Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр

Теория полугрупп активно развивается в течение последних десятилетий и к настоящему времени является самостоятельной ветвью абстрактной алгебры. Настоящая работа посвящена аппроксимации трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр.

Аппроксимация — замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близким к исходным, — является одним из основных методов математики. Этот метод позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объектов, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В математическом анализе, в геометрии, в теории чисел применяются методы аппроксимации различных объектов, а такие разделы математики, как теория приближения функций, численные методы анализа, по существу, целиком посвящены аппроксимации.

Широкое применение аппроксимационных методов в алгебре связано с именем академика А. И. Мальцева. В его работе [27] дано общее понятие аппроксимации алгебраических систем, показана связь финитной аппроксимируемости алгебраической системы относительно какого-либо предиката с алгоритмической разрешимостью проблемы этого предиката в рассматриваемой системе, что послужило толчком к исследованию аппроксимируемости полугрупп и других алгебраических систем. С начала 60-х годов прошлого века по настоящее время появилось большое количество работ, посвященных аппроксимации алгебраических систем различных классов, прежде всего групп, колец и алгебр. Этим вопросам посвящены работы как отечественных (А. И. Мальцев, М. И. Каргополов, Ю. И. Мерзляков, Ю. М. Рябухин и др.), так и зарубежных (К. Гирш, Ф. Гроувз, Ф. Холл, Н. Блекберн и др.) авторов.

Аппроксимация полугрупп относительно предикатов также привлекла внимание многих исследователей и превратилась сейчас в обширную и интенсивно развивающуюся область теории полугрупп. Именно ей посвящены работы М. М. Лесохина, С. И. Кублановского, С. Г. Мамиконяна, Э. А. Голубова, М. В. Сапира, Ст. Шварца, Э. Хьюитта, Г. Цукермана, Э. П. Арояна и других алгебраистов.

Дистрибутивный закон является одним из основных, связывающих операции законов, многих алгебраических систем современной алгебры. Полукольца, кольца, поля, линейные пространства и другие, изучаемые алгеброй объекты, удовлетворяют дистрибутивному закону. Поэтому изучение дистрибутивных операций представляет значительный интерес. Дистрибутивный закон распространяется на случай, когда имеется несколько основных множеств и операций, заданных на этих множествах.

В настоящее время получили распространение многоосновные алгебры, начало изучения которых в общем виде положено Б. И. Плоткиным [29]. В многоосновных алгебрах несколько основных множеств и, кроме алгебраических операций, определенных на этих множествах, допускаются операции дистрибутивного типа, связывающие элементы из различных основных множеств.

В теории полугрупп рассмотрение многоосновных алгебр фактически начато Е. С. Ляпиным с изучения систем с внешним умножением, строение и структурные свойства которых подробно были исследованы М. М. Лесохиным [8, 13−15, 19]. Системы с внешним умножением — это ни что иное, как трехосновные полугрупповые дистрибутивные алгебры.

Определение 1. Пусть А, В, С — произвольные полугруппы, а / -отображение АхВ-^С, обладающее следующими свойствами: для любых a, ai, е А, Ь, bh b2 еВ: f (ai-a2,b) =f (ai, b) f (a2,b), f (a, brb2) =f (a, bl)'f (a, bi).

Тогда тройку полугрупп А, В, С вместе с отображением / будем называть трехосновной полугрупповой дистрибутивной алгеброй (алгеброй) и обозначать (А, В, С, J).

На линейные пространства, полуавтоматы и М-автоматы можно смотреть, как на элементарные примеры трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр [28]. В математике существуют другиеклассические примеры объектов, которые могут рассматриваться как трехосновные полугрупповые дистрибутивные алгебры.

Например, предложенное в 1894 году Т. Стилтьесом обобщение понятия определенного интеграла. Пусть D — аддитивная полугруппа вещественных функций, интегрируемых и дифференцируемых на отрезке [а, Ь], если интеграл Стилтьеса рассматривать как отображение DxD->R, Ь построенное по правилу: Vm (x), v (x) е D: I (u, v) =^u (x)dv{x), тогда система а.

D, D, R, I) является трехосновной полугрупповой дистрибутивной алгеброй.

Пусть V, W — векторные пространства над некоторым полем, как известно, существует тензорное произведение (т, Т), где T=V®Wпространство над тем же полем, билинейное отображение r: VxW->T, удовлетворяющее определенным условиям, то есть (V, W, V0W, т) -трехосновная алгебра. Классическое тензорное произведение линейных пространств можно рассматривать как тензорное произведение групп, но в таком случае можно говорить об обобщении этого понятия и рассмотрении тензорного произведения полугрупп. Изучение тензорных произведений полугрупп было начато в конце 60-х годов прошлого века, первые результаты в этом направлении были получены Т. Хедом (1967), П. Грийе (1969), Р. Фулпом (1970).

Вопросами, связанными с билинейными отображениями полугрупп занимался А. В. Попырин, который нашел условия невырожденности билинейных отображений полугрупп [35], то есть условия существования невырожденной алгебры с совпадающими тремя компонентами.

Определение 2. Гомоморфизмом алгебры (AhBl, CiJi) в (A2,B2,C2j2) называется тройка /j=(a, P, y) гомоморфизмов a: Ai~>A2, p: Bi~>B2, y: Ci~>C2, которая обладает свойством: ytfi (a, b))=f2(a (a), P (b)), для всех, а еАh beBh.

Одним из важнейших производных объектов, связанных с какой-либо данной полугруппой, является полугруппа характеров с операцией поточечного умножения. Основоположником теории характеров полугрупп является Ст. Шварц, важной составной частью этой теории являются работы JI. С. Понтрягина, М. М. Лесохина, И. Хъюэтта, X. Цукермана. Изучению строения полугруппы Нот (А, К), где Кполугруппа, полученная внешним присоединением нуля к мультипликативной группе всех комплексных корней из единицы, вопросам аппроксимации полугрупп комплексными характерами посвящены работы Ст. Шварца [51−53], И. Хъюэтта и X. Цукермана [54].

Рассматривая полугруппу обобщенных характеров коммутативной полугруппы М, мы фактически получаем алгебру (М, Hom (M, L), L, fo), где L — некоторая полугруппа, fo (tn,%)=X (m)i Для любых теМ, %еНот (М, L).

М. М. Лесохиным в работе [15] показано, что системы вида (М, Hom (M, L), L, fo) обладают свойством правильности по второй компоненте, то есть разные элементы второй компоненты осуществляют разные гомоморфизмы полугруппы М в полугруппу L, и, что путем отождествления элементов второй компоненты, которые осуществляют одинаковые гомоморфизмы, можно любую систему привести к системе правильной относительно этой компоненты. Если выполнено следующее условие: из того, что (А, В, С, J) — правильна относительно В и является подсистемой системы (А, В', С, j), правильной относительно В следует что ВВ, то (А, В, C, j) называется полной. М. М. Лесохин [14] показал, что алгебра (М, Hom (M, L), L, fo) полна. В связи с такими «хорошими» свойствами этих алгебр, он в дальнейших работах [19−23] изучал влияние полноты второй компоненты на свойства других компонент и алгебр в целом.

Вопросам аппроксимации полугрупп комплексными характерами посвящены работы Хъюэтта и Цукермана [54], Лесохина [9−12, 21−23], Попырина [34]. Классической алгеброй характеров называется [20] алгебра вида (М, Hom (M, L), L, f0), где М — произвольная коммутативная полугруппа, L — мультипликативная полугруппа поля, — каноническое билинейное отображение. Можно говорить о классических алгебрах различного вида, в зависимости от их третьей компоненты. Но так же можно рассмотреть алгебры характеров, в которых в качестве L будут выступать некоторые части L или другие известные полугруппы. Поскольку полугруппы характеров достаточно хорошо изучены, то представляет интерес аппроксимировать произвольные алгебры в классах алгебр вида (М, Hom (M, L), L, f0), где М — произвольная коммутативная полугруппа, a L — одна из хорошо известных полугрупп: мультипликативная полугруппа некоторого числового поля или какая-либо важнейшая числовая полугруппа (полугруппа корней из единицы с нулем, полугруппа неотрицательных вещественных чисел, мультипликативная полугруппа рациональных чисел и другие).

Характером алгебры (А, В, C, J) над полем Р будем называть гомоморфизм (А, В, С, J) в какую-либо алгебру вида (М, Hom (M, F), P*, fo), где М — произвольная коммутативная полугруппа, а Р* -мультипликативная полугруппа поля Р.

Периодическим комплексным характером (А, В, C, J) будем называть гомоморфизм трехосновной полугрупповой дистрибутивной алгебры (А, В, С, J) в алгебру (М, Нот (М, К), K, fo), где М — произвольная коммутативная полугруппа, а К — полугруппа, полученная внешним присоединением нуля к мультипликативной группе всех комплексных корней из единицы.

Положительным вещественным характером (А, В, С, J) будем называть гомоморфизм (A, B, C, J) в алгебру вида (М, Hom (MtR+), R+, fo), где М — произвольная коммутативная полугруппа, a R+ -мультипликативная полугруппа неотрицательных вещественных чисел.

Алгеброй аддитивных рациональных характеров назовем класс алгебр вида (М, Hom (M, Ql), Ql, fo), где Мпроизвольная коммутативная полугруппа, a Ql — полугруппа, полученная внешним присоединением нуля к аддитивной группе всех рациональных чисел.

Расширенной алгеброй периодических комплексных характеров назовем класс алгебр вида (М, Hom (M, Kz), KZ, f0), где М — произвольная коммутативная полугруппа, а К2 — полугруппа, полученная внешним присоединением нуля z к полугруппе К.

Вопросами аппроксимации алгебр начали заниматься лишь в последние десятилетия прошлого века. Этой тематике в разной мере посвящены работы С. И. Кублановского [2], А. В. Попырина [34].

Определение 3. Пусть Ф — некоторое множество гомоморфизмов алгебры (A, B, CJ) в какие-либо трехосновные полугрупповые дистрибутивные алгебры, пусть 0 — двуместный предикат, определенный на парах подмножеств произвольной полугруппы (одноэлементные подмножества при этом отождествляются с элементами полугруппы). Алгебра (А, В, C, f) аппроксимируема относительно предиката 0 по первой компоненте гомоморфизмами из Ф, если для любых подмножеств Alt А2 полугруппы, А из области задания предиката 0 таких, что 0(Aj, А2) — ложно, найдется гомоморфизм /л=(а, Д у) из Ф, при котором 0(a (Aj), a (A2)) — ложно. Алгебра (A, B, C, j) аппроксимируема относительно 0по второй компоненте гомоморфизмами из Ф, если для любых подмножеств Bh В2 полугруппы В из области задания 0 таких, что 0(В1,В2) -ложно, найдется fi'=(a', р, /) из Ф, при котором 0(p (Bi), fl'(B2))-ложно. Алгебра (A, B, CJ) аппроксимируема относительно 0 по третьей компоненте гомоморфизмами из Ф, если для любых подмножеств Cj, С2 полугруппы С из области задания © таких, что ©-(СиС?) — ложно, найдется гомоморфизм ц" =(а" ,/3″, у") из Ф, при котором 0(y" (Ci), y" (C^) — ложно.

Если Ф множество всех гомоморфизмов (А, В, С, J) в определенный класс алгебр Я, то говорят об аппроксимации (А, В, C, J) в классе Н по первой, второй или третьей компоненте относительно предиката ©.

В работе рассматриваются два вида двуместных предикатов: элементарные и единично идеальные. Существуют классический набор [1] элементарных двуместных предикатов: равенствовхождение элемента в подполугруппувхождение элемента в идеалвхождение элемента в подгруппувхождение элемента в максимальную подгруппуобобщенная делимостьотношения Грина.

Хорошо известно, какую важную роль в теории полугрупп играют понятия единицы и нуля полугруппы. Эти понятия довольно естественно обобщаются в понятие единично идеального элемента. Интерес к таким элементам определяется с точки зрения понятия единично идеальной подполугруппы (обобщение понятия идеала) полугруппы, введенного Е. С. Ляпиным [24] и играющего важную роль при изучении зависимостей между подполугруппами полугруппы.

В работах Плотниковой Н. В. [30−33] найдены необходимые и достаточные условия аппроксимируемости трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр относительно таких предикатов, как: равенство, вхождение элемента в идеал, вхождения элемента в подполугруппу, делимость.

Как следует из работ М. М. Лесохина [6, 15] мы не можем увеличить класс алгебр обобщенных характеров, рассматривая его элементы как подалгебры некоторых других алгебр, без потери его основополагающих свойств. Но возникает тогда противоположный вопрос: можно ли сузить этот класс, без потери свойств алгебр, аппроксимируемых в нем? Можно дать ответ на этот вопрос, исследовав минимальные классы аппроксимации алгебр относительно тех или иных предикатов.

Пусть Q — некоторый класс алгебр, 0 — некоторый предикат вхождения. Класс 5(L) алгебр вида (М, Hom (M, L), L, fo), где Мпроизвольная коммутативная полугруппа, называется минимальным классом аппроксимации по первой (второй, третьей) компоненте для алгебр класса Q относительно предиката 0 если произвольная алгебра из Q аппроксимируема относительно предиката 0 по первой (второй, третьей) компоненте в классе E (L), и для произвольной собственной подполугруппы И полугруппы L найдется алгебра (А, В, С, j) еО, не аппроксимируемая относительно предиката 0 по первой (второй, третьей) компоненте в классе S (//)•.

В связи со сказанным выше представляется важным и интересным рассмотрение аппроксимации трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр относительно предикатов различными характерами.

Целью работы было исследование аппроксимируемости трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр в классах алгебр, у которых первая компонента является произвольной коммутативной полугруппой, а вторая полугруппой обобщенных характеров. В рамках реализации данной цели в диссертации решаются следующие задачи: • описание алгебр, аппроксимируемых относительно некоторых важных предикатов (эквивалентность Грина, вхождение элемента в подгруппу, вхождения элемента в максимальную подгруппу, единично идеальных предикатов) различными характерами;

• выявление связи между аппроксимируемостью алгебр и аппроксимируемостью самих компонент в некоторых классах полугрупп;

• нахождение минимальных классов аппроксимации алгебр относительно некоторых предикатов.

Основой исследования в настоящей работе является изучение и установление связей между полугруппой обобщенных характеров и гомоморфизмами алгебр. При этом используются следующие методы: построение гомоморфизма алгебры с помощью гомоморфизмов исходных полугрупп, продолжение гомоморфизма максимальной подгруппы коммутативной полугруппы до гомоморфизма всей полугруппы в группу с внешне присоединенным нулем, вложение связки коммутативных полугрупп с сокращением в регулярную коммутативную полугруппу.

Основные результаты работы.

Диссертация состоит из двух глав, первая из которых посвящена аппроксимации трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр различными характерами относительно классических элементарных двуместных предикатов.

В первом параграфе показана связь аппроксимируемости алгебр классическими характерами над полем с аппроксимируемостью компонент. Причем рассмотрен широкий класс предикатов, названный предикатом вхождения, в который попадают предикаты равенства, вхождения элемента в подполугруппу, в идеал, в подгруппу, в максимальную подгруппу, обобщенная делимость, отношения Грина, единично идеальные предикаты.

В частности показано, что аппроксимируемость алгебр относительно произвольных предикатов по первой компоненте характерами над полем напрямую связана с аппроксимируемостью полугрупп в классе всех коммутативных полугрупп. Эти вопросы составляют отдельное хорошо изученное направление, поэтому вопрос аппроксимируемости алгебр по первой компоненте характерами можно считать закрытым.

Удалось выявить так же связи между аппроксимируемостью алгебр по второй и третьей компоненте характерами над произвольным полем и аппроксимируемостью самих компонент в этом поле.

Во втором параграфе получены необходимые и достаточные условия аппроксимируемости алгебр относительно конкретных предикатов: эквивалентности Грина, вхождения элемента в подгруппу, вхождения элемента в максимальную подгруппу. Результаты эти получены при помощи установленных в первом параграфе связей.

В третьем параграфе найдено общее достаточное условие, накладываемое на вторую компоненту алгебр, для аппроксимируемости их рациональными характерами относительно произвольного предиката вхождения, то есть целого класса предикатов, по второй компоненте. Для предикатов равенства и вхождение в подполугруппу это условие является необходимым и достаточным.

Теорема 1. Для произвольной алгебры (A, B, CJ) следующие условия эквивалентны:

1) (A, B, C, j) аппроксимируема по второй компоненте относительно вхождения в подполугруппу рациональными характерами;

2) (A, B, C, j) аппроксимируема по второй компоненте относительно равенства рациональными характерами;

3) Вкоммутативная сепаративная полугруппа без кручения, и типы элементов, отличных от единицы в подполугруппе дробей полугруппы В, имеют вид (О, О,."О,.).

Как следует из работ М. М. Лесохина [6, 15] мы не можем увеличить класс алгебр обобщенных характеров (МHom (M, L), L, f0), рассматривая его элементы как подалгебры некоторых других алгебр, без потери его основополагающих свойств.

Но возникает тогда противоположный вопрос: можно ли сузить этот класс, без потери свойств алгебр, аппроксимируемых в нем? В некоторой мере ответ дают четвертый и пятый параграфы работы. В них исследуется алгебра аддитивных рациональных характеров, с точки зрения возможности замены полугруппы Q той или иной ее подполугруппой с сохранением аппроксимируемости в новом классе тех алгебр, которые были аппроксимируемы аддитивными рациональными характерами.

Теорема 2. Для того чтобы алгебра была аппроксимируема относительно равенства и вхождения в подполугруппу по второй компоненте аддитивными рациональными характерами, необходимо и достаточно, чтобы вторая ее компонента была коммутативной, сепаративной, степенно сократимой полугруппой. Для того чтобы алгебра с коммутативной первой компонентой была аппроксимируема относительно равенства и вхождения в подполугруппу по третьей компоненте аддитивными рациональными характерами, необходимо и достаточно, чтобы третья ее компонента была коммутативной, сепаративной, степенно сократимой полугруппой.

Пусть Qi — класс алгебр, у которых первая компонента коммутативная полугруппа, Q.2 — класс алгебр, у которых вторая компонента коммутативная, сепаративная, степенно сократимая полугруппа. Обозначим через Q3 — класс алгебр, у которых первая компонента коммутативная полугруппа, а третья компонента коммутативная, сепаративная, степенно сократимая полугруппа.

Показано, что алгебра аддитивных рациональных характеров не является минимальным классом аппроксимации по первой компоненте для алгебр Qj относительно предикатов равенства и вхождения в подполугруппу. Но верна следующая теорема:

Теорема 3. Алгебра аддитивных рациональных характеров является минимальным классом аппроксимации относительно предикатов равенства и вхождения в подполугруппу для алгебр Q2 по второй компоненте и алгебр Qj по третьей компоненте.

Вторая глава работы посвящена аппроксимации относительно единично идеальных предикатов, которые играют очень важную роль в теории полугрупп.

Первые два из единично идеальных предикатов есть некоторые аналоги равенства. Аппроксимации относительно них, то есть вхождения во множество единично идеальных элементов и равенства единично идеальных элементов характерами над полем, периодическими комплексными, положительными вещественными, рациональными характерами, и посвящен первый параграф второй главы. В большинстве случаев найдены необходимые и достаточные условия аппроксимируемости алгебр относительно вхождения во множество единично идеальных элементов и равенства единично идеальных элементов перечисленными характерами.

Третий единично идеальный предикат есть частный случай предиката вхождения в подполугруппу.

Теорема 4. Для того чтобы (A, B, C, f) была аппроксимируема по второй компоненте относительно вхождения в единично идеальную подполугруппу периодическими комплексными характерами, необходимо и достаточно, чтобы полугруппа В являлась инверсной вполне регулярной.

Теорема 5. Если (A, B, CJ) с коммутативной первой компонентой аппроксимируема по третьей компоненте относительно вхождения в единично идеальную подполугруппу периодическими комплексными характерами, то полугруппа С является инверсной вполне регулярной.

Теорема 6. Если (А, В, С J) имеет коммутативную первую и инверсную вполне регулярную третью компоненты, причем совокупность Ее всех идемпотентов полугруппы С является нулевой подполугруппой С, то (A, B, C, f) аппроксимируема по третьей компоненте относительно вхождения в единично идеальную подполугруппу периодическими комплексными характерами.

Теоремы 5 и 6 являются более общими, нежели утверждения, опубликованные автором в своих работах [40, 41], так как удалось избавиться от условия коммутативности третьей компоненты. Цель же рассмотрения расширенных характеров — показать, что регулярность компонент в алгебрах является «основным» необходимым и достаточным условием для аппроксимируемости их относительно вхождения в единично идеальную подполугруппу. Пусть Q — класс алгебр, у которых первая компонента коммутативна, а третья — коммутативная регулярная полугруппа.

Теорема 7. Расширенная алгебра периодических комплексных характеров является минимальным классом аппроксимации по третьей компоненте относительно вхождения в единично идеальную подполугруппу для алгебр класса Q.

Следующими двумя теоремами закрывается вопрос об аппроксимируемости трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр относительно оставшихся трех единично идеальных предикатов, являющихся различными сужениями предиката обобщенной делимости.

Теорема 8. Для любого поля Р произвольная алгебра (A, B, C, f) аппроксимируема по второй компоненте относительно предикатов делимости и инверсности единично идеальных элементов характерами над полем Р.

Теорема 9. Для любого поля Р произвольная алгебра (A, B, CJ) с коммутативной первой компонентой аппроксимируема по третьей компоненте относительно предикатов делимости и инверсности единично идеальных элементов характерами над полем Р.

Таковы основные результаты диссертации. Для более точной формулировки решаемых нами задач приведем все необходимые определения.

Понятия и определения, используемые в работе.

Приведем ряд известных сведений, которые используются в работе без особых ссылок.

• Под идеалом полугруппы S будем понимать ее двусторонний идеал. Идеал I называется вполне изолированным (вполне простым), если из того, что, а Ь el следует, что a el или b el.

• Полугруппа S называется нулевой полугруппой, если S является коммутативной полугруппой с нулем z и S-S={zj.

• Полугруппа S удовлетворяет коммутаторноиу условию, если для любых а, Ъ eSнайдутся такие элементы xi, x2eS, что a-b=xi-a~b-x2.

• Два элемента, а и Ь полугруппы S называются /^-эквивалентными (L-эквивалентными), если они порождают один и тот же главный правый (левый) идеал. Отношения R и L коммутируют и /)-эквивалентностыо называется отношение RoL=L°R. Пусть S1 — полугруппа с единицей, понимаемая в смысле [1]. Для любых ее элементов, а и Ь будем говорить, что они находятся в отношении Грина D (отношение эквивалентности), если найдется с из S1 такой, что aS1 = cS1 и S’c = S’b.

• Подполугруппа N полугруппы S называется фильтром (выпуклой подполугруппой), если для любых a, beS из того, что a-beN следует, что aeN и beN. Это условие выполняется, очевидно, тогда и только тогда, когда N=SI, для некоторого (необходимо вполне изолированного) идеала/, или N=S.

Пусть S — произвольная полугруппа. Для произвольного элемента xeS обозначим через N (x) минимальный фильтр, его содержащий. Рассмотрим на полугруппе S отношение ц: xtjy <=> N (x)-N (y). Отношение 77 является отношением конгруэнтности, а фактор-полугруппа S/tj — полурешеткой. Обозначим 77-класс элемента х через Nx, он, очевидно, является фильтром.

Полугруппа S называется сепаративной (отделимой), если для любых 7 a, b eS из того, что a =ab=b следует, что а=Ь.

Полугруппа S называется степенно сократимой, если для любых a, beS из того, что а" =Ьп следует, что а-Ъ, для произвольного натурального п. Элемент, а абелевой группы имеет тип а3,.,(Хр,.), где р — простое число, ар — целые неотрицательные числа или символ оо, если уравнение раР paP+l хи =а разрешимо, а уравнение х * -а неразрешимо в и группе. Если уравнение х р =а разрешимо для любых натуральных п, то ар=оо. Причем, известно, что если типы не идемпотентных элементов группы имеют вид (0,0,.Д.), то группа вкладывается в прямое произведение бесконечных циклических групп [3, с. 178]. Пусть С — множество комплексных чисел,/" - простое число. Множество к zeC |3 keN: z? =1} является мультипликативной группой и называется группой все ее подгруппы имеют вид к.

CpK={zeCzp =1}.

Полугруппа S называется архимедовой полугруппой, если для всяких элементов a, b еSнайдутся такие элементых1г х2 eS, что при некотором натуральном п будем иметь: an=xj-b=b-x2.

• Элемент, а полугруппы S называется регулярным элементом, если существует элемент Ь из S такой, что а-а-Ь-а. Полугруппа S называется регулярной полугруппой, если каждый ее элемент регулярен.

• В полугруппе S элемент Ь называется инверсным к элементу а, если а=а-Ь-а и Ь=Ъ-аЪ. Полугруппа S называется инверсной полугруппой, если каждый ее элемент обладает единственным инверсным к нему элементом.

• Элемент, а полугруппы S называется вполне регулярным, если существует элемент Ъ из S такой, что а=а-Ь-а и b-a=a-b. Полугруппа S называется вполне регулярной полугруппой, если каждый ее элемент вполне регулярен.

• Непустое подмножество М полугруппы S называется единично идеальной подполугруппой полугруппы S (е.и.п.), если для произвольных aeS, кеМ верно следующее: а-кеМ или а-к=а, к-аеМ или к-а=а.

• Одноэлементная е.и.п. называется единично идеальным элементом (е.и.э.).

• Пусть S* - множество всех единично идеальных элементов. Определим следующие единично идеальные предикаты на полугруппе S:

Рi — вхождение в множество е.и.э.- Pj (a, b) — ложно о a^b, aeS* или Ъ eS*;

Р2 — равенство е.и.э.- Р2(а, Ь) — ложноо a#b, a eS* и Ь eS*;

Р3 — вхождение в е.и.п.- Рз (а, М) — ложно <=> agM, Ме.и.п. S;

Р4,Р5~ предикаты делимости е.и.э.;

Р/а, Ь) — ложно <-> а не делится на b, a &S*;

Ps (a, b) — ложно о, а не делится на Ъ, a eS* и b eS*;

Рб — инверсность е.и.э.- Рб (а, Ъ) — ложно О а-Ь-ат или b-a-b a, b eS*.

• В предикатах Р4 и Pj имеется ввиду обобщенная делимость, то есть в полугруппе S элемент, а делится на элемент b (элемент b является делителем элемента а), если существует такая пара элементов с и d из S1, что a-c-b-d.

• Под предикатом вхождения в полугруппе будем понимать всякий двуместный предикат 0, заданный на множестве некоторых пар подмножеств произвольной полугруппы (одноэлементные подмножества отождествляются с самими элементами), так что в произвольной полугруппе, А для пары ее подмножеств (А у, А2) из области задания 0 соотношение 0(Alt А2) — ложно означает, что существует о/ sAj такой, что а/Лг2, для произвольных а2еА2. Очевидно, что предикат вхождения 0, определенный таким образом, обладает следующими (используемыми в работе без особых ссылок) свойствами:

1)Если (ргомоморфизм полугруппы, А в полугруппу 5, и пара подмножеств (Aj, А2) полугруппы, А принадлежит области задания 0, то пара (.

2)Если (р — изоморфное отображения полугрупп, А на В, то область задания предиката 0 в В состоит из пар (tp (Ai),(p (A2)), для всевозможных пар (А/, А^, составляющих область задания 0 в А, и, 0(А 1, А2) — ложно тогда и только тогда, когда 0((р (А}), (р (А2)) — ложно.

Мы будем рассматривать следующие важные предикаты вхождения: равенствовхождение элемента в подполугруппувхождение элемента в идеалвхождение элемента в подгруппувхождение элемента в максимальную подгруппуобобщенная делимостьотношения Гринаединично идеальные предикаты Pi — Р6.

1. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. — М.: Мир, 1972.

2. Кублановский С. И. Аппроксимация алгебраических систем относительно предикатов: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук /АН Молдавской ССР. Кишинев, 1983.

3. Курош А. Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

4. Лесохин М. М., Голубов Э. А. О финитной аппроксимируемости коммутативных полугрупп // Матем. записки Уральского ун-та. 1966. Т. 5, тетр. 3. С. 82−91.

5. Лесохин М. М. Замечание к статье Ст. Шварца «Теория характеров конечных коммутативных полугрупп» // Труды объединения преподавателей физико-математических факультетов пединститутов Дальнего Востока. 1962. Т. 1. Математика. С. 74.

6. Лесохин М. М. Некоторые свойства обобщенных характеров полугрупп // Уч. Зап. ЛГПИ им. Герцена. 1958. Т. 183. С. 227−286.

7. Лесохин М. М. О гомоморфизмах на конечные полугруппы // Сиб. мат. журнал. 1963. Т. 4, № 6. С. 1431−1432.

8. Лесохин М. М. О гомоморфизмах систем с внешним умножением // Уч. Зап. ЛГПИ им. Герцена. 1971. Т. 404. С. 220−232.

9. Лесохин М. М. О гомоморфных представлениях полугрупп // Изв. ВУЗов. Математика. 1965. № 5. С. 80−85.

10. Лесохин М. М. О двойственности коммутативных полугрупп // Тез. кр. сообщ. Международного конгресса математиков. Москва, 1966. Секция 2. С. 46.

11. Лесохин М. М. О двойственности комплексных характеров и полухарактеров коммутативных полугрупп //Матем. сб. 1965. Т. 66(108). С. 378−383.

12. Лесохин М. М. О двойственности комплексных характеров полугрупп // V всесоюзный алгебраический коллоквиум. Новосибирск, 1963. С. 34−35.

13. Лесохин М. М. О дистрибутивных операциях на полугруппах //Уч. Зап. ЛГПИ им. Герцена. 1967. Т. 302. С. 101−116.М.Лесохин М. М. О полноте систем с внешним умножением // Изв. ВУЗов. Математика. 1963. № 5. С. 59−62.

14. Лесохин М. М. О правильности систем с внешним умножением и простоте их компонент // Уч. Зап. ЛГПИ им. Герцена. 1961. Т. 218. С. 2337.

15. Лесохин М. М. Об аппроксимации полугрупп относительно предикатов // Уч. Зап. ЛГПИ им. Герцена. 1971. Т. 404. С. 191−219.

16. Лесохин М. М. Об аппроксимируемости полугрупп и отделимости подполугрупп // Межвузовский научный симпозиум по общей алгебре. Тарту, 1966. С. 52−62.

17. Лесохин М. М. Об отделимости полугрупп характерами // Mat. Cas. 1974. № 2(24). P. 129−138.

18. Лесохин М. М. Системы с внешним умножением с периодическими и полными компонентами // Изв. ВУЗов. Математика. 1964. № 2(39). С. 94.

19. Лесохин М. М. Характеры и бихарактеры полугрупп // Тез. докл. I Всесоюзного симпозиума по теории полугрупп. Свердловск, 1969 С.43−51.

20. Лесохин М. М. Характеры коммутативных полугрупп, 1 // Изв. ВУЗов. Математика. 1970. № 8. С. 67−84.

21. Лесохин М. М. Характеры коммутативных полугрупп, 2 // Изв. ВУЗов. Математика. 1971. № 2. С. 70−77.

22. Лесохин М. М. Характеры коммутативных полугрупп // Symposium of semigroups theory and application. Smolence Bratislava, 1968. June 17−22.

23. Ляпин E. С. Единично идеальные элементы полугрупп // Теория полугрупп и ее приложения. Вып. 2. Из-во Саратовского ун-та, 1970.

24. Ляпин Е. С. Полугруппы. М.: Физматгиз, 1960.

25. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

26. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Уч. Зап. Ивановского пед. ин-та. 1958. Т. 18. С. 49−60.28.0бщая алгебра: Справ. / Под общ. ред. J1. А. Скорнякова. М.: Наука, 1991. Т. 2.

27. Плоткин Б. И. Группы автоморфизмов алгебраических систем. М.: Наука, 1966.

28. Плотникова Н. В. Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебраических систем относительно равенства // Тез. докл. Международной конференции по алгебре, поев, памяти А. И. Мальцева. Новосибирск, 1989. С. 103.

29. Плотникова Н. В. Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр // Исследования полугрупп. JI, 1990. С. 87−96.

30. Плотникова Н. В. Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр // Полугруппы и их гомоморфизмы. JT, 1991. С. 6975.

31. Плотникова Н. В. Об аппроксимации трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр относительно вхождения элемента в подполугруппу // Полугруппы и их гомоморфизмы. JI, 1992. С. 113−117.

32. Попырин А. В. Билинейные отображения коммутативных регулярных полугрупп: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук /АН Молдавской ССР. Кишинев, 1985.

33. Попырин А. В. О свойствах билинейных отображений коммутативных полугрупп // Свойства полугрупп: Межвуз. сб. науч. тр. JI, 1984. С. 122−130.

34. Petrich М. Introduction to semigroups. Columbus, Ohio, 1973.

35. Petrich M. Topics in semigroups. The Pensylvania State University, 1967.

36. Толкачева E. А. Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр относительно эквивалентности Грина // Вестникматематического факультета ПТУ им. Ломоносова: Межвуз. сб. науч. тр. Архангельск, 1997. Вып. 1. С. 42−44.

37. Толкачева Е. А. Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр относительно единично идеальных предикатов по второй компоненте // Тез. докл. Международной алгебраической конференции памяти Д. К. Фаддеева. СПб, 1997. С. 291.

38. Толкачева Е. А. Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр относительно единично идеальных предикатов по третьей компоненте // Современная алгебра: Межвуз. сб. науч. тр. Ростов-на-Дону, 1997. Вып. 2(22). С.95−99.

39. Толкачева Е. А. Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр относительно некоторых предикатов вхождения // РГПУ им. Герцена. СПб, 1998. Юс. Деп. в ВИНИТИ. 03.08.98, № 2485-В98.

40. Толкачева Е. А. Об аппроксимации характерами трехосновных дистрибутивных полугрупповых алгебр // Тез. докл. III Международной конференции «Современные проблемы теории чисел и ее приложения». Тула, 1996. С. 142−143.

41. Толкачева Е. А. Связь аппроксимируемости трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр с аппроксимируемостью их компонент // Вестник Поморского Университета. 2006. № 3. С. 125−127.

42. Толкачева Е." А., Поспелов М. В. О D-аппроксимации характерами трехосновных дистрибутивных полугрупповых алгебр // Труды междунар. конгресса YSTM'96: «Молодежь и наука третье тысячелетие». М, 1997. Т.1.С. 1−19.

43. Тутыгин А. Г., Яшина E. Ю. Зависимость условий аппроксимации полугрупп по некоторым предикатам // Современная алгебра: Межвуз. сб. науч. тр. Ростов-на-Дону, 1996. Вып. 1(21). С. 136−141.

44. Фукс JI. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир. 1974. Т. 1.

45. Fuchs L. Abelian groups. Budapest, 1958.

46. Шварц Ст. Теория характеров конечных коммутативных полугрупп // Чехослов. матем. ж. 1954. Т. 4(79). С. 291−293.

47. Шварц Ст. Характеры коммутативных полугрупп как функции классов // Чехослов. матем. ж. 1954. Т. 4(79). С. 293−295.

48. Schwarz St. The theory of characters of commutative Hausdorf bicompact semigroups // Чехослов. матем. ж. 1956. T.6. С. 333−364. 54. Hewitt Е., Zuckerman Н. The Lj-algebra of commutative semigroups // Trans. Amer. Math. Soc. 1956. V.83, № 1. P. 70−97.