Среднее значение функции делителей с быстро растущей размерностью

Проблемой делителей называют задачу об исследовании асимптотического поведения среднего значения функции делителей от натуральных чисел, принадлежащих различным подмножествам натурального ряда. Определим многомерную функцию делителей тк (п) стандартным образом, как количество представлений натурального п в виде Х • Х2 ¦. • хк = п, где х, х^. • •, хк — натуральные числа, причем считаем, что тк (0) = 0, = 1, т" 1(п) = 1. В случае к = 2 значение функции Т2(п) = т (п) равно количеству различных делителей натурального числа п. Следует сказать, что проблема делителей допускает многочисленные арифметические и геометрические интерпретации. В частности, полученная в 1849 году Дирихле [6] асимптотика для среднего значения количества делителей чисел из начального отрезка натурального ряда одновременно является и асимптотикой для количества целых точек под гиперболой.

Для вещественного х > 0 обозначим сумму значений функции делителей следующим образом:

Современная постановка проблемы делителей включает в себя много различных аспектов, одним из которых является задача получения новых оценок остаточного члена гк (х) в асимптотической формуле для сумматорной функции делителей п<�х.

Ок{х) = хРк-г{пх) + гк (х), гк{х) хак+£.

0.1) где Pk-i (t) — многочлен степени к — 1, причем его коэффициенты зависят от к и могут быть выписаны в явном виде (см. [36]).

Верхней оценкой остатка Гк (х) при различных значениях величины к занимались многие известные математики. Кроме упомянутой выше работы JI. Дирихле [6] 1849 года, в которой получена формула (0.1) со значением Qifc = 1 — можно указать на работы Г. Ф. Вороного [23], Э. Ландау [17], Ж. ван дер Корпута [5], Г. Харди и Дж. Литтлвуда [11], А. Вальфиша [25], Ф. Аткинсона [1], Чи Джан Тао [4], К. Тонга [22], Х. Е. Рихерта [19],[20], Чен Джин Рана [3], Г. А. Колесника [34], A.A. Карацубы [31],[32], также на работы А. Ивича [12],[13], А. Ивича и М. Квелета [14], Е. Е. Баядилова [27] и О. В. Колпаковой [35].

Актуальные результаты по проблеме делителей Дирихле изложены в монографии А. Ивича [15]. Подчеркнем, однако, что интенсивные исследования, проводимые на протяжении многих лет и отраженные в указанных выше работах, в настоящий момент еще далеки от окончательного решения проблемы, которое предполагает получение наилучшей верхней оценки остаточного члена в асимптотической формуле, то есть получения оценки типа.

Гк{х) <С£ для любого е > 0. Эта гипотеза соответствует Г2-теореме Г. Харди [10], которая утверждает, что верхняя оценка типа гк{х) <е уже не имеет места.

Также к проблеме делителей относят еще целый класс задач, состоящий в нахождении асимптотических формул с оценкой остатка для среднего значения функций тй (п), когда п пробегает некоторое подмножество множества натуральных чисел, не совпадающее с натуральным рядом. Количество таких задач очень велико, как и число работ, им посвященных. Можно указать, например, на проблему нахождения асимптотики для среднего значения функции т ([пс]), рассмотренную А. Закзаком [30], Х. М. Солибой [41], Г. И. Архиповым и В. Н. Чубариковым [26].

1. Atkinson F.V. «A divisor problem», Quart. J. Math., Oxford Ser., 12:1 (1941), 193−200.

2. Bateman H. «Higher transcendental functions», Vol.2 Ed. by Erdelyi A. Krieger drive malabar. Florida (1955), 88−92.

3. Chen J. «On the divisor problem for d3(n)», Sei. Sinica, 14 (1965), 19−29.

4. Chih T. «The Dirichlet’s divisor problem», Sei. Rep. Nat. Tsing Hua Univ. Ser. A, 5 (1950), 402−427.

5. Corput J.G. van der «Verscharfung der Abschatzungen beim Teilerproblem», Math. Ann. 87 (1922), 39−65.

6. Dirichlet L. «Uber die Bestimmung der mittleren Werte in der Zahlentheorie», Abh. Aked. Wiss. Berlin, 2 (1849), 49−66.

7. Erdos R, Graham R.L., «Old and new problems and results in combinatorial number theory», Enseign. Math., Geneva, 1980.

8. Erdos P., Graham S.W., Ivic A., Pomerance C., «On the divisors of n!», Analytic Number Theory, Proceedings of a Conference in Honor of Heini Halberstam, Vol. 1 (1996), 337−355.

9. Granville A., Ramare O., «Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients» Mathematika, Vol. 43 (1996), 73−107.

10. Hardy G.H. «On Dirichlet’s divisor problem», Proc. Lond. Math. Soc. (2) 15 (1915), 1−25.

11. Hardy G.H., Littlewood I.E. «The approximate functional equation in the theory of the zeta-function, with applications to the divisor problems of Dirichlet and Piltz», Proc. London. Math. Soc., 2 (1922), 39−74.

12. Ivic A. «Some recent result on the Riemann zeta-function», Proc. of the Intern. Number Theory Conf. (1989).

13. Ivic A. «Some recent results on the Riemann zeta-function» Theorie des nombers (Quebec, PQ, 1987), de Gruyter, Berlin, 1989, 424−440.

14. Ivic A., Quellet M. «Some new estimates in the Dirichlet divisor problem» Acta Arithmetica 52 (1989), 241−253.

15. Ivic A. «The Riemann zeta-function», John Wiley & Sons, 2003.

16. Landau E. «Handbuch der Lehre von der Verteilund der Primzahlen» 2 Taubner, Leipzig, 1909.

17. Landau E. «Uber die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen», Nachr. Konigl. Gesell. Wiss. Gottingen, Math.-phys. Klassen, Hft., 6 (1912), 687 771.

18. Ramanujan S., «Highly composite numbers», Proc. London Math. Soc. (2), Vol. 14 (1915), 347−409.

19. Richert H.E. «Versharfung der Abscharzung beim Dirichletschen Teilerproblem», Math Z., 58:1 (1953), 204−218.

20. Richert H.E. «Einfuhrung in die Theorie der starken Rieszchen Summierbarkeit von Dirichletreihen», Nachr. Akad. Wiss. Gottingen (Math. Physik) (1960), 17−75.

21. Sarkozy A., «On the divisors of binomial coefficients», J. Number. Th., Vol. 20 (1985), 70−80.

22. Tong K.C. «On divisor problems' Acta Math. Sinica (Chin. Ser.), 2 (1952), 258−266.

23. Voronoi G. «Sur un probleme du ealcul des fonctions asymptotiques» J. Math., 126 (1903), 241−282.

24. Wigert S., «Sur Vordre de grandeur du nombre des diviseurs d’un entier», Arkiv for Matematik, Astronomi och Fysik 3 (1907), 1−9.

25. Walfisz A. «Uber zwei Gitterpunktprobleme», Math. Ann., 95:1 (1926), 69−83.

26. Г. И. Архипов, B.H. Чубариков «О распределении простых чисел в последовательности вида пс]», Вестник Московского ун-та, сер. 1, ма-тем.мех., 6 (1999), 25−35.

27. Баядилов Е. Е. «О среднем значении функции делителей от тернарной кубической формы», Дисс. на соиск. степени канд. физ.-матем. наук (2009), 1−68.

28. Воронин С. М., Карацуба A.A. «Дзета-функция Римана», М.: Физмат-лит., 1994.

29. Закзак А. «Проблема делителей Дирихле в редких последовательностях», Дисс. на соиск. степени канд. физ.-матем. наук (1993), 1−80.

30. Карацуба A.A. «Оценки тригонометрических сумм И. М. Виноградова и их применения», Труды МИАН СССР 112 (1971), 245−255.

31. Карацуба A.A. «Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле», Изв. АН СССР. Сер. мат., 3 (1972), 475−483.

32. Карацуба A.A., «Основы аналитической теории чисел.—2-е изд.» М.: Наука. Москва, 1983.

33. Колесник Г. А. «Улучшение остаточного члена в проблеме делителей» Матем. заметки, 6:5 (1969), 545−554.

34. Колпакова О. В. «О новых оценках остаточного члена асимптотической формулы в многомерной проблеме делителей Дирихле» Матем. заметки, 89:4 (2011), 530−546.

35. Лаврик А. Ф. «О главном члене проблемы делителей Дирихле и степенном ряде дзета-функции Римана в окрестности ее полюса» Труды Математического института АН СССР, 142 (1976), 165−173.

36. Марджанишвили К. К. «Оценка одной арифметической суммы» Доклады Академии Наук, 7 (1939), 391−393.

37. Митькин Д. А. «Об оценке некоторых арифметических сумм с числом делителей», Матем. заметки, 80, вып. 3 (2006), 471−472.

38. Павлов А. И. «Асимптотика одной арифметической суммы», Доклады Академии Наук, 3 (2001), 307−310.

39. Прахар К., «Распределение простых чисел» Изд. «МИР», Москва, 1967.

40. Солиба Х. М. «О среднем значении тернарной функции делителей на последовательности нецелых степеней натуральных чисел» Материалы Международной Конф. по аналитической теории чисел, Москва, МГУ (1997), 30.

41. Чанга М. Е. «О числах, все простые делители которых лежат в специальных промежутках», Изв. РАН. Сер. матем., 67:4 (2003), 213 224- англ. пер.: Changa М.Е. «Numbers whose prime divisors lie in special intervals», Izv. Math., 67:4 (2003), 837−848.

42. Чанга М. Е. «Арифметические задачи с числами, все простые делители которых принадлежат специальным множествам», Дис.. докт. физ.-матем. наук, МИАН, М., 2004.

43. Чанга М. Е. «О суммах мультипликативных функций по числам, все простые делители которых принадлежат заданным арифметическим прогрессиямИзв. РАН. Сер. матем., 69:2 (2005), 423−438.Работы автора по теме диссертации.

44. Федоров Г. В. «Асимптотика одной арифметической суммы» Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика., 2 (2010), 5053.

45. Федоров Г. В. «Оценка суммы значений функции делителей», Материалы международной научной конференции «Современные проблемы анализа и преподавания математики», Москва, 17−19 мая 2010 г., стр. 86−87 (2010).

46. Федоров Г. В. «Об одной теореме А.И. Павлова» Доклады Академии Наук, 445:5 (2012), 1−2.