Некоторые типичные особенности решений нелинейных уравнений математической физики с малым параметром

Теория особенностей гладких отображений (теория катастроф) [1]—[4] есть обобщение задачи исследования функций на экстремум, в котором функции заменены на семейства функций. При этом рассматриваются подозрительные на экстремум точки, типичные именно для семейств функций, определяемых дополнительными к основным переменным параметрами, зависимость от которых описывает подозрительные на экстремум точки как функции. В дальнейшем, следуя терминологии [3],[4], эти дополнительные параметры будут называться управляющими.

Например ([1]—[4]), на плоскости X = (^х, Х2) управляющих переменных типичны точки сборки X* = (х*, х1), для которых найдутся такие V = К, что равны нулю три первых коэффициента рядов Тейлора гладких функций /(X*, V) оо 1 оз г.

X*, V*) = ГУ{Х V*) = V*) = 0.

Корни уравнений.

1(х, V) = О (1) определяют критические точки первообразных /К/(Х, семейств функций /(X, V).) Так как за счет величин гс^ и х% на разложения в точках (X = X*, V = V*) функций /(X, V) можно наложить не более двух ограничений, то в их рядах Тейлора в этих точках Е сио (х1-х1У (х2-х*2У + (У-У) Е ст (х1-х1У (х2-х1У+ (2).

1+3>1 ?+7>1 Е сш{У — У*)к + Е (V — У*)к Е (кфг — х1У (х2 — х1У к> 3 к> г+7>0 в ситуации общего положения наряду с постоянной е отличны от нуля и постоянные а, Ь, с, с1. Имеются такие постоянные с^- [3, с. 45,46,52], что в малой окрестности точки (X*, К) замены оо ?+3=1 оо.

1+ Е г+З=1 оо оо Е ик Е (з) к=2 г+^'=0.

У = с (х 1 — гс^) + й (х2 — х2), Z = а (х — а^) + Ъ (х2 — х2), определяемое рядом (2) уравнение (1) переводят в кубическое уравнение.

6(У, г) + о" (У, г) и + еи3 = 0 (4) с управляющими переменными 2 + Е Ь^'гК а (У, 2) = У + Е (5) г+3>1 г+^>1.

При ест > 0 уравнение (4) имеет единственный корень, а при еа < 0 он единственен лишь вне интервала перехлеста.

6 < (—4сг3)1//2/(27е)1//2, (6) внутри которого решение (4) трехзначно. Трехзначен тут и весь ряд (3).

Большая часть результатов диссертации связана с особенностями типа только что описанной сборки, которые присущи решениям уравнений, возникающих при е — 0 из широкого ряда дифференциальных уравнений математической физики с малым параметром е при производных.

В частности, следующие четыре главы посвящены двум специальным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений и’х + и3 — Ьи — х = 0 (7) и и" лг = и3 — Ш — х, (8) описывающих перестройки, которые происходят около точек сборки медленно меняющихся положений равновесия дифференцнальных уравнений в частных производных 2 А^ев)—— = (5=(51>*2)). (9).

7=1 С/й^О^.

С помощью решений нелинейных уравнений вида (9) описываются многочисленные явления в случае так называемых плавных неоднород-ностей [5]—[7]. Описанию асимптотик при е —" 0 решений (9) и эквивалентных им сингулярно возмущенных уравнений.

ЦХ, еВх) У{Х) = ?(X, V), (X = ев) (10) посвящено множество работ (см. [5] - [22] и указанные там ссылки).

Решения (10) часто имеют асимптотические разложения.

V — Уо (Х) + еУх{Х) + ?2У2(Х) + ., (11) где V = Уц (А') есть медленно меняющиеся положения равновесия уравнений (9),(10), определяемые корнями уравнения (1). Во многих работах (см., например, [5] — [7]) описываемые рядами (11) простые состояния упоминаются лишь мимоходом. При этом, однако, игнорируется проблема, связанная с типичностью [1]—[4] на плоскости X линий нулей /у{Х, Уа (Х)) (они состоят из образуемых точками складки гладких участков, соединенных в точках сборки), а значит, и с типичностью потери пригодности рядов (11) в точках складок и сборок Уо (^).

Впрочем, случай складки в решении предельного уравнения (1) анализировался уже довольно много [21] — [28]. Случай же сборки до работы [137] (см. также [138],[139]) автора данной диссертации не рассматривался. Именно в работах [137]—[139] с использованием идеологии метода согласования [22] сделан вывод о том, что перестройки соответствующих решений (10) в окрестностях точек сборки их медленно меняющихся положений равновесия в ситуации «общего положения» задаются специальными решениями уравнений (7) и (8).

Действительно, согласно этому методу в окрестности точки сборки нужно перейти к растянутым переменным. Так как главный член ряда (3), будучи решением уравнения (4), зависит и от 5 и от а, то после растяжений все три слагаемые из левой части этого уравнения, очевидно, должны быть сбалансированы — если порядок малости II в новых переменных будет ек, то <5(У, Z) и а (У, Z) должны в них быть порядка £зк, и, соответственно, £2к. Из этого соображения и из вида рядов (3),(5) ясно, что растяжения следует вводить согласно соотношениям: г = £3кг, У = е2ку, V — V* = екУ {к > 0 — постоянная). (12).

В результате этих растяжений ряд (2) принимает вид разложения.

X, V) = ?3к{г + у¥- + еУ3 +? е? кР&, у, Ж)), (13) 1 так что к надо выбрать так, чтобы в переменных (12) левая часть дифференциального уравнения (10) также была порядка езк.

Операции дифференцирования по х и х^ в новых переменных в главном по параметру е порядке есть дифференцирования по переменной г: д ад с д д Ъ д с1 д.

-=—-1—-5 -= ——1—дх езк дг е2к ду' дх2 £зк дг £2к ду.

Поэтому после замен (12) и оператор Ь (Х, еДд-) из левой части уравнения (10) в главном порядке сводится к дифференцированию по г: г, ^ «ч Мд 2 N д2.

Ь{Х^Пх) = £-к- + £2^к— +. (14) в ситуации общего положения константы М и N нулю не равны). И, таким образом, к находится из уравнения тт (1 — 2к, 2 — 5к) = Зк. Решая его, получаем, что к = 1/5. Уравнение (10) принимает при этом вид д¥-,. /г.

М— - ^ - уIV — еУ/ = 0{е1/5).

Для уравнений (10), не содержащих производных первого порядка, М — 0. Из правых частей (13),(14) следует, что в этом случае к — ¼, и что замены (12) такое уравнение (10) сводят к уравнению вида.

Я2тд/.

При указанном выборе постоянных к подстановка рядов.

IV = И^ У) + Е епк1? п (г, у) (15) п=1 в уравнения, получающееся из уравнений (10) в результате преобразований (12), и приравнивание в результате членов при различных степенях г определяют уравнения на коэффициенты рядов (15). В ситуации общего положения уравнения на их главные члены имеют вид дУУп о.

М~д7 ~ * «УЩ ~ = °> (16) если в (10) входят первые производные и (Х), или — если их нет — вид.

82У/.

-¿—УМо — е? Ц = 0. (17).

Из требования согласованности ряда (11) при X —> X* с рядом (15) при у2+г2 —" оо в частности, следует, что главный член асимптотики И^-г, у) при у2 + г2 —" оо в области согласованности есть корень уравнения г + уУ0 + = 0. (18).

В уравнения (7),(8) уравнения (16) и (17) (при одном из двух знаков И) переводятся тривиальными растяжениями. Каждое из этих растяжений кубическое уравнение (18) переводит в каноническое уравнение сборки и3 — Ы — х = 0. (19).

При рассмотрении решений уравнений (10), главные члены 'ио (^) асимптотик (11) которых имеют точки сборки, наиболее важно понять во что ряды (11) трансформируются «за» этими точками. Поэтому из свойств соответствующих решений (7),(8) в первую очередь интересно их поведение при? —" оо.

Замены х и х,£) = |£|1Аф,£).

3/2' решения эталонных уравнения (7) и (8) сводят к решениям сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений t~5/2vs = s + sgn (t)v — v3, (20) rAvss = va — sgn (?)v — s. (21).

Предельное при? —" оо к ним уравнение s + sgn{t)gд3 = 0 (22) имеет три вещественных корня в области.

N < = -^Д (23) и однозначно разрешимо при |s| > Из промежутка трехзначности (23) gi (s) — наименьший из корней уравнения (22), допускает аналитическое продолжение в область однозначной разрешимости, расположенную левее интервала (23). Аналогично gr{s) — наибольший из корней уравнения (22) в промежутке (23), допускает аналитическое продолжение в область однозначности, расположенную правее интервала (23).

Ниже под g?(s) и gr (s) подразумеваются не только значения этих корней уравнения (22) на промежутке (23), но и значения их соответствующих аналитических продолжений в область однозначности. Для так понимаемых ветвей gi (s) и gr{s) решения кубического уравнения (22) внутри областей их определенности (то есть, соответственно при 5 < и при й > —5^) справедливо условие устойчивости д з + у-у6) = 1 -'?д[г (в) < 0. (24) оу ' 41, л.

Из неравенств (24) и известных эвристических соображений, изложенных, например, в [23, Гл. 1,§-4],[29, Гл. 7,§-2] почти очевидно, что пределом решения уравнения (20) при? —> оо должна быть разрывная функция.

5 < в*,.

9{в) =.

5 > Я*.

Аналогичное рассуждение приводит к заключению, что для всех х главным членом асимптотики и (х^) при I —> —оо будет единственный корень уравнения (22) — дифференциальное уравнение (20) в пределе при? —> — оо переходит в уравнение (22), имеющее при? < 0 лишь один корень г = го (в). Он удовлетворяет условию устойчивости^п (?)г — г3 — 5)'г|г=Го (8) < 0. Поэтому возрастание 5 от —оо до оо должно сопровождаться движением описываемого решения (20) вдоль этого корня.

Таким образом, изложенные эвристические соображения (они согласуются с результатами численного моделирования поведения соответствующего решения (7) — см. [138]) приводят к двум выводам: a) главный член асимптотики специального решения и (х^) уравнения Абеля (7) при х2 + ?2 —> оо вне кривой «слипания» х = 5о³//2 корней уравнения сборки (19) совпадает с корнем этого кубического уравнения, гладким всюду вне указанной кривой «слипания» — b) окрестность этой кривой «слипания» представляет собой ударный слой, при пересечении которого слева-направо вдоль оси х значения и резко возрастают от величин —2у^ТЗ (1+о (1)) до величин 2у/?/3(1+о (1)).

Вне линии скачка аналогичным образом определяется асимптотика при х2 + ?2 —" оо специального вещественного решения обыкновенного дифференциального уравнения (8). Но только скачок от одного значения решения уравнения сборки (19) к другому происходит не в окрестности кривой «слипания» корней этого кубического уравнения, а в окрестности луча (М: х = 0,? > 0).

Данные выводы о поведении специального решения дифференциального уравнения (8) первоначально [137],[138] основывались на результатах численных экспериментов, приведенных в [138] (они хорошо согласуются также с эвристическим исследованием вопроса о положении ударного слоя, проводимого в первом разделе следующей главы). Из этих экспериментов, нечетности и монотонности по переменной х корня уравнения сборки (19), который всюду вне луча М приближает при х2 + ?2 —> оо специальное решение уравнения (8), напрашивается также вывод и о нечетности и монотонности по х этого специального решения.

Сравнительно нетрудно построить полное формальное асимптотическое разложение при х2 + ?2 —" сю соответствующего нечетного по х специального решения уравнения (8): основная трудность здесь состоит в построении асимптотики в окрестности ударного луча М, которая в разделе 5 второй главы решается с помощью известной методики [30] экспоненциально убывающих пограничных функций.

Более тонкими являются исследуемые в главе 2 вопросы строгого математического обоснования аналитических и асимптотических свойств этого решения. В ее третьем разделе, в частности, доказано существование и единственность нечетного по переменной х решения уравнения (8), которое на любом компакте |?| < 2Т* при х —> оо имеет асимптотику оо и = (26).

7 = 1 где коэффициенты Cj{t) однозначно находятся подстановкой ряда (26) в уравнение (8). В четвертом разделе главы 2 доказано, что для значений? < — Т# равномерное асимптотическое разложение при —? + х2 —> оо этого специального решения и (х: ?) задается рядом оо и = l?|½ Е t~Akwk{s), s — (27) к=О где Wq (s) есть единственный корень кубического уравнения (22), а остальные Wj (s) однозначно находятся в результате подстановки этого ряда в дифференциальное уравнение (21).

В пятом разделе второй главы, показывается, что при? > Т* всюду вне малой окрестности точки s = 0 асимптотическое разложение u (x, t) также описывается рядом вида (27), где wq (s) есть гладкий при s > 0 корень gr (s) уравнения (22). Равномерная же асимптотика при? > T*, s > Ohs + i-> оо этого нечетного по переменной х уравнения (8) описывается в Теореме 5.2 Главы 2 с помощью добавки к этому ряду ряда из функций, которые экспоненциально малы вне малой окрестности точки s = 0. При обосновании формальных разложений во второй главе используется ставшая популярной (особенно после работы Н. Н. Нефедова [16]) методика дифференциальных неравенств.

Главы 3—5 посвящены математически строгому исследованию свойств описанного выше специального решения уравнения Абеля (7). Данное уравнение согласно анализу М. Крускала [31] не относится к числу интегрируемых. Тем не менее, в этих трех главах для вещественных значений х и t асимптотические свойства данной универсальной нелинейной специальной функции исследуются полностью.

В главе 3 диссертации доказывается существование дифференцируемого по аи? специального решения уравнения Абеля (7), которое при каждом фиксированном? монотонно возрастает по переменной х и на любом компакте |i| < 2Т* при х —> ±-оо имеет дифференцируемое по переменным х и? асимптотическое разложение оо u{x, t) = xl/l +? Cj{t)x-Hz), (28).

J'=2 где коэффициенты с^(£) — это многочлены. В Теореме 3.2 этой же главы доказывается, что при? < Т* и —? + 52 —> оо для данного специального решения уравнения Абеля справедливо дифференцируемое по переменным х и? асимптотическое разложение 00.

29).

7=0 где совпадает с корнем д{з) кубического уравнения (22). Дифференцируемое по аи? асимптотическое разложение в виде ряда (29), коэффициент г-о (з) которого определен соотношением (25), справедливо для этого решения и (х^) также при £—>оои£ + 52 —>оо всюду, кроме малой окрестности «ударной» кривой х = 5*?3/2, где значение й* указано в формуле (23) (Теорема 1.1 главы 4 и Теорема 3.2 главы 5).

Обыкновенное дифференциальное уравнение (20) при? >> 1 является представителем класса уравнений, описанных в монографии Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розова [23]. И, следуя [23], асимптотику при? —" оо нашего специального решения уравнения (20) можно полностью описать и в окрестности ударной кривой х = я* Однако, в главе 4 приводится иное описание асимптотического разложения ?) в окрестности точки 8 = з*, которое представляется более простым, чем общие рассмотрения [23]. Оно сводится к описанию двух характерных асимптотических разложений, которые согласованы как между собой, так и с внешним асимптотическим разложением (29). Эти два характерных асимптотических разложения функции и (х, ?) (по аналогии с терминологией [22, гл. II, § 3], где рассмотрена похожая задача, называемые далее промежуточным и внутренним) на уровне полных формальных АР описаны в разделах 2 и 3 главы 4. Возможно, общий интерес для практики метода согласования представляют собой доказательство Леммы 2.1 из раздела 2 и способ, с помощью которого в разделе 3 решается проблема асимптотик, зависящих от логарифмов малого параметра. Обоснование в четвертом.

разделе главы 4 формальных построений двух ее предыдущих разделов, как и в [23] основано на применении дифференциальных неравенств.

В главе 5 с помощью рассуждений, аналогичных использованным в двух предыдущих главах, доказывается и дифференцируемость по х и по t асимптотических разложений функции u (x, t).

Основной вывод из анализа поведения описанного специального решения уравнения Абеля (7) состоит в том, что для решений уравнений вида (10) «за» точками сборки их медленно меняющихся положений равновесия типично формирование структур типа ударных волн с фронтами, локализованными в исчезающе (при s 0) узкой окрестности одной из границ области перехлеста (6) корней уравнения (1). Такой вывод справедлив [145] и для решений дифференциального уравнения е2<�рщ + evipv + F (rj, ip) = 0, (30) к которому в случае плавной неоднородности g (r, ip) = F (er, у?) после замены ту = ет сводится одно из основных уравнений механики.

Vtt + v.

Асимптотика в окрестности фронта соответствующей «ударной волны», сосредоточенного в узкой окрестности линии «слипания» корней уравнения F (r}, tp) = 0, в главном порядке описывается согласно [145] с помощью специального решения дифференциального уравнения ии + Put + f (u) = 0 (/МО). (32).

Здесь функция f (u) бесконечно дифференцируема на всей вещественной прямой, а уравнение f (u) = 0 имеет лишь корни и — 0 и и = 1. При этом в точке и = 0 функции f{u) разлагаются в ряды Тейлора.

И = Е (/(2>(0) ф 0), (33) к—2 а в точке и = 1 в ряды Тейлора.

-(«-!)* (/'(1)^0). (34).

И, значит, либо f (u) > 0 при и < 1, f (u) < 0 при и > 1, (35) либо f{u) < 0 при и< 1, /(и) > 0 при и > 1. (36).

Данный класс специальных решений, которому посвящена шестая глава диссертации, пересекается с классом монотонных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (32), изучавшимся в классической работе А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского и Н. С. Пискунова [32]. Как в § 2 [32], так и ниже в главе 6 рассматриваются решения уравнений (32), которые определены для всех t и удовлетворяют условиям lim и = 0, lim и = 1, lim u'(t) = 0, lim u’Ct) = 0. (37) i—-oo i->oo i—oo v ' t—*oo 4 ' 4 '.

В [32], правда, на функции f (u) наложены ограничения, отличные от перечисленных выше. Но в упомянутое пересечение попадает, в частности, функция f (u) = с2и2 (и — 1). Соответствующая же этой функции конкретная биологическая проблема послужила импульсом к написанию [32]. Название для главы 6 выбрано именно на этом основании.

Как будет показано в ее разделе 2, при всех достаточно больших значениях —t существуют решения уравнений (32), которые при t —оо имеют асимптотические разложения.

2? 4In [?| fW{0) ?2 g °° pm{j)(lnt) U{t)~ p){0)t /(2)(0)i2(3 (/(2)(0))2) + i2+^3 t¹ ' (38) где g— произвольная постоянная, а функции pm (j) — многочлены. В разделе же 3 этой главы доказывается, что почти во всех случаях разрешимости краевой задачи (32)—(37) их решения при t —> —со имеют именно асимптотики (38). Все множество решений (не только монотонных, как в статье [32]) задач (32)—(37), обладающих асимптотиками (38), как раз и нужно для описываемых в [145] целей. Теоремы 3.1—3.4 главы б диссертации аналитические и асимптотические свойства решений краевых задач (32)—(37) описывают с почти исчерпывающей полнотой.

Описываемые в разделах 1 и 2 главы 7 диссертации перестройки решений гидродинамических систем h’T + [hv)'x = 0, v’T + vv’x + a (h)h'x = 0, (39) около их точек градиентных катастроф также связаны со сборкой.

Сингулярности решений уравнений гидродинамики вызывают интерес издавна и до наших дней — см., например, [33]—[44]. В первых двух разделах главы 7 для анализа типичных сингулярностей решений (39) применяется локальный подход работ [146], [150], который показывает, что по сути для анализа типичных особенностей решений гидродинамических задач можно иногда пользоваться рассуждениями и выводами теории катастроф. Конечно, данный подход применим не всегда. (Скажем, с его помощью не обосновать общую гипотезу В. П. Маслова [39]— [41] о типичности особенности складки в случае решений системы уравнений мелкой воды с переменной силой Кориолиса — для обоснования этой гипотезы в данной ситуации в серии работ С. Ю. Доброхотова с соавторами [42]—[44] применялись очень нетривиальные рассуждения и вычисления.) Но уже ясно, что и описываемый в главе 7 локальный подход применим не только к рассматриваемым в ней ситуациям.

Отметим, например, публикации [45], [46], в которых с помощью рассуждений, близких к используемым в описываемом ниже локальном подходе, был сделан вывод об универсальности особенности типа комлексно-аналитической складки (данная особенность, описанная в примере, приведенном в [2, Гл. 1,§-1.8], нетипична для множества всех гладких отображений R2 —В2) для решений системы (39) внутри области ее эллиптичности. Этот результат [46], являющийся своего рода нелинейным обобщением упомянутого примера особого решения системы Коши — Римана из [2], показывает, что типичные особенности решений нелинейных систем с двумя независимыми переменными не исчерпываются каноническими особенностями гладких вещественных отображений. (Теория катастроф, анализирующая особенности всех гладких вещественных отображений двух переменных предсказывает лишь особенности типа вещественных складок и сборок).

В разделах 1 и 2 главы 7 рассматриваются решения системы (39) с не равной тождественно нулю величиной I — hrvx ~~ v^hxДля таких v и h уравнения (39) преобразованием годографа локально сводятся к линейным: рассмотрение Т и X в качестве координат, а h и v в качестве независимых переменных дает [33, Гл. 1,§-2] систему.

Xh = vTh — a (h)Tv, Xv = vTv — hTh. (40).

Известно, что точкам обращения в бесконечность производных решений системы (39) «общего положения» отвечают нули якобиана.

J = XhTv — XvTh = h (Tk)2 — a (h){Tv)2 (41) гладкого отображения (h, v) —> (X, T). Учет этого факта в духе подхода, впервые примененного в работе [146], позволяет ниже получить в этих точках полные формальные асимптотические разложения v и h. Точнее говоря, для анализа сингулярностей решений системы (39) в окрестности точки градиентной катастрофы (Т*,.Х*) (соответствующей точке (/и,-и*) обращения якобиана J в нуль), будут использованы разложения Тейлора гладких в точке (Д* ^ 0, г>*) решений линейного уравнения hBhh + 2 Bh = a{h)Bvv, (42) к которому система (40) сводится [33, Гл. 1,§-2] при помощи соотношений.

Т = Вь] X = -В — НВн + уВу (43).

При И ф 0 соотношения (43) равносильны равенству нулю производных и ^,(М-Т, Х) функции г, V, Т, X) = К{Ту — В{к, у) — X) (44) аргументов (/г, г>), зависящих от дополнительных параметров Т и X. Обращение в нуль якобиана (41) равносильно вырожденности критических точек функции (44), определяемых равенствами ^ = 0 и ^ = 0.

И поскольку решения двух последних уравнений зависят от двух управляющих параметров Т, X, то согласно общим выводам теории катастроф [3, Гл. 2 —4] естественно ожидать, что окрестность точки градиентной катастрофы в ситуации общего положения должна описываться с помощью отображения типа сборки. По сути последующие рассмотрения двух первых разделов главы 7 в большей своей части сводятся к повторению рассуждений, изложенных в [3, Гл.2—4], и проверке того факта, что ограничения, накладываемые конкретным видом функции (44), не искажают стандартного вывода теории катастроф об универсальности канонической особенности сборки.

Первый раздел главы 7 посвящен гиперболическому варианту системы (39) (определяемого неравенством а (К) > 0 для бесконечно дифференцируемой функции а{1ь)), который описывает одномерное движение изоэнтропического газа. В этом разделе анализируется процесс зарождения ударных волн «общего положения», происходящий в окрестностях точек градиентных катастроф решений (39) описанного только что типа.

Замечание 1. Коэффициенты.

В{у, К) рядов Тейлора всевозможных гладких в точках {у = г>*, Д = /г*) решений линейного уравнения (42) (для которых якобиан (41) в этих точках не обязательно обращается в нуль) являются функциями у* и /г*. Поэтому помимо ограничений на коэффициенты Ьц (у*,}ъх) и на коэффициенты ряда Тейлора функции а (к) в точке к = /г*, следующих из справедливости уравнения (42), за счет параметров г>* и /г* возможно наложение на них еще двух (а при анализе решений системы (40) «общего положения» не более двух) ограничений, выражаемых при помощи равенств.

Два таких ограничения фактически и используются ниже в первом разделе главы 7 для обращения в нуль якобиана (41) и постоянной рог в соотношении (7.19). При этих дополнительных ограничениях и, отсутствии, согласно Замечанию 1, других в этой главе доказывается Теорема 1.1 о виде полного формального асимптотического решения гиперболического варианта системы (40) в окрестности соответствующей точки градиентной катастрофы. В главном порядке это асимптотическое решение описывается кубическим уравнением сборки. Оказывается, при этом в бесконечность обращаются производные формального разложения лишь одного из инвариантов Рпмана ([47, Гл. III,§-16]) определяемых по системе (39).

Второй раздел главы 7 посвящен эллиптическому варианту системы (39), который рассматривается при ограничениях к > 0, а (1г) < 0. Эта система уравнений, в дальнейшем называемая системой нелинейной геометрической оптики, широко используется [33] — [35] при исследовании волновых процессов в неустойчивых средах. Для решений системы нелинейной геометрической оптики типичны не бегущие волны, а дробления на разделенные провалами (на них Н (х, ?) = 0) самостягивающиеся сгустки. Специфичны для решений системы нелинейной геометрической.

45) оптики и другие особенности [33]—[35].

С помощью рассуждений, схожих с изложенными в первом разделе седьмой главы, в ее втором разделе проводится локальный анализ процессов провального самообострения интенсивности характерных [35] для решений системы нелинейной геометрической оптики. Из этого анализа следует, что в ситуации «общего положения» эволюция Н (х, ?) в окрестности соответствующих точек самообострения определяется решением кубического уравнения сборки— в Теореме 2.1 главы 7 описывается полное формальное асимптотическое решение системы нелинейной геометрической оптики в окрестности точек провального самообострения. Согласно приводимым в седьмой главе формулам, провал при таком процессе сперва появляется в виде точки, а потом начинает расширяться. На двух границах возникающего провала амплитуда у/1г (х, ?) имеет типичную особенность типа складки. С течением времени естественно ожидать появления все новых таких провалов, которые также начинают расширяться — в полном соответствии с упомянутой выше тенденцией образования отдельных самостягивающихся сгустков.

И гиперболический, и эллиптический варианты системы (39) в приложениях часто возникают как пределы систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. Как правило, эти уравнения с малым параметром не интегрируемы.

Например, гиперболический вариант (39) при значении е = 0 возникает из уравнений движения изоэнтропического газа с малой вязкостью.

Ыг + {Ы))'Х = 0, у’Т -1- уу’х + а{Ь)Ых = {е «1), (46).

IV, а также из ряда не интегрируемых уравнений с малой дисперсией. К числу последних относится широко используемое уравнение гевт + б2вХх + К (С2)С = 0, (47) где К (к) — дифференцируемая функция, такая что К'{К) = —а (Н)/2.

Система (39) из уравнения (47)—не интегрируемого при отличной от константы функции К' — возникает при подстановке в него выражения (?(Т, X) = Н (Т, X, е)1/'2 ехр (г (Т, X, £)/е) (предполагается, что (р — вещественная функция, а ¡-г —вещественная, положительная функция) с последующим переходе в результате этой подстановки кт + 2{Ырх)'х = 0> 4>т + (<Рх)2 — 1<{Ь) = к значению г = 0: эта предельная система дифференцированием второго уравнения по переменной X сводится к системе (39) с у (Т, X) = 2(<�р)'х. В случае же отрицательности К' в результате только что описанной процедуры из уравнения (47) возникает элипптический вариант системы (39).

Решения систем (39) в главном по малому параметру е порядке часто представляют собой главные члены асимптотических решений подобных сингулярно возмущенных систем. Понятно, однако, что в достаточно малых окрестностях точек градиентных катастроф решений (39) последние уже не могут служить для правильного приближения решений таких сингулярно возмущенных уравнений с высшими производными.

Помимо самостоятельного интереса, описываемые в двух первых разделах главы 7 результаты о структуре решений системы (39) в окрестностях их точек градиентных катастроф, нужны и в качестве предварительного анализа для изучения соответствующих перестроек решений систем с малыми диссипативными, либо малыми дисперсионными сингулярными возмущениями уравнений (39).

Например, из результатов Теоремы 1.1 первого раздела этой главы и соображений, диктуемых идеологией метода согласования, следует, что для изучения таких перестроек решений систем уравнений (46) нужно сделать замены (7.10), (7.11) и масштабные преобразования (7.52), (7.53), которые зависят от малого параметра. После осуществления таких преобразований в пределе е = 0 система (46) переходит (Утверждение 3.1 главы 7) в систему двух дифференциальных уравнений, первое из которых представляет собой уравнение Бюргерса, а второе есть обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Тривиальными растяжениями это уравнение Бюргерса сводится к виду.

Г, + ГТХ = Гхх. (48).

При этом асимптотическое решение системы (40), описанное в Теореме 1.1 раздела 1 данной главы, в результате таких преобразований сводится к кубическому уравнению сборки (см. Утверждение 3.2 главы 7).

Я3 — Ш + х = 0. (49).

Последний факт согласно соображениям, обычно используемым в методе согласования, означает, что соответствующее решение уравнения (48) должно при х2 + ?2 —> со для большинства направлений х,? плоскости в качестве главного члена асимптотики иметь корень уравнения сборки (49). Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что для многих дисперсионных сингулярных возмущений гиперболического варианта (39) (например, для возникающего описанным выше образом из уравнения (47)) подобные перестройки их решений в главном порядке описываются специальным решением интегрируемого уравнения Кортевега—де Вриза щ + иих + иххх = 0, (50) асимптотика которого при при х2 + ?2 —> со для большинства направлений х,? плоскости в качестве главного члена асимптотики также имеет корень канонического кубического уравнения сборки (49).

А из утверждения 3.3 главы 7 и рассуждений, изложенных в ее конце, следует, что для решений уравнения (47), соответствующих асимптотическим решениям эллиптического варианта системы (39) из Теоремы 2.1, перестройки в окрестностях точек провального самообострения последних в главном по г порядке должны описываться специальными решениями интегрируемого Нелинейного уравнения Шредингера.

1Р1+Рхх + Ъ5р2Р = Ъ (51) с 6 = 1. Асимптотика этих специальных решений при х2 + I2 —" оо для большинства направлений также должна описываться в терминах кубического уравнения сборки.

Таким образом, при описании перестроек решений широкого класса гидродинамических задач с малой дисперсией или диссипацией в окрестностях точек градиентных катастроф решений их бездисперсионных (бездиссииативных) пределов— систем (39) — в ситуации «общего положения» используются специальные решения интегрируемых уравнений Бюргерса, Кортевега—де Вриза и Нелинейного уравнения Шредингера. В главе восьмой описывается и ряд других специальных решений этих нелинейных интегрируемых уравнений, асимптотики которых при больших значениях аргументов задаются в терминах решений канонических уравнений теории катастроф, и которые также универсальным образом возникают в задачах нелинейной математической физики, описываемых посредством сингулярно возмущенных уравнений в частных производных.

Из результатов главы 8 следует, что с асимптотиками этих специальных решений, совместны стационарные части высших симметрий интегрируемых эволюционных уравнений, которые как раз выделяют интегрируемые уравнения среди прочих [48, Гл.5]—[59].

Замечание 2, Вплоть до заключительного раздела последней главы под симметрией системы уравнений в частных производных и1 = Р (и, и1,., ик), {и, .Р е Дш) (52) нижний индекс вектора II означает порядок его производной по переменной х) понимается система эволюционных уравнений t/^GM, ?/"), (GeRm), (53) правая часть которой з^довлетворяет условию коммутирования ^ = При его выполнении общая теория гарантирует, что с системой (52) совместны, в частности, стационарные части G — 0 симметрий (53). Здесь Uk~вектор, который из вектора U возникает при замене каждой компоненты на ее производную порядка порядка к по переменной х. Под классической симметрией понимается случай функции, представимой в виде G = H (t. х, F (U, U,. ., Uk). Ux), а остальные симметрии системы (52) называются высшими.

Так существует (Теорема 2.3 главы 8) совместное гладкое решение уравнения (50) и обыкновенного дифференциального уравнения.

5 5 5 ихххх +^иихх + -и + —{x-tuи3) = 0, (54) о О 1о которое для фиксированных t = Т* при х —" ±-оо имеет асимптотики (Pj (t) — многочлены) ««1/J + 3^.

Уравнение (54) есть стационарная часть симметрии уравнения (50) ив = {иА + Ьищ/Ъ + 4- 5гг3/18)/я- + 5(1 — tvx)/18 (56) комбинации стационарных частей его симметрии Галилея иа = 1 — tu [48, Гл. 5.2] и первой из высших «автономных» симметрий [48, Гл. 5.2]). А асимптотики (55) при х —" ±-оо означают, что их главный член есть корень кубического уравнения (49). Именно такому условию, согласно работам [60],[61] (см. также [62, Гл. 4,§-4]), должно удовлетворять рассматриваемое в них специальное решение уравнения Кортевега—де Вриза (50).

Из Теоремы 2.1 главы 8 следует, что совместные решения (50) и обыкновенного дифференциального уравнения (54) совместны также с автомодельными решениями уравнений Уизема, которые согласно А. В. Гуревичу и Л. П. Питаевскому описывают асимптотику при t —" оо рассматриваемого ими специального решения (50) в области его незатухающих быстрых осцилляций. Эти строгие результаты главы 8 дают, согласно часто используемому полуэмпирическому принципу инвариантности [63], основание считать, что универсальное (в смысле результатов главы 7) специальное решение уравнения (50) из работ [60],[61] одновременно есть решение стационарной части высшей симметрии (50), определяемой уравнением (54).

У уравнения Бюргерса (48) также имеется [64] высшая симметрия, стационарная часть которой совместна с требованием, чтобы главный член асимптотики решения этой стационарной части при х —" ±-оо определялся корнем кубического уравнения (49):

Еще Лайтхилл в [65] указал на явное решение уравнения (48).

T{t, x) = -2[nA (t, x)]'x, A{t, x) = Jexp (-(4Ax-2?A2 + A4)/8)i?A, (57) R главный член асимптотики которого при х2 + ?2 —" оо всюду кроме луча М: (х = 0, t > 0) есть корень (49). Непосредственно из представления (57) следует факт удовлетворения этим решением обыкновенному дифференциальному уравнению х — tV + 4ГХ. Т — 6ГТ* + Г3 = 0, (58) один раз продифференцированная по х форма которого представляет собой стационарную часть симметрии уравнения Бюргерса.

В главе 8 указывается и стационарная часть высшей симметрии интегрируемого Нелинейного уравнения Шредингера (51).

Рххх—+ Щр Рх + = 0, (59) с которой совместны асимптотики двух принципиально разных его специальных решений (но обе эти асимптотики в главном порядке также задаются кубическим уравнением сборки).

В главе 8 излагается как история, так и современное состояние общей теории такого сорта нелинейных специальных функций — решений нелинейных интегрируемых уравнений. В частности, в ней описываются два альтернативных способа выбора симметрий интегрируемых уравнений, стационарным частям которых могут удовлетворять подобные функции.

Первый из этих способов, описываемый во втором разделе главы 8, принадлежит автору диссертации. Данный способ апеллирует к линейной части нелинейных интегрируемых уравнений и к аналогиям с частными решениями этих линейных частей, называемых специальными функциями волновых катастроф [66, Гл. VI,§-4] — каноническим интегралам Фурье—Лапласа, удовлетворяющих одновременно обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям. Исходя из вида последних, при данном подходе предлагается стационарные части симметрий исходного нелинейного интегрируемого уравнения выбирать так, чтобы линеаризации этих стационарных частей совпадали с упомянутыми линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями. (Важную роль в выработке этого подхода сыграла статья A.B. Китаева [67] о свойствах изо-монодромных иерархий нелинейных уравнений, решения которых трактуются A.B. Китаевым как аналоги специальных функций волновых катастроф. Однако в [67] речь изначально идет о решениях обыкновенных дифференциальных уравнений.) Этот подход вначале был применен в работах [144], [154] к специальным решениям интегрируемых уравнений, для которых при больших значениях аргументов нелинейность играет подчиненную роль. Самым ярким примером из этих специальных решений является совместное решение уравнений (51) и (59), исследовавшееся ранее в работах [151], [152] автора диссертации.

Согласно [151], [152] существует полное и равномерное формальное асимптотическое (при х2 + ?2 —" оо) совместное решение уравнений (51) и (59), которое при —> оо в главном порядке описывается асимптотиками специального решения Нелинейного уравнения Шредингера (51) из работы Р. Хабермана и Р. Сана [68], и которое в пределе 6 = 0 совпадает с асимптотическим разложением при х2 + ?2 —оо произведения постоянной на специальную функцию волновой катастрофы сборки ос д = / ехр[—2г (/ЗА4 + 2¿-А2 + х)}(1, (60) оо известную как интеграл Пирси. (Во втором разделе главы 8 доказывается, что по крайней мере в окрестности прямой х = 0 существует и дифференцируемое по переменным х и t совместное решение уравнений (51) и (59), асимптотики которого при х = 0,? —'> ±-оо совпадают с асим-тотиками из [68].) В [154] было замечено, что левая часть обыкновенного дифференциального уравнения (59) есть сумма правых частей высшей коммутативной симметрии Нелинейного уравнения Шредингера (51).

Ри3 = Рххх + 6др2рх (61) и его классической симметрии Галилея рТ (} = 4? р-к + %хр). Таким образом, обыкновенное дифференциальное уравнение (59) из линейного уравнения (ЗСдххх = — решением которого является интеграл Пирси (60), получается заменой С^ххх на его нелинейное обобщение — правую часть симметрии (61). Именно обобщение этого наблюдения легло в основу первого подхода для выбора симметрий интегрируемых уравнений — см. правила 1) — 3) в конце раздела 2 главы 8.

Чуть позже выяснилось, что эти правила иногда применимы и к специальным решениям нелинейных интегрируемых уравнений, в асимптотиках которых при больших значениях аргументов доминирует нелинейность. Впервые это обстоятельство было обнаружено в работах [156],[157] автора диссертации, где данные правила были применены к специальному решению уравнения Кортевега—де Вриза (50), главный член асимптотики которого при х —> ±-оо задается корнем кубического уравнения сборки (49) — см. начало раздела 3 главы 8.

В работе [157], в частности, выведено обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка (54), совместное как с уравнением (50), так и с условием, чтобы решение (50) при х —" ±-оо выходило на корень кубического уравнения (49). Однако то обстоятельство, что уравнение (54), будучи продифференцированным по х, дает стационарную часть симметрии (56) в [157] замечено не было.

Справедливость этого факта была указана позже В. Р. Кудашевым в публикации [64]. В этой же публикации отмечены факт удовлетворения функцией (57) обыкновенному дифференциальному уравнению (58), описанная выше связь этого обыкновенного дифференциального уравнения с высшей симметрией уравнения Бюргерса и то обстоятельство, что решения кубического уравнения (49), совпадая с бездиссипативным (бездисперсионным) пределом (58) (соответственно, (54)), есть точные решения бездиссипативного (бездисперсионного) предела уравнения Бюргерса (48) (соответственно, уравнения Кортевега—де Вриза (50)). Обобщая это наблюдение, В. Р. Кудашев предложил в [64] свой вариант правил выбора симметрий. В применении к функциям волновых катастроф, удовлетворяющих уравнениям Бюргерса (48) и КдВ (50) с доминирующей при х2 + ?2 —> оо нелинейностью суть подхода, предложенного в [64], сводится к следующему:

Главные члены асимптотик таких решений предполагаются корнями канонических уравнений соответствующих катастроф иих — 0.

62) х — Ьт = С (гу).

63).

Корни (63) задают общее решение уравнения (62), являющегося «бездис-сипативным» («бездисперсионным») пределом уравнения Бюргерса (Кортевега— де Вриза). Логично поэтому, как было предложено в [64], и стационарные части симметрий уравнения (48) ((50)), которым одновременно удовлетворяют такие специальные функции, искать, полагая, что их «бездисси-пативные» («бездисперсионные») пределы имеют вид 1 — tw G'(w)wi = 0. То есть, считать, что эти функции удовлетворяют суммам.

1 — tw 1 -fK (w, wi, wo, • • •, wn) — 0 (64) стационарных частей симметрии Галилея уравнения (48) ((50)) и его «автономных» симметрий = K (w, W, wo,. ¦., wn), определяемых условиями K (w, wi, 0,., 0) = G'(w)wi- (По-крайней мере для всех многочленов G (w) такие симметрии имеются [48].).

В разделе 3 главе 8 на примере анализа симметрийных свойств универсального специального решения уравнения (48) ос r (i, х) = —2[In A (t, х)]'х, A (t, х) = I схр (As + £А2 — X3/3)dX (65) о из работы [69] проводится сравнительный анализ двух описанных подходов к выбору симметрий. Из этого анализа, показывающего, в частности, что к функции (65) подход, предложенный в [64], напрямую неприменим, делается вывод о необходимости уточнения обоих вариантов. И основное заключение раздела 3 главы 8 состоит в том, что при рассмотрении подобного рода нелинейных специальных функций волновых катастроф наряду с какой-либо стационарной частью симметрии интегрируемого уравнения, решением которого является такая спецфункция, надо в качестве подходящих кандидатов рассматривать и результаты применения к этой стационарной части целочисленных степеней оператора рекурсии. (Для уравнений Кортевега—де Вриза и Бюргерса вид этого оператора указан в монографии [48]. Оператор рекурсии для Нелинейного уравнения Шредингера был найден А. В. Жибером в [50]).

Материалы данной диссертации отражены в работах [137]—[159], из них в перечень ВАК, рекомендуемый для защит докторских диссертаций, входят статьи [139], [141]- [145], [147], [148], [150], [152]—[154], [158],[159].

Часть из данных работ написаны совместно. О вкладе соавторов в такие публикации:

1) большая часть материалов глав 2—4 основана на результатах публикаций [137]—[143], из которых пять последних написаны в соавторстве с А. М. Ильиным. Последнему принадлежит доказательство утверждения о существовании гладкого по переменной х решения уравнений (8) (Леммы 3.1—3.3 Главы 2) и доказательство факта дифференцируемости по переменной Ь специального решения уравнения Абеля (7) (Теорема 2.4 Главы 3);

2) главы 7 и 8 частично основаны на совместных статьях автора диссертации с В. Р. Кудашевым [146]—[150] и И. Т. Хабибуллиным [154]. Из всех этих статей, кроме [146],[150], в диссертации отражены лишь результаты, принадлежащие автору. Вклад В. Р. Кудашева в статьи [146],[150], отраженный в диисертации, заключался в использовании в них отмечавшегося выше варианта В. Р. Кудашева правил выбора симметрий интегрируемых уравнений, который подробно анализируется в заключительной главе диссертации.

Результаты диссертации докладывались на семинарах Института Математики с ВЦ (Уфа), Института Проблем Механики (Москва), Санкт-Петербургского отделения Математического Института им. В. А. Стеклова, Физического института им. П. Н. Лебедева РАН, Челябинского государственного университета и на конференциях: 1) 15-ая сессия семинара им. И. Г. Петровского и Московского Математического общества (Москва,.

1993), 2) 17-ая сессия семинара им. И. Г. Петровского и Московского Математического общества (Москва, 1995), 3) Международная конференция по математической физике и функциональному анализу (Челябинск, 1995), 4) Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения (Уфа, 1996), 5) САМГОП—98: Семинар по аналитическим методам в газовой динамике и оптимизации вычислений (Уфа, 1998), 6) Точно решаемые модели математической физики (Челябинск, 1998), 7) Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы (Уфа, 2000), 8) Конференция, посвященная 70-летию А. М. Ильина (Уфа, 2001), 9) Конференция, посвященная 100-летию А. Н. Тихонова (Москва, 2006), 10) Математика. Механика. Информатика (Челябинск, 2006) — 11) Нелинейные уравнения и комплексный анализ (Якты-Куль, 2008).

Если не оговорено противное, то при ссылках на теоремы, леммы и замечания имеются в виду утверждения текущей главы.

Единый список используемых далее сокращений: асимптотическое разложение (АР), формальное асимптотическое решение (ФАР), обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ), уравнение в частных производных (УЧП), ударная волна (УВ), градиентная катастрофа (ГК), нелинейная геометрическая оптика (НГО), Кортевега—де Вриза (КдВ), Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), специальная функция волновой катастрофы (СФВК), Гуревича— Питаевского (ГП).

Глава 2.

Специальное решение уравнения о иХх — и — х.

1. Арнольд В. И. Теория катастроф. М.: Наука. 1980.

2. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. Г. Особенности дифференцируемых отображений. Т.1. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука. 1982.

3. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф.Ч.1.М.:Мир. 1984.

4. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М/. Мир. 1980.

5. Островский Л. А. Приближенные методы в теории нелинейных волн. // Изв. вузов, Радиофизика. 1974. Т. 174, № 4. С.454−476.

6. Гуревич А.Вл., Минц P.P. Локализованные волны в неоднородных средах. // УФН. 1982. Т.142, в.1. С.61−99.

7. Верман В. С. Нестационарное распространение волн горения в среде с медленно меняющимися свойствами. // ПММ. 1978. Т. 42, в.З. С.450−457.

8. Маслов В. П., Данилов В. Р., Волосов К. А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. Эволюция диссипативных структур. М.: Наука, 1987.

9. Маслов В. П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988.

10. Доброхотов С. Ю., Маслов В. П. Конечнозонные, почти периодические решения в ВКБ-приближениях. М., 1980. // Современные проблемы математики. Т. 15, С.3−94.

11. Доброхотов С. Ю., Маслов В. П. Многомерные ряды Дирихле в задаче об асимптотиках спектральных серий нелинейных эллиптических операторов уравнения. ВИНИТИ, М., 1983. // Современные проблемы математики. Т.23, С 173−222.

12. Маслов В. П., Омелъянов Г. А. Асимптотические солитонообразные решения уравнений с малой дисперсией. // УМЫ.1981. Т.36, № 3. С.63−162.

13. Файф П., Гринли У. Внутренние переходные слои для эллиптических краевых задач с малым параметром. //УМН. 1974. Т.29, в.4. С.103−130.

14. Нефедов H. H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач в частных производных. //Дифферснц. ур. 1995. Т.31, № 4. С.719−722.

15. Нефедов Н. Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями. //Дифференц. ур. 1995. Т.31, № 7. С.1142−1149.

16. Васильева А. В., Бутузов В. Ф. О методе пограничных функций. //Дифференц. ур. 1985. Т 11, № 10. С.1662−1669.

17. Бутузов В. Ф., Неделько И. В. О неустойчивости многомерных контрастных структур. // Дифференц. ур. 2002. Т.38, № 2. С.222−233.

18. Неделько И. В. Существование решений с внутренними слоями, выходящими на границу. // Мат. заметки. 2005. Т.77. Вып.1. С.80−92.

19. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М: Мир, 1972.

20. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1987.

21. Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

22. Haberman R. Nonlinear transition layers—the second Painleve transcendent. //Stud.Appl.Math. 1977. V.57, № 3. P.247−270.

23. Haberman R. Slowly varying jump and transition phenomena associated with algebraic bifurcation problems. //SIAM J.Appl.Math. 1979. V.37, № 1. P.69−106.

24. Diminnie D.C., Haberman R. Slow passage through a saddle-center bifurcation.// J. Nonlinerar Sci. 2000. V.10, № 2. P. 197−221.

25. Kiselev O.M. Hard loss of stability in Painleve-2 equation //J.Nonlinear Math. Phys. 2001. V.8, № 1. P.65−95.

26. Kiselev O.M., Glebov S.G. Applicability of the WKB-method in perturbation problem for the equation of principal resonance. // Russian J. Math. Phys. 2002. V.9, № 1. P.60−83.

27. Тихонов А. Н., Васильева А. В., Свегиников А. Г. Дифференциальные уравнения. М: Наука, М., 1980.

28. Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. М: Паука. 1973, 248 с.

29. Kruskal M.D. «Completness» of the Painleve Test—General Considerations—Open Problem, P.789−804. In: «The Painleve property: one century later». Springer, New York, Berlin, Heidelberg, 1999.

30. Колмогоров A.H., Петровский И. Г., Пискунов Н. С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме. //Бюл. МГУ. Мат. и мех. 1937. Т.1, № 6. С.1−26.

31. Шваргфург А. В. Геометрическая оптика в нелинейной теории волн. М: Наука. 1976.

32. Гуревич А. В., Шварцбург А. Б. Нелинейная теория распространения радиоволн в ионосфере. М: Наука. 1973.

33. Жданов С. К., Трубников Б. А. Квазигазовые неустойчивые среды. М.: Наука. 1991.

34. Кузнецов Е. А., Рубан В. П. Гамильтонова динамика вихревых линий в системах гидродинамического типа.//Письма в ЖЭТФ. 1998. Т.67, в.1. 1015−1020.

35. Кузнецов Е. А. Коллапс в гидродинамике. В:" Нелинейные волны 2002″, Институт прикладной физики: Нижний Новгород, 2003.

36. Зубарев Н. М. Формирование особенностей на поверхности жидкого металла в сильном электрическом поле. //ЖЭТФ. 1998. Т.114, в.6. С.2043;2054.

37. Маслов В. П. Три алгебры, отвечающие негладким решениям систем квазилинейных алгебраических уравнений. // УМН. 1980. Т.35, в.2. С.252−253. 173 (2001).

38. Маслов В. П. Нестандартные характеристики в асимптотических задачах. // УМН. 1983. Т.38, в.6. С.3−36.

39. Maslov V.P. Mathematics and Trajectories of Typhoons. P.163−183. In: P.789−804. In:" Mathematical Events of the Twenties Centary". Springer, Berlin, Heidelberg, 2006.

40. Булатов В. В., Владимиров Ю. В., Данилов В. Г., Доброхотов С. Ю. Пример вычисления «глаза тайфуна» на основе гипотезы В. П. Маслова.// ДАН. 1994. Т.338, № 1. С. 102−105.

41. Dobrokhotov S. Yu. Hugoniot — Maslov Chains for solitary Vortices of the Shallow Water Equations I, II. // Russian J.Math.Phys. 1999. V.6, m, №. P.137−183.

42. Доброхотов С. IO., Панкрашкин К. В, Семенов Е. С. О гипотезе Маслова о структуре слабых точечных особенностей уравнений мелкой воды.// ДАН. 2001. Т.379, № 2. С. 173−176.

43. Dubrovin В., Grava Т., Klein С. On universality of critical behaviour in the critical behaviour in the focusing nonlinear Schrodinger equation, elliptic umbilic catstrophe and the tritonque to the Painleve-1 equation, //arXiv:0704.0501. (2007).

44. Dubrovin B. On universality of critical behaviour in hamiltonian PDES. //arXiv:0804.3790. (2008).

45. Овсянников JJ.В. Лекции по основам газовой динамики. М: Наука. 1981.

46. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.:Мир. 1989.

47. Жибер А. В., Шабат А. В. Уравнения КлейнаГордона с нетривиальной группой.//ДАН.1979. Т.247, № 5. С.1103−1107.

48. Жибер А. В. Полное описание алгебры Ли-Беклунда для уравнений генерации второй гармоники //Динамика сплошной среды. 1980. № 44. С.3−14.

49. Жибер А. В., Шабат А. В. Системы уравнений их — p (u, v), vy — q{u, v), обладающие симметриями. //ДАН. 1984. Т. 277, № 1. С.29−33.

50. Ибрагимов Н. Х., Шабат А. В. Уравнения Кортевега—де Фриза с групповой точки зрения. //ДАН. 1979. Т. 244, № 1. С.57−61.

51. Ибрагимов Н. Х., Шабат А. В. О бесконечных алгебрах Ли-Беклунда. //Функц. анализ и его приложения. 1980. Т. 14, в.4. С.79−80.

52. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. 1983.

53. Mikhailov A.V., Shabat А.В., Yamilov R.I. Extension of the module of invertible transformations. Classification of integrable systems. // Commun. Math. Phys. 1988. V.115, № 1. P. l-19.

54. Mikhailov A.V., Shabat А.В., Sokolov V. V. The symmetry approach to classification of integrable cquations, 115. In: «What is Integrability?» Springer, New York, Berlin, Heidelberg, 1991.

55. Михайлов А. В., Шабат А. В., Ямилов Р. И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем.// УМН. 1987, Т.42, в.4. С.3−53.

56. Соколов В. В. О симметриях эволюционных уравнений. //УМН. 1988. Т.43, в.5. С.133−163.

57. Адлер В. Э., Шабат А. Б., Ямилов Р. И. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости //ТМФ. 2000. Т. 125, № 3. С.355−424.

58. Гуревич А. В., Питаевский Л. П. Опрокидывание простой волны в кинетеке разреженной плазмы. // ЖЭТФ. 1971. Т.60, в.6. С.2155−2174.

59. Гуревич А. В., Питаевский Л. П. Нестационарная структура бес-столкновительной ударной волны. // ЖЭТФ. 1973. Т.65, в.2. С.590−604.

60. Захаров В. Е., Манаков C.B., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. М: Наука. 1980.

61. Ибрагимов Н. Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике. // УМН. 1992. Т.47, в.4. С.83−145.

62. Kudashev V.R. Kdv shock-like waves as invariant solutions of KdV equation symmetries,, C.70−79. В: ''Интегрируемость в динамических системах". Ин-т математики с ВЦ, Уфа, 1994.

63. Ligthill M.J. Viscosity effects in sound waves of finite amplitude. In: Surveys in Mechanics., Batchelor G.K. and Davies R.M., eds, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1956, P.250−351.

64. Федорюк M.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М: Наука, 1987.

65. Китаев А. В. Точки поворота линейных систем и двойные асимптотики трансцендентов Пенлеве. // Записки ЛОМИ. 1991. Т. 187. С.53−74.

66. Haberman R., Ren-ji Sun. Nonlinear cusped caustics for dispersive waves. Stud. Appl.Math. 1985. V.72, M. P. 1−37.

67. Zaharov S.V., IVin A.M. On the influence of small dissipation on the evolution of weak discontinuities//Functional differential equations. 2001. V.8, № 3,4. P.257−271.

68. Мизес P. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М.: ИЛ. 1961.

69. Богаевский В. Н., Повзнер В. Н. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений М.: Наука. 1987.

70. Маслов В. П., Мосолов П. П. Уравнения одномерного баротропного газа. М.: Наука. 1990.

71. Васильев И. И., Клоков Ю. А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига: Зинатне. 1978.

72. Чаплыгин С. А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. М.-Л.: Государственное издательство научно-технической литературы. 1950.

73. Ильин A.M., Данилин А. Р., Асимптотика решения задачи о быстродействии при возмущении начальных условий. // Известия АН, Техническая кибернетика. 1994. Т.З. С. 96−103.

74. Гарифуллин Р. Н. Построение асимптотических решений в задаче об авторезонансе. //ДАН. 2004. Т.398, № 3. С.306−309.

75. Гадыльшин P.P. Расщепление кратного собственного значения в краевой задаче для мембраны, закрепленной на малом участке границы. //Сибирский математический журнал.1993. T.34,№ 3.C.43−61.

76. Борисов Д. И. Асимптотики и оценки лапласианов с частой непериодической сменой граничных условий. //Матем. сб. 2002. Т.193, № 7. С.37−68.79 8081 8283.