О некоторых качественных свойствах решений дифференциальных уравнений

Актуальность темы

исследования. Необходимость настоящего исследования была обусловлена внутренней логикой развития качественной теории дифференциальных уравнений и попыткой внести свою лепту в развитие математики, дабы поддержать процесс познания без замедления.

Раздел качественной теории дифференциально — функциональных уравнений, в общем, дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, а в частности, как сейчас принято называть, теорией осцилляции решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом стал активно развиваться с конца сороковых годов (докторская диссертация А. Д. Мышкиса). Прогресс в этой области был весьма быстрым. К сегодняшнему дню число публикаций в этой области насчитывает несколько тысяч. Причиной этого, несомненно, является все большее значение, которое придается дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом в создании математических моделей реальных процессов с последействием. Важной стороной исследования этих уравнений является выяснение осцилляционных свойств их решений. Приведем здесь лишь некоторые из возможных вопросов, в которых они нужны: оценки промежутков времени между моментами прохождения равновесия системой с последействием, выяснение условий неограниченного существования или же, наоборот, — «обреченности» биологической популяцииа эволюция популяции является основным объектом экологии, которая изучает взаимоотношение человека и вообще живых организмов с окружающей средой и тому подобные вопросы.

Из изложенного следует, что область теории дифференциально — функциональных уравнений, которой посвящена диссертационная работа, является актуальной.

Цель исследования. Основная цель работы состоит в получении новых критериев колеблемости и неколеблемости решений дифференциальных уравнений и уточнению ранее полученных теорем, относящихся к этой проблеме.

Общая методика исследований. Первые работы, посвященные теории осцилляции дифференциальных уравнений без запаздывания получены Ж. Штурмом [22]. В дальнейшем этот вопрос исследовался в течении длительного времени разными авторами, которые создали эффективную методику исследования вопроса колеблемости в этом случае. В диссертацинной работе эти методики, были модифицированы, развиты и применены для исследования новых классов дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В работе приводятся новые результаты по осцилляционным свойствам решений дифференциальных уравнений. Для широкого класса таких уравнений (как линейных, так и нелинейных) получены условия колеблемости и неколеблемости решений.

Изучены общие качественные свойства решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка, доказаны теоремы о колеблемости решений.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты работы представляют математический интерес. Они могут найти широкое применение при исследовании регулируемых систем с последействием и могут иметь важное применение в теории автоматического регулирования, математической биологии, математической физики, медецине, различных разделах механики сплошных сред, теории управления, экологии, экономике и др.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах, конференциях (республиканских и международных) и симпозиумах:

• Fourth Conference on Differential Equations and Applications CDE' IV. Rousse' 89, Bulgaria,(August, Rousse, 1989, Bulgaria) — FIRST COLLOQUIUM on Differential Equations, (august, Plovdiv, 1990, Bulgaria);

• Семинар — совещания по дифференциальным уравнениям и математической физики, (сентябрь, Баку, 1990 г.);

• Всесоюзная конференция «Дифференциальные уравнения и оптимальное управление», (октябрь, Ашхабад, 1990 г.);

• Северо — Кавказская региональная конференция по функциональнодифференциальным уравнениям и их приложениям, (сентябрь, Махачкала, 1991 г.);

• Международная научная конференция «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции», (май, Самара, 1992 г.);

• Научно — практическая конференция Кабардино — Балкарской государственной сельскохозяйственной академии, (апрель, Нальчик, 1994 г., 1995 г.);

• Международный семинар «Дифференциальные уравнения и их приложения», (июнь, Самара, 1995 г.);

• Международная конференция «Современные проблемы математики и механики «, посвященная к 175 — летаю со дня рождения П. Л. Чебышева ММФ, МГУ им. М. В. Ломоносова, (май, Москва, 1996 г.);

• Международная конференция по некоторым разделам математики Самарканд (Узбекистан), (октябрь, Самарканд, Узбекистан, 1996);

• XXXVII (II) региональная научная конференция молодых ученых и студентов «Математика и ее прикладные аспекты», (май, Нальчик, 1997 г.);

• Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии», (апрель, Кисловодск, 1997 г.);

• Международная научно-техническая конференция и Российская научная школа молодых ученных и специалистов «Системные проблемы надежности, математического моделирования и информационных технологий», посвященная 80-летию академика A.A. Самарского, (сентябрь, Москва-Сочи, 1998 г.);

• Семинар по качественной теории дифференциальных уравнений, механико — математический факультет Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, (май, Москва, 2000 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в открытой печати (по теме диссертации):

1. Трамова A.M., Трамов М. И. К вопросу качественной теории функционально-дифференциальных уравнений. // Тез. докл. семинара — совещания по дифференциальным уравнениям и математической физики, Баку: 1990, С. 31.

2. Трамова A.M., Трамов М. И. К вопросу математического моделирования. // Тез. докл. всесоюз. конференц. «Дифференциальные уравнения и оптимальное управление», — Ашхабад, Ылым, 1990, С. 141.

3. Трамова A.M. О собственных функциях эллиптического операторного пучка. // Тез. докл. Международ, научн. конференц. «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции», — Самара: ПО «Сам-вел», 1992, С. 249.

4. Трамова A.M., Трамов М. И. Исследование автономных функционально — дифференциальных уравнений. // Тез. докл. Международного семинара «Дифференциальные уравнения и их приложения. «- Самара: СамГУ, 1995, С. 80.

5. Трамова A.M., Трамов М. И. К вопросу современных методов в теории краевых задач. // Тез. докл. Международного семинара «Дифференциальные уравнения и их приложения.» — Самара: СамГУ, 1995, С. 81.

6. Трамова A.M., Трамов М. И. Об одном методе математического моделирования. // Материалы научно — практическ. конференц. КБГСХА, — Нальчик: Из-во, КБГСХА, 1995, С. 134−137.

7. Трамова A.M., Трамов М. И. К теории математического моделирования. // Материалы научно — практическ. конференц. КБГСХА, — Нальчик: Из-во КБГСХА, 1995, С. 137−140.

8. Трамова A.M., Трамов М. И. К вопросу качественной теории дифференциальных уравнений. // Тез. докл. XXXVII (II) региональная научная конференция молодых ученых и студентов «Математика и ее прикладные аспекты «, — Нальчик, КБГУ, 1997, С. 25.

9. Трамова A.M., Трамов М. И., Трамов И. М. О методах математического моделирования. //Материалы Международ, конференц. и Российск. научн. школы «Системные проблемы надежности, математического моделирования и информационных технологий», ч. 5, — Москва, НИИ «Автоэлектроника», 1998, С. 19.

Примечание.

В работах [1,2, 4 — 9] методика и реализация (кроме постановочной части) принадлежит автору диссертации.

В работах [1,2, 4 — 9] «постановочная часть» принадлежит М. И. Трамову.

В работе [9] идея «постановочной части» принадлежит И. М. Трамову.

Положения, выносимые на защиту. Автор выносит на защиту следующие основные положения:

А. Развитие новых методов исследования вопроса колеблемости решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом;

3. Реализации этих методов при получении теорем колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядка;

И. Исследование колеблемости решений краевых задач для уравнений с частными производными эллиптического и параболического типов с отклоняющимся аргументом ;

Я. Существование неколеблющихся собственных функций у дифференциального оператора второго порядка эллиптического типа и неколеблющихся решений уравнения параболического типа.

Содержание работы.

В работе исследуются некоторые качественные свойства решений дифференциальных уравнений (линейные и нелинейные) как обыкновенных, так и с частными производными.

Колеблющимся решением уравнения называется, как и принято, такое его решение, которое меняет знак при неограниченно возрастающих значениях переменной.

Теории осцилляции (колеблемости) решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных математиков. Уравнение второго порядка исследовались еще Ж. Штурмом [22] и А. Кнезером [7]. Законченные результаты уравнений произвольного порядка получены И. Т. Кигурадзе, Т. А. Чантурия [6]. В. Б. Файт [40] впервые установил интегральный признак колеблемости решения линейного обыкновенного дифференциального уравнения высшего порядка.

В настоящее время, благодаря работам [22,7,23, 20, 21,10,17, 9,12,11,6] теория колеблемости решений обыкновенных (без запаздывания) уравнений достигла высокой степени развития. Аналоги многих результатов для обыкновенных дифференциальных уравнений установлены для уравнений с запаздывающим аргументом в [ 16,13,41], там же имеется библиография и ссылки на другие работы.

Особо следует отметить классическую монографию А. Д. Мышкиса [18], где выделен класс линейных уравнений первого и второго порядков с запаздывающим аргументом, все решения которых осциллируют, а также работы [42] (см. в них же библиографию).

В настоящий момент наиболее полно изучено уравнение четного порядка вида: х (и)(0 + А',*(г (0)) = 0, т (t)<t.

Менее изученным оказались уравнения вида: х0?) (/) + а (0/(х (г (0″ = 0, а (0>0, при нечетном п > 1 и уравнения вида: х (,) (0 + 2 а, (0х (/) (0 + а (х)х (т (0) = 0 о.

В современной теории обыкновенных дифференциальных уравнений важное место занимает уравнение с отклоняющимся аргументом. Такие задачи встречаются в ряде прикладных вопросов [18, 8].

В математической литературе имеются многочисленные работы отечественных и зарубежных математиков, посвященных вопросам качественной теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Среди этих работ большое место занимают работы, посвященные исследованию колеблемости и неколеблемости решений таких уравнений. Достаточно полная библиография по этому циклу работ содержатся в монографиях [42,18,13,41, 8].

В работах Ю. И. Домшлака, Г. А. Каменского, И. Т. Кигурадзе, Р. Г. Коплатад-зе, Т. Кусано, С. Б. Норкина, X. Оносе, Т. А. Чантурия и других были получены необходимые и достаточные условия колеблемости для уравнений с отклоняющимся аргументом. В большинстве этих работ исследовались либо уравнения четного порядка, либо уравнения не содержащие членов с промежуточными производными. Отметим, что вопрос о колеблемости решений при отсутствии запаздывания находится в завершенном состоянии. Здесь уместно упомянуть работу [15], где в терминах функций типа Ляпунова сформулированы признаки неколеблемости производных (п-1) и (п-2) порядков решений уравнения у (п) =/(Ч у, у', у (п'!)). Наличие же запаздывания приводит к новым явлениям по отношению к случаю классических уравнений.

32], где исследуются осцилляциониые свойства решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений с запаздыванием первого и второго порядков и предложено также достаточное условие колеблемости решений нелинейного параболического уравнения нейтрального типа.

Первая глава посвящена уравнениям первого и второго порядков. В первом параграфе первой главы изучаются обыкновенные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом первого и второго порядков как линейные, так и нелинейные. Например, приведены условия, при выполнении которых все решения некоторого класса линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом колеблющиеся на оо[, то есть имеют бесконечное число нулей. Рассматриваются уравнения: х'®- + + А2(1)х (1-т (1)) =0, т (1)>0 (1.1) и х" (1) + А, (1) X (0 + А2 (I) X (I — т (0) = 0, т (1) >0, (1.2) где, 4] {(), А2(0 и т (0 — непрерывные функции. Спаведливы:

Теорема 1.1. Если А- (1) >а], А2 (0>а2> 0, > т0> О, 11П1 р — =оо, причем 1п та2 + г<2/ + 1 > 0, то все решения уравнения (1.1) колеб —>со лющиеся.

Теорема 1.2. Если оо.

А1(0 + А2(фаЖ = +<�х>, сс<1,а1 >0,а2 > О, г (0 <Т (1), Пт[*-.ТЦ)] = со, 00.

Т'(0<�у<, то все решения уравнения (1.2) колеблются.

Указанные теоремы допускают обобщения на случай нелинейных уравнений, уравнений более высокого порядка и некоторых функциональных уравнений вида: г+сг x{kt) + x (t)d (M{t)) = Q. t-a.

Для нелинейного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом первого порядка вида: х'(()+ а (0 х (0)аЯ1§ п (х (т (1))) = 0, (1.22) где а> 1, а (г) >а0> 0, 1ипг (0 =¦ (1−23) t—.

Доказана.

Теорема 1.7. Если выполнены условия (1.23) и аР=1, то все решения уравнения (1.22) колеблются на [t0, оо [.

Этот результат может быть применен при исследовании дифференциальных уравнений высокого нечетного и при исследовании некоторых нелинейных параболических уравнений с отклоняющимса аргументом.

Во втором параграфе первой главы рассматривается уравнение, осцилляционное свойство которого аналогично осцилляционным свойствам Эмдена — Фаулера.

Для уравнения вида fx’COf sgnx'(o) +a (t)x (T (t)) ~ 0, (2.1) где, а = const > 1, ait) > О, a (t) е С'[/0, т© < t,.

Г <0 л lim-^ > 0.

Справедлива.

Теорема 2.1. Для колеблемости решений уравнения (2.1) необходимо и достаточно, чтобы со а (()с1(= +со. I.

Аналогичная теорема известна для уравнения Эмдена — Фаулера при отсутствии запаздывания [1].

Заметим, что теорема 2.1 является новой и при отсутствии запаздывания, то есть, когда т (1) = 1.

Такое уравнение встречается в приложениях, например, в теории управления. Определенный интерес представляют случаи при, а <0 и 0<а < 1.

В третьем параграфе данной главы рассматривается задача о собственных функциях эллиптического оператора второго порядка с краевым условием Дирихле на границе области, то есть а>, (*) +X (*) ~+ +? л' Д (*))" = (3 •1).

10х, дх/ ,=] дхг /=о где аи (х), а, (х), Д (х) — ограниченные измеримые функции в ограниченной области Д оператор Ь — эллиптический, на границе области принимается краевое условие и|ш=0. (3.2).

Собственная функция, соответствующая некоторому собственному значению есть ненулевое обобщенное решение задачи (3.1), (3.2).

Собственное значение X* называется ведущим, если соответствующие ему собственные функции знакопостоянны в О.

Доказано, что существует по крайне мере одно собственное значение, для которого соответствующая собственная функция знакопостоянна. При доказательстве используется только ограниченность и измеримость коэффициентов дифференциального оператора, тогда как в известном доказательстве Красносельского М. А. [14], при к= 1 и в случае когда оператор L имеет вид.

И Q 2 п Qy.

LU = У]а,(х)—ьУаДх) — ,.

J=i dxfixj /=i <3х, требуется их гладкость.

Можно привести многочисленные подтверждения этого результата. Например, круглая, закрепленная по краю, мембрана г < а имеет знакоопределенную собственную форму поперечных колебаний и = С/0 (у[Лг), соответствующую первому (минимальному) собственному значению X ~ (0.7655тс/а), где С = const, J0 (z) — функция Бесселя нулевого порядка.

Теорема 3.1 используется в качественной теории эллиптических и параболических уравнений. Например, оно используется (при к = 1) для доказательства осцилляции решений параболических уравнений с запаздывающим аргументом.

В параграфе четыре первой главы применяемые методы приводят к условиям колеблемости и для других классов дифференциальных уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом эллиптического типа.

Рассматривается уравнение п.

Au +^at (х)и (х — г (х)) = 0, (4.1) i=i где Д-оператор Лапласа, х = (х1., х1г), т (х) = (т- (х),., тп (х)), т (х) <с/ |х/| + с2, grad т (х) <сх где cj, С2, с3 — постоянные .

Верна.

Теорема 4.1. Существует, а = const > 0 такая, что если? а,(х)!х|2>а, (4.2) с=1 то все решения уравнения (4.1) колеблются во внешности любой сферы.

Доказательство теоремы основано на рассмотрении уравнения (4.1) в полярных координатах (г, (р) в R" и замене переменной t = In г.

Заметим, что при п = 2 теорема допускает следующее уточнение: если в уравнении (4.1) п = 2 и выполнены все условия, наложенные на ai (x), г, — (х) кроме условия (4.2), а также.

I 12 x) xln|x[ >а, i и, а = const достаточно велико, то все решения колеблются во внешности любой сферы.

В процедуре доказательства интеграл по кольцевой области N< г < N+ 1, О < <р < 2л от r'!Ur 9n (г) преобразуется после интегрирования по частям в выражение.

2я N+1 2 п JV+1.

— fd.

ON ON.

В силу того, что функция 6'N =4 (гN)(r — N — l)(rN -½) антисимметрична относительно точки г = N + 7/2, причем положительна на интервале, N < г < N + ½, первый интеграл в этом выражении будет знакоопределенным и конечным, если дополнительно к предположению U> 0 потребовать, чтобы при r—хю функция U возрастала не быстрее, чем г в первой степени. Второй положительно определенный интеграл, при этом же предположении относительно поведения £У, имеет порядок 0(1п (1 + 1/И)) и при достаточно большом N.

Дадим некоторые подробности оценки члена г~21/, содержащего вторую производную и интеграл от которого при II > 0 может быть знакопеременным. В принятых предположениях, в том числе и указанном выше порядке возрастания II на бесконечности, интеграл от этого члена имеет порядок 0(1п (1 + 1/Ы)) и при достаточно большом N может быть сделан сколь угодно малым. Так что, несмотря на знакопе-ременность, этот интеграл не влияет на справедливость приведенного неравенства.

Интеграл от 1]гг вы (г), после двукратного интегрирования по частям, разбивается на три знакоопредененных интеграла по интервалам (Ы, N + е), (И + е № + 1 — е) и (Ы + 1 — е, N + 1) в соответствии со знаком в" н (г) (интеграла по внутреннему интервалу отрицателен и переносится в правую часть неравенства). Здесь, чтобы исключить л/3−1 недоразумения, укажем точное значение для е равное ——, также можно и для дру.

2л/3 гих констант, входящих в оценки этих интегралов (б я т.д.).

Как следствие, приведенного результата, здесь для простоты сформулируем ее так: все решения рассматриваемого уравнения, возрастающие на бесконечности не быстрее О (г), колеблются во внешности любой сферы, либо, все решения исходного уравнения удовлетворяют указанному поведению на бесконечности.

Заметим, что в симметричном случае (£/не зависящем от (р) и п = 2 уравнение без отклонения аргумента ?/, + г'1 иг+ к2 и = 0 имеет общим решением функции и (г) = С1Н0(1) (кг) + С2Н0(2) (к г), где С] С2 — константы, а Н0(1,2) — функция Ханкеля.' Эти решения не только не возрастают при г—>оо, но являются убывающими порядка.

0(f) в силу асимптотических оценок для функций Ханкеля. Поэтому для обыкновенных дифференциальных уравнений теорема об осцилляции верна в формулировке данной в параграфе четыре первой главы теорема 4.2.

Результаты, относящиеся к дифференциальным уравнениям в частных производных с отклоняющимся аргументом, являются теоретически важными и принципиально значимыми для приложений.

Поэтому исследования, относящиеся к этой мало изученной области, представляют определенный математический интерес.

Исследования пятого параграфа первой главы посвящены нелинейным параболическим уравнениям вида:

Г-Цт-^-Ма—a (t, xy (ta, x) = 0, (5.1) ut ij=UXi OX¦ где x=(x!i,., xn), ay (x, t) — ограниченные измеримые функции в области G = Q х [О, оо[, Qограниченная область с гладкой границей. Оператор в левой части (5.1) предполагается эллиптическим, то есть п.

Y, aiM. i-ax2 I при всех вещественных Л, a (t, х) — тоже ограниченная, измеримая функция, причем a (t, х) > ао =. const > 0, а = const > 1, а = const > 0, очевидно, acr < 1.

Рассмотривается решение уравнения (5.1), удовлетворяющее однородным условиям Неймана на границе, то есть заданной нормальной производной п ды (.

2Х-—cos (fl, x,)=0, (5.2).

7=1 OXi где пвектор внешней нормали границы.

Теорема 5.1. Всякое обобщенное решение задачи (5.1), (5.2) меняет знак при г1 > Г, (х, () € С, Тпроизвольная постаянная.

Обратим внимание, что теорема такого типа не может иметь место при отсутствии запаздывания.

Пусть уравнение имеет вид: ди д2и и a{x, t (5.3) di дх и граничные условия: о<*<1, =^L, = 0.. (5.4) ох ох.

Краевая задача (5.3), (5.4) имеет решение u = v (t), где v (t)~ решение обыкновенного дифференциального уравнения.

1-й". а решение такого уравнения кроме тривиального нулей не имеет.

Теорема, аналогичная теореме 5.1, имеет место для решения первой краевой задачи (Дирихле).

Решение следующей задачи.

U,(x, t) — AU (x, t)+C (x, t, u) + P (x, t) iJ (x, tт) = f{x, t), [f/(jt, i)=0, {x, t) eS, в цилиндрической области G = D х ]0, оо[, где D — ограниченная область в У?" с гладкой границей 3D, 8 — боковая поверхность цилиндра G, то есть 8= dD х ]0, ао[- краевая задача (Неймана)(*) рассматривались и другими авторами: Байнов Д. Д., Домшлак Ю. И., Крейт К., Кусако Т., Мишев Д. П., Мышкис А. Д., Трамов М. И., Эльсгольц Л. Э. и др.

Тема уравнений с запаздыванием традиционно изучались в обыкновенных дифференциальных уравнениях: Домшлак Ю. И., Кигурадзе И. Т., Коплатадзе Р. Г., Мышкис А. Д., Трамов М. И., Чантурия Т. А., Шевело В. Н. и др.

Специалистам хорошо известно, что запаздывание приводит к таким эффектам, как появлению неустойчивости и осцилляции решений, например, все решения уравнения являются колеблющимися, если аЦ) > а^т (I) > т0, Iх (1) —> оо, а0 ц> Не.

В тоже время при т (X) = 0 уравнение не имеет решений, обращающих в нуль даже один раз, кроме тривиального. Такие же явления происходят при наличии запаздывания в уравнении теплопроводности, а именно: задача (*) при С (х, и) = О, т= 0, р (х, г) < 0, /(х, I) = 0 имеет нулевое решение устойчивое по Ляпунову, а при т >0 устойчивость пропадает. Точно так же при тех же предположениях уравнение (*) имеет неосцилирующее решение, а при т > 0 имеют место осциляции всех его решений.

Параграф шесть настоящей главы посвящен дифференциальному уравнению с опережающим аргументом первого порядка вида: х'(0 + + т (0) = 0 (6.1) при I > {().

Очевидно, что если =0, то все его решения сохраняют знак. В первом параграфе выделен класс уравнений вида (6.1) при < 0 (то есть уравнений с запаздывающим аргументом) все решения которых колеблются. Случай запаздывающего аргумента так же изучен в классической монографии А. Д. Мышкиса [18].

В случае уравнений с опережающим аргументом (то есть т (0 > 0) колеблемость будет всегда при отрицательных, а ({), удовлетворяющих указанным ниже условиям.

Теорема 6.1. Если, а (0 <а0 < 0, т (0 > т0 > О, /(Л) =Л+а0 еЛт° <0 при всех действительных Л, то каждое решение уравнения (6.1) обращается в нуль при t>N и любом N.

Предметом изучения второй главы является нелинейное дифференциальное уравнения с отклоняющимся аргументом произвольного порядка. Во многих работах [9 — 12] по обыкновенным дифференциальным уравнениям при отсутствии запаздывания подробное рассмотрение проводилось для случая двучленного уравнения.

0 + 0(0x^=0.

Здесь рассматриваются дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Уравнения с запаздыванием имеют существенные отличия от уравнений без запаздывания, состоящее в том, что уравнение нечетного порядка может быть таким, что все решения осциллируют. Известно [5], что если запаздывания нет, то такое уравнение обязано иметь неколеблющееся решение.

Случай нелинейного уравнения четного порядка рассматривался многими авторами: Т. Кусано, и X. Оноса, В. Н. Шевело и Н. В. Варех и др. Их критерий состоит в том, что если запаздывание не очень велико, то поведение решений уравнений с запаздыванием аналогично поведению решений обыкновенных дифференциальных уравнений без запаздывания.

Ряд критериев колеблемости решений (кнезеровского типа) дифференциальных уравнений четного порядка с запаздыванием получены М. И. Трамовым [25].

Менее изученным являются уравнения нечетного порядка. В случае такого уравнения Трамов М. И. [26] выявил существенное значение наличия запаздывания.

Рассматривается нелинейное уравнение х (п) (t) + a (t) х, а (т (t)) sgn (х (х (t)))= 0 (7.1) при a (t) > 0, r (t) <tр, Ищг (0 — -к", а>1. (7.2).

I —>+со.

Случай а/3 < 1 рассмотрен в [27].

Если запаздывание отсутствует, то у таких уравнений есть неосциллирующие решения. Более того, если п = 1, то все решения неосциллирующие. При наличии же запаздывания можно указать широкий класс условий, при выполнении которых все решения осциллируют когда t +оо. Такие факты для обыкновенных дифференциальных уравнений изложены в классической монографии выдающегося отечественного математика А. Д. Мышкиса [18]. Например, все решения линейного дифференциального уравнения первого порядка при наличии запаздывания могут быть осциллирующим, и чего, конечно, не может быть для обычных линейных дифференциальных уравнений.

Доказана следующая.

Теорема 7.1. Если выполнены условия Нщг (0 =+оо, о>1, a (t) >a0tr, а0> 0, у > 1 — п, г (t) 0, /3 >1, аР у + 1 то все решения уравнения (7.1) осциллируют при t -> + да.

Теорема 7.1 может быть распространена на краевые задачи для нелинейных уравнений с частными производными следующего типа: д2т+1и.

— А иait, х) и° (ta, х) = 0, (7.7) ot где х = (xi,., x".) в области G = Q х [ 0, оо [, Qограниченная область с гладкой.

СССТ границей, а> 1, a (t, х) >a0tr, а0> 0, у> -2т, -< 1 + у и решение задачи (7.7), удовлетворяющее однородным условиям Неймана на границе, то есть.

1−0, (7.8) on где п — вктор внешней нормали границы, меняет знак при t > T, (t, х) е G (Т — произвольная постоянная).

Заметим, что если запаздывание отсутствует, эта задача имеет неосциллирующие решения. Более того, если т=0, то все решения задачи (7.7), (7.8) неосциллирующие.

1. Atkinson F. V. On sekond-order non-linear oscillations.-Pasif. J. Math., 1955, Vol.5, № 1, p. 643−647.

2. Б e л л m a h P., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. -М.: ИЛ, 1954.-216 с.

3. Беллман Р., Кук К. Дифференциально разностные уравнения. — М.: Мир, 1967.-548 с.

4. Д о м ш л, а к Ю. И., Алиев А. И. О теоремах типа Мышкиса Трамова в исследовании осцилляционных свойств функционально — дифференциальных уравнений. Баку: Изд-во АН АзССР, 1985. — 67 с.

5. К и г у р, а д з е И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. -Тбилиси: Из-во Тбил. ун-та, 1975. 352 с.

6. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990. -432 с.

7. Kneser A. Intersuhunge uber die reellen Nullstellen der Integrale linearer Differential gleichungen. Math. Ann., 1893, vol. 42, № 3, p. 409−435.

8. К о л м, а н о в с к и й В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействиемМ.: Наука, 1981. 448 с.

9. Кондратьев В. А. О колеблемости решений линейных уравнений третьего и четвертого порядков, труды Моск. мат. об-ва, 1959, № 8, С. 259−282.

10. Кондратьев В. А. О нулях решений уравнения у (п) + р (х) у = 0. ДАН СССР, 1957, т. 113, № 4, С. 742−745.

11. Кондратьев В. А., Эйдельман С. Д. Об облети положительности решений эллиптических уравнений. Математические заметки, 1971, т. 9, № 1, С. 83−87.

12. Кондратьев В. А. О колеблемости решений уравнения у (11)+р (х)у=0. труды Моск. мат. об-ва, 1961, № 10, С. 419−436.

13. К о п л, а т, а д з е Р. Г., Чантурия Т. А. Об осциляционных свойствах дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Тбилиси: Изд-во Тбил. Гос. ун-та, 1977. — 116 с.

14. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. Главы нелинейного анализа. М.: ФМГ, 1962. — 395 с.

15. Кудаев М. Б. Неколеблемость и монотонность решений дифференциального уравнения. ДАН СССР, 1991, т.20, № 4, С. 789−791.

16. Kusano Y. And Onose H. Oscillation of Solutions ofNonlinear Differential Delay Equations of Arbitrary Order. -Hiroshima Math. J., 1972, № 2, p. 1−13.

17. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. -М.: ИЛ, 1957, 256 с.

18. M ы ш к и с А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. (2-ое изд. перераб. и расш. К.: Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.-Л.: ГТТИ, 1951. — 256 с.) — М.: Наука, 1972.-352 с.

19. Nirenberg L. A strong maximum prineiple for parabolic equatios, Comm. Pure and Appl. Math. 6, № 2, 1953, p. 167−177.

20. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.-Л.: ГИТ — ТЛ, 1950.-304 с.

21. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. 1, 2, ИЛ, M.: 1953.-348 с.- 1954. -416 с.

22. Sturm G. Sur les tquations differentielles du sekond ordre: J. De Math., 1836, № 1, p. 106−186.

23. Тихонов A. H. О функциональных уравнениях типа Volterra и их применениях к некоторым задачам математической физики. Бюллетень МГУ, серия А, т. 1, вып. 8, 1938. С. 1−25.

24. Т р, а м о в М. И. Условия колеблемости решений дифференциальных уравнений первого порядка с запаздывающим аргументом. Изв. вузов. Математика, 1975, № 3, С. 92−96.

25. Т р, а м о в М. И. Некоторые вопросы теории осцилляции решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, — Изв. вузов, Математика, 1979, № 4, С. 46−52.

26. Трамов М. И. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. В сб.: Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления движением. — Саранск: Из-во Мордовск. Гос. ун-та, 1979, С. 143−158.

27. Т р, а м о в М. И. О нулях решений одного уравнения // Тез. докл. Второй Северо-Кавказск. регион, конференц. «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения.» Махачкала: РИО ДГУ, 1989, С. 205.

28. Трамова A.M., Трамов М. И. К вопросу математического моделирования. // Тез. докл. всесоюз. конференц. «Дифференциальные уравнения и оптимальное управление.» Ашхабад, Ылым, 1990, С. 141.

29. Т р, а м о в, а А. М., Трамов М. И. К вопросу качественной теории функционально-дифференциальных уравнений. //Тез. докл. Семинара-совещания по дифференциальным уравнениям и математической физики, Баку: 1990, С. 31.

30. Трамов М. И. Колеблемость решений одного класса функционально дифференциальных уравнений. Дифферениц. уравнения, 1991, т. 27, № 8, С. 14 571 458.

31. Т р, а м о в М. И. Осцилляционные свойства линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. ДАН РФ, 1992, т. 327, № 1, С. 25−31.

32. Трамова A.M. О собственных функциях эллиптического операторного пучка. // Тез. докл. Международ, научн. конференц. «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции.» Самара: ПО «Самвел», 1992, С. 249.

33. Трамова А. М., Трамов М. И. Об одном методе математического моделирования. // Материалы Научно практическ. конференц. КБГСХА, -Нальчик: Из-во КБГСХА, 1995, С. 134−137.

34. Трамова A.M., Трамов М. И. К теории математического моделирования. // Материалы научно практическ. конференц. КБГСХА, — Нальчик: Из-во КБГСХА, 1995, С. 137−140.

35. Т р, а м о в, а А. М., Трамов М. И. Исследование автономных функционально дифференциальных уравнений. // Тез. докл. Международного семинараДифференциальные уравнения и их приложения." Самара: СамГУ, 1995, С. 80.

36. Трамова A.M., Трамов М. И. К вопросу современных методов в теории краевых задач. // Тез. докл. Международного семинара «Дифференциальные уравнения и их приложения.» Самара: СамГУ, 1995, С. 81.

37. Трамова А. М., Трамов М. И. К вопросу качественной теории дифференциальных уравнений. // Тез. докл. XXXVII (II) региональная научная конференция молодых ученых и студентов «Математика и ее прикладные аспекты «, -Нальчек, КБГУД997, С. 25.

38. Fite W. В. Concerning the zeros of the solutions of certain differential equations. -Trens. Amer. Math. Soc., 1918, vol. 19, № 4, p.341−352.

39. Шевело В. H. Осцилляция решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Киев: Наукова думка, 1978. — 156 с.

40. Э л ь с г о л ь ц А. Э., H о р к и н С. Б.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. — 296 с.