Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Нелинейные гиперболические уравнения и характеристические алгебры Ли

Диссертация: Нелинейные гиперболические уравнения и характеристические алгебры Ли
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Симметрийный подход является эффективным при исследовании эволюционных уравнений. При симметрийной классификации гиперболических уравнений даже в простейших ситуациях возникают серьезные трудности технического и принципиального характера. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы. Все теоремы, леммы, замечания и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых… Читать ещё >

Содержание

  • Глава 1. Инварианты Лапласа и характеристические алгебры
    • 1. Линейные гиперболические уравнения
    • 2. Критерий интегрируемости нелинейных гиперболических уравнений по Дарбу
    • 3. Преобразования Лапласа и Беклунда
  • Глава 2. Нелинейные гиперболические уравнения со специальной правой частью
    • 4. Уравнение Клейна-Гордона
    • 5. Базис характеристической алгебры Ли уравнения синус-Гордон
    • 6. Уравнение иху = f (u, их)
    • 7. Уравнение иху = f (ux, иу)
  • Глава 3. Гиперболические уравнения иху = f (u, ux, uy)
    • 8. Нелинейные уравнения с конечномерной характеристической алгеброй
    • 9. Условия медленного роста характеристической алгебры Ли
    • 10. Уравнение иху = K (u)L (ux)B (uy)
    • 11. Анализ пространств Lg и L7 при dim Lg = dim L7 =
    • 12. Симметрии модифицированного уравнения синус-Гордона
  • Заключение

Нелинейные гиперболические уравнения и характеристические алгебры Ли (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Теория алгебр Ли выросла из классической теории непрерывных групп преобразований (вторая половина XIX века), основателем которой считается норвежский математик Софус Ли (см. [7, 8]). Основным результатом является сведение «локальных» задач (исследование локальных свойств), относящихся к группам Ли, к соответствующим задачам теории алгебр Ли, то есть к чисто алгебраическим объектам. Наиболее эффективным приложением групп Ли является их использование в общей теории дифференциальных уравнений (см. [29, 30, 44, 45]).

Существенные достижения в области группового анализа были получены Л. В. Овсянниковым и его школой с 50-х годов XX века [44] который показал разнообразные и плодотворные применения группового анализа в механике жидкости и газа. С использованием теоремы Ли Н. Х. Ибрагимов, В. А. Байков, Р. К. Газизов (см. [3, 50, 52]) получили инфинитезимальное описание приближенных групп преобразований и доказали критерий приближенной инвариантности. Метод обратной задачи рассеяния (см. [1, 27]) позволил проинтегрировать важные для приложений дифференциальные уравнения, обладающие широкой группой симметрий (см. [29]). Рассмотрение наличия у уравнения бесконечной алгебры симметрий в качестве отличительного признака интегрируемости привело к возможности классификации интегрируемых уравнений на основе «симметрийного» подхода (см. [2, 12, 25, 26, 28, 31, 35, 36, 57]), важный вклад в развитие которого внесла математическая школа профессора А. Б. Шабата. Первые классификационные результаты, относящиеся к уравнениям эволюционного типа, были получены совместно Н. Х. Ибрагимовым и A.B. Шабатом на основе теории формальных групп Ли-Беклунда.

Гиперболические уравнения занимают в теории интегрируемых уравнений особое место. С одной стороны они имеют больший прикладной интерес, чем эволюционные, а с другой — они гораздо труднее поддаются классификации и решению методом обратной задачи рассеяния.

Симметрийный подход является эффективным при исследовании эволюционных уравнений. При симметрийной классификации гиперболических уравнений даже в простейших ситуациях возникают серьезные трудности технического и принципиального характера.

В данной диссертационной работе для решения задачи классификации интегрируемых уравнений иху = f (u, ux, uy) (0.1) используется подход, основанный на исследовании структуры так называемой «характеристической» алгебры.

Определение 0.1. Алгебра Ли — это векторное пространство L с билинейной операцией.

-, .]: LxL^L, называемой скобкой Ли (коммутатором) алгебры L и удовлетворяющей следующим аксиомам: а) билинейность: г> + cu, w] = [v, w] + c[u, u>, b) кососимметричность: v, w] = ~[w, vc) тождество Якоби u, v], w] 4- + [{v, w], u} = 0, для всех u, v, w из L.

Впервые понятие характеристической алгебры было введено A.B. Ша-батом и Р. И. Ямиловым [48] для экспоненциальных систем вида ulxy — exp^in1 +. + ainun), г = 1, 2,., п. (0.2).

Было показано, что характеристическая алгебра Ли системы (0.2) конечномерна тогда и только тогда, когда К = {ац) — матрица Картана простой алгебры Ли.

А.Н. Лезновым, В. Г. Смирновым и A.B. Шабатом в работе «Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем» [33] для гиперболических систем уравнений.

DDu1 = Ful,., ur), i = 1,., г. (0.3) показано, что условием полной интегрируемости в квадратурах уравнений (0.3) является конечномерность алгебры Ли, связанной характеристическим уравнением.

DW = 0, W = W (ux, uxx,.-.) характеристической алгебры), а условием интегрируемости методом обратной задачи рассеяния — наличие конечномерного представления характеристической алгебры.

В работе A.B. Жибера и Ф. Х. Мукминова «Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры» [14] метод исследования интегрируемости, основанный на изучении характеристических алгебр Ли, используется для систем гиперболических уравнений вида.

4 = c) kujvk + 4v = dflUjvl + djUj, (0.4) i = 1, 2,., n, к = 1, 2,., п. Например, уравнение Лиувилля zxy = ez можно записать в виде: их — uv, vy — и (г = к = 1, и = и1 — ez, v = v1 = zx).

Показано, что система уравнений (0.4) обладает не одной, а двумя характеристическими алгебрами А, А и эти алгебры естественным образом «склеиваются» в единую алгебру Ли (см. также [6]) на основе так называемых соотношений нулевой кривизны (L — А пары) для системы (0.4).

В работе И. Т. Хабибуллина [54] понятие характеристической алгебры было обобщено на дискретные модели и на этой основе в работе [47] была проведена частичная классификация цепочек. В работе [55] авторами получен полный список цепочек вида hx = tx + d (t, t1), (0.5) допускающих нетривиальные rc-интегралы. Проблема существования п-интегралов для цепочки (0.5) остается открытой.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы. Все теоремы, леммы, замечания и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых означает номер параграфа, а вторая — номер по порядку.

Основные результаты диссертации состоят в следующем: Исследованы характеристические алгебры Ли линейных гиперболических уравнений, которые связаны хи ^/-преобразованиями Лапласа. Показано, что последовательность инвариантов Лапласа к-п, п = 0,1,. конечна только в том случае, когда размерность характеристической алгебры Ли уравнения конечномерна. Приведено новое более простое доказательство критерия интегрируемости по Дарбу нелинейного гиперболического уравнения, основанное на понятии характеристической алгебры Ли. Описаны нелинейные гиперболические уравнения, линеаризации которых связаны-преобразованием Лапласа. Приведены преобразования Беклунда этих уравнений. Решена классификационная задача для интегрируемых уравнений Клейна-Гордона на основе их характеристической алгебры. Для уравнения синус-Гордона описана структура характеристической алгебры Ли. Приведен полный список гиперболических уравнений с конечномерной характеристической алгеброй размерности 2, 3, 4. Описаны уравнения с бесконечномерной характеристической алгеброй «медленного» роста. Построен локальный дифференциальный оператор, переводящий высшие симметрии в высшие симметрии меньшего порядка для модифицированного уравнения синус-Гордона, а также оператор рекуррен-ции, определяющий алгебру симметрий этого уравнения. Приведен оператор, который симметрии переводит в интегралы и обратный оператор, переводящий интегралы в симметрии для вырожденного случая модифицированного уравнения синус-Гордона.

Заключение

.

Показать весь текст

Список литературы

  1. М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир.- 1987.
  2. В.Э., Шабат А. Б., Ямилов Р. И. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости // Теоретическая и математическая физика.- 2000. Т. 125. — № 3. — С. 355 — 424.
  3. В.А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Приближенные группы преобразований // Дифференциальные уравнения. 1993. — Т. 29. -№ 10. — С. 1712 — 1732.
  4. А.Б., Зыков С. А. Одевающая цепочка дискретных симметрии и размножение нелинейных уравнений // ТМФ. 1998. — Т. 115.- № 2. С. 199−214.
  5. А.Б., Зыков С. А., Павлов М. В. Уравнение Цицейки и размножение нелинейных интегрируемых уравнений // ТМФ. 2002. -Т. 131. — № 1. — С. 126−134.
  6. A.A. Гиперболические системы уравнений типа Риккати и связанные с ними алгебры Ли // Дисс.. канд. физ.-мат. наук. -Стерлитамак.: СГПИ. 2002. — 74 с.
  7. Н. Группы и алгебры Ли. Москва: Мир. — 1972. — 334 с.
  8. Н. Алгебры Ли. Москва: Мир. — 1964. — 355 с.
  9. A.B. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симметрий // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. — Т. 58. — № 4. — С. 33 — 54.
  10. A.B. О полной интегрируемости двумерных динамических систем // Проблемы механики и управления: Сб. статей УНЦ РАН, Уфа. 1994. — 192 с.
  11. A.B., Гурьева A.M. О характеристическом уравнении квазилинейной гиперболической системы уравнений ]/ Вестник УГАТУ.2005. Т. 6. — № 2(13). — С. 26 — 34.
  12. A.B., Ибрагимов Н. Х., Шабат A.B. Уравнения типа Ли-увилля // Доклады АН СССР. 1979. — Т. 249. — № 1. -С. 26 — 29.
  13. A.B., Костригина О. С. Интегрируемые двумерные динамические системы и характеристические алгебры Ли // Труды Института Механики УНЦ РАН. 2007. — № 5. — С. 195−201.
  14. A.B., Мукминов Ф. Х. Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры // Задачи математической физики и асимптотики их решений. Уфа: БНЦ УрО АН СССР. 1991. -С. 14 — 32.
  15. A.B., Муртазина Р. Д. Инварианты Лапласа и характеристические алгебры Ли // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 39-й Региональной молодежной конференции. 2008. -С. 118 — 122.
  16. A.B., Муртазина Р. Д. О векторных полях интегрируемых уравнений Клейна Гордона // Межвузовский научный сборник, УГА-ТУ. — 2004. — С. 131 — 144.
  17. A.B., Муртазина Р. Д. О нелинейных гиперболических уравнениях с характеристической алгеброй медленного роста // Вестник УГАТУ. 2006. — Т. 7. — № 2. — С. 131 — 136.
  18. A.B., Муртазина Р. Д. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа: РИЦ БашГУ. 2008 — № 1. — С. 84 — 92.
  19. A.B., Муртазина Р. Д. Характеристические алгебры Ли для уравнения иху ~ f(u, ux) // ФПМ. Гамильтоновы и лагранжевы системы. Алгебры Ли. 2006. — Т. 12. — № 7. — С. 65−78.
  20. A.B., Соколов В. В. Преобразования Лапласа в классификации интегрируемых квазилинейных уравнений // Проблемы механики иуправления. Уфа: Уфимский научный центр РАН. — 1995. — N2 2. -С. 51 — 65.
  21. A.B., Соколов В. В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // УМН. 2001. — Т. 56. — № 1(337).- С. 63−106.
  22. A.B., Соколов В. В., Старцев С. Я. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Доклады РАН. 1995.- Т. 343. № 6. — С. 746 — 748.
  23. A.B., Шабат A.B. Системы уравнений их = p(u, v), vy = q (u, v) обладающие симметриями // Доклады АН СССР. 1984.- Т. 277. № 1. — С. 29 — 33.
  24. A.B., Шабат A.B. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой // Доклады АН СССР. 1979. — Т. 247. — № 5. — С. 1103−1107.
  25. В.Е., Манаков C.B., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.: Наука. — 1980. — 290 с.
  26. М.Ю. Уравнения второго порядка, приводимые преобразованием Беклунда к zxy = 0 // Доклады АН СССР. 1991. — 316. — № 1.- С. 36 40.
  27. H. X. Группы преобразований в математической физике.- Москва: Наука. 1983. — 280 с.
  28. H. X. Опыт группового анализа обыкновенных диффрен-циальных уравнений. — Москва: Знание. 1991. — 47 с.
  29. Н. X., Шабат A.B. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Беклунда. // Функциональный анализ и его приложения. 1980. — Т. 14. — № 1. — С. 25 — 36.
  30. М.Н. Симметрии уравнения эллиптического синуса // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике: Том 1 Математика / Уфа: БашГУ.- 2007. С. 170 — 179.
  31. А.Н., Смирнов В. Г., Шабат A.B. Группа внутренних симметрии и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика. 1982. — Т. 51. — № 1. — С. 10 — 22.
  32. Метод каскадного интегрирования Лапласа и уравнения, интегрируемые по Дарбу. Учебное пособие / A.B. Жибер, В. В. Соколов. Изд-е Башкирск. ун-та. — Уфа. — 1996. — 56 с.
  33. A.B., Шабат A.B., Соколов В. В. Симметрийный подход к классификации интегрируемых уравнений // Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. Киев: Наукова думка. — 1990.- С. 213 279.
  34. A.B., Шабат A.B., Ямилов Р. И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи математических наук. 1987. — Т. 42. — № 4. -С. 3 — 53. J
  35. Р.Д. Нелинейные гиперболические уравнения и характеристические алгебры Ли // Труды института математики и механики УрО РАН. 2007. — Т. 13. — № 4. — С. 102 — 117.
  36. Р.Д. О нелинейных гиперболических уравнениях иху = /(и, их, иу) // Проблемы! теоретической и прикладной математики: Труды 38-й Региональной молодежной конференции. 2007. — С. 174- 178.
  37. Р.Д. О нелинейных гиперболических уравнениях с конечномерной алгеброй Ли // Материалы Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А. Ф. Леонтьева. Уфа: ИМ с ВЦ УНЦ РАН. 2007. — Т. 2. — С. 50−51.
  38. Р.Д. Характеристические алгебры Ли и симметрии уравнения мСГ ?1 Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа: РИЦ БашГУ. 2008. — № 1. — С. 156 — 164.
  39. Р.Д. Характеристические алгебры Ли интегрируемых уравнений Клейна-Гордона // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва: ОПиПМ. 2006. — Т. 13. — № 3. — С. 525−526.
  40. Р.Д. Характеристические алгебры нелинейных гиперболических уравнений // Студент и научно-технический прогресс: ХЫП Международной научной студенческой конференции. Новосибирск: НГУ. 2005. — С. 39 — 40.
  41. JI. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — Москва: НАУКА. 1981. — 399 с.
  42. П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям Москва: Мир. 1989. — 639 с.
  43. Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Ил. — 1957. — 443 с.
  44. И.Т., Пекан А. Характеристическая алгебра Ли и классификация полудискретных моделей // Теоретическая и математическая физика. 2007. — Т. 151. — № 3. — С.413−423.
  45. А.В., Ямилов Р. И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана // Препринт БФАН СССР, Уфа. 1981. — 23 с.
  46. Anderson I.M., Juras M. Generalized Laplace invariants and the method of Darboux // Duke Math. J. 1997. — V. 89. — № 2. — P. 351 — 375.
  47. Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometriques du calcul infinitesimal. Paris: Gauthier-Villars. — 1896. -V. 1 — 4. — 513 c., 579 c., 512 c., 547 c.
  48. Gazizov R. K., Ibragimov N. H. Lie Symmetry of Differential Equations in Finance // Nonlinear Dynamics. 1998. — V. 17. — P. 387−407.
  49. Goursat E. Lecons sur l’integration des equations aux derivees partielles du second ordre a deux variables independantes — Paris: Hermann, v. 1,11, 1896, 1898. 226 c., 345 c.
  50. Habibullin I.T. Characteristic algebras of fully discrete hyperbolic type equations // Symmetry Integrability Geom.: Methods Appl. 2005. — V. 1. — Paper 023 — 9 pages.
  51. Habibullin I.T., ZheltukhinaN., Pekcan A. On the classification of Darboux integrable chains J. Math. Phys. — 2008. — V. 49. — № 10. (40 pages)
  52. Roux J.Le. Extensions de la methode de Laplace aux equations lineaires aux derivees partielles d’ordre superieur au second // Bull.Soc.Math.France. -1899. V. 27. — P. 237−262.
  53. Sokolov V.V., Shabat A.B. Classification of integrable evolution equation // N.Y.: Harwood Academic Publishers. Soviet Scientific Reviews, Section C. 4. 1984. — P. 221−280.
  54. Sokolov V.V., Zhiber A.V. On the Darboux integrable hyperbolic equation 11 Phys.Lett.A. 1995. — V. 208. — P. 303−308.
  55. Vessiot E. Sur les equations aux derivees partialles du second order, F (x, y, p, q, r, s, t) — 0, inteqrables par la methode de Darboux //J. Math. Pure Appl. 1939 — V. 18. — № 9. — P. 1 — 61.
  56. Vessiot E. Sur les equations aux derivees partialles du second order, F (x, y, p, q, r, s, t) — 0, inteqrables par la methode de Darboux //J. Math. Pure Appl. 1942. — V. 21. — № 9. — P. 1 — 68.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!