Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Краевые задачи для линейных нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными параболического и смешанно-параболического типов

Диссертация: Краевые задачи для линейных нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными параболического и смешанно-параболического типов
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В работе A.M. Нахушевым и Р. Г. Кардановым предложен метод регуляризации задачи Коши со смешанным негладким носителем, суть которого состоит в замене уравнения (0.3) нагруженным дифференциальным уравнением одного из следующих видов д 1 Г. Принятое сейчас в научной литературе общее определение нагруженных уравнений было дано в 1976 г. A.M. Нахушевым в, и приводится в работах,. Общее определение… Читать ещё >

Содержание

  • 1. Задачи с локальными краевыми условиями для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа
  • 1. Общее представление решений
  • 2. Теорема существования и единственности решения первой краевой задачи
  • 3. Задача с условиями Пуанкаре
  • 2. Задачи с нелокальными краевыми условиями для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа
  • 1. Задача с условием первого класса
  • 2. Задачи с локальным смещением
  • 3. Теорема существования и единственности решения задачи
  • 2.
  • 4. Теорема существования и единственности решения задачи
  • 2.
  • 3. Нелокальные краевые задачи для нагруженных уравнений смешанно-параболического типа
  • 1. Общее представление решений
  • 2. Задачи с локальным смещением
  • 3. Теоремы существования и единственности решений задач с локальным смещением

Краевые задачи для линейных нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными параболического и смешанно-параболического типов (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

В последние годы продолжается интенсивное исследование нагруженных уравнений, связанное, в частности, с различными приложениями задач, ассоциированных с этими уравнениями. К последним относятся, например, задачи долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги, моделирования процессов переноса частиц, некоторые задачи оптимального управления, исследованные в работах A.B. Бородина [7], H.H. Кочиной [32] - [34], Р. Г. Карданова, A.M. Нахушева [21] - [23], [40] - [43], [83], В. А. Нахушевой [54], Л.И. Сер-биной [60], С. М. Тарга [61].

Термин «нагруженное уравнение», впервые появился в работах Кне-зера применительно к интегральным уравнениям. Среди посвященных нагруженным уравнениям особо следует отметить работы А. Кнезера ([80], [81] 1914 г.), Л. Лихтенштейна ([82] 1931 г.), Н. М. Гюнтера ([10] 1932 г.), H.H. Назарова ([36] 1948 г.), А.Ш. Габиб-заде ([11] 1959 г.), Б. М. Будака и А. Д. Искендерова ([6] 1967 г.), Э. Эшдавлатова ([75], [76] 1976 г.).

Принятое сейчас в научной литературе общее определение нагруженных уравнений было дано в 1976 г. A.M. Нахушевым в [39], и приводится в работах [45], [46], [48]. Общее определение нагруженных дифференциальных и интегральных уравнений приведено в [51].

Определение 0.1. Пусть Q, — п-мерная область евклидова пространства Rn точек х = (ж1,., жп). Заданное в области О, дифференциальное, интегральное или функциональное уравнение Lu = f (x), называется нагруженным, если оно содержит след некоторых операций от искомого решения и = и (х) на принадлежащих замыканию U многообразиях размерности меньше п [39].

В дальнейшем к исследованию нагруженных уравнений обращались многие авторы. Отметим работы [1] - [3], [5], [7] - [9], [12] - [27], [29] -[31], [35], [39] - [44], [49], [56], [57], [74], [78], [79].

Именно результаты A.M. Нахушева и его учеников дали начало интенсивному изучению краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений.

В шестидесятых годах A.B. Бицадзе была выдвинута проблема поиска корректно поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа второго порядка с двумя независимыми переменными. Для реализации этой проблемы A.M. Нахушев в 1969 году предложил ряд задач нового типа, вошедших в математическую литературу под названием краевых задач со смещением, которые, как оказалось, связаны с нагруженными дифференциальными уравнениями [37], [38], [50], [53].

Важное значение нагруженные уравнения имеют также для методов приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений. Одним из таких методов является предложенный A.M. Нахушевым метод редукции дифференциальных уравнений к нагруженным интегро-дифференциальным уравнениям [47].

Суть метода редукции к нагруженным уравнениям, состоит в замене дифференциального или интегро-дифференциального уравнения.

Lu = f (x), ueD (L), (0.1) аппроксимирующим его с той или иной точностью нагруженым дифференциальным или интегро-дифференциальным уравнением.

Lu = f (x), ueD (l) = D (L), (0.2) такого же типа и порядка.

Определение 0.2. Функция u € D (L) называется приближенным решением задачи (0.1), если она является точным (или приближенным) решением аппроксимирующей задачи (0.2) [47].

Сущность метода редукции к нагруженным уравнениям раскрыта в [9], [19], [21] - [23], [40] - [44], [50] на некоторых модельных задачах.

Важные вопросы тепломассообмена в каппилярно-пористых средах, например, вопросы долгосрочного прогноза солевого и уровенного режимов в почвогрунтах, при определенных допущениях сводятся к следующей задаче Коши.

В области О, = {(я, у): 0 < у < Т, 0 < х <1 < оо} требуется найти регулярное решение и = и (х, у) линейного параболического уравнения иу = Ьи = а (х, у) ихх + Ь (х, у) их + с (х, у) и + /(я, у), (0.3) если на кривой и = {(х, у): ху = 0, 0 < у < Т, 0 < х < 1} задано условие Коши, то есть если известно, что.

0= т (у), их (0,у) = 1/(у), у? [0,Т], и (ж, 0) = (р (х), х? [0,/).

В работе [21] A.M. Нахушевым и Р. Г. Кардановым предложен метод регуляризации задачи Коши со смешанным негладким носителем, суть которого состоит в замене уравнения (0.3) нагруженным дифференциальным уравнением одного из следующих видов д 1 Г.

— / w (f, y) d? = Lu, 00 ду о д д 1 (* — а*(х, y) u (xh у) = Ьщ —- J u (?, у)<% = Lu, г=1 0 где xi, x2,., xm — заданные характерные точки из полусегмента [0,1).

Многие математические модели энерго — и массобмена в среде обитания растений сводятся к задаче отыскания коэффициентов, а и 6 уравнениях в частных производных вида аихх + buxxt = ut, 0 < х < I и решения и = u (x, t), удовлетворяющего начальному условию.

0.4) и{х, 0) = т (х)ес2[0,1] и как правило, одному из следующих локальных или нелокальных краевых условий ч.. ди u (0,t) =.

Е bw.

3=1 dj и dxi~l di~lu x=l 7i (t), г = l, 2, i G [0,T]- i д f / u (x, t) dx = E (t), u (0,t) = ipo (t)', i $ f dzi.

— J u (x, t) dx = E (t),? ^ = e [0, T]- 0.

В работе [22] A.M. Нахушевым и P.Г. Кардановым предложен способ идентификации математической модели динамики грунтовой воды и почвенной влаги, который заключается в замене уравнения (0.4) нагруженными уравнениями следующих видов.

7(ж) д (3-adt Р j и (х, t) dx, 0 < х < I] д аихх + buxxt = —^(3j (x)u (xj, t), 0 <х <1. j=i.

Здесь а, /3, ft (x), j (x), Xj, п считаются задаваемыми величинами.

Теми же авторами в работе [23] рассмотрено уравнение одновременного движения соли и воды вдоль оси х с постоянной скоростью фильтрации vq при условии независимости интенсивного растворения содержащихся в твердой фазе почвы солей от их объема и поверхности дС д2С дС of" ^ где знак минус берется, если направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, и знак плюс — в противном случае, С (х, t).

— концентрация почвенного раствора в точке х в момент времени tD.

— коэффициент конвективной (фильтрационной) диффузииv = vq/тпфактическая скорость фильтрациит — порозность- (3 — коэффициент растворенияСт — предельная концентрация раствора. Пользуясь методом редукции к нагруженным уравнениям сформирован, алгоритм расчета коэффициента конвективной диффузии соли при полном насыщении почвы влагой.

В работах Илхана Озтюрка [20], [78], [79] для нагруженного уравнения с частными производными смешанно — параболического типа аихх + bux + си = sign х — хп йу + /(¡-г, у) и уравнения signsт De0yu = uxx-f (x, y), исследована первая краевая задача. Здесь и = — / и[х, у) ах,.

5 — а J а.

Dqv — оператор дробного интегродифференцирования (в смысле Римана-Лиувилля) порядка |е| с началом в точке 0 и с концом в точке у [52].

В работе [2] Амангалиевой М. М., Дженалиевым М. Т., Рамазано-вым М.И. для нагруженного дифференциального уравнения исследованы граничные задачи, а в работе [3] доказано существование и единственность решения граничной задачи для уравнения теплопроводности с усреднением по времени.

В монографиях В. А. Нахушевой [54], Л. И. Сербиной [60], A.B. Псху [55] исследованы новые нелокальные задачи для нагруженных уравнений параболического типа.

В настоящей диссертации исследованы локальные и нелокальные краевые задачи для линейных нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными параболического и смешанно-параболического типов.

1) Доказаны теоремы существования и единственности решений локальных краевых задач для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа.

2) Доказаны теоремы существования и единственности решений нелокальных краевых задач с локальным смещением для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа. v" (t) -uxx = f,(x, t)?Q, tt = {(x, t): 0 < t < Г}, h о.

3) Доказаны теоремы существования и единственности решений нелокальных краевых задач с локальным смещением для нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными смешанно-параболического типа.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов, списка литературы из 83 наименований. Объем работы составляет 84 страниц.

Заключение

.

Выполненные исследования, посвященные основным краевым задачам для широких классов нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными параболического и смешанно-параболического типов, позволяют сформулировать следующие основные научные результаты диссертационной работы.

1. Доказана лемма 1.1 об общем представлении решения одного класса нагруженных уравнений с частными производными параболического типа с коэффициентами зависящими от одной переменной у в прямоугольной области.

2. Доказана теорема 1.1 существования и единственности решения первой краевой задачи для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа.

3. Доказана теорема 1.2 существования и единственности решения задачи 1.2 с условиями Пуанкаре для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа.

4. Доказана теорема 2.1 существования и единственности решения задачи 2.1 с условием первого класса для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа.

5. Доказаны теоремы 2.3 и 2.4 существования и единственности решений соответственно задач 2.2 и 2.3 с локальным смещением для нагруженных уравнений с частными производными параболического типа.

6. Доказана лемма 3.1 об общем представлении решения одного клас.

— Tica нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными смешанно-параболического типа.

7. Доказаны теоремы 3.1 и 3.2 существования и единственности решений соответственно задач 3.1 и 3.2 с локальным смещением для класса нагруженных дифференциальных уравнений с частными производными смешанно-параболического типа.

Показать весь текст

Список литературы

  1. А.Х. Краевые задачи с характеристическими носителями для нагруженных вырождающихся гиперболических уравнений: Дис.. канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 1989. — 81 с.
  2. М.М. Граничные задачи для уравнения теплопроводности с усреднением по времени / Труды международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Алматы, 2002.- С. 19 23
  3. A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных.- М., 1981. 448 с.
  4. О.Л. Краевые задачи для некоторых классов нагруженных уравнений гиперболического типа: Дис.. канд. физ.-мат. наук. -Нальчик, 2000. 94 с.
  5. .М., Искендеров А. Д. Об одном классе обратных краевых задач с неизвестными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1967.- Т. 176. № 1. — С. 20 — 24
  6. A.B. Дифференцируемость по параметру решений нелинейно нагруженных краевых задач для уравнений в частных произволных второго порядка // Дифференц. уравнения. 1979. — Т. 15. -№ 1. — С. 18 — 26
  7. A.B. Об одной оценке для уравнения в частных производных второго порядка и ее приложении // Дифференц. уравнения. -1978. Т. 14. — № 1. — С. 12 — 21
  8. В.Н., Нахушев А. М. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений и их приложения к прогнозу уровня грунтовых вод // Дифференц. уравнения. 1977. — Т. 13. — № 1. — С. 105 -110
  9. Гюнтер Н.М. Studia Mathematica. 1932. — Т. IV.
  10. Габиб-заде А. Ш. Исследование одного класса линейных и нелинейных нагруженных интегральных уравнений с различными параметрами // Ученые записки АГУ. Сер. физ. мат. и хим. наук. — Баку, — 1958. № 1. — С. 41 — 59
  11. С.Х. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени: Дис.. канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 2003. — 73 с.
  12. М. Т. Оптимальное управление линейными нагруженными параболическими уравнениями // Дифференц. уравнения. 1989.- Т.25. № 4. — С. 641 — 651
  13. М. Т. Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений: Дис. канд.. физ.-мат. наук. Алматы, 1993. — 322 с.-7415. Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы, 1995. — 270 с.
  14. Х.Ж., Керефов А. А., Нахушев А. М. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности // Дифференц. уравнения. 1976. — Т.12. — № 1. — С. 177 — 179
  15. Р.Г., Нахушев A.M. О некоторых способах идентификации математической модели динамики грунтовой воды и почвенной влаги / САПР и АСПР в мелиорации. Сб. научн. трудов. Нальчик, 1983. — С. 3 — 20
  16. В.М. Задача Трикоми для нагруженного уравнения Лаврентьева Бицадзе // Дифференц. уравнения. — 1979. — Т. 15. — № 1. -С. 173 — 175
  17. В.М. О задаче Дарбу для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 1978. — Т. 14. — № 1. — С. 181 — 185
  18. В.М. Краевые задачи для нагруженных гиперболического и смешанного типов уравнений: Дис. канд.. физ.-мат. наук. Нальчик, 1980. — 81 с.
  19. Н.В., Червяков A.B. Краевая задача с меняющимся направлением времени // Вестник МЭИ. 2002. — № 6. — С. 62 — 67
  20. А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Матем. заметки.- 2004. Т. 76. — № 6. — С. 840 — 853
  21. А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // ЖВМ и МФ. 2004. — Т. 44. № 4. — С. 694 — 716
  22. А.И. Нелокальные по времени краевые задачи для линейных параболических уравнений // Сибирский матем. журнал. 2004.- Т.7. № 1. — С. 51 — 60
  23. H.H. Об изменении уровня грунтовых вод при поливах // Журнал прикл. матем. и техн. физики. 1971. — № 4. — С. 87 — 94
  24. H.H. О некоторых нелинейных задачах уравнения теплопроводности // Журнал прикл. мат. и техн. физ. 1972. — № 3. — С. 124- 128
  25. H.H. Об одном новом классе линейных интегральных уравнений // Труды института математики и механики АН УзССР. -Ташкент, 1948. Вып. № 4. С. 77 — 106
  26. A.M. Новая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Докл. АН СССР. 1969. — Т. 187. — № 4. — С. 736 — 739
  27. A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1969. — Т. 5. — № 1. — С. 44 — 59
  28. A.M. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро дифференциального уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. — 1976. — Т. 12. — № 1. — С. 103 — 108
  29. A.M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги // Докл. АН СССР. 1978. — Т. 242. — № 5. — С. 1008 — 1011
  30. A.M. Локальные и нелокальные краевые задачи для нагруженного уравнения параболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги / Республиканский симпозиум по дифференциальным уравнениям. Тезисы докладов. Ашхабад, 1978. — С. 27−7828
  31. A.M. Краевые задачи для нагруженного интегродифферен-циального уравнения гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Дифференц. уравнения. 1979. — Т. 15. — № 1. — С. 96 — 105
  32. A.M. Нагруженные дифференциальные уравнения и их приложения / Труды всесоюзного симпозиума «Дифференциальные уравнения в частных производных и их приложения». Тбилиси, 1982. — С. 183 — 188
  33. A.M. К теории нагруженных уравнений в частных производных // Short communication (Abstracts). Section 11 Partial Differential Equations. Warszawa, 1982. — P. 52
  34. A.M. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 1. — С. 72 — 81
  35. A.M. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференц. уравнения. 1983. — Т. 19. — № 1. — С. 86 — 94
  36. A.M. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями // Дифференц. уравнения.1985. Т. 21. — № 1. — С. 92 — 101
  37. A.M. Нагруженные дифференциальные уравнения и их приложения / Труды всесоюзного симпозиума «Дифференциальные уравнения в частных производных и их приложения». Тбилиси, 1986.
  38. A.M. Уравнения математической биологии. М., 1995. -301 с.
  39. A.M. Дробное исчисление и его применение. М., 2003. -272 с.
  40. A.M. Некоторые факты из теории краевых задач со смещением. Нальчик, 2005. — 63 с.
  41. В.А. Некоторые классы дифференциальных уравнений математических моделей нелокальных процессов. Нальчик, 2002. -102 с.-8055. Псху A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка -М., 2005. 199 с.
  42. М.И. О нелокальной задаче для нагруженного гиперболо-эллиптического типа в прямоугольной области // Математический журнал. 2002. — Т. 2. — № 4(6). — С. 75 — 81
  43. М.И. О краевой задаче для «существенно» нагруженного параболического уравнения в неограниченных областях // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2004. — Т.7.- № 1. С. 84 — 91
  44. В.И. Курс высшей математики. Т.2. М., 1974. — 655 с.
  45. В.А. Основные задачи математической физики. М., 1983.- 432с.
  46. Л.И. Нелокальные математические модели процессов переноса в системах с фрактальной структурой. Нальчик, 2002. — 144 с.
  47. С. М. Основные задачи ламинарных течений. М. -J1., 1951. -420 с.
  48. А.Н., Васильева Ф. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. М., 1980. — 230 с.
  49. A.A. Об одной краевой задаче для модельного нагруженного дифференциального уравнения параболического типа // Известия Кабардино Балкарского Научного центра РАН. — 2004. — № 2(12).- С. 119 120
  50. A.A. Краевая задача для модельного нагруженного дифференциального уравнения параболического типа / Труды Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи (ММ-2004)». Самара, 2004. — С. 215 — 218
  51. A.A. Краевая задача для одного нагруженного дифференциального уравнения // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. — Т.7. — № 2. — С. 56 — 61
  52. A.A. О первой краевой задаче для одного нагруженного дифференциального уравнения второго порядка // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. — Т.8. — № 1. — С. 87−91
  53. A.A. Краевая задача для нагруженного дифференциального уравнения / Труды математического центра им. Лобачевского «Лобачевские чтения 2005». Т.31. Материалы IV научной молодежной школы-конференции. — Казань, 2005. — С. 154 — 156
  54. A.A. О первой краевой задаче для одного нагруженного дифференциального уравнения второго порядка / Материалы III школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». Нальчик, 2005. — С. 63 — 66
  55. A.A. Задача с нелокальными краевыми условиями для одного класса нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2006. — Т.8. — № 2. — С. 65 — 68
  56. A.A. Задача с нелокальными краевыми условиями для одного класса нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных // Вестник Сам ГТУ. Сер. физ. мат. наук. — Самара, 2006. Вып. № 43. — С. 178 — 181
  57. A.A. Об одной краевой задаче для модельного нагруженного уравнения в частных производных // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Сер. естественные науки. -Ростов-на-Дону, 2006. Приложение № 11. С. 13 — 16
  58. М.Х. Разностный метод решения одного нагруженного уравнения параболического типа // Дифференц. уравнения. 1977.-83- Т. 13. № 1. — С. 163 — 168
  59. Э. Нагруженное сингулярное интегральное уравнение с различными сингулярными операторами и различными параметрами // Ученые записки МБ и ССО Аз ССР. Сер. физ. мат. наук. — 1976. — № 6. — С. 29 — 35
  60. Э. Некоторые классы нагруженных уравнений с различными параметрами: Дис.. канд. физ.-мат. наук. Самарканд, 1979. — 104 с.
  61. Янке ЕЭмде Ф., Леш Ф. Специальные функции (формулы, графики, таблицы) М., 1968.
  62. Ilhan Ozturk. On the boundary value problem for the class of loaded partial differential equation of mixed parabolic type // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. — 1994. — Т. 1. -№ 1. — С. 27 — 29
  63. Ilhan Ozturk. Boundary value problem for the loaded differential equation of fractional order // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1995. — № 2. — С. 12 — 17
  64. Kneser A. Belastete Integralgleihungen // Rendiconti del Circolo Mathematiko di Palermo. 38. 1914. — P. 169 — 197
  65. Kneser A. Die Integralgleichungen und ihre Anwendung in der matem. Phusik, 1922.
  66. Lichtenstein L. Vorlesungen uber einege Klassen nichtlinear Integralgleichungen und Integraldifferentialgleihungen nebst Anwendungen. -Berlin: Springer, 1931. 164 s.
  67. Nahushev A. M. Nonlokal and Goursat problems for a loaded equation of hyperbolik type and their applikations to the prediction of soil moisture // Soviet Math. Dokl. 1978. — Vol. 19. — № 5.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!