Интегральные операторы и пространства измеримых векторнозначных функций

Изучение интегральных операторов, т. е. операторов, действующих по формуле.

1ф (СМ*, «) где интеграл понимается в смысле Лебега, началось одновременно с возникновением функционального анализа (Вольтерра, Гильберт, Карлеман и др.). Тем не менее, задачи об описании их свойств и выявлении интегральных операторов в более общих совокупностях операторов остаются актуальными, что показывает поток журнальной и монографической литературы (отметим Красносельский и др. з], Коротков[4,?], Халмош и Сандер[1]). В недавней монографии Халмош и Сандер[1] пишут во введении (стр.У1): «Почему мы изучаем интегральные операторы? .возможный ответ заключается в том ., что теория интегральных операторов является первопричиной всего современного функционального анализа и остаётся и сегодня богатым источником нетривиальных примеров. Основное внимание в книге уделено важнейшим связям, на которых основан цредмет. Какие операторы могут быть представлены как интегральные операторы? -такие проблемы являются центральными.» .

Пространства измеримых вектор-функций со значениями в (бесконечномерном) банаховом пространстве (БП) начали встречаться в математической литературе с начала 1930;х годов (Бохнер, И. М. Гельфанд, Данфорд, Л. В. Канторович, Филлипс). С тех пор пространства измеримых вектор-функций нашли себе применение во многих областях математического анализа и смежных дисциплин: в теории дифференциальных уравнений (см., например, Массера и Шефер[1], где при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений в ЕЛ использованы пространства вектор-функций весьма общего видав теории уравнений в частных производных применения связаны как с абстрактными уравнениями в БП, так и с некоторыми классами задач для уравнений с обычными числовыми функциями, см. Соболев^]), во многих методах построения интерполяционных цростарнств (Лионе и Петре ¡-д], Крейн и др. [1]), в теории вероятностей (например, в теории случайных процессовогромное количество работ посвящено законам больших чисел, центральной предельной теореме, мартингалам для случайных величин, принимающих значения в БП), в выпуклом анализе и оптимизации. Особенно много работ связано с аналитическим представлением векторных мер и линейных операторов. При аналитическом представлении пространства вектор-функций выступают в качестве пространств ядер.

В 1928 году на Международном математическом конгрессе в Болонье Ф. Рисс[1] предложил исчисление для непрерывных линейных функционалов в пространстве непрерывных функций С [ 09 { ]. Это исчисление позволило вычислять модуль, положительную и отрицательную компоненты функционалов, которые по своим свойствам во многом аналогичны обычным модулю, положительной и отрицательной компонентам числовой функции. Построения Ф. Рисса опирались на рассмотрение естественного поточечного отношения порядка между функциями в С [0,1]. В 1930;х годах Л. В. Канторович (см., например, итоговую работу Канторович[*]) в рамках построения общей теории векторных решёток (абстрактных пространств с «хорошим» отношением порядка) развивает исчисление линейных порядково ограниченных операторов и функционалов в них, очень частным случаем которого является конструкция Ф.Рисса. Тогда же он применяет его к решению абстрактных функциональных уравнений. Далее, вплоть до рубежа 1960;х — 1970;х годов, построенное исчисление операторов было мало связано с приложениями в других областях анализа (исключение составляет интересный подход к спектральной теории самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве, см. ВулихЩ, глава И, который, однако, не привёл к получению новых результатов). Б последнее время положение в существенном изменилось: по-видимому, одним из первых результатов такого сорта была теорема 1ЛЛ — критерий интегральной представимости операторов в, один из основных результатов диссертации (см. также, например, решение проблемы Б. Саймона мажорации компактных операторов в Доддс и Фремлин[1], исследования по выпуклому анализу, см. Акилов и КутателадзеЩ).

Основная цель работы — решение проблемы интегральной представимости операторов и построение теории пространств измеримых векторнозначных функций и их приложений на основе самого исчисления порядково ограниченных операторов и функционал) в и на основе идей, связанных с этим исчислением, в тех случаях, когда оно само принципиально неприменимо.

Прежде, чем переходить к обзору основных результатов, дадим некоторые общие мотивировки, связанные с предметом исследования и принятой в работе общностью. Если X — БП, то хорошо известно БП 1!(Х) «состоящее из всех измеримых функций |: Т—X таких, что у.

1 ОО .

Всё внимание уделено специфичности векторнозначного случая, которая, как правило, сказывается уже в самой постановке задачи и уж, конечно, — в доказательстве. Отметим, что до последнего десятилетия почти все исследования пространств 1 Г (Х) основывались на аналогии со скалярным случаем (см. Данфорд и Шварц[1]) — трудности возникали, в основном, при описании сопряженного 1 Г (Х) .

В £970-х годах целым рядом авторов были получены трудные специфические результаты в теории пространств [Г (X) — црежде всего в их банаховой теории (Пизье[2,3^ Хоффманн-Юргенсен [1,2], Фи-гель[1], Бургейн[к, 2~ и др.), где одним из важнейших методов оказался метод случайных рядов с коэффициентами из БП (см. КаханЩ). Автор с помощью своих методов, кроме геометрических задач, исследовал ряд других задач: общее описание сопряжённого пространства (когда есть функционалы, недопускающие интегрального представления), интерполяцию линейных и нелинейных операторов в пространствах вектор-функций, приложения к пространствам дифференцируемых функций многих переменных, условия действия в 1 Г (Х) векторноР значных расширений операторов в ь и др. Все эти различные вопросы объединены общностью метода исследования (хотя, конечно, используются и традиционные методы теории функций, БП и т. д.).

Кроме возможности построения специфической нетривиальной теории, пространства вектор-функций привлекают к себе внимание приложениями к задачам, которые по своим формулировкам с вектор-функциями не связаны. Это прежде всего приложения к изучению пространств измеримых функций со смешанной нормой и операторов в них, к изучению пространств дифференцируемых функций многих переменных. В последнем случае речь идёт о рассмотрении пространств с доминирующей смешанной производной и пространств Бесова обычных числовых функций (этот материал изложен в главеШ).

Подчеркнём, что наши исследования относятся к случаю, когда)(- бесконечномерное БПкроме того, некоторая часть проблематики отпадает и в случае, когда X — гильбертово пространство (это касается воцроса о непрерывности векторнозначных расширений).

Результаты излагаются, как правило, не для 1 Г и 1Р (Х). а для более общего случая Е. и, где — банахово идеальное цространство (БИЛ) на пространстве с мерой (% 21^). Отсылая за точным определением БИЛ к главе 0, подчеркнём, что выбранная степень общности связана с желанием охватить все различные конкретные пространства измеримых функций, к которым, кроме I?, применима развиваемая теория. Каждый из основных реР зультатов является новым, если не для Ь, то для одного из важнейших классов конкретных пространств: Орлича И^, Марцин-кевича Лоренца. Все перечисленные пространства являются симметричными (СП). Мы в большинстве результатов не предполагаем симметричность Е-, позволяя, тем самым, охватить случай весовых пространств и пространств со смешанной нормой.

I Р типа известных пространств ц,, встречающихся при построении нормы в изотропных и анизотропных пространствах Соболева, Никольского, Бесова. Желание привлечь в таком контексте общие нормы встречается и у специалистов по теории функций (см., например, Кальдерон[1], Головкин[1,2], Бесов[2,3^. Рассмотрение же общих цространств с мерой нам удобно для того, чтобы охватить одновременно случаи меры Лебега в областях разной размерности (как ограниченных, так и неограниченных), весовой меры Лебега, диыфетной меры (при рассмотрении пространств последовательностей). Вопросы типа несепарабельности меры не играют здесь никакого з|йс?ения.

В работе значительное внимание уделено технике исследования несепарабельных БИЛ, Это связано с существом дела: в цриведённом списке интересующих нас конкретных цространств много несепарабельных (Ь —, если И не удовлетворяет А^-условию ;

М (°0) • Известна важная роль несепарабельных пространств Орлича для исследования эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями. Пространства Марцинкевича.

МИ естественно возникают при интерполяции. Есть и другая причина: в §-П.6 мы покажем, что для исследования сепарабельного пространства 1^(0,1) важны результаты о несепарабельном случае (а именно, о С^ и (р?)•.

2. Приведём здесь общий обзор содержания работы, отложив точные формулировки конкретных результатов до п. З? В главе О кратко изложены предварительные сведения по теории БИЛ, исчислению порядково ограниченных операторов и функционалов, теории измеримых функций со значениями в Ш.

Глава «Интегральное представление операторов» посвящена в основном решению задачи Дж. фон Неймана[2] о характеризации интегральных операторов в 1^(0,1) (см. теорему 1.1.-1 в п.3°). Речь идёт о представимости линейного оператора в виде (I) с измеримым ядром К ($,±-) «на которое априори не наложены никакие дополнительные условия суммируемости (типа известных условий Гильберта — Шмидта или Карлемана). То, что эта задача не утратила свей актуальности говорит тот факт, что Халмош и Сандер[1] во введении к своей монографии 1978 г. пишут: «Кульминационная точка, причина существования самой книги заключается в трёх последних разделах. В них спрашивается., какие операторы «могут» быть интегральными, какие операторы «должны» быть интегральными, какие операторы «являются» интегральными? Вопрос «могут» (какие операторы унитарно эквивалентны интегральному оператору на указанном пространстве с мерой?) имеет полный и удовлетворительный ответ. Вопрос «должны» (какие унитарные орбиты состоят только из интегральных операторов?) имеет удовлетворительный частичный ответ. Вопрос «являются» (какие операторы в порождены ядром?) не имеет ничего общего с унитарной эквивалентностью: он выглядит для каждого отдельного оператора так, как он стоит, и требует способа распознавания, что он является (или нет) интегральным. Здесь ответ только наполовину удовлетворителен: известны различные интересные и полезные достаточные условия, но ни одно из них не является одновременно необходимым и достаточным.» Появление этого вопроса в Халмош и Сандер[l] связано с тем, что авторы этой монографии не успели ознакомиться с работами Бухва-лов[7,8] (см. сказанное в рецензии Заанена[з] на книгу Халмош и Сандер[l], а также приоритетные замечания в n.I.i Л°). В § I приводятся основные факты об интегральных операторах, формулируется и обсуждается сам критерий (теорема 1^.1.1), приводятся следствия. Весь § 2 посвящен доказательству теоремы ТД.1 на основе исчисления порядково ограниченных операторов. В § 3 теорема IЛ Л применяется для представления нелинейных операторов в виде интегральных операторов Урысона. В § 4 вводится важнейший для даль-нешего объект — пространство EL[F] со смешанной нормой, которое строится по двум (или более) БИЛ El и F с помощью формулы || (фД)!^^ II IIK^t)!^ JljЗдесь доказывается принципиально важный для всей дальнейшей теории результат: обобщённая теорема Колмогорова — Нагумо (теорема 1ЛЛ), утверждающая, что случай эквивалентности смешанных норм || Ii K (s/b)L L, и i>s b, t h> вычисленных в разном порядке, означает, грубо говоря, что Ь и F совпадают с [Г. Важность этого результата заключается в том, что он запрещает даже в пространствах когда многие привычные приёмы рассуждения. Кроме того, он показывает, что в СП функций нескольких переменных невозможен процесс «расщепления» переменных, который постоянно используется, например, при доказательстве теорем вложения. Таким образом, теорема 1АЛ служит обоснованием нетривиальности многих дальнейших построений.

В § 5 из теоремы ТАЛ просто выведены достаточные критерии интегральной представимости: теоремы типа Данфорда — Петтиса, Гельфанда, Канторовича — Вулиха, дающие представления с ядрами из пространств со смешанной нормой. Здесь же исследованы функционалы на Е Г ЬЛ .В п. 1.5.4^на основе теорем об интегральном представлении из §§ 1,2 показано, что если резольвента оператора Шрёдингера является интегральным оператором, то резольвента оператора Шрёдингера с магнитным векторным потенциалом тоже является интегральным оператором.

Глава П «Пространства измеримых вектор-функций» посвящена развитию их общей теории. Если Е — БИП на (ТД^ц), X — БП, то через Е (Х) обозначается БП всех измеримых функций таких, что функция входит в Е, с нормой II II? • В теореме П. Л устанавливаются необходимые и достаточные условия совпадения в случае, когда.

Р* - БИЛ. Этот результат служит основой для применения абстрактных пространств вектор-функций к пространствам функций многих переменных. В § 2 начинается изучение и классификация функционалов на Е. (X) — выделяется класс Е (Х^ функционалов, допускающих естественное интегральное представлениев случае «хороших» Е описывается Е (Х). Изучается также возможность представления вектор-функциями двух классов операторов. В § 3 начинается другое основное направление исследования пространств вектор-нозначных функций, имеющее важные приложения в различных областях анализа, разработкой некоторых из которых мы займёмся в главе Ш. Пусть имеется оператор XI • Е ^ Ь. Через Е ® X обозначим множество простейших функций в.

ЕМ вида:

Е^еХ). (2).

— 12.

Рассмотрим векторнозначное расширение У оператора У на Е@Х, действующее по формуле.

V, к к р ь.

Начало исследованию непрерывности операторов такого рода в) положила известная работа Марцинкевича и Зигмунда [У. Оператор

К вовсе не обязан быть непрерывным (если X — не гильбертово пространствоименно в этом смысле надо понимать сказанное выше о том, что часть проблематики работы нетривиальна только, если)(- не гильбертово пространство). Автору удалось установить связь между порядковыми свойствами У (свойство иметь модуль) и воцросом о непрерывности Ц. Теорема П. 3.&euroпозволяет строить в случае не порядково ограниченного оператора Ы «хорошее» про" странство X (сепарабельное, рефлексивное, с безусловным базисом) такое, что V не действует ни в одном из пространств ?<�р<�оо. Это впервые делает интересным доказательство не порядковой ограниченности оператора II. Многочисленные приложения этой схемы к задачам математического анализа приводятся в главе Ш (контрпримеры, связанные с описанием сопряжённых к пространствам Харди НР (Х) и Соболева д/р (Х) Х-значных функцийконтрпримеры на базисы в 1 Г (Х), на совпадение пространств Соболева ^^рС^Х) и бесселевых потенциалов (X)).

Хорошо известно, какую важную роль в анализе играют вопросы аппроксимации функций данного класса функциями более простого вида. В случае пространств Е (X) такими простыми функциями являются элементы Е@ X «определяемые формулой (2). В теореме П. 4.1 даны необходимые и достаточные условия для плотности Ь ® X в Е.(Х) при фиксированном бесконечномерном БП X грубо говоря, необходима и достаточна сепарабельность Е1 — нетривиальна необходимость). Доказательство основано на результатах § 3 и свойствах 6-топологии, впервые привлечённой автором для решения конкретных задач.

В § 5 получена обобщённая теорема Иосиды — Хьюитта о строении сопряжённого Ё (Х), которое удаётся представить в виде прямой суммы (в смысле теории БП):

Е (ХУ*= Е0О*еЕ (Х)^ (3) где Е (Х)^ -функционалы, допускающие интегральное представление, а Е (Х)~ - «сингулярная» компонента. Сама классификация и разложение (3) идейно связаны с соответствующими фактами из исчисления функционалов на БИЛ. Однако, это лишь формальная аналогиядоказательство требует совсем других идей, так как в отличие от случая сопряжённого к БИЛ, где имеется много естественных проекторов, наличие проектора в Е (х)* приходится получать совсем из других соображений. Простейший случай,.

О0 когда (3) нетривиально — Ь (этот частный случай независимо получен в Левин[2]).

В § 6 обобщённая теорема Иосиды — Хьюитта применяется к выявлению свойств выпуклых, замкнутых по мере, ограниченных по норме множеств в Е (X), роднящих их с компактными множествами (хотя никакой компактности по существу может и не быть). Получены приложения к оптимизации выпуклых функционалов на таких множествах.

В § 7 исследуется следующая задача. Пусть (.¡-Р) — некоторое свойство, которым может обладать данное БП X (пишем.

Х&euro- (Р)).

Рассматривается справедливость утверждений типа.

Задача (4) естественна в том смысле, что хорошо иметь информацию о свойствах более сложного пространства Е (X), исходя только из свойств «кирпичей», из которых оно построено, — Е и X. Такого рода задачи для различных свойств (^Р) рассматривались уже давно (теорема Филлипса[2]: если X рефлексивно, то 1?(Х) рефлексивно, <р < «о). В теореме 7.1 доказано, что (4) справедливо, если (Ф) — интенсивно исследуемое с конца 1960;х годов свойство Радона — Никодима (М). Доказательство опирается на теоремы представления из § 2. Подробно анализируются другие подходы к доказательству этого факта, причём полученные результаты имеют и самостоятельный интерес. В теореме 1,1.7 собраны различные результаты типа (4), как принадлежащие автору, так и известные.

В главе «Интерполяция линейных операторов в пространствах вектор-функций и приложения к изучению пространств функций многих переменных» рассматриваются различные методы интерполяции линейных операторов применительно к пространствам вектор-функций. Результаты об интерполяции применяются к классическим линейным и нелинейным операторам анализа. Далее, прежде всего, на основе интерполяции, строится теория обобщённых пространств Соболева и Бесова. Подчеркнём, что пространства вектор-функций применяются к изучению пространств Бесова обычных числовых функций (порождённых нормой, более общей, чем? -норма), в чём автор видит дополнительный интерес к развитию теории пространств вектор-функций. Отметим важность получения интерполяционных формул для таких сложно устроенных объектов как пространства Соболева и р

Бесова. В § 8 будет показано, как при помощи интерполяциислучая, можно получить полное описание следов пространств Соболева Ы^Е (^) на т. < ю-, где метрика порождена нормой сп Е .

В § 1 подробно исследован второй комплесный метод интерполяции Кальдерона[1] в случае пространств Е (Х). Главным результатом является теорема П.1#1, показывающая, что при простых условиях на Ь Е^ Х0 ^ ХА (большинство из которых необходимо в силу теоремы 1.3) имеем иЕ^хУ-СЧ^ГХ.,^8). «>

Ранее такая теорема была неизвестна даже при X — из шкалы. о.

Если иметь в виду не только задачу о вычислении интерполяционных цространств, но и цриложения интерполяции к конкретным операторам, то нужно учитывать тот факт, что для классических операторов уже известны многочисленные [^-оценки, поэтому наиболее интересны те методы, которые позволяют из цространств получать новые функциональные цространства. В этом отношении Р комплексные методы малоперспективны: из и можно получить только другие Ь. В § 2 исследуется задача об интерполяции? (X) именно с этих позиций. Прежде всего отмечается, что интерполяция сразу по изменяющимся Е и X невозможна, если мы выходим за границы степенного преобразования. Причина заключается в той же теореме Колмогорова — Нагумо из главыВ § 3 будет показано, что интерполяция по Е при фиксированном X возможна любым методом. Примеры показывают, что при фиксированном Е интерполяция по X возможна не всегда. В частности, она невозможна в случае наиболее популярных вещественных методов. В § 2 доказывается, что такая интерполяция при определённых условиях возможна в случаеметода В.И.Овчинникова[I], позволяющего по [Г строить пространства Орлича.

В § 3 на основе теоремы Хана — Банаха — Канторовича получено расширение области действия теоремы Янсона[1] об интерполяции сублинейных операторов. Затем результаты §§ 2,3 применяются к следующим конкретным задачам в пространствах Орлича со смешанной нормой: 1) оценки максимальных операторов (весовые и невесовыеобобщение? -результатов Феффермана — СтейнарЕ] и В.М.Кокила-швили[3]) — 2) теорема Карлесона — Хаита- 3) сингулярные интегральные операторы (с.и.о.) в весовом случае- 4) мультипликаторы интегралов Фурье (интерполяция теоремы П.И.ЛизоркинаЩ).

В § 4 систематически изучаются с.и.о. с общими ядрами Каль-дерона — Зигмунда в пространствах и с {Л). В случае № с.и.о. исследовались Дгк. Шварцем, Кальдероном и др. В теореме Ш. 4.1 установлено, что с.и.о. не являются порядково ограниченными. Этот результат, вместе с изложенной схемой из § П.З, является источником контпримеров. В теореме 4.4 доказано, что с.и.о. действует в, тогда и только тогда, когда рефлексивно. Отметим, что достаточность получается при помощи ринтерполяции и никакого другого доказательства неизвестно (доказательство для]Г ((?) не обобщается опять-таки в силу теоремы Колмогорова — Нагумо).

В § 5 приведены приложения с.и.о. к вопросу о базисности системы Ц®ЧЛ.т.в где — тригонометрическая система, а {хт} - произвольный базис в X • Показано, в частности, что — базис в 1 (Е) тогда и только тогда, когда 1 м.

1 И. ГП п п рефлексивно. Построены примеры рефлексивных X таких, что эта система — не базис в 1?(Х). Тут же получены аналогичные результаты о справедливости равенства где И^ - пространство Харди.

В § 6 начинаются приложения построенной теории к пространствам дифференцируемых функций многих переменных. Сам С. Л. Соболев Ь.

1] ввёл пространство V/ (0.р X) — естественный векторнозначный аналог А/р (ХХ). В § 6 исследуются пространства (^ X) «т.е. обобщение идёт одновременно и по пути Х-значности и по пути перехода отметрики к Еметрике. Обобщения и в том и в другом направлении были известны (Гриварр], МураматуЩ,.

А.Х.ХУдиевЩ, В.С.Климов[1−3], Дональдсен и ТрудингерЩ и др.), тем не менее, многие важные проблемы пространств №^Е и Собесу лева — Орлича VI Ьу ещё совсем не были разработаны. На основе развитой теории в § 6 решены следующие задачи: I) исследована связь с пространствами бесселевых потенциалов- 2) дано описание.

Р ^ сопряжённого Д/ £(Х) «3) описана интерполяция пространств А/^Е (Х) различными методами- 4) впервые исследованы на основе теорем §-П.7 банаховы свойства АГЬ (X) Большинство результатов являются новыми уже, если Е — [Г и X — любое бесконечномерное, или Е — СП, а X — одномерное (т.е. случай числовых функций). Техническим средством решения ряда из этих задач являть ется исследование мультипликатора г-—-—при (о/| = в предложении Ш. 6.2 и теореме Л.6.1, где используются результаты.

§ 4. В § 6 на основе подхода к пространствам к пространствам с дор минирующей смешанной производной (введённым в случае ЕметЬ / & рики С.М.Никольским) как пространствам типа л/ решены задачи об описании сопряжённого к ним и совпадения с соответствующим пространством бесселевых потенциалов с доминирующей смешанной производной (введённым С. М. Никольским и П.И.Лизоркиным).

§ 7 посвящен изучению липшицевых пространств Л СХ^ Е) ^ Кальдерона и Ю. А. Брудного и обобщённых пространств Бесова ^ обычных числовых функций при помощи приёма Кальдерона [I], позволяющего вложить эти пространства дополняемым образом в пространст.

— 18 ва вектор-функций. Общие пространства с^ ^ с других позиций рассматривались К.К.Головкиным[1,2] и самим 0.В.Бесовым?2,з]. В § 7 на основе результатов §§ 1−3 получены различные интерполяционные формулы для пространств Липшица и Бесова, а также впервые исследованы их банаховы свойства. Рассмотрены цространства с нестепенной^{-гладкостью,} введённые А.С.Джафаровым[1]- развит новый подход к получению теорем вложения для них на основе интерполяции ^ -методом.

В § 8 дано описание следов пространства Соболева V/ Е (Я) на 15 } У*- < п,, где Е1 — подходящее СП, в виде пространства типа Соболева — Слободецкого (которое, по-видимому, отлично от какого либо пространства типа Бесова при Е ^ I?). Это описание получено при помощи результатов об интерполяции из § 7, классической теоремы о следах С. М. Никольского — 0.В.Бесова и дальнейшего развития конструкции Кальдерона. Показана схема применения полученного результата к получению оценок решений неоднородных краевых задач.

Отметим, что в приложениях мы не стремились к предельной общности формулировок и привлечению самой мощной аналитической техники. Цель изложенного в том, чтобы показать, что развитые методы уже при использовании весьма скромного аналитического аппарата позволяют получать новые, нетривиальные результаты. Мы не претендуем здесь на построение общей теории обобщённых пространств Соболева и Бесова, где имеется ещё очень много открытых интересных проблем, хотя многие из элементов этой теории впервые затронуты в этой работе.

3? Здесь мы цриведём кратко точные формулировки основных результатов работы. При этом иногда в самой работе результаты сформулированы в большей степени общности.

Основной результат главы I — критерий интегральной представимости.

Теорема 1.1.1. Пусть 1Л * ^ ~ линейный оператор. Следующие утверждения эквивалентны:

1) К — интегральный оператор, т. е. 1/ допускает представление (I);

2) если | € I и 0 по мере (то же самое, что по норме в №), то О почти всюду.

Таким образом, за интегральность отвечает специфический вид непрерывности: оператор Ы переводит мажорированную в сходимость по норме в сходимость п.в. Доказательство нетривиальной импликации 2)=>1) полностью основано на исчислении порядково ограниченных операторов.

Основными результатами главы 2 являются теоремы о строении самого пространства Е (X) и его сопряжённого Е- (X).

Теорема НАЛ. Пусть Е. — БИП на (Т, ^х), X — фиксированное бесконечномерное БП. Следующие утверждения эквивалентны:

1) Е ® X плотно по норме в Е.(Х) ;

2) в Е выполнено условие (А): (е^О)3^ в случае сепарабельности меры ^ условие (А) эквивалентно сепарабельности Е.). # ^.

Перейдём к рассмотрению Е (X). Функционал ^ € Е1 (X) | ., «» называется (о Е)-непрерывным, если из II | («Ь)|| 7*0 п.в. и следует, что 0 (пишем).

Всякий допускает интегральное представление с помощьюX-скалярно измеримой функции ЬУ: Т-> X :

Функционал E (X) называется сингулярным, если для любого I? EL (X) существует A€Z.> u (/4)>0,4С"РР^такое, что.

Т — ль ' II 0 (пишем SP€E (X)~).

Каждому функционалу Е (Х)* можно сопоставить положительный функционал — его абстрактную норму — по формуле.

IV? I (е)=sup {I tf ф|: Jc Е lli (- >lxs е}, е € Е + .

Ясно, что.

Имеет место следующая обобщённая теорема Иосиды — Хьюитта. Теорема П.5Л. Всегда s.

Е (Х) =Е (Х)^$Е (Х) — более того, любой функционал Е (Х) единственным образом Л" разлагается в сушу —^, где ^? Е (Х)^) ^€?00*, причём = -4-Напомним, что.

БП X обладает свойством Радона — Никодима (X С (RNy) «если любая Xзначная мера конечной вариации, абсолютно непрерывная относительно меры Лебега на Х.0Р 1], имеет Xзначную производную, суммируемую по Бохнеру. Теорема П. 7.1.

E (X)€(RW))"=> (E€(RN) h Х&euroCRN".

Основными результатами главы Ш являются интерполяционные теоремы для пространств из §§ 1−3 и построение на основе этих теорем ряда важных аспектов теории пространств дифференцируемых функций многих переменных.

БИЛ Е. называется совершенным, если sup влечёт, что e^fe^E и Sup Нб^Ц (пространства Орлича,.

Лоренца, Марцинкевича всегда совершенны).

— 21.

В Кальдерон[к] введены два комплексных метода интерполяции [^0?ХЛ [Хс X,]. Первый из них приспособлен для изучения сепарабельных пространств, а второй — совершенных. Если задача об интерполяции первым методом в пространствах вектор-функций была решена в Кальдерон |[1], то решение для второго метода не было получено. гг- 1-е е /.

Пусть Е0? Е±- - БИЛ, Ее= Е0 Е±- (0<�(c)<1) — БИЛ функций I: ЦиЛе^ее1в-е:€Е:С| = 0Л). пусть (Хп, — интер

4> «/б поляционная пара БП- ^ у г [X •.

Теорема Ш. 1.1. Пусть Еосовершенны и выполнены следующие условия:

1) единичный шар БП В^е замкнут по норме в Х0+Х^ ;

2) любая функция ?:Т->Хе «которая измерима как (Х+Х-).

6 о -1.

— значная функция, измерима и как Xзначная функция.

Тогда выполнено равенство.

ЕоСХДЕ,(ХА)Дв = Ее (СХ0,ХЛе).

Отметим, что условие 1) выполнено во всех известных автору 6 случаях. Оба условия выполнены, например, если[)(X.] рефлексив.

Ро / Р 0) л но, что охватывает случай ц1 (ре и рл ф одновременно 1 или «о). в теоремеШ.1.3 показано, что уже в случае Е0-Е1 — 1^(0,1) условие типа 2) необходимо.

Применение^{-метода} интерполяции и теорем § П.З о непрерывности векторнозначных расширений операторов даёт следующий результат" Пусть -" ОГ^-ь-" оо.

— с.и.о. Гильберта.

Теорема Ш. 4.4. H непрерывен в L^Р <о0> тогда и только тогда, когда L^ рефлексивно.

Отметим, что аналогичный результат верен и для других с.и.о. Пространства Соболева X) и бесселевых потенциалов.

Лиувилля) LE (R, X) определяются естественным образом заменой.

— метрики на Еметрику и функций с числовыми значениями на Х-значные (?>0 — целое). Известно важное соотношение Wp®-Lp®t^.

Ро |Р±- «если оно интерполяционно относительно некоторых и и L • Известно, что М (сОб (?>) — Цр^), (5) р-^°с>) —^{рефлексивно.} ^.

Теорема Ш. 6.2. Пусть t >0 — целое, EL — СП на R, п> 1,.

1) Если СП.

EC (jf) и БП X таково, что И действует в LTCX) (см. теорему DI.4.4), то.

WeE (R" = Li’L (X). (7).

2) Если выполнено (7), то X В-выпукло (что означает отсутствие в X последовательности подпространств (^-изо-метричной I — в случае, когда X — БИП, это условие равноrV сильно существованию на X эквивалентной равномерно выпуклой нормы), а если СП t — сепарабельно или совершенно, то.

Доказательство теоремы Ш. 6.2 основано на изучении свойств ±<* — мультипликатора ——^ w. Аналогичного рода результат * / t / / ^ получается для естественной формулы вычисления сопряжённого W^(R^xf-Vi^EX^X*) * гДе дуальное БИП, состоящее из функций, задающих функционалы на ?. (если Е — L, то lip' — Е ~ L). Б теореме Ш. 6.6 для многих банаховых свойств установлена эквивалентность.

Ц1 Е (а, Х)€(®) (Е$СР)8сХ€(Р)), доказательство которой основано на результатах §-П.7.

В § 7 на основе всей развитой ранее теории реализована схема Кальдерона исследования обобщённых пространств Бесова с помощью вектор-функций. Эти исследования дополняют результаты К. К. Головкина, Ю. А. Брудного и самого 0.В.Бесова в этом направлении.

Пусть X — БП функций на к, инвариантное относительно сдвига, в котором сдвиг сильно непрерывен (это условие близко к сепарабельности X) — (|, т) — модуль непрерывности функции X кго порядка относительно Xметрики.

Пусть Е — БИП на (0 °о). Липшицево пространство ЛУх, Е) есть БП всех | € X с конечной нормой т:

Нам потребуются операторы Харди — Литтлвуда: оо ^ ^ с! <5*.

А^Хф-фс^ (в^-фс")-* х 0.

Если 1С — положительная функция на (Ороо), то И Еесть БИП всех измеримых функций ё. таких, что ял-е € Е, с нормой \€ 1 ^-НибИ^ С если Е Ф 1 Г «то это уже, вообще говоря, не весовое пространство!). Кальдерон[1] показал, что если в Е непрерывны операторы А<�и В^ 0<�К1с, то пространство канонически вкладывается в качестве дополняемого подпространства в Е (X) Ф X .На свойствах этих вложения и проектора основаны приложения пространств Е (Х) к. теории пространств.

Л (х^) и обобщённых цространств Бесова & ^? , к определению которых мы переходим. Пусть теперь > 0 — любоеЕ — СП на (0,°° интерполяционное относительно Е (о, 00} ^ %) и Е (00).

I «24» .

Пространство В^? есть БП всех измеримых функций ^ на ^ «для которых конечна норма где ^>0 — целое, I — ?-0 прш0<^<1 — =-1 при 1. Если ХЕ — с1хЛ). то В у г • Связь между пространствами Липшица и Бесова определяется формулой.

Всё это позволяет при помощи результатов §§ Ш.1-Ш.З доказать следующую интерполяционную теорему.

Теорема Ш. 7.2. 2) Если совершенны, а X ^ Х^ удовлетворяют условиям теоремы ШЛЛ, то.

V/ «Ч^СЧ* ¦

Друтие утверждения теоремы Ш. 7.2 посвящены^{-интерполяции.} Отметим, что ъР-интерполяция по гладкости позволяет получить пространства Бесова с ^ -гладкостью и теоремы вложения для них (например, теорему о следах А.С.Джафарова). Теорема Ш. 7.2 имеет в качестве своего очевидного следствия соответствующие мультипликативные неравенства.

В § 8 техника §-Ш.7 применяется для решения задачи об описании следов пространства Соболева V/ Е, построенного по СП Е на подпространствах К? т" < К-. Рассмотрим сначала случай =. Дробное пространство Соболева — Слободецкого у ^ ц, к. д/ ЕСб) вводится как БП всех функций ^ € Е, для которых конечна норма.

Е di4-i пи 1 «г.. *, где Е — аналог СП Е на? + - * К с мерой аъ ®-<*иТ.

Легко видеть, что V^ТЙ$ • Аналог СП Е на любом.

Р’Р — с мерой Лебега обозначаем через Ь .

Теорема Ш. 8.-1. Пусть СП Е на ^ входит в класс (, 1>0 — целое. Тогда.

•г-1.

В теореме Ш. 8.2 цриведено близкое описание следов на при юг<*г-1.

4.° Основные результаты диссертации докладывались на семинарах в МИАН и МГУ (руководители С. М. Никольский, Л. Д. Кудрявцев, П. Л. Ульянов, Е. М. Никишин, А.М.Олевский), ЛОМИ и ЛГУ (руководители В. П. Ильин, Н. К. Никольский, В. П. Хавин, Б. З. Вулих, Б.М.Макаров), ВГУ (руководитель Е.М.Семёнов), Институте математики СО АН СССР (руководитель С.Л.Соболев), а также в Школах по теории операторов в функциональных пространствах (Новосибирск (1975,1977), Новгород (1976), Минск (1978), Рига (1983), см. Бухвалов[16,25, 27], Бухвалов и Лозановский[2]), в зимней математической Школе в Воронеже (1975), на заседании секции математики Западного научного центра АН УССР, посвящённом 90-летию со дня рождения С. Банаха (Львов, 1982), на заседаниях Московского (1980, Бухвалов^]) и Ленинградского (1979, Бухвалов[21]) математических обществ.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах Бухвалов[2,7-И, 13−15Д7,18,20,23,25,27,28], Бухвалов и Лозанов-ский [I]. Некоторые вспомогательные сведения содержатся и в других работах автора, приведённых в списке литературы. 26 —.

В обзоре Бухвалов и Лозановский]^ приведены многие основные результаты диссертации, опубликованные ранее в отдельных работах. Некоторые результаты (в частности, критерий интегральной представимости) вошЛй в монографии Канторович и Акилов [I](см. § 6 главыи § 1 главы И) и Коротков|У].

Система ссылок. I) Запись т. я. означает ссылку на пункт к § а главы По,. Аналогично понимается запись «теорема пг. п. К Внутри данной главы пункты и утверждения нумеруются двумя цифрами — опускается номер главы.

2) Используемые известные утверждения нумеруются цифрой (номер параграфа) и русской буквой (например, теорема 2. А).

3) Ссыжа Коротков^з] означает ссылку на работу, идущую под номером 3 среди работ В. Б. Короткова в списке литературы. При ссылках на работы более, чем двух авторов, фамилии всех авторов, кроме первого, сокращаются «и др.» Например, монография Канторов вич, Вулих } Пинскер[1] обозначается Канторович и др. 1].

4) В связи с частыми ссылками на монографию Канторович и Акилов [I] обозначаем ссылку на неё сокращённо [ка] .

5) В случае, когда используемый результат нашёл отражение в монографической литературе, ссылка, как правило, делается на книгу, а не на оригинальную статью.

6) Конец доказательства обозначается знаком.

— 27.

Глава О ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ.

В системе терминов и обозначений мы следуем монографии Канторович и Акилов[?](далее [ка]). Начнём с обозначений и сокращений, постоянно применяемых на протяжении всей работы.

Обозначения.

— множество натуральных чиселС — множество комплексных чисел;

К — и,-мерное действительное евклидово пространство- 2 — пространство всех измеримых почти всюду конечных функций;

— характеристическая функция множества, А ;

1 1 — Функция, тождественно равная единице на множестве Т — со (М) ~ выпуклая оболочка множества М ;

— тождественное отображение пространства X — X С (ф) — объект X обладает свойством объект X не обладает свойством (ЕР) — X — пространство непрерывных линейных функционалов на банаховом пространстве X — Е- - дуальное пространствор7 — если 1 ^ р, то Ур + = ^ ;

Щ= - символ окончания доказательства.

Сокращения.

БИЛ — банахово идеальное пространство;

БП — банахово пространство;

ИП — идеальное пространствоо) — сокращение для слова «порядковый»: п.в. — почти всюду;

— 28.

СП — симметричное пространствос.и.о. — сингулярный интегральный оператор.

Некоторые общие термины и обозначения 0.0.1) Буквами Х? У обозначаются абстрактные векторные пространства (например, ЕЛ). Буквами Е^Ь^ С обозначаются пространства измеримых функций. Буквами х,^ 5 обозначаются элементы векторных пространств-.!^ ^ е — числовые функции (для функций из Е могут употребляться все четыре буквы). В случае функций со значениями в БП д пишем? , а со значениями в X — а. Функционалы обозначаются буквами Х/'Ц 5 б или % у. Значение функционала х на элементе х обозначается как х (х), так и х*>. Отметим, что символом | обозначается убывающая перестановка функции (см. Крейн и др. 1]).

0.0.2) Если рассматривается одно множество Т $ то точки из Т обозначаются *Ь. Если рассматриваются два множества Т£ и Т^, то $£Т2. Для обозначения точек в употребляем буквы 5 и 1 — если одновременно используется одномерная переменная, то употребляется буква т .

0.0.3) Для обозначения последовательностей в качестве индексов используются латинские буквы — и т. д., а для обозначения направлений — греческие — {ое^^^ и т. д.

0.0.4) Если не оговорено противное, то все результаты работы справедливы как для действительных, так и для комплексных векторных пространств, но для определённости, как правило, предполагается, что пространства действительны. Случай комплексных скаляров требует лишь минимальных изменений. Это касается, в частнос ти, теории идеальных пространств (см. [м], стр.377−378). Все векторные пространства предполагаются отличными от .

0.0.5) Все операторы и функционалы, если не оговорено противное, предполагаются линейными. Если Х^ У — БП, то Б (Л, У) -ЕЛ всех линейных непрерывных операторов из X в У .

0.0.6) Пусть X — векторное пространство, У — некоторое линейное множество линейных функционалов на X. Через б (X, У) обозначается слабая топология на X, наведённая У. Она порождается множеством полунорм р (о:)=|х (эс) г где эс, &euro-У. Через.% обозначается каноническое отображение X в пространство функционалов на У: 0-эсеХ., х*6 У • Говорят, что У тотально на X, если У разделяет точки на X: для любого х^Х, х^О, найдётся х € У такой, что Если X — локально.

V/* выпуклое пространство (в частности, ЕП), то X — его топологическое сопряжённое.

0.0.7) Пусть X — БП. Подпространство (не обязательно замкнутое) У в X называется^{-нормирующим,} если х, х >|: хеУ? ц^й $. Через В^-{^К' 11*11 $ 1} обозначается единичный шар пространства X .

0.0.8) Знак включения употребляется в двух смыслах. Если X и У — БП, то запись ХС У означает, что существует изоморфное вложение X в У (X ф. У означает, что такого вложения не существует). Если Ь и? — пространства функций, то £ср означает просто теоретико-множественное вложение.

0.0.9) Мера Лебега в Й обозначается с1″ Ь илио!^. Еслииг — вес, то игсИЛ — весовая мера:^ц (А) -^^вОЛЬ.

1. О следах на негладкой поверхности классов дифференцируемых функций.— Труды МИАН, 1972, 117, 11−21.

2. Об аналитическом представлении операторов с абстрактной нормой. ДАН СССР, 1973, 208, Л5, I0I2-I0I5.

3. О топологических K-линеалах.-Вестник ЛГУ, 1973, МЗ, 14−20.

4. О пространствах со смешанной нормой.-Вестник ЛГУ, М9,1973, 5−12.

5. О некоторых свойствах нормы и полуупорядочения в пространствах операторов.- Оптимизация, 1973, 12(29), 23−28.

6. Аналитическое цредставление операторов при помощи измеримых вектор-функций.- Вестник ЛГУ, 1974, Ш7, 157−158.

7. Об интегральном представлении линейных операторов, -вап.научн. семинаров ЛОМИ, 1974, 17, 5−14.

8. Критерий интегральной представимости линейных операторов.-Функц. анализ и его прилож., 1975, 9, Ж, 51.

9. Интегральные операторы и представление вполне линейных функционалов на пространствах со смешанной нормой.-Сиб. мат. ж., 1975, 16, ЖЗ, 483−493.

10. О двойственности функторов, порождаемых пространствами вектор-функций.-Известия АН СССР, сер. мат ем. Д975, 39, № 6,1284−1309.

11. Об аналитическом представлении операторов с абстрактной нор- 273 мой.-Известия вузов. Математика, 1975, MI, 21−32.

12. Факторизация компактных операторов и пример рефлексивной банаховой решётки без свойства аппроксимации.- ДАН СССР, 1976, 227, ЖЗ, 528−530.

13. Пространства Харди векторнозначных функций.- Зап научн. семин ЛОМИ, 1976, 65, 5−16.

14. Об аналитическом представлении линейных операторов при помощи измеримых вектор-функций.-Известия вузов. Математика, 1977, Ш7, 21−31.

15. Геометрические свойства банаховых пространств измеримых вектор-функций.- ДАН СССР, 1978, 239, № 6, 1279−1282.

16. Пространства измеримых вектор-функций как банаховы пространства. -Тезисы докладов в Школе по теории операторов в функциональных пространствах (3−9 июля 1978 г.). Белорусский Гос. Ун-<�рИнститут математики СО АН СССР, Минск, 1978, 28−29.

17. Дополнения к статье «О двойственности функторов, порождаемых пространствами вектор-функций» .-Известия АН СССР. сер. матем., 1978, 42, № 5, 923−927.

18. Непрерывность операторов в пространствах измеримых вектор-функций с приложениями к исследованию пространств Соболева и аналитических функций в векторнозначном случае.-ДАН СССР, 1979, 246, № 3, 524−528.

19. Обобщение теоремы Колмогорова Нагумо на тензорные произведения.- В сб." Качеств. и прибл. методы исслед. операторных уравнений". Ярославль, вып.4, 1979, 48−65.

20. Свойство Радона Никодима в банаховых пространствах измеримых вектор-функций.-Матем. заметки, 1979, 26, $ 6, 875−884.

21. Банаховы пространства измеримых векторнозначных функций. -УМН, 1980, 35, Ж, 235.

22. О связи симметричных пространств на квадрате с пространствами со смешанной нормой.-Тезисы конф. ТартГУ, 1980, 100−102.

23. Комплексный метод интерполяции в пространствах вектор-функций и обобщённые пространства Бесова.-ДАН СССР, 1981, 260, JS2, 265 269.

24. Банаховы решётки и их приложения.-УМН, 1982, 37, Ш, 179−180.

25. Интерполяция линейных операторов в пространствах векторнознач-ных функций.-Тезисы докладов. Школа по теории операторов в функциональных пространствах (4-II июля 1982 г.). Белорусский Гос. Ун-^г Институт математики СО АН СССР, Минск, 1982, с. 30.

26. Факторизация линейных операторов в банаховых решётках и пространствах вектор-функций.-В сб." Качеств, и прибл. методы исслед. операторных уравнений". Ярославль, 1982, 34−46.

27. Интерполяция линейных операторов в пространствах Бесова.-Тезисы докладов. Школа по теории операторов в функциональных пространствах (27окт.-4ноября 1983 г.). Латвийский Гос. Ун-кгИнститут математики СО АН СССР, Рига, 1983, 38−39.