысле широкого интеграла

ВВЕДЕНИЕ 19

Данжуа на [0,1] и интегрируема в смысле Римаиа-Стилгпъеса по функции на [0,1]. Пусть такэ/се существуют коэффшциепты Фурье-Стилтьеса функции С (х) по системе Хаара:

0(к)= I Хк (х)йС (х).

ОД]

Тогда выполняется равенство Парсеваля 00

R-S) J f (x) dG (x) = ]Г f (k)dG (k), [0,1] fc=1 где f (k) = (f, Xk) = (D) J f (x)Xk (x)dx o, i] коэффициенты Фуръе-Данжуа фпункции f no системе Хаара, интеграл в равенстве Парсеваля и в определении, коэффициентов функции G является интегралом Римаиа-Стилтьеса, ряд в правой, части равенства Парсеваля сходится.

Добавление требований к условиям теоремы объясняется тем, что коэффициенты Фурье-Стилтьеса функции G (x) на [0,1] могут и не существовать, что связано с разрывностью на [0,1] функций системы Хаара. Если в качестве функции G рассматривать, например:

1, при ж 6 [0, i)

G (x) = 1, при X Е []-, 1] то функция G{x) терпит разрыв в той же точке, что и функция Х2{х) 1 и, следовательно, интеграла Римана-Стилтьеса (R — S) f хч[x)dG (x) не о существует.

На модернизированном же отрезке [0,1]* это требование опускаем, т.к. коэффициенты Фурье-Стилтьеса функции сЮ (х) = / Хк{х)ЛС{х) всегда существуют. Это объясняется тем, что функции системы Хаара непрерывны на модифицированном отрезке, а интеграл Римаиа-Стилтьеса от непрерывной функции существует и совпадает с соответствующим интегралом Лебега-Стилтьеса.

Заметим, что равенство Парссваля справедливо для системы Уолта как на [0,1]*, так и на [0,1] соответственно с теми же требованиями па функции / и что в заявленных теоремах, при условии, что сумма ряда в равенстве Парсеваля понимается как предел частичных сумм с номерами вида 2к. Во втором параграфе аналогичные результаты доказываются для кратных рядов Фурье по системе Хаара.

Теорема

1.3. Пусть /: ГР"' —> С интегрируема в смысле Лебега на модифицированном брусе ГР"' и интегрируема в смысле Римана-Стилтьеса, но функции (7: ГР'" —> С па П*'". Тогда выполняется равенство Парсеваля соответственно коэффициенты Фурье фгункции / и коэфхфициепты Фурье-Стилтьеса функции С по системе Хаара, интеграл в равенстве Парсеваля и в определении коэффициентов функции (7 является иитегра

0Д] где и лом Римапа-Стилтьеса, ряд в правой части равенства Парсеваля сходится в смысле суммирования по прямоугольникам, а черта сверху означает комплексное сопряэтепие.

Для справедливости теоремы на Пт (без *) необходимо усиление требований на функцию С.

Теорема

1.4. Пусть / и С — комплекснозначные функции, f: Жш -" С интегрируема в смысле Лебега на Ит, и в смысле Римаиа-Спшлтьеса по функции (7: Мт —> С на Пт. Пусть такэ/се на Ит существуют коэффициенты Фурье-Стилтьеса по системе Хаара (функции С?. Тогда выполняется равенство Парсеваля соответственно коэффициенты Фурье функции / и коэффициенты Фурье-Стилтьеса (функции С по системе Хаара, интеграл в равенстве Парсеваля и в определении коэффициентов функции (7 является интегралом Римана-Стилтъеса, ряд в правой части равенства Парсеваля сходится.

Как и в случае интегрирования на отрезке, добавление требований к условиям теоремы объясняется тем, что коэффициенты Фурье-Стилтьеса функции (7 на Пш могут не существовать. где и

Во второй главе интеграл в равенстве Парсеваля понимается в смысле Лебега-Стилтьеса.

Для системы Хаара, как и в случае тригонометрической системы, для интеграла Лебега-Стилтьеса результаты, аналогичные теоремам, сформулированным в первой главе, получить нельзя. Как и в случае тригонометрической системы, без дополнительных ограничений на функцию / подобные результаты нельзя получить ни для одной функции С? ограниченной вариации, которая не является абсолютно непрерывной.

Для рядов Фурье по системе Хаара удалось построить пример, показывающий, что существуют интегрируемые по Лебегу на отрезке [0,1] функции и д такие, что интеграл (Ь) / /(.т)д (х) ¿х существует и конечен, по ряд

ОД]

00 л ^

X] 1{к)д{к) = +оо. И следовательно: к=1 р. 00 Щ У 1(х)д (х)<1х^№)Ш

ОД] к=1

А также в первом параграфе для интеграла Лебега получено достаточное условие справедливости равенства Парсеваля по системе Хаара:

Теорема

2.1. Пусть функция / интегрируема по Лебегу на [0,1], а С — функция ограниченной вариации на [0,1]. Если существует интеграл Лебега-Стилтьеса от Шф = тах{ф, М/} по С, где М/(х) = эир л^о

Р{хЩ-Р (х) неабсолютная максимальная функция Харди-Литтлвуда функции /, .Р — неопределенный интеграл функции f, и выполнено одно из следующих двух условий:

1)мера ц{Е) = / Ш/(£) абсолютно непрерывна относительно меЕ ры Лебега, к '

1−5) / /(х)<�Ю (х) = ^?№С (к), где /(к) и сЮ (к) — соответственно коэффициенты Фурье функции / и коэффициенты Фурье-Стилтьеса функции С, черта сверху обозначает комплексное сопряжение, интеграл в равенстве Парсеваля являет, ся интегралом Лебега-Стилтьеса.

А для системы Уолша доказана:

Теорема 2.2. Если / — комплекснозначная интегрируемая по Лебегу функция па [0,1], й — комплекснозначная функция ограниченной вариации на [0,1], коэффициенты Фурье-Лебега, фупкцгш /:с (£) = /(хф1), «0» — групповая операция сложения, то равенство Парсеваля имеет место для почти всех х Е [0,1] в смысле суммируемости ряда любым методом, суммирующим ряды, Фурье интегрируемых по Лебегу (функций к этим (функциям почти всюду, интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса.

Во втором параграфе главы доказываются результаты для кратных рядов Фурье, если интеграл в равенстве Парсеваля понимать в смысле Лебега.

ОД]

ОД]

Теорема

2.3. Пусть функция f: [0,1]т С интегрируема по Лебегу на брусе [0,1]т, неотрицательная аддитивная функция бруса G определена на [0,1]т. Если существует интеграл Лебега Стилтьеса от ШТ/ = = max{f, Mf} по G на [0,1]т, где Mf (x) = sup (И — содержащие

ПЭх 1 1 точку х кубы, F — функция бруса: F (fl) = /¦/ f (t)dt) — неабсоллотп ная максимальная функция Харди-Литтлвуда функции f по кубам, и выполнено одно из следующих двух условий:

1)мера ц (Е) = f fEfflf (t) dG (t) абсолют, но непрерывна относительно меры Лебега, б (П) |П|

2)сущесгпвует интеграл Лебега от fMc па [0, ]т, где Mq (x) = sup

ПЭх

П — содерэюащие точку х кубы) — максимальная функция Харди Литтл оуда функции бруса G по кубам- то выполнено равенство Парсеваля

L-S) /. / fdG= ?/(к)Л?(к),

Пт keZ" где к) = ]¦¦¦] /(х)хк (х)Ас,

П го

Й5(к) = (Ь — в) I Хк{х) <�ю (х)

П Го соответственно коэффициенты Фурье фгункции / и коэффициенты Фурье-Лебега-Стилтьеса функции С, черта сверху обозначает комплексное сопряжение, интеграл в равенстве Парсеваля является интегралом Лебега-Стилтьеса.

А для системы Уолша в ш—мерном пространстве верна следующая теорема.

Теорема 2.4. Если /: Пт С — комплексиозначиая интегрируемая по Лебегу функция, а С — комплексиозначиая функция ограниченной вариации на Пт = [0,1]т, то для почти всехх € Мш функция /х (←) = /(х01-) интегрируема в смысле Лебега-Сгпилтьеса по комплексной мерс, определяемой функцией С. Если ш = щу .у /(хе%к (Чл п'" и

3&-(к) = у.-.у хк (х)Л?(х)

Пт соответственно коэффициенты Фурье-Лебега функции = / (х©-1-) и коэффициенты Фуръе-Лебега-Стилтьеса функции С^)," ф" - групповая операция сложения (см [9], стр. 13) — то равенство Парсеваля

-5) /. / /(хе<0Л?(1-)= ^ /х (кМС (к), имеет место для почти всех х е смысле суммируемости ряда любым методом, суммируюищм ряды Фурье интегрируемых по Лебегу функций к этим функциям почти всюду, интеграл в равенстве Парсеваля понимается в смысле Лебега -Стилтьеса, а черта сверху означает комплексное сопряжение .

Основные результаты данной диссертации опубликованы в работах автора [13) — [19].

Они докладывались в МГУ им. М. В. Ломоносова на семинаре по теории ортогональных рядов под руководством академика РАН П. Л. Ульянова, проф. М. К. Потапова и проф. М. И. Дьяченко, па семинаре по теории функций действительного переменного под руководством проф. Т. П Лукашенко, проф. В. А. Скворцова и м.н.с. А. П. Солодова, на семинаре по теории ортоподобпых систем под руководством проф. Т. П. Лукашенко и доц. Т. В. Родионова, доц. В.В. Галатенко- на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова (Ростов-на-Дону, 2004) — на Воронежских зимних математических школах «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (2005 и 2007), на Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их

приложения" (Саратов, 2006) — на международном симпозиуме «Ряды Фурье и их

приложения" (Абрау-Дюрсо, 2006).

В заключение приношу глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Т. П. Лукашенко за постановку задачи и руководство в подготовке работы.