Приближённые методы решения нелинейных спектральных задач

Диссертация посвящена разработке приближенных методов для решения прикладных задач на собственные значения. В качестве приложений рассматривается класс задач, описывающих собственные колебания механических систем с массами. Такие задачи издавна интересовали исследователей. Еще Пуассон в своих мемуарах изучал задачу о движении груза, подвешенного на тонкой упругой нити. Этот факт отмечает А. Н. Крылов в своей книге [75], где указывается, что к подобной задаче сводится теория индикатора паровой машины, крутильные колебания вала с маховиком на конце, исследование разного рода «дрожащих» клапанов и другие. Для теории многих измерительных приборов важно изучение крутильных колебаний нити, к концу которой подвешена масса, например, зеркальце. А. Н. Тихонов и A.A. Самарский [152] отмечают, что особую актуальность задачи подобного типа приобрели в связи с изучением устойчивости вибраций крыльев самолета. Для решения этой задачи необходимо вычисление собственных частот крыла с присоединенными моторами. Простейшая модель крыла — балка переменного сечения с массами. Более точная модель крыла приводит к исследованию собственных колебаний нагруженной пластины. С развитием судостроения, самолетостроения, космической техники, химической и нефтяной промышленности возникла необходимость расчета обо-лочечных конструкций, нагруженных присоединенными элементами: приборами, моторами, элементами автоматики, узлами машин. Хотя присоединенные элементы имеют малые размеры, их влияние на устойчивость системы является определяющим. Потребности практики привлекли внимание к развитию методов проектирования таких конструкций [6−8,10,26,44,45,55,82,99,158].

При учете упругости закрепления масс задача сильно усложняется возникновением нелинейности по спектральному параметру. Задачам о собственных колебаниях механических конструкций с упруго присоединенными массами посвящено большое число работ. Среди них перечислим работы [6,7,9,10,13,44,45,52−54,82,85,99,158]. Значительный интерес исследователей к этим задачам отмечен в книге [10], которая содержит механические постановки задач, описание существующих методик расчета и обзор полученных теоретических и экспериментальных результатов. Из анализа результатов, представленного в [10], видно, что круг решаемых задач, оиисанных в научной литературе, ограничивается главным образом задачами, допускающими разделение переменных. Поясним причину этого обстоятельства на примере задачи о собственных колебаниях изотропной пластины с упруго присоединенными массами.

Пусть Q, — область, занимаемая срединной поверхностью изотропной пластины, Г — граница области П, р = р (х) — плотность материала, D = D{x) = Edz/12(1 — у2) — цилиндрическая жесткость пластины, Е — Е{х) ~ модуль Юнга, v = v{x) — коэффициент Пуассона, d = d (x) — толщина пластины в точке х Е Q. Предположим, что в точках пластины х^ Е Q упруго присоединены массы Мг- (осцилляторы) с коэффициентами жесткости подвески К{, ^/щ — yjKifMiпарциальная частота г-oro осциллятора, г = 1,2,., т.

Обозначим через w (x, t) нормальные перемещения точки х Е Cl срединной поверхности пластины в момент времени t, через rjL{t) ~ отклонение от положения равновесия груза массы Mi в момент времени г = 1,2,., т. Собственные колебания системы пластина-массы характеризуются гармоническими во времени функциями ги (х, t) и rji (t) вида w (x, t) = u (x)v (t), xeQ, rji{t) = Ciu (x{i))v{t), t> 0, (0.1) где v{t) = aocos/Xt + &osin/Ai, t > 0- ao> 6q, q, Л — постоянные величины, г = 1,2,., ш. Число л/Х определяет частоту собственного колебания системы пластина-массы, функция и (х) задает форму собственного колебания частоты л/Л.

Функции (0.1) удовлетворяют уравнению колебания пластины.

Lw (x, t) + p{x)d{x)wtt{x, t) = /(ж, ?), (0.2) и уравнению осциллятора.

М{{ф))и + Ki (rn (t) — w{x^, t)) = 0, i = 1, 2,., m, (0.3) где t > 0, L — дифференциальный оператор, определяемый выражением:

Lw = diiD (dnwIv&22w) + d22D{d22W + vduw) + 2^i2D (1 — v) di2W, di = d/dxi, dij = didj, i, j = 1,2, (ip (t))t — d^{€)ldt. Движения присоединенных масс и пластины рассматриваются как взаимно вынужденные. При этом действие присоединенных масс на пластину заменяется действием гармонической во времени сосредоточенной силы вида: т ж, t) = - w (x®, t))8(x — (0.4) 1 где S (x) — дельта-функция Дирака. Система уравнений (0.1)-(0.4) дополняется одним из известных граничных условий:

Niu (x, t)= 0, хеГ. (0.5).

Подставляя разложения (0.1) в уравнения (0.3), находим, что Ci = щ/{щ — Л), щ = Ki/Mi, i = 1,2,., m. Учитывая (0.1) и (0.4), из уравнений (0.2) и (0.5) получим задачу на собственные значения: найти числа Л и ненулевые функции и (х), х? fl, удовлетворяющие уравнению т д.

Lu + У^—Ki8{x — х^)и = Xpdu, xGfi, (0.6) и граничному условию.

Ыи = 0, хеТ. (0.7).

Чтобы найти решения задачи (0.6)-(0.7), введем вспомогательную задачу на собственные значения: найти числа Л и ненулевые функции и (х), х е Г2, удовлетворяющие уравнению и граничному условию (0.7).

Задачи (0.6)-(0.7) и (0.8)—(0.7) запишем в вариационной форме: найти Л е К, и Е V {0} такие, что, А х, — Л а (и, у) = ХЬ (и, у) + У^-тс{{и, у) У у е V, (0.9) ^ к- — А г= найти Л е Ж, и е V {0} такие, что а (и, у) = Ъ (и, у) Уу е У. (0.10).

Здесь V — гильбертово пространство, состоящее из функций пространства И^!удовлетворяющих главным граничным условиям, а (и, -и) = J Luvdx: Ь (и, у) = J pduydx, о, о с* (ад, у) = К{и (х^)у (х^), г = 1,2,., т для достаточно гладких функций и, у из пространства V.

Задача (0.10) имеет последовательность положительных конеч-нократных собственных значений к = 1,2,., занумерованных с учетом кратности:

0 < ?1 ^ < • • • < Цк < ¦ • •, Нт /Лк = сю. юо.

Этим собственным значениям соответствует ортонормированная система собственных элементов Ук, к = 1,2,. такая, что а (уищ) = Ъ{у1,У5) = г, 7 = 1,2,., где дц — символ Кронекера. Элементы г^, к = 1,2,. образуют полную систему в пространстве V.

Собственный элемент задачи (0.9) представим в виде разложения по собственным элементам ук, к = 1,2,. задачи (0.10):

00 U.

1=1.

1=1.

Это разложение подставим в уравнение (0.9) при V = ук. Тогда получим оо оо.

— Ь (у[, ук)) = - Щ/С =.

1=1 1=1 т г=1.

Отсюда находим = ——г У2 —^—г <�н (и, vk), к = 1,2,. № ~ А ^ щ — Л.

Поэтому оо оо — m.

ОО ОО ^ Ш д и = J2 = X т—л X) л=1 fc=i ^ л i=i л и для j = 1,2,., т имеем оо 1 m, зСЙ) =? ? J^Miu{x^)vk{x^)vk{x^).

Переставив знаки суммирования, запишем это соотношение в виде и (ж (Л), ? f- ^ V' - Л ¦ ^ / /" - А или короче.

ТП ч ^-^-М^(ЛМ^)) г=1 Л для.

А=1 ^ «Л оо г, j = 1,2, ., т.

В результате выводим.

Предполагая вектор у = (уи у2,., ут) Т, 3/" = и (х^), г = 1,2,., ш неравным нулевому вектору, получим характеристическое уравнение для определения собственных значений задачи (0.6)—(0.7):

В книге [10], с. 30 отмечается, что метод решения задачи (0.6)-(0.7) с помощью характеристического уравнения (0.11) является достаточно простым и эффективным, если известны аналитические формулы для собственных значений и собственных функций вспомогательной задачи (0.8)-(0.7). Но это, к сожалению, возможно только для весьма ограниченного класса механических систем. Этот класс задач определяется возможностью разделения переменных в уравнениях, что накладывает ограничения на область, вид коэффициентов и граничных условий.

В настоящей диссертации предлагается и обосновывается подход, свободный от перечисленных ограничений. Этот подход опирается на формулировку исходной задачи как задачи на собственные значения, монотонно зависящей от спектрального параметра, с последующим с^?>(А) = 0.

0.11) где 1>(А) = ШАЩ=1, применением сеточных методов. Например, в случае задачи о пластине (0.6)-(0.7) монотонная спектральная задача для нахождения собственных значений Л из интервала, имеет вид а (А, и, v) = ЛЬ (Л, и, и) Уу е V, (0.12) где <

П — 1 д а (Л, и, г-) = а (гг, г>) + У^ —у), т ^.

Ъ (, гг., V) = г-) + V) —-сг (п, — л г=п.

Аппроксимация задачи (0.12) в конечномерном подпространстве У^ пространства V для Хь из интервала (^-ь нп) определяется уравнением: ан (Х и ук) = НЬН{1 ин, Vй) /ук е Ун. (0.13).

Эта приближенная схема эквивалентна монотонной матричной спектральной задаче.

А ()у = ХВ (Х)у (0.14) для Л е По своим свойствам монотонные спектральные задачи вида (0.14) весьма близки к линейным задачам на собственные значения, что приводит к эффективным численным методам их решения.

Таким образом, разрабатываемый в диссертации подход для нахождения собственных колебаний механических конструкций с упруго присоединенными массами, обладает желаемой универсальностью, работает в самых общих ситуациях, возникающих на практике, и приводит в итоге к численным алгоритмам, имеющим вычислительные затраты такие же, как и в случае задач без масс. Полученные в диссертации результаты допускают различные обобщения и могут быть применены при решении широкого круга нелинейных задач на собственные значения, возникающих в науке и технике. Среди таких задач отметим задачи расчета диэлектрических волноводов, задачи физики плазмы, квантовой механики, гидродинамики и теории упругости [1−4,27,28,33,35−37,43,50,51,65−67,111,148,163,164,168,178,194, 199,221]. Применяемый в диссертации подход предложен и изучен в работах С. И. Соловьева [122,125,127−129,132−136,138−146,210−218].

Исследования конечномерных аппроксимаций (0.13) нелинейной задачи (0.12) опираются на результаты по аппроксимации линейных задач на собственные значения. Пусть имеется линейная задача на собственные значения: найти числа Л и ненулевые элементы и такие, что а (щ у) = ХЬ{и, у) /у Е V. (0.15).

Здесь а (.,.) и &(.,.) есть симметричные билинейные формы, форма, а (.,.) предполагается положительно определенной и ограниченной, форма &(.,.) предполагается положительной и вполне непрерывной. Определим компактный самосопряженный оператор Т: V V по правилу а (Ти, у) = Ь (и, у) Уи, у е V.

Тогда задача (0.15) запишется в виде задачи с компактным оператором и = Ти.

Поэтому задача (0.15) имеет последовательность конечнократных положительных собственных значений с предельной точкой в бесконечности, занумерованных в порядке неубывания с учетом кратности.

Задача (0.15) аппроксимируется в конечномерном подпространстве У]ь пространства V: найти числа Хк и ненулевые элементы ин такие, что ак (и у11) = %(и ук) /у}1 е Ун. (0.16).

Предположим, что выполнено требование предельной плотности семейства подпространств Vh в пространстве V. Определим проектор Ph: V —> Vh по формуле a (Phu, vh) = а (и, vh) Vvh G Vh Vu G V.

Заметим, что ||г> — Pjtv || —0 при h —> 0, v G V. Предположим, что билинейные формы a/j (.,.) и ?>/1(.,.) удовлетворяют условию аппроксимации: Sq —> 0 при h 0, где.

50 = !1К — a) kxdl + \(bh ~ b) VhxvhI. Определим оператор Т^: V^ —"• V^ с помощью равенства аЛ (ТЛиЛ, v*) = ЬЛ (тЛ 1>Л) vh G.

Тогда вариационная задача (0.16) примет следующую операторную форму uh = дАГлгД.

Следовательно, задача (0.16) имеет N — dimV/, положительных собственных значений, занумерованных в порядке неубывания с учетом кратности.

Пусть Ли U — к-ое собственное значение и отвечающее ему собственное подпространство задачи (0.15). Положим sh = eh = \(I-Ph)ul.

Soh = № - PhT) Vhl и заметим, что Eh —> 0, 5qu ^ cSq —> 0 при h 0. Для к-ого собственного значения Xh задачи (0.16) имеет место оценка погрешности.

Ль-Л|<�С (Ы2 + ад. (0.17) Из этой оценки вытекает следующая оценка.

Ah — А| < c ((shf + (0.18) 12.

Оценки (0.17) и (0.18) дают сходимость Хн —> Л при к —" 0. Здесь и далее через сисг обозначаются различные положительные постоянные, не зависящие от Н.

Оценку (0.17) можно улучшить.

— АКс^ + ^ + ад2), (0.19) где № - РнТ) Рки1 32Н = \((ТН — РкТ)., Существуют постоянные с и С2 такие, что.

АЛ — А| ^ С1(<52/, + (ел + <Ы2) < с2(е| + Из оценки (0.19) следует оценка в терминах билинейных форм ХН — А| < с (4 + (е* + ф2), (0.20) где ||(ал — а) Р, 1ихУк\ + ||(Ьл — Ъ) РкихУн||, $ = ПК — а) рки*рни\ + I (Ьн — Ь) РкихРки\. Существуют постоянные с и с2 такие, что.

АЛ — С1(4 + {ек + ??)2) < с2((^)2 +.

Оценка погрешности (0.17) доказана Г. М. Вайникко [73], с. 261, оценка погрешности (0.18) выведена Дж, Фиксом [183], улучшенные оценки (0.19), (0.20) получены С. И. Соловьевым [127,145,146]. Недостаток оценок (0.17), (0.18) состоит том, что эти оценки не приводят к оптимальным результатам для метода конечных элементов с численным интегрированием. Для иллюстрации этого факта рассмотрим дифференциальную задачу на собственные значения ри’У + аи = Хги, х е (0, Л,.

0.21) гл (0) = и{1) = 0, 13 с достаточно гладкими вещественными коэффициентами р = р (х), # = (/(ж), г = г (ж), х Е [0, /], удовлетворяющими условиям.

VI ^ р{х)^Р2, 0 < ^ д2, П. ^ г (х) ^ г2, х Е [0, /] для положительных постоянных р, рч-, П, 1*2.

Дифференциальная задача (0.21) эквивалентна вариационной задаче на собственные значения (0.15) при а (и, у) — (ри'у' 4- дгш) ¿-х, Ъ{и, у) — / гиу<1х,.

3о.

У = {-и: V е ^(0,0, «(0) = у{1) = 0}.

Разобьем отрезок [0,1] равноотстоящими точками Х{ = г/г, г = 0,1,., М, на элементы = (а^-х, а^)* к = 1,2,., М, ¡-г = 1/М. Обозначим через У? г подпространство пространства V, состоящее из функций Ун, принадлежащих пространству полиномов п-ой степени Рп{&к) на каждом элементе е^ = (хк-1,Хк), к = 1,2,., М.

Зададим на исходном элементе е = (—1,1) квадратурную формулу Гаусса с п узлами.

1 п ^ <�р (х) ЫгФШ.

1 г=1 для непрерывной функции <�р (х), х Ее. Здесь щ > 0, г = 1,2,., пкоэффициенты квадратурной формулы, —1 < Д < 1, г = 1,2,., п — узлы квадратурной формулы. Заметим, что узлами квадратурной формулы Гаусса являются корни полинома Лежандра степени п на отрезке [—1,1], а сама квадратурная формула точна для многочленов из Р2п- 1(е).

Вариационную задачу (0.15) аппроксимируем по методу конечных элементов с численным интегрированием (0.16), где.

М п ан{и =? ? акМиН)'{ун)' + к=1 ?=1 М п к=1 г=1 г = 1,2, ., п, к = 1,2,., М.

Применяя традиционную для метода конечных элементов технику получения оценок погрешности интерполяции и численного интегрирования [149], выводим с/Л <5? < сД2, ^ ^ с/г714″ 1, < сД2гг.

Подставляя эти соотношения в оценку (0.20), приходим к оптимальному результату.

А — н ^ с/г2п, совпадающему с оценкой погрешности метода конечных элементов при точном вычислении интегралов. В то время как оценки (0.17), (0.18) дают.

Этот результат не является оптимальным по порядку при п > 1.

Оптимальные оценки погрешности метода конечных элементов с численным интегрированием доказаны в работе и. Вапецее, Л.Е. ОбЬогп [169], в которой не были выведены общие оценки погрешности приближенных решений через погрешности аппроксимации подпространства и оператора или билинейных форм.

Асимптотически точные оценки погрешности проекционного метода (метода Бубнова-Галеркина) для задачи на собственные значения линейного самосопряженного компактного оператора в гильбертовом пространстве получены в работе Г. М. Вайникко [15]. Результаты этой работы обобщены для метода Бубнова-Галеркина с возмущениями С. И. Соловьевым [146]. Асимптотические оценки погрешности проекционного метода для задачи на собственные значения линейного несамосопряженного компактного оператора в гильбертовом пространстве доказаны в работе Г. М. Вайникко [14]. Обобщение этих результатов на более широкий класс методов получено в работе Г. М. Вайникко [16]. С. И. Соловьев [145] усилил эти результаты и получил оптимальные оценки погрешности метода конечных элементов с численным интегрированием для несамосопряженных спектральных задач. Асимптотические оценки погрешности проекционного метода для задачи на собственные значения голоморфной фредгольмовой операторной функции доказаны в работе О. Карма [62]. Развитие этих результатов для более широкого класса приближенных методов проведено Г. М. Вайникко, О. Карма [17], О. Карма [63,64,187,188]. Однако здесь не были получены оценки погрешности для собственных значений и корневых подпространств через погрешности аппроксимации подпространства и оператора, приводящие к оптимальным результатам в методе конечных элементов с численным интегрированием. Оптимальные оценки погрешности приближенных методов для нелинейных задач на собственные значения установлены в работах С. И. Соловьева [127−129,132,134,135,137,144].

В настоящей работе применяются стандартные результаты теории метода конечных элементов (МКЭ). Среди обширной литературы по математической теории МКЭ отметим книги [22,25,42,70,87,95,147, 149,150,159]. Инженерные аспекты МКЭ с приложениями в механике обсуждаются в монографиях [56,69,94,98,116,156]. Суперсходимость МКЭ исследовалась в работах [5,34,38−40,71,72,79,96,97,101,108,161, 162,167,186,196−198,224]. МКЭ для задач на собственные значения изучался в работах [18,165,166,176,177,179,182−184,195,204,206,207, 225,226]. Параллельно МКЭ развивался метод конечных разностей для задач на собственные значения [31,74,83,90,102,103,106,113−115, 151].

Обратимся теперь к численным методам решения матричных задач на собственные значения. Из всего многообразия известных методов выделим метод бисекции и метод простой итерации. Метод деления отрезка пополам (метод бисекции) является одним из самых эффективных методов определения группы собственных значений алгебраической спектральной задачи Ах — ХВх с симметричными ленточными матрицами, А и В размера N. Метод бисекции опирается на хорошо известное свойство системы Штурма ро (А), Р1(А), рн{Л) для характеристического многочлена задачи рдг (Л) = сЫ-?7^), Т (Х) = А — ХВ, где ро (Х) = 1, Рг (Х) — г-ый угловой главный минор матрицы Т (А), г = 1,2,., N. Это свойство состоит в том, что число совпадений (перемен) знаков у соседних членов последовательности значений многочленов системы Штурма Рг (Х), г — 1,2,., ТУ равно числу собственных значений задачи Ах = ХВх больших (меньших), чем (I, если р{(Х) ^ 0, г = 1,2,., А^ [205]. Первоначально метод бисекции использовался для локализации собственных значений трехдиагональных матриц, для которых система Штурма строится по известным трехчленным рекуррентным соотношениям (см., например, [154]). Позднее такой подход был распространен на спектральные задачи с заполненными матрицами. В этом случае учет знаков последовательности значений многочленов системы Штурма в точке ?1 сводится к исследованию знаков последовательности элементов диагональной матрицы Р (^) треугольного разложения, А — цВ = Ь (ц)Б (ц)Ьт (/х) метода Гаусса, где Ь (д) — нижняя треугольная матрица с единичными диагональными элементами, — матрица, транспонированная к матрице 1/(/х). Нетрудно убедиться, что £>(д) = И поэтому число положительных (отрицательных) элементов матрицы 1>(/х) совпадает с числом собственных значений исходной задачи больших (меньших), чем ?1, если Р{() Ф 0, г = 1,2,., N. Это обстоятельство позволило отказаться от явного построения системы многочленов Штурма при реализации метода бисекции и провести обоснование алгоритма метода бисекции с помощью теоремы Сильвестра об инерции (см., например, [100]).

Последующие обобщения коснулись применения алгоритма деления спектра к решению задач на собственные значения с нелинейным вхождением параметра.

В работе [78] метод бисекции применялся для решения задачи на собственные значения Т (Х)х = 0 с квадратной симметричной мат1 рицей Т (А) = А — —В — А С размера ЛГ, где, А — симметричная поА ложительно определенная трехдиагональная матрица, В и С — диагональные матрицы с положительными диагональными элементами. В предположении, что существует точка А* > 0, в которой матрица Т (А*) положительно определена, доказано существование вещественных собственных значений рассмотренной задачи: 0 < Алг <. < А1 < А* < Ах <. < А^. При этом установлено, что число перемен знака у соседних членов последовательности Штурмаро (/")> рЛ^), • • •> рдг (/1) для характеристического многочлена задачи = Т (ц) при /I < А* (д > А*) совпадает с числом собственных значений задачи Т (Х)х = 0 в интервале (¿-г, А*) (в интервале (А*,//)). Кроме того, предложено значительно ослабленное условие на матрицу Т (А*).

Работа [112] посвящена решению задачи Т (Х)х = 0, где Т (А) = 2А+В—С, А, В и С — квадратные симметричные матрицы размера N. причем АиС являются положительно определенными. Для локализации собственных значений используется треугольное разложение Т ([х) = Ь (/1) Ь* (/2), полученное по методу квадратного корня с элементами (/?) = 0 при г < г, 2 — 1? 2,., N, Ь*(/1) — сопряженная к Ь (ц) матрица. В данном случае многочлены последовательности Штурма задаются соотношениями ро (/и) = 1, Рк (^) — ГЙ=1 а знак элемента р^(/х) определяется по формуле (—1)т, где га — число мнимых элементов среди г^ = 1, 2,., к. Поэтому число перемен знака в последовательности Штурма Рг (¿-0, • • -, Рлг (м) равняется числу мнимых диагональных элементов матрицы Доказывается, что число перемен знака в последовательности Штурма ро (^), Р1 (/х), ., Рлг (д) при /х > 0 < 0) совпадает с числом положительных (отрицательных) собственных значений задачи Т (Х)х — О больших (меньших), чем /х, если ры{у) Ф 0. Этот факт позволяет эффективно отделять собственные значения указанной задачи.

В работе [32] рассматривается задача, А (Л) .г- = ХВх, где А{ц) — трехдиагональная матрица размера N с невозрастающей зависимостью от параметра ц, В — диагональная матрица с положительными диагональными элементами. В предположении, что существует точка А* > 0, в которой матрица А (А*) является положительно определенной матрицей, установлено существование положительных различных собственных значений. Показано, что число совпадений знаков последовательности значений в точке /х > 0 многочленов системы Штурма для характеристического многочлена А) = с1е!-(А (А) — А В) равно числу собственных значений строго больших, чем На основе этого свойства построен алгоритм метода бисекции вычисления положительных собственных значений с использованием реккурентных соотношений для системы многочленов Штурма.

В работе [181] изучается задача А (А)ж = ХВ (Х)х с симметричными положительно определенными матрицами А (/л) и В (¡-л) для фиксированного [1 из интервала (А~, А+), 0' < А- < А+ ^ оо. В предположении, что отношение Рэлея х) = (А (^)х, х)/(В ((л)х, х) является непрерывной невозрастающей функцией числового аргумента ?1? (А~, А+), подчиняющейся некоторым дополнительным условиям, установлено существование N собственных значений А&-, к— 1,2,., N1 Х~ < Ах ^ А2^. ^ Хм < А+. При помощи теоремы Сильвестра об инерции^доказано, что число отрицательных ведущих элементов гауссова исключения неизвестных, примененного к ма. трице А (р) — рВ{р), равно количеству собственных значений задачи Л (А)ж = ХВ (Х)х меньших, чем р. Этот результат положен в основу предлагаемого метода бисекции.

В работе [131] исследуется алгебраическая задача на собственные значения А (|А|)ж = Ах, где А (р) — матрица с положительными элементами, являющимися непрерывными невозрастающими функциями параметра ^? Л = (0, сю). Обозначим через р спектральный радиус, то есть радиус наименьшего круга на комплексной плоскости с центром в начале координат, который содержит все собственные значения сформулированной задачи. Доказано, что р > 0, р является алгебраически простым собственным значением данной задачи, любое другое собственное значение, А удовлетворяет неравенству |А| < р. Собственному значению р отвечает единственный нормированный собственный вектор с положительными координатами. Эти результаты являются обобщением результатов хорошо известной теоремы Перрона для положительных матриц. Установлено, что число /х е, А больше собственного значения р тогда и только тогда, когда все верхние угловые главные миноры матрицы рЕ — А (р) положительны. На этом результате основан предлагаемый метод бисекции вычисления спектрального радиуса р задачи.

После дискретизации задачи на собственные значения для симметричных эллиптических дифференциальных операторов мы получаем матричную задачу Аи — АВи с большими разреженными симметричными положительно определенными матрицами, А и В. Обычно матрицы, А и В имеют очень большие размеры, и матрица, А является плохо обусловленной. Мы предполагаем ситуацию, когда большие размеры матриц Л и В не позволяют хранить эти матрицы в памяти компьютера, а в нашем распоряжении имеются лишь подпрограммы для вычисления произведений матриц на векторы Аи и Ву. В прикладных задачах на собственные значения, описывающих собственные колебания механических конструкций с массами, как правило, интерес представляет вычисление только небольшого количества наименьших собственных чисел, определяющих основные собственные частоты системы.

Классические численные методы решения задач на собственные значения не могут применяться в данной ситуации поскольку память компьютера для хранения матриц, А и В не доступна. Метод Лан-цоша имеет медленную сходимость поскольку число обусловленности матрицы, А возрастает при уменьшении размера сетки К. В указанных прикладных задачах число обусловленности обычно ведет себя как 1гт: 2 < т ^ 4.

Чтобы найти наименьшее простое собственное значение А1 матричной задачи Аи — ХВи, мы можем применить градиентный метод. Хорошо известно, что Ах есть минимум отношения Рэлея К (у) — (Ау, у)/(Ву, у), а его стационарная точка есть собственный вектор щ, соответствующий А1. Следовательно, молено построить минимизирующую последовательность ненулевых векторов ип, п = 1,2,. /ип = Щип) —>• Ах, ип —щ, п —> оо, используя формулы йп+1 = ип Тп^А ИпВуип^ о-р + 1 при подходящем выборе скалярного параметра тп, \и\^ = (Ви, и). Этот итерационный метод называется градиентным методом для вычисления наименьшего собственного значения матричной задачи поскольку гас1 Я (у) = 7−5-—г (А — Л (ь)В)у и йп+1 = ип-с0ёг&6К (ип), где Со = тп (Вип, ип)/2. Таким образом, в градиентном методе мы двигаемся от заданного вектора ип в направлении —1Я (ип).

Описанный градиентный метод сочетает максимальную простоту реализации с минимальными требованиями к памяти. Поэтому этот метод называется также методом простой итерации. К сожалению, этот метод имеет очень слабую сходимость для плохо обусловленной матрицы А.

Для улучшения сходимости метода простой итерации мы введем предобуславливатель С-1, где С есть матрица, аппроксимирующая матрицу А, и вычислим последовательности ип, п — 1,2,. с помощью соотношений: п+1 = ип Тпс1 (А — 11пВ) ип,.

7/П+1.

Матрица С предполагается симметричной положительно определенной и легко обратимой матрицей. Последний метод использует градиент отношения Рэлея в векторном пространстве со скалярным произведением (С.,.): grad^) = - R (v)B)v, отсюда получаем йп+1 = ип ^ где со = тп (Вип, ип)/2. Поэтому этот метод называется градиентным методом с предобуславливанием или предобусловленным методом простой итерации (ПМПИ).

Сходимость метода ПМПИ можно улучшить, если минимизировать отношение Рэлея в подпространстве Vn+ = span{z/n, wn} или Wn+1 = span{'un1,nn,'wn}, wn = C~1(A — finB) un. Соответствующие итерационные методы называются предобусловленным методом наискорейшего спуска (ПМНС) и локально оптимальным предобусловленным методом сопряженных градиентов (ЛОПМСГ), соответственно.

ПМНС для симметричной задачи на собственные значения Аи = ХВи впервые был изучен в работе Б. А. Самокиша [110]. Не зависящие от шага сетки оценки погрешности для ПМПИ были впервые получены В. Г. Дьяконовым и М. Ю. Ореховым в работе [49].

A.B. Князев предложил ЛОПМСГ в работе [189], провел исследования этого метода и его вариантов в работах [190−193].

В работах К. Neymeyr [193,201,202] получены точные оценки сходимости ПМПИ. Обзор результатов по итерационным метода с пред-обуславливанием содержится в работах A.B. Князева [190,191,193].

В статье С. И. Соловьева [218] предложена методика построения и исследования итерационных методов с предобуславливанием для нелинейных спектральных задач высокого порядка при монотонной зависимости от параметра следующего вида: найти, А б Л и и е Н {0} такие, что А (Х)и = ХВ (Х)и, где Н есть вещественное евклидово пространство, Л — интервал на вещественной оси, A{?) и B (?) — разреженные симметричные положительно определенные матрицы, матрица A{ji) является плохо обусловленной при фиксированном р 6 Л. Предполагается, что отношение Рэлея R (?, у) — (A (?)v, v)/(B ({i), v, v), р <Е, А является при фиксированном v G Н невозрастающей функцией числового аргумента, то есть R{p, v) ^ R®, v), р < г], /1, г)? А, v? Н {0}. Рассматривается ситуация, когда матрицы А (р) и В{р) не могут быть помещены в память компьютера и имеются лишь процедуры для умножения этих матриц на вектор A (p)v и B (p)v.

Для решения монотонной нелинейной задачи на собственные значения в работе [218] предложен ПМПИ следующего вида: n+1 = и11 — rnC~1{?n)(A (?n) — рпВ{рп))ип, un+l — TiT^+fii-?n+l = R (?n+un+% n = 0,1,., и где симметричная положительно определенная легко обратимая матрица С{р) удовлетворяет условию: 5о (р,)(С (р)у, у) ^ {А (р)у, у) < 5{р){С (р)у, у), у е Н {0}, /¿-еЛ, итерационный параметр тп определяется по формуле тп = 2/(50(рп) б^р, 71)), = (В (р)и, и).

В этом методе при каждом n ^ 1 минимизируется отношение Рэлея R (pn, v), V G Н {0} и находится единственное решение скалярного уравнения. В ПМПИ мы двигаемся от заданного вектора ип в направлении —grad^n) R (?n, и11).

Сходимость ПМПИ можно улучшить, если минимизировать отношение Рэлея в подпространстве Vn+i = span-jV', wn} или Wn+1 = span{Vl1, un, w71}, wn = C-yLn){A{yP) — ?nB (?n))un. Соответствующие итерационные методы для решения нелинейных спектральных задач называются соответственно ПМНС и ЛОПМСГ. Более простые и медленные варианты ПМПИ, ПМНС и ЛОПМСГ для решения нелинейных спектральных задач изучены в [211,214].

Описанный подход позволяет строить блочные варианты итерационных методов для нелинейных спектральных задач [136,138,142, 143,210] и рассматривать монотонную зависимость от параметра другого вида [137].

В диссертации используются известные результаты по теории матриц, линейной алгебре и численным методам. Теория матриц и основы линейной алгебры изложены в [12,20,21,23,24,80]. Классические методы решения алгебраической проблемы собственных значений содержатся в книгах [100,154]. Двухслойные итерационные методы решения спектральных задач исследуются в работах [46−48,57,104]. Эти методы являются прототипами соответствующих итерационных методов решения систем линенйных алгебраических уравнений. Различные вопросы теории итерационных методов решения систем уравнений излагаются в [84,86,88,89,106,107,109]. Итерационные методы с предобуславливанием основаны на применении экономичных методов решения сеточных уравнений [59−61,107,109,160,170−173,175, 185,219,220].

Итерационные методы для нелинейных спектральных задач изучаются в работах [174, 200, 222, 223]. Обзор итерационных методов для нелинейных задач на собственные значения содержится в работах [180,208].

Обратимся теперь к содержанию настоящей диссертации. Диссертация состоит из четырех глав и приложения. Главы разбиты на параграфы и пункты. При нумерации параграфов и пунктов используется номер главы, номер параграфа в главе и номер пункта, соответственно.

В первой главе исследуется разрешимость нелинейных задач на собственные значения в гильбертовом пространстве.

Параграф 1.1 носит вспомогательный характер. Здесь сформулирована линейная вариационная задача на собственные значения в гильбертовом пространстве (0.15), приведены известные результаты о существовании собственных значений и собственных элементов, минимаксные характеризации собственных значений и теорема сравнения. Эти результаты применяются далее при исследовании нелинейных задач на собственные значения.

В § 1.2 изучается нелинейная задача на собственные значения в гильбертовом пространстве. Пусть V — вещественное бесконечномерное гильбертово пространство с нормой ||.||, Ж. — числовая прямая, Л = {у 1,^2), 0 < щ < V2 ^ оо. Введем симметричные билинейные формы а (ц) = а ((1,.) 6(/л) = .,.): V х V —> №, непрерывно зависящие от ¡-л? А. Предположим, что для фиксированного д € А билинейная форма а (/х,.,.) является положительно определенной и ограниченной, а билинейная форма &(//,.,.) является положительной и вполне непрерывной. Предположим, что функционал Рэлея является невозрастающей по числовому аргументу функцией.

Сформулируем нелинейную задачу на собственные значения: найти, А 6 А, и € V {0} такие, что о (А, и, у) = АЬ (А, и, у) Уу е V. (0.22).

Для исследования разрешимости этой задачи введем вспомогательную линейную задачу на собственные значения при фиксированном /х? А: найти 7 = бЕ, у — у{ц) G V {0} такие, что a (fi, у, v) = 7Ь (/х, у, v) Vv G V. (0.23).

Задача (0.23) имеет последовательность положительных конечно-кратных собственных значений % = 7к (м), к = 1,2,., занумерованных с учетом кратности:

0 < 7i < 72 ^ • • • ^ 1к ^ • • •, lim 7к = оо. к—>оо.

Этим собственным значениям соответствует ортонормированная система собственных элементов yk — Ук{д), к = 1,2,. такая, что = lAj: Кц, Уг, Уэ) = Stl, ij = 1,2,. Элементы ук, к = 1,2,. образуют полную систему в пространстве V. Справедливо соотношение 7k{?j) ^ 7kiv) ПРИ М < V? Л.

Установлены следующие результаты, существования решений задачи (0.22). Пусть 0 ^ v < 1у2 < оо, 1 ^ т ^ п, li{vj) = lim 7?(i"), 3 = 1,2, i = 1, 2,., ra = min{?: 1/1 — ^(щ) < 0, i ^ 1}, n = max{?: v2 — 7²) > 0, i ^ 0}.

Тогда задача (0.22) имеет конечную последовательность положительных собственных значений А&-, к = ra, ra + 1,., п, занумерованных с учетом кратности: v < Агп ^ Am+i^. ^ An < V2.

Пусть V ^ 0, щ — оо, га ^ 1, га = min{?: i> — 7?(i'i) < 0, г ^ 1}.

Тогда задача (0.22) имеет последовательность конечнократных положительных собственных значений А^, к — т, т—1:.занумерованных с учетом кратности: Am ^ Am+i <. ^ Хк ^ ., lim А*- = оо. fc—юо.

Каждое собственное значение Аi является единственным корнем уравнения — li{?) = 0, це А. Собственное подпространство U (Xi) задачи (0.22) является собственным подпространством Y (p). соответствующим собственному значению 7 г (д) линейной задачи на собственные значения (0.23) для? = Х{.

В § 1.3 рассматривается рациональная задача на собственные значения в гильбертовом пространстве. Пусть V — вещественное бесконечномерное гильбертово пространство с нормой (|. |, К — числовая прямая. Введем симметричные билинейные формы, а: V х V —> R и b: V х V —> Ж. Предположим, что билинейная форма а (.,.) является положительно определенной и ограниченной, а билинейная форма &(.,.) является положительной и вполне непрерывной.

Пусть <7j, г = 1,2,., m — заданные вещественные числа такие, что.

0 < Gi < сг2 <. < сгто < оо.

Определим неотрицательные симметричные билинейные формы сг-: V х V —> К, сг (г>, v) ^ 0 для v 6 V, г — 1,2,., т. Предположим, что ri = codimkerq < оо для г = 1,2,., т, где kerq = {г>: v € V, Ci{v, v) = 0}, 1 ^ i ^ m.

Сформулируем рациональную задачу на собственные значения: найти, А G М, и е V {0} такие, что т д a (u, v) = XЬ (и, v) + У^-г<�ч (и, v) Vv е V. (0.24) r-f — А г=1.

Обозначим gq — 0 и.

6&bdquo-(д,.), 1 < П ^ т + 1 и ап[.,.], Ь&bdquo-[.,.], 1 ^ п ^ га:

71—1 ап (^, щу) = У" —-—сг (и, г/), т ^.

6&bdquo-(/л, и, у) -сг (ад, V), — м г=п ап (д, и, г") = г-) + ап (//, и, г"), Ъп (ц, и, у) = Ь (и, у) + Ьп (/л, и, у), ап[и, г-] = а (и, + ап (о-п, ад, г-), = Ь (гг, г-) 4- Ьл+х^п,","), при ?1 6 Лп.

Запишем задачу (0.24) для интервала Лп, 1^тг^га+1 В виде: найти Л е Лп, гА 6 V {0} такие, что ап (Л, и, у) = ЛЬп (А, и, у) Уу е V. (0.25).

Введем следующие вспомогательные линейные задачи на собственные значения: при фиксированном ¡-л <Е Ап найти е М, и е V {0},.

1 ^ п ^ т + 1 такие, что.

Оп (ц, и, у) = ^(п)(/х)Ьп (/л, и, у) Уу е V- (0.26) найти А^ 6 1, и? К {0}, 1 < п < т такие, что ап[щу] = Х^Ьп[щу] /уеУп. (0.27).

Задача (0.26) имеет последовательность положительных конечно-кратных собственных значений (рпц), г — 1,2,., занумерованных с учетом кратности:

0 < № 01) < < • • • < < • •, Дт = оо. г—>оо.

Соответствующие собственные элементы г = 1,2,., образуют полную систему в пространстве V.

Задача (0.27) имеет последовательность положительных конечп) нократных собственных значений Л), г = 1,2,., занумерованных с учетом кратности:

0 < А<�п) < A< Af} ^ ., lim Аг (п) = оо. г—>оо.

Соответствующие собственные элементы г = 1,2,., образуют полную систему в пространстве V".

Исследование существования решений рациональной задачи (0.24) основано на применении следующих свойств функций ¡-л Е Лп, к — 1,2,.

1) Функции.

2) <�ДП)М 0 при /z er", fc = 1, 2,., r", 1 ^ n ^ т.

3) PfcirM 4П) при /х -> г = г&bdquo-, & = 1,2,.1 < га т.

4) — Хк~1) прп М 0-+.1, А: = 1,2,.2 ^ n < т + 1.

Положим г0 = 0, гт+1 = 0, Mi — r0+ri+. .+rt-, г = 1, 2,., т+1, Л = (0, сю), Л = [0, сю]. Определим функции 7¿-(д), /i Е Л, г = 1, 2,. по формулам lk{?) = </?!П)М> ре К, к = Мп-1 + г, г = 1,2,., 7,-Ои) = 0,? Е Лп, j = 1,2,., Mni для 1 < п ^ т + 1.

Из свойств функций ip^l/Li), fi. Е Ап, к = 1,2,. вытекает, что функции 7 г (^), /л Е Л, г = 1,2,. являются непрерывными невозрастающими функциями. Следовательно, число, А Е Л является собственным значением задачи (0.24) тогда и только тогда, когда, А Е Л есть решение одного из уравнений ¡-л —^k (?) — 0,? Е Л, к = 1,2,.

Доказано, что задача на собственные значения (0.24) имеет последовательность конечнократных собственных значений А^, г = 1,2,., занумерованных с учетом кратности:

0 < Ai ^ А2^. ^ Аг., lim, А г = сю. г—"оо.

Каждое собственное значение Xi, i 1 является единственным корнем уравнения.

М-7"М =0> jweA, г ^ 1.

Соотношения.

Xis-i < Xis =. — Л/ = сгп < Xi+1 выполняются тогда и только тогда, когда ч (га) ч (га) ч (га). ч (га).

Aj-s — • • «— Aj — ап < для l = Мп-1 -(- i, i = j + rn. Собственное подпространство U (Xk) задачи (0.24) является a) собственным подпространством, соответствующим собственному значению ipnfj) линейной задачи на собственные значения (0.26) для? i — Afc, если Л/- е Л7г, к = Мп~i + г, b) собственным подпространством, соответствующим собственному значению А^ линейной задачи на собственные значения (0.27), если Ajn) = Xi = ап, I = Mni + г, i = j + rn.

Пусть N{0) = 0, N (oo) = oo, jV (/?) = max{i: 7 г (/3) < /9, г > 0}, ?3 € Л, 7o (/-0 = 0, ?i G Л. Тогда число собственных значений iV (ai, (3) задачи (0.24) на полуинтервале (а, /5] определяется по формуле N (a,(3) = iV (/3) — N (a), а < (3, а, ?3 Е Л. Имеют место соотношения 0 < iV (a,/?) ^ оо, N (0,13) = iV (/?), iV (/?) ^ Aff для г — /(/?), 1({3) = тах{г: <тг- ^ /3, г > 0}. Если 0 < JV (o, (3) < oo, то выполняются неравенства сх. < Аг1 где «i — А^(ск) + X, г2 = N (?3).

Пусть Nq = 0, Nm+i = oo, Nn = тах{г: А^ < <�гп, г > 0}, 1 ^ п ^ т, где л|п г = 1,2,.— собственные значения задачи (0.27), А?0 — 0. Тогда N (ai) = Nt + M при 1 ^ i ^ m + 1, NfatTj) = (.Nj — Ni) + (M, — - М" г-) при Если 0 < iV^, cr.,) < oo, то справедливы неравенства где ?1 = Мг + М, — + 1, ?2 = М, — + А^" .

Во второй главе изучаются конечномерные аппроксимации нелинейных задач на собственные значения в гильбертовом пространстве.

В § 2.1 исследуется аппроксимация линейной задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве (0.15). Эта задача приближается задачей (0.16) в конечномерном подпространстве. Получены результаты о сходимости и погрешности приближенных решений. В частности, доказана оценка погрешности (0.20). Результаты данного параграфа применяются далее при исследовании приближенных методов для нелинейных задач на собственные значения.

В § 2.2 рассматривается аппроксимация нелинейной задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве (0.22).

Для аппроксимации задачи (0.22) зададим конечномерные подпространства У}ь пространства V размерности Л^, удовлетворяющие условию предельной плотности, то есть для любого элемента V из V ек{у) = т£ ||г—Л 0 при /г, —> 0.

Определим симметричные билинейные формы а^М = я^М •) •' Ук х У/, -> К и &ь (/х) = .,.): Ун х 14 —:> Е, непрерывно зависящие от ?1 е А. Предположим, что ун) > 0 для любых Vй е Т4 {0} и выполнено условие аппроксимации для приближенных билинейных форм, то есть —> 0 при /г —" 0, где IIКМ — «М)кьху,|| + НОьМ — ЬШъхуА.

Предположим, что отношение Рэлея является невозрастаю щей по числовому аргументу функцией.

Нелинейную задачу на собственные значения (0.22) будем аппроксимировать конечномерной задачей: найти? Л, и'1? такие, что а, г{Хь, и V11) = Х%(Х и ук) /ук е Ун. (0.28).

Введем вспомогательную линейную задачу на собственные значения при фиксированном ¡-л, Е Л: найти 7/г = 7/1(/-0 6 К, ^ = УН{ц)? 14 {0} такие, что а}1(^уук) = 7%((л, уук) Уун Е Ун. (0.29).

Задача (0.29) имеет Л4 положительных конечнократных собственных значений = к — 1,2,., Л4, занумерованных с учетом кратности:

Этим собственным значениям соответствует ортонормированная система собственных элементов = к = 1,2,., А^ такая, что = 7?%, = г, 3 = 1,2, ., А4. Элементы^, к — 1,2,., Л^ образуют полную систему в пространстве Ун-Имеют место неравенства 7^(/л) ^ 7^(г?) при уь < г), /?, 77 Е А. Пусть 0 < г/1 < ½ < оо, 1 ^ т < п,.

Нт7?М,? = 1,2,1 = 1,2,.,^, т = шп{г: 1/1 — 7,^(^1) < 0, г > 1}, п = тах{г: и2 — > 0, г > 0}.

Тогда задача (0.28) имеет конечную последовательность положительных собственных значений к = ш, т + 1,., п, занумерованных с учетом кратности:

Пусть ui ^ О, V2 = сю, т > 1, т = гшп{г: z/i — 7*4 ^l) < О, i ^ 1}.

Тогда задача (0.28) имеет последовательность конечнократных положительных собственных значений к = т, ш + 1,., Nh, занумерованных с учетом кратности:^т ^ rfn+1 < • • ¦ ^.

Каждое собственное значение Xf является единственным корнем уравнения.

М — 7? М = М^Л.

Собственное подпространство ?4(Af) задачи (0.28) является собственным подпространством ^(д), соответствующим собственному значению 7г/1(/л) линейной задачи на собственные значения (0.29) для.

Установлены следующие результаты о сходимости и погрешности приближенной схемы (0.28).

Пусть А^ - собственное значение приближенной схемы (0.28), и£ - отвечающий Aj? собственный элемент такой, что = 1.

Тогда имеет место сходимость Х —> А&при h —> 0, из каждой последовательности h! 0 можно выбрать подпоследовательность h" —> 0 такую, что и^ —> Uk в V при h = h" —> 0, где Ak и^- собственное значение и собственный элемент задачи (0.22). Если А&- - простое собственное значение и знаки собственных элементов выбраны так, что bh{ A J, РьЦк) > 0, то —> в V при h —" 0.

Пусть Afc — собственное значение задачи (0.22) кратности s, U = /7(Afc) — собственное подпространство, отвечающее А&-, dim С/ = s.

Положим k = sup? h (u), u? U,\u\=l = IIK (Afc) — a (A*))|iWxvJ + \(bh (Xk) ~ KAfc))kj7xvJ|, = ||K (Afc) — a (Xk))PhUxPhU\ + \{bh{Xk) -= IMAft) — ал (АЙ|| + ||ЬЛ (А*) — ЬЛ (АЙ||. Для достаточно малых h справедлива оценка погрешности.

Xhk — Хк ^ c[S% + (eh + б!)2}, где с — постоянная, не зависящая от h.

Пусть ик — собственный элемент приближенной схемы (0.28), \uhk\ = 1. Тогда найдется собственный элемент и G U задачи (0.22) такой, что для достаточно малых h справедлива оценка погрешности till <�С (е*+ *? + <�§), где с — постоянная, ие зависящая от h.

В § 2.3 исследуется аппроксимация рациональной задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве (0.24).

Для аппроксимации задачи (0.24) зададим конечномерные подпространства Vh пространства V размерности Nh, удовлетворяющие условию предельной плотности.

Определим отображения а^: Vh х Vh > М и Ь/г: Vh х 14 —М, которые являются симметричными билинейными формами ал (.,.) и .). Предположим, что ЬЦгДг/1) > 0 для любого vh е Цг {0} и выполнено условие аппроксимации для приближенных билинейных форм, то есть <5q —> 0 при h —> 0, где ПК «a)vhxvh\ + ||(bh ~ &)kxyj.

Рациональную задачу на собственные значения (0.24) будем аппроксимировать конечномерной задачей: найти Xh G М, uh G Vh {0} такие, что Н ап{и ук) = %{и ул) + V—кс,{и Vй) /ун Е Ун. (0.30).

У{ — ла.

1=1.

Определим билинейные формы а/т (^,.,.), Ь/т (/2,.,.), 1 ^ п ^ т+ 1 и анп[-, •], ЬНп[.,.], 1 < п < т: аЛ (иЛ, г>А) + ап (р, и}г, ук), ьнп{^1 чд ун) = Ък (инУ)+Ъп (ц, иуЬ), акп[ии, ун] = ан{ин, Vй) + ап (ап, гД V*1),.

Ь, гп[и = Ън (и ун) + Ъп+1{ап, и ук), при ц, е Лп, гД ун е Ун.

Обозначим Уьп = кегсп П Ун, 1 ^ п < т.

Запишем задачу (0.30) для интервала Лп, 1 ^ п ^ т + 1 в виде: найти Хк? Лп, и1' £Ун {0} такие, что аНп{Хиук) = Л%т{Хиуп) /ун б УН. (0.31).

Введем следующие вспомогательные линейные задачи на собственные значения: при фиксированном ц Е Лп найти ср (Ьп)(/и) Е Ж, иь? Ун {0}, 1 < п ^ т + 1 такие, что анп (^ и у11) = и ун) /ук Е Ун- (0.32) найти А<�Лп) Е К, ин Е Унп {0}, 1 ^ п ^ т такие, что а}гп[и ун] = Х^пп[и у11] Уук Е Цт. (0.33).

Задача (0.32) имеет Л^ положительных конечнократных собственных значений г — 1,2,., Ын, занумерованных с учетом кратности:

Соответствующие собственные элементы г — 1, 2,., Ал, образуют полную систему в пространстве У^.

Задача (0.33) имеет А^ — ги положительных конечнократных собственных значений Х^п г — 1,2,., Л^ — гп, занумерованных с учетом кратности: о < л^п) < <. ^ а#-2Гп.

Соответствующие собственные элементы г = 1,2,., АГ^ — гп, образуют полную систему в пространстве Уип.

Исследование существования решений рациональной задачи (0.30) основано на применении следующих свойств функций), /2 е.

Ап, к = 1, 2,.

1) Функции р € Лп, к = 1,2,., А^ являются непрерывными невозрастающими функциями.

2) —> 0 при д —> <х~, /с = 1, 2,., г&bdquo-, 1 < п < т.

3) 00 ПРИ V ап-п к = Жнгп 1 + 1,., А^, 2 < п ^ т + 1.

4) <�Рк+г (и) -«• при /х ¿-г», г = гп, к = 1, 2,., А/, — г&bdquo-, 1 ^ п ^ т.

5) при ц Л = 1, 2,., — г&bdquo-1, 2 ^ п < т + 1.

Положим г0 = 0, гт+1 = 0, Мг = г0+г1 +. г = 1,2,., т+1, М = Мт, Л = (0, оо), Л = [0, оо]. Определим функции 7^(/х), М е Л" г = 1,2,., ЛГ/1 + М по формулам.

7?Ы = 0, /хеЛп, ^ — 1, 2,., Мп1, Л" = Л,? = 1,2,.,^, оо), г = + + = 1, 2,., Г/,.7 = 1,2,., т для 1 ^ п ^ т + 1.

Из свойств функций щ (//), // е Лп, А- = 1,2,., Ми вытекает, что функции 7^(д), ц Е Л^, г = 1,2,., ЛГ/1 + М являются непрерывными невозрастающими функциями. Следовательно, число Хь Е, А является собственным значением задачи-(0.30) тогда и только тогда, когда Хк? Л есть решение одного из уравнений /1 — = 0,.

Доказано, что задача на собственные значения (0.30) имеет А^ + М конечнократных собственных значений Л^, г = 1,2,., Л^ + М, занумерованных с учетом кратности:

0 < Л^ ^ Л2 ^ • • • ^.

Каждое собственное значение Л’г, 1 < г ^ 7У/г + М является единственным корнем уравнения.

Д — = 0, ?1 Е +.

Соотношения — °п< ^1+г выполняются тогда и только тогда, когда х (Лп) Ч (Лга) Л (Лп) Л (Лп).

— ' «• — Аз — < для / = Мп1 + г, ^ = 3 + тп. Собственное подпространство ?7л (А|) задачи (0.30) является a) собственным подпространством, соответствующим собственному значению (ркп[1) линейной задачи на собственные значения (0.32) для ?1 = если е Ап, к = Мп1 + г, b) собственным подпространством, соответствующим собственному значению линейной задачи на собственные значения (0.33), если А^/ш) = Х[г = ап, I = Мпх + г, г = у + г&bdquo-.

Пусть ЛГ (0) = 0, А/" (оо) = + М, N (0) = тах{г: <

Р, ъ > 0}, /3 е Л, 70 (/?) = /1 Е А. Тогда число собственных значений АГ (о!, (3) задачи (0.30) на полуинтервале (а, ¡-в] определяется по формуле N{a,(3) = N{(3) — N (a), a < (3, a, (3 G Л. Имеют место соотношения 0 ^ N (a, p) ^ Nh + M, N{0,0) = N{?3), N (/3) > Aff для г — I{(3), I{(3) = max{i: <7* ^ (3,i ^ 0}. Если N{a, f3) > 0, то справедливы неравенства, а < А* <. < A* ^ /?, где? i = АГ (а) + 1, i2 =.

Пусть iVj = 0, = Nh + M, JVj = max{i: Afm) < i > 0}, 1 ^ n ^ га, где ihn г = 1,2,., A^ — rn — собственные значения задачи (0.33), A (0hn) = 0. Тогда Nfa) = Nj1 + М{ при 1 ^ i < m + 1, N (< i < j ^ m + 1. Если N ((Ti, 0, то справедливы неравенства где ?" i = N[l + Mi + 1, ?2 = Nf + My.

Приведем полученные результаты о погрешности приближенных решений..

Пусть Afc — собственное значение задачи (0.24) кратности s, U = U (Xk) — собственное подпространство, отвечающее dim Щ = s. Введем следующие обозначения: eh = sup? h (u), иеи,\и)=1.

St = \(ah — a>)phuxvh\ + II (h ~ b) PhuxVh\, ?2 = UK — a) PhuxPhu\ + ||(bh ~ b) phuxphu\-Для достаточно малых h справедлива оценка погрешности.

Й-А.Кс^ + ^ + ф2], где с — постоянная, не зависящая от h. ¦.

Пусть — собственный элемент приближенной схемы (0.30), ||u2|| = 1. Тогда найдется собственный элемент и = и (и'?) Е Uk задачи (0.24) такой, что для достаточно малых h справедлива оценка погрешности где с — постоянная, не зависящая от к..

В третьей главе разработаны итерационные методы решения матричных нелинейных задач на собственные значения..

В § 3.1 описапы хорошо известные методы решения линейной задачи на собственные значения: метод бисекции и метод итерации подпространства. Для этих методов приведены известные результаты о сходимости и погрешности, которые далее применяются при исследовании методов решения нелинейных задач на собственные значения..

В § 3.2 построены алгоритмы решения матричной нелинейной задачи на собственные значения с монотонной зависимостью от спектрального параметра. Задачи такого вида возникают при аппроксимации задач (0.22) и (0.25) с помощью приближенных схем (0.28) и (0.31)..

Пусть Н есть ЛГ-мерное вещественное евклидово пространство векторов со скалярным произведением (.,.) Л = (^1,^2), 0 ^ < 1² ^ оо. Для ?1? Л введем симметричные положительно определенные квадратные матрицы А (р,) и В ([1) размера N. Предположим, что элементы матриц А (ц) и В {¡-л) непрерывно зависят от параметра ¡-л? Л, отношение Рэлея является невозрастающей по числовому аргументу функцией..

Сформулируем следующую задачу на собственные значения: найти, А € А, и? Н {0} такие, что.

А (Х)и = ХВ (Х)и. (0.34).

При фиксированном р,? А. обозначим через 'Ук = 7/с (м)> к = 1,2,., собственные значения задачи А{(х)у = 7В{р)у занумерованные с учетом кратности: 0 < 71 ^ 72^. ^ 7лг.

Обозначим lityj) — lim тj = 1, 2, i = 1,2,., N, m = min{i: v — 7z (^i) < 0, i ^ 1}. Для z/2 — oo положим n = N, для i/2 < oo положим n = max{i: v2 — 7"(^2) > 0, г ^ 0}, m ^ n..

Задача (0.34) имеет собственные значения A>t, fc = m, тп + 1,., n, занумерованные с учетом кратности: Am ^ Am+i <. ^ Ап < ь>2.

Собственное значение Ате ^ г ^ п является единственным корнем уравнения ц — «fi (fi) = 0,? G А, m ^ г < п..

Установлен следующий результат. Пусть при фиксированном? E Л выполняется треугольное разложение. с диагональной матрицей D (?) и нижней треугольной матрицей 1/(/г), имеющей единичные диагональные элементы. Тогда u (A (?) — ?B (?)) = т — 1 + г/(Д — //?7) = v{D (?)), где Б1 — единичная матрица размера n — m + 1, v{C) — число отрицательных собственных значений матрицы С (отрицательный индекс инерции), Л = diag (ATO, ATO+i,., Ап), Аг-, i = m, mf- 1,., n — собственные значения матричной задачи, 1 ^ m ^ гг..

Из этого результата следует, что количество собственных значений матричной задачи, меньших? E А, совпадает с числом v (D (?)) — т +1, где v (D (?)) — число отрицательных элементов диагональной матрицы D (?) указанного треугольного разложения, если это разложение существует. Для вычисления величины следует воспользоваться методом Гаусса. В этом случае г/(В (ц)) равно числу отрицательных ведущих элементов, возникающих в процессе гауссовых исключений неизвестных системы линейных алгебраических уравнений с матрицей А ({1) — цВ (/1), р е Л. Описанная процедура деления спектра вместе с известным приемом деления отрезка пополам позволяет локализовать с требуемой точностью любое собственное значение задачи из заданного отрезка..

Далее построен метод итерации подпространства с предобуслав-ливанием. Предположим, что для каждого д € А задана квадратная симметричная положительно определенная матрица С (д) размера N и положительные постоянные 5о (ц) и ^(/х), для которых выполняются соотношения.

VIе н..

Для заданного цп определим итерационный параметр по формуле.

Зафиксируем номер к, т ^ к ^ п. Через Un = (?/" «, Щ,., Щ) и Vй = (У», У2П) • • •, V/!1) при п — 0,1,. будем обозначать прямоугольные матрицы, состоящие из к столбцов Щ, Щ, ., Щ и У/1, V™, ., длины N соответственно, через span Vn = span-fl/", V¹,., V?} -линейную оболочку столбцов матрицы Vn, через Ап при п — 0,1,. — диагональные матрицы А71 = diag (A™, Ag,., А£), когда диагональные элементы упорядочены по неубыванию:.

А?^. < AJ..

Зададим V0 и вычислим.

А0 и U0 с помощью метода Рэлея-Ритца для исходной задачи в подпространстве span V0 так, что.

U°)TA (n°)U° = A0, (U°)T B (fj,°)U° = Я,.

При п = 0,1,. вычисляем An+1 и Un+1 по методу Рэлея-Ритца для исходной задачи в подпространстве span Vn+1,.

Vn+1 = Un — TnC~1(/j7l)(A (fin)Uri — B (fin)UnAn),.

Un+1)TA (iin+1)Un+1 = An+1, (Un+1)T B{pn+l)Un+1 = E,.

Hn+1 = AJ+1, ип+1 = щ+1..

Заметим, что? in = 7fc (//', span = R (fj, n, un) при n = 0,1,. то есть приближение цп является собственным значением с номером к матричной задачи метода Рэлея-Ритца в подпространстве span Vй, приближение ип является собственным элементом, отвечающим собственному значению? in..

Введем функции <�рп{ц) = R (fi, un), ц? А, п — 0,1,. Отметим, что приближение fin определяется как решение уравнения.

Р =.

Доказаны следующие результаты..

Пусть Хк < Afc+i, < Ajt+i. Тогда /хп —> Afc при п -> оо, Afc+i > / > /i1^. > /¿-п^. ^ Хк..

Предположим, что существуют положительные числа д и § 2 такие, что.

A (ji)v, v) — (A{.

I (B (jj)viV) — (B (ri)v, v) I ^ 92 (17 — fj) (B (j*)v, v) для Ui < Xk < ц ^ 77 < Afc+1.

Пусть Afc < Afc+i, /x° < Afc+i. Тогда имеет место оценка j, n+1 — Afc < — Afc Afc+i — /?n+1 «» n Afc+i — /j, n' где п = 0,1,. р + Го sn рп = 7fc+i (/in) — 7к (рп).

Чп l + Го Sn? n ' lk+i{?n)-?n '.

Го = g, 9 = 91 + 92, 1 ^ Sn < sn-1^. < So, qn ^ qn-i^. • • ^ qo < 1, sn —> 1 при n oo, gn —"• (pf + r0Afe)/(1 -f г0А&) при n -> oo..

Предположим, что ^ = rj), g2 = д2(р, ry), б?0, 77) = 77) + <72 Пусть А*- < Ajt+i, < Afc+i. Тогда выполняется оценка n+1 ~ Afc ^^ рп-Хк.

Afc+i — ^ n Afc+1 — /in' где n = 0,1,., pfc+rns" = lk+{?n).

Гп = g{?n+1,?n), qn < 1, 1 ^ sn ^ s"i^. < s0, s" 1 при (p2k + poAfc)/(1 + 50Afc) при tl > 00, до = #(Afc, Afc). Если Гп ^ rn-1^. .. ^ r0, TOⁿ < tfn-1 ^ • • • < № < 1..

Из приведенных оценок вытекают следующие результаты..

1) Если рп = Afc, то рг = Afc, % — n, п + 1,. Если р, п Хк, то рп+1 < д" ..

2) Справедлива оценка n+1-Afc.

СП п Afc+1 — Pn+1 k~qn Afc+i — ?n ' ?fc iPk + ^oAfc)/(l + ^0Afc) при n 00, б^о = g (Afc, Afc), существует номер по такой, что Q < 1 при п ^ щ..

3) Если rn ^ rn 1^. ^ го, то выполняется оценка n-Xk^ ck (qo)n, где cfc = (Afc+i — Afc) (/i° - Afc)/(Afc+i — /x0).'.

В § 3.3 результаты,'полученные в § 3.2, применяются для построения алгоритмов метода бисекции и метода итерации подпространства решения матричной рациональной задачи на собственные значения, возникающей при аппроксимации задачи (0.24) с помощью приближенной схемы (0.30). Доказана сходимость и получены оценки погрешности предложенных методов..

Пусть Н есть А-мерное вещественное евклидово пространство векторов со скалярным произведением (.,•)• Введем симметричные положительно определенные квадратные матрицы, А и В размера N..

Пусть <7{, г — 1,2,., т — заданные вещественные числа такие, что.

Зададим неотрицательно определенныесимметричные квадратные матрицы Ci, (Civ, v) ^ 0 для любого v е Н {0}, г = 1,2,., то. Предположим, что Т{ = codimkerС < N для г = 1,2,., тп, где ker Ci = {v: v G H, C (V — 0}, 1 < i ^ m..

Сформулируем рациональную задачу на собственные значения: найти X еШ, и Е Н {0} такие, что.

Обозначим <7о = 0 и am+i = оо. Определим Ап = (<�т+1и введем квадратные матрицы Ап{р,), Дг (/х), Ап{ ц), Bn (fi), 1 ^ п ^ m т 1 и Ап, Вп, 1 < п < га:.

71—1.

0 < а < ст2 <. < ат < оо..

0.35).

An (fi) = A + Anfa), Bn (fi) = В + Bn (fi),.

Ап — -А ~Ь ^¦п (сгп) 5.

Вп = В + Вп+х ((7п), при? Л,(..

Положим Ц, = кег С", 1 ^ г < т..

Запишем задачу (0.35) для интервала Ап, + виде: найти Хк Е Лп, и Е Н {0} такие, что.

Ап (Х)и = ХВп (Х)и..

Введем следующие вспомогательные линейные задачи на собственные значения: при фиксированном ?1 Е Ап найти Е Ж, и Е Н {0},.

1 ^ п ^ т + 1 такие, что.

Ап (/и)и = <�рМ (р)Вп (р)щ (0.36) найти А^ Е Ж, и Е Уп {0}, 1 < п < т такие, что.

Апи = А (п)?пп. (0.37).

Задача (0.36) имеет N собственных значений (рп/л), г = 1,2,., N, занумерованных с учетом кратности:.

Задача (0.37) имеет N — гп собственных значений хп г = 1,2,., N — гп, занумерованных с учетом кратности:.

Перечислим свойства функций ?1 Е Ап, к = 1, 2,., N..

1) Функции ц Е Ап, к = 1,2,., А/^ являются непрерывными невозрастающими функциями..

2) —" 0 при /I —> к — 1,2,., гп, 1 < п < га..

3) 00 ИРИ И к = N — гп-1 + 1,., Л/", 2 ^ п < т + 1..

4) Л[п) при ¡-л (тп, г = гп, к = 1,2,., ТУ — гп, 1 ^ п ^ т..

5) А^ при ?1 А- = 1,2,., Ж — гп1, 2 < п < т + 1..

Положим Г0 = 0, Гт+1 = О, Мг = Г0 + П + - - -+П", ? = 1,2,., 771+1, М = Мте, Л = (0, оо), Л = [0, со]. Определим функции 7 г (д), ¡-л € г = 1,2,., N + М по формулам меЛп,? = М&bdquo-1 + г, г = 1,2,., ТУ,.

7,-Ы = 0, .7 = 1,2,., Мп-1,.

Л^ = Л, г = 1,2,., АГ,.

Л*') = (<Ту, оо), 1 = Ы +р, р= 1,2,., г^э = 1,2,., тп для 1 ^ п ^ 772 + 1..

Из свойств функций /I? Ап, к — 1,2,., N вытекает, что функции т¡-1 б г = 1,2,., АГ+'М являются непрерывными невозрастающими функциями. Следовательно, число Л € Л является собственным значением задачи (0.35) тогда и только тогда, когда, А €= Л есть решение одного из уравнений ?1 — 7&-(/х) — 0, /I? А^к к = 1,2,., АТ + М..

Доказано, что задача на собственные значения (0.35) имеет N + М конечнократных собственных значений А^, г = 1,2,., АГ + М, занумерованных с учетом кратности:.

0 < А1 ^ А2^. ^ Адг+м.

Каждое собственное значение + М является единственным корнем уравнения.

-7гМ = 0, /леА{1), Т + М..

Пусть А" (0) = 0, N (00) = N + М, N (?3) = шах{г: ^.

3,1 ^ 0}, /3 6 Л, 7о (м) = 0, 1 € А. Тогда число собственных значений АГ (а, /3) задачи (0.35) на полуинтервале (ск, /3] определяется по формуле Ы (а,(3) = N (0) — М (а), а < ?3, а,(3 е Л. Имеют место соотношения 0 < Ща,/3) < N + М, Щ0,/?) = N (?3), N ((3) ^ М< для г = 1((3), 1{(3) = тах{г: <тг- < (3,1 > 0}. Если Ы (а,(3) > 0, то справедливы неравенства, а < Лг1 <. ^ Лг2 < (3, где ?1 = #(<*) + 1, г2 = #(/?)¦.

Пусть 7У0 = 0, ЛГт+1 = ТУ + М, Ып = тах{г: < ап, г ^ 0}, п).

1 ^ п ^ т, где Л^, г — 1,2,., N — гп — собственные значения задачи (0.37), = 0. Тогда Л^(сгг-) = Щ + М{ при 1 ^ г < т + 1, = (Л^ - Щ) + (М3- - Мг) при 1 < I < з ^ т + 1. Если N ((71, (Т^) > 0, то справедливы неравенства Ан ^ • • • ^ Аг’г ^ где г’х = Щ + М* + 1, г2 = Щ + Му.

Получен следующий результат. Зафиксируем номер п, 1 ^ п ^ т + 1. Для /л е Лп положим т.

Пусть при фиксированном ?1 € Лп выполняется треугольное разложение.

Г (/0 = с диагональной матрицей £>(/л) и нижней треугольной матрицей Ь (д), имеющей единичные диагональные элементы. Тогда.

1/(Г (/х)) = Л^! + !/(Д — цЕ) = КОД), где Е — единичная матрица размера ?2 ч + 1, 1'(С) — число отрицательных собственных значений матрицы С (отрицательный индекс инерции), А = diag (Лг1, Лг1+Ь., Лга), Аг-, г = ц, гг + 1,., г2 — собственные значения задачи (0.35), 1 < ?1 < ?2, — + + 1, ?2 = + Мп..

Из этого результата вытекает, что количество собственных значений задачи (0.35) на Ап, меньших /2? Л-г, равно.

Поэтому количество собственных значений задачи (0.35), меньших ?1 е Лп, равно где у (0(ц)) — число отрицательных элементов диагональной матрицы -0(/х) указанного треугольного разложения, если это разложение существует. Для вычисления величины г/(.0(/х)) следует воспользоваться методом Гаусса. В этом случае г/(Р (/х)) равно числу отрицательных ведущих элементов, возникающих в процессе гауссовых исключений неизвестных системы линейных алгебраических уравнений с матрицей Т (/х), //? Лп. Эта процедураделения спектра позволяет локализовать с требуемой точностью любое собственное значение задачи (0.35) из заданного отрезка..

Зафиксируем номер г, 1 ^ г ^ ш + 1. Предположим, что задана квадратная симметричная положительно определенная матрица С размера N и положительные постоянные 71, 72, 72^ > 3 = 1,2,., г — 1, для которых выполняются соотношения и (А — цЕ) = г/СОД) «^п-1. гх-Иг/(А — цЕ) = уф (11)) + Мп1,.

71 (Су, у) ^ (Ау, у) < 72 (Су, у) Vу е Н, (С^, у)^4Л (Су, у) УуеН, ^ = 1,2,., г — 1..

Тогда справедливы неравенства.

Си, V) ^ (А^)у, у) ^ ад (Си, у) Му € Я, где ад = 71..

Для заданного ftn определим итерационный параметр по формуле г" =? мм") + s2(fin).

Зафиксируем номер к, 7V? i + 1 ^ к ^ iV? + r?. Через Un = От, ЬТ. • • •, ОД и Vn = (V{><, V2n,., Vkn) при п = 0,1,. будем обозначать прямоугольные матрицы j состоящие из к столбцов u™, щ, ., щ и У", • • Vfc" длины n соответственно, через span Vn = span-jV™, V2, ¦ ¦., V™} - линейную оболочку столбцов матрицы Vй, через Л" при п = 0,1,. — диагональные матрицы Ап = diag (A", Л" ,. • •, когда диагональные элементы упорядочены по неубыванию:.

Л? < <. ^.

Зададим Vo и вычислим и U0 с помощью метода Рэлея-Ритца для исходной задачи в подпространстве span Vo так, что Л°, (u°)tbt (^)v° = е,.

При п — 0,1,. вычисляем Лп+1 и Un+1 по методу Рэлея-Ритца для исходной задачи в подпространстве span Vn+1, уп+1 = jjn Tnc~1(Ai (iin)Un — Bi (/in)UnAn), (U'1+1)T М (лп+1)ип+1 = An+ (Un+1)T Bi{fin+1)Un+1 = E, п+1 = un+1 =.

Пусть A i и A/+i есть собственные значения задачи (0.35) такие, что < Л/ < Л/+1 < (jj, / = М{-1 + к. Положим.

Pi = l-(1−6)(1- VAw), = (1−40/(1 + 40, di = 5(i+i), s (jj) = ii (/li)/j2(/i), a? 6 ai. Заметим, что 0 < di ^ 1, 0 < pi < 1..

Установлены следующие результаты. Пусть р° < Л/+1. Тогда рг Лпри п —> оо, Л-+1 > рР > р1^. > рп^. > Л-. Имеет место оценка рп+1-ХI рп — Агде п = 0,1,., р] + г0 зпрп И+1{рп) ~ ц{рп).

Чп 1 + г0вп/*"' «'.

1 1.

Го = т—Ь.

Аг — <7г-1^г —.

1 < вп <^. .. < 5о, Яп < 9п-1 ^ • • • < Яо < 1, «п —1 при п оо, (р^ + Г0Лг)/(1 + г0лг) при п —> оо..

Выполняется оценка.

Рп — Лгде п = 0,1,., /Р? + г"зп/г" = 7й-1(м")-7*(мп).

1 1 —- +.

Л&trade- - <т" 1 <тг 2.

1 при п —> оо, > ((% + #0Аг)/(1 + д0Х{) при п —оо,.

1 1 = т—Ь.

АI — <7г-1 С г Аг+1 Предположим, что /?° < А/+1..

1) Если рп — Аг, то р1 = Л-, г = тг, п + 1,. Если ф А-, то ^п.

2) Справедлива оценка где tf {p? + #оА/)/(1 + g0Xi) при п оо,.

А/+1 — fin+1 $ = Чп.

Ai+i ~ п + 5ПДП = 7?+i (/?n) — 7?(/?n).

1 ~Ь тп sn fin п li+i{nn) — fin.

1 1 Гп = ——Ь fln — (Ti-1 (Ti—.

1 1.

7o = 7—b.

АI — стг-1 сгг — Лг+1' существует номер щ такой, что < 1 при п^ щ..

3) Выполняется оценка.

— Х1 ^ С1(д0у где, а = (А/+1 — Аг) (рР — Лг)/(Л/+1 р\ + го л 7/+1 ~ И Г—-ñ-", 50.

1 + г050//0' 7/+i (/i°).

1 1 Г0 = Т- + о.

A? — 0?-i ai — i+i В четвертой главе исследуются приближенные методы решения дифференциальных задач на собственные значения..

В § 4.1 одномерная дифференциальная задача (0.21) аппроксимируется схемой метода конечных элементов с численным интегрированием. Получены оценки погрешности приближенных собственных значений и собственных функций. Аналогичные результаты установлены для двумерной дифференциальной задачи на собственные значения в прямоугольной области и ее аппроксимации по методу конечных элементов с численным интегрированием. При выводе этих результатов использовались общие результаты, доказанные в § 2.1..

В § 4.2 исследованы схемы метода конечных элементов с численным интегрированием для одномерной и двумерной дифференциальных задач на собственные значения с монотонной зависимостью от спектрального параметра на основе общих результатов из § 2.2..

В § 4.3 изучаются задачи о собственных колебаниях балки и пластины с упруго присоединенными массами. Задача о балке аппроксимируется схемой метода конечных элементов с эрмитовыми кубическими элементами. Задача о квадратной пластине аппроксимируется схемой метода конечных элементов с эрмитовыми бикубическими элементами. Для исследования разрешимости этих задач и погрешности приближенных методов применяются общие результаты, полученные в § 1.3 и § 2.3..

В § 4.4 разработаны экономичные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов для дифференциальных задач второго и четвертого порядков. Необходимость в таких алгоритмах возникает при реализации методов итерации подпространства с предобуславливанием, изученных в третьей главе..

В приложении приведены результаты численных экспериментов для задач о балке и пластине из § 4.3. Эти эксперименты иллюстрируют общие теоретические результаты, полученные в § 1.3..

Сформулируем основные результаты диссертации..

1. Установлено существование собственных значений и собственных элементов нелинейных задач на собственные значения в гильбертовом пространстве..

2. Доказана сходимость и получены оценки погрешности приближенных методов для нелинейных задач на собственные значения в гильбертовом пространстве..

3. Исследована сходимость и погрешность метода конечных элементов для дифференциальных задач на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра..

4. Разработан и обоснован метод бисекции решения нелинейных спектральных задач..

5. Предложен метод итерации подпространства решения нелинейных спектральных задач, доказана сходимость и получены оценки погрешности:.

6. Разработаны прямые экономичные алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов..

Результаты диссертации были представлены, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета (1983;2010 гг.), на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (1983;2010 гг.), на научном семинаре Тартуского государственного университета (1990 г.), на научных семинарах Технического университета Кемниц, ФРГ, (1999;2003 гг.), на научном семинаре Технического университета Штутгарт, ФРГ, (1999 г.), на Всесоюзной школе молодых ученых «Вычислительные методы и математическое моделирование» '(Минск, 1984 г.), на Всесоюзной школе-семинаре «Математическое моделирование в науке и технике» (Пермь, 1986 г.), на Республиканской конференции молодых ученых и специалистов «Применение информатики и вычислительной техники при решении народнохозяйственных задач» (Минск, 1989 г.), на Второй Всесоюзной конференции «Современные проблемы численного анализа» (Тбилиси, 1989 г.), на конференции «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент» (Казань, 1991 г.), па международной научной конференции «Алгебра и анализ», посвященной 100-летию со дня рождения Н. Г. Чеботарева (Казань, 1994 г.), на международной научной конференции «Optimization of Finite Element Approximations» (С.-Петербург, 1995 г.), на Всероссийском семинаре «Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач» (Казань, 1996 г.), на научной школе-конференции «Алгебра и анализ», посвященной 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева (Казань, 1997 г.), на Втором Всероссийском семинаре «Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач» (Казань, 1998 г.), на Молодежной научной школе-конференции «Задачи дифракции и сопряжение электромагнитных полей в волноводных структурах» (Казань, Юдино, 2000 г.), на Третьем Всероссийском семинаре «Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач» (Казань, 2000 г.), на Третьей Всероссийской научной internet-конференции «Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках» (Тамбов, 2001 г.), на научной конференции Фонда Гумбольдта (Кемниц, ФРГ, 2003 г.), на Седьмой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2005 г.), на Шестом Всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2005 г.), на Седьмом Всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2007 г.)..

Основные результаты диссертации опубликованы в 50 работах [41, 52−54, 65−67,118−146,163,164,181, 203, 209−218]. Результаты совместных работ принадлежат авторам в равной мере..

Работа выполнена благодаря значительному участию многих людей. Среди них — А. Д. Ляшко, Ю. П. Жигалко, М. М. Карчевский, Р. З. Даутов, И. Б. Бадриев, Г. М. Вайникко, A.B. Гулин, A.B. Князев, Th. Apel, А. Meyer, А.-М. Sandig, J. Rossmann. Автор благодарен этим людям за поддержку, понимание и соучастие..

Работа поддержана грантами Казанского государственного университета, Фондом республики Татарстан «Интеллект XXI века», Немецким научно-исследовательским обществом (Deutsche Forschungsgemeinschaft), Фондом Гумбольдта (Alexander von Humboldt-Stiftung)..

1. Абдуллин И. Ш., Желтухин B.C., Кашапов Н. Ф. Высокочастотная плазменно-струйная обработка материалов при пониженных давлениях. Теория и практика применения. — Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2000..

2. Абрамов A.A., Тареев Б. А., Ульянова В. И. Бароклинская неустойчивость в двухслойной фронтальной модели Кочина на сг-эта плоскости // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1972. — Т. 8, № 2. — С. 131−141..

3. Абрамов A.A., Тареев Б. А., «Ульянова В. И. Неустойчивость двухслойного геострофического течения с антисимметричным профилем скорости в верхнем слое // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1972. — Т. 8, № 10. — С. 1017−1028. ..

4. Айне Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ГНТИУ, 1939..

5. Андреев В. В., Андреасян Г. Д. Суперсходимость производных и их осреднений в методе конечных элементов для обыкновенных дифференциальных уравнений 2т-го порядка // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1988. — Вып. 6. — С. 31−39..

6. Андреев Л. В., Дышко А. Л., Павленко И. Д. Колебания цилиндрических оболочек переменной толщины, несущих систему дискретных амортизированных масс // Гидроаэромеханика и теория упругости. Днепропетровск: ДГУ, 1979. — Вып. 25. — С. 104−108..

7. Андреев Л. В., Дышко А. Л., Павленко И. Д. Оценки основной частоты колебаний пластинок и оболочек, несущих амортизированную массу // Изв. вузов. Авиационная техника. 1980. — № 2. -С. 89−93..

8. Андреев Л. В., Дышко А. Л, Павленко И. Д. Динамические характеристики оболочек с дискретными включениями // Гидроаэромеханика и теория упругости. Днепропетровск: ДГУ, 1981. — Вып. 28. — С. 54−65.

9. Андреев Л. В., Дышко, А Л., Павленко И. Д. Динамика пластин и оболочек с сосредоточенными массами. М.: Машиностроение, 1988..

10. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука, 1975..

11. Беллман Р.

Введение

в теорию матриц. М.: Наука, 1976..

12. Береславский В. Б., Гинзбург И. М., Скоробогатько Ю. В. Динамика цилиндрической оболочки с упруго подвешенными массами // Динамика и прочность машин. 1983. — Вып. 38. — С. 46−54..

13. Вайникко Г. М. Асимптотические оценки погрешности проекционных методов в проблеме собственных значений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. — Т. 4, № 3. — С. 405−425..

14. Вайникко Г. М. Оценки погрешности метода Бубнова-Галёркина в проблеме собственных значений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. — Т. 5, № 4. — С. 587−607..

15. Вайникко Г. М. О быстроте сходимости приближённых методов в проблеме собственных значений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1967. — Т. 7, № 5. — С. 977−987..

16. Вайникко Г. М., Карма О. О. О быстроте сходимости приближенных методов в проблеме собственных значений с нелинейным вхождением параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1974. Т. 14, № 6. — С. 1393−1408..

17. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974..

18. Вариационные задачи в гильбертовом пространстве: Методическая разработка / Сост. С. И. Соловьёв. Казань: КГУ, 2007..

19. Воеводин В. В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980..

20. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы п вычисления. М.: Наука, 1984..

21. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978..

22. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988..

23. Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осциляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950..

24. Гловински Р., Лионе Ж. Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979..

25. Головатый Ю. Д. Спектральные свойства колебательных систем с присоединенными массами // Труды Московского математического общества. 1992. — Т. 54. — С. 29−72..

26. Гордеев A.B., Гулин A.B., Мышецкая Е. Е., Савенкова Н. П. Численное исследование устойчивости магнито-звукового солитона. Препринт. — М.: ИПМ АН СССР, 1977. — № 50..

27. Гордеев A.B., Гулин A.B., Савенкова Н. П. Неустойчивость электронного течения при магнитной самоизоляции. — Препринт. -М.: ИПМ АН СССР, 1979. № 129..

28. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989..

29. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях. М.: Мир, 1970..

30. Гулин A.B., Крегжде A.B. Разностные схемы для некоторых нелинейных спектральных задач. Препринт. — М.: ИПМ АН СССР, 1981. — № 153..

31. Гулин A.B., Крегжде A.B. О применимости метода бисекции к решению нелинейных разностных задач на собственные значения. Препринт. — М.: ИПМ АН СССР, 1982. — № 8..

32. Гулин A.B., Яковлева С. А. О численном решении одной нелинейной задачи на собственные значения // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1988. — Вып. 6. — С. 90−97..

33. Даутов Р. З. Суперсходимость схем МКЭ с численным интегрированием для квазилинейных эллиптических уравнений четвёртого порядка // Дифференц. уравнения. 1982. — Т. 18, № 7. — С. 1172−1181..

34. Даутов Р. З., Карчевский Б. М. Об одной спектральной задаче теории диэлектрических волноводов // Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ. 1999. — Т. 39, № 8. — С. 1348−1355..

35. Даутов Р. З., Карчевский Е. М. Существование и свойства решений спектральной задачи теории диэлектрических волноводов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. — Т. 40, № 8. — С. 12 501 263..

36. Даутов Р. З., Карчевский Е. М. О решении векторной задачи о собственных волнах цилиндрических волноводов на основе нелокального краевого условия // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. — Т. 42, № 7. — С. 1051−1066..

37. Даутов Р. З., Лапин A.B. Сеточные схемы произвольного порядка точности для квазилинейных эллиптических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1979. — № 10. — С. 24−37..

38. Даутов Р. З., Лапин A.B. Исследование сходимости в сеточных нормах схем метода конечных элементов с численным интегрированием для эллиптических уравнений четвёртого порядка // Дифференц. уравнения. 1981. — Т. 17, № 7. — С. 1256−1269..

39. Даутов Р. З., Лапин A.B., Ляшко АД. О некоторых схемах для квазилинейных эллиптических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. — Т. 20, № 2. — С. 334−349..

40. Даутов Р. З., Ляшко АД., Соловьёв С. И. Сходимость метода Бубнова-Галеркина с возмущениями для симметричных спектральных задач с нелинейным вхождением параметра // Дифферент уравнения. 1991. — Т. 27, № 7. — С. 1144−1153..

41. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976..

42. Дикий Л. А. Атмосфера земли как колебательная система // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1965. — Т. 1, № 5. -С. 469−489..

43. Дышко А. Л., Колодяжный А. П., Моссаковский В. И. Колебания цилиндрической оболочки, несущей симметричную систему осцилляторов // Тр. X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Тбилиси: Мицниереба., 1975. — Т. 2. — С. 125−134..

44. Дышко A. JL, Павленко И. Д. Динамическа оболочек вращения с присоединёнными осцилляторами '// Актуальные проблемы механики деформируемых сред. Днепропетровск: ДГУ, 1979. — С. 107−111..

45. Дьяконов Е. Г. Модифицированные итерационные методы в задачах на собственные значения // Вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1978. — Вып. 3. — С. 39−61..

46. Дьяконов Е. Г. Минимизация вычислительной работы. М.: Наука, 1989..

47. Дьяконов Е. Г., Орехов М. Ю. О минимизации вычислительной работы в задачах на собственные значения // ДАН СССР. -1977. Т. 235, № 5. — С. 1005−1008..

48. Дьяконов Е. Г., Орехов М. Ю. О минимизации вычислительной работы при нахождении первых собственных чисел дифференциальных операторов // Математические заметки. 1980. — Т. 27, № 5. — С. 795−812..

49. Желтухин B.C. О разрешимости одной нелинейной спектральной задачи теории высокочастотных разрядов пониженного давления // Изв. вузов. Математика. 1999. — № 5. — С. 26−31..

50. Желтухин B.C. Об условиях разрешимости системы краевых задач теории высокочастотной плазмы пониженного давления // Изв. вузов. Математика. 2005. — № 1. — С. 52−57..

51. Жигалко Ю. П., Ляшко А. Д., Соловьёв С. И. Колебания цилиндрической оболочки с присоединенными жёсткими кольцевымиэлементами // Моделирование в механике. 1988. — Т. 2, № 2. -С. 68−85..

52. Жигалко Ю. П., Соловьёв С. И. Собственные колебания балки с гармоническим осциллятором // Изв. вузов. Математика. 2001. № 10. С. 36−38..

53. Жигалко Ю. П., Шалабанов А. К. К вопросу о колебаниях тонких пластин и оболочек, несущих сосредоточенные массы // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: КГУ, 1970. -Вып. 6−7. — С. 511−530..

54. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация.- М.: Мир, 1986..

55. Ильин В. П. Численные методы решения задач электрофизики.- М.: Наука, 1985..

56. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959..

57. Капорин И. Е. Модифицированный марш-алгоритм решения разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике // Разностные методы математической физики. М.: МГУ, 1980. — С. 11−21..

58. Капорин И: Е. Маршевый метод для системы с блочно-трёхдиагональной матрицей // Численные методы линейной алгебры. М.: МГУ, 1982. — С. 63−72..

59. Капорин И. Е., Николаев Е. С. Применение быстрого преобразования Фурье к решению семиточечного уравнения на треугольной сетке // Численные методы линейной алгебры. М.: МГУ, 1982. — С. 43−51..

60. Карма О. О. Асимптотические оценкн погрешности приближенных характеристических значений голоморфных фредгольмо-вых оператор-функций // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1971. Т. 11, № 3. — С. 559−568..

61. Карма 0.0. Об аппроксимации оператор-функций и сходимости приближенных собственных значений //Тр. ВЦ Тартуского гос. ун-та. Тарту: ВЦ ТГУ, 1971. — Вып. 24. — С. 3−143..

62. Карма 0.0. О сходимости дискретизационных методов отыскания собственных значений интегральных и дифференциальных операторов, голоморфно зависящих от параметра // Тр. ВЦ Тартуского гос. ун-та. Тарту: ВЦ ТГУ, 1971. — Вып. 24. — С. 144−159..

63. Карчевский Е. М., Соловьёв С. И. Исследование спектральной задачи для оператора Гельмгольца на плоскости // Дифференц. уравнения. 2000. — Т. 36, № 4. — С. 563−565..

64. Карчевский Е. М., Соловьёв С. И. Существование собственных значений спектральной задачи теории диэлектрических волноводов // Изв. вузов. Математика. 2003. — № 3. — С. 78−80..

65. Коллатц JI. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968..

66. Колтунов М. А., Кравчук A.C., Майборода В. П. Прикладная механика деформируемого твёрдого тела. М.: Высшая школа, 1983..

67. Корнеев В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Л.: ЛГУ, 1977..

68. Корнеев В. Г. Суперсходимость решений метода конечных элементов в сеточных нормах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1982. — Т. 22, № 5. — С. 1133−1149..

69. Корнеев В. Г. О сходимости решений метода конечных элементов в сеточных нормах // Решение функциональных уравнений и смежные вопросы. Методы вычислений. Л.: ЛГУ, 1983. -Вып. 13. — С. 3−42..

70. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. В., Стецеико В. Я. Приближённое решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969..

71. Крегжде A.B. О разностных схемах для нелинейной задачи Штурма-Лиувилля // Дифференц. уравнения. 1981. — Т. 17, № 7. — С. 1280−1284..

72. Крылов А. Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики. М.: АН СССР, 1932..

73. Крылов В. И. Приближённое вычисление интегралов. М.: ГИФМЛ, 1959..

74. Крылов В. И., Шульгина Л. Т. Справочная книга по численному интегрированию. М.: Наука, 1966..

75. Кузнецов Ю. А., Мацокин А. М. Об одном применении метода би-секций // Вычислительные методы линейной алгебры. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. — Вып. 3. — С. 34−41..

76. Лазаров Р. Д. Суперсходимость градиента для треугольных и тетраэдальных конечных элементов решения линейных задач теории упругости // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1988. — Вып. 6. — С. 180−191..

77. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982..

78. Литвинов В. Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.: Наука, 1987..

79. Лиходед А. И., Малинин А. А. Колебания подкреплённых оболочек вращения с сосредоточенными массами и осцилляторами // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1971. — № 1. — С. 42−47..

80. Ляшенко И. Н. Задачи на собственные значения для уравнений второго порядка в частных конечных разностях. Киев: Изд. Киевск. ун-та, 1970..

81. Марчук Г. И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988..

82. Малинин А. А. Идентификация колебаний при расчете тонкостенных конструкций с упруго присоединенными грузами // Прикладная механика. 1982. — Т. 18, № 8. — С. 90−94..

83. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989..

84. Марчук Г. И., Агошков В. И.

Введение

в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981..

85. Марчук Г. И., Кузнецов Ю. А. Итерационные методы и квадратичные функционалы. Новосибирск: Наука, 1972..

86. Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса нейтронов. — М.: Атомиздат, 1971..

87. Марчук Г. И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979..

88. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976..

89. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970..

90. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977..

91. Норри Д., де Фриз Ж.

Введение

в метод конечных элементов. -М, — Мир, 1981..

92. Обэн Ж.-П. Приближённое решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977..

93. Оганесян Л. А., Руховец Л. А. О вариационно-разностных схемах для линейных эллиптических уравнений второго порядка в двумерной области с кусочно-гладкой границей // Ж. вычисл. ма-тем. и матем. физ. 1968. — Т. 8, № 1. — С. 97−114..

94. Оганесян Л. А., Руховец Л. А. Исследование скорости сходимости вариационно-разностных схем для эллиптических уравнений второго порядка в двумерной области с гладкой границей //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. — Т. 9, № 5. — С. 1102−1120..

95. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976..

96. Паламарчук В. Г., Носаченко А. М. Свободные колебания ребристой конической оболочки с массой, присоединённой на пружинах // Прикладная механика. 1980. — Т. 16,№ 1. — С. 40−46..

97. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. М.: Мир, 1983..

98. Печливанов А. Суперсходимость градиентов для квадратичных трёхмерных симплициальных элементов // Численные методы и приложения. Труды междунар. конференции по числ. методам и прилож. София, 1989. — С. 362−366..

99. Приказчиков В. Г. Разностная задача на собственные значения для эллиптического оператора // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. — Т. 5, № 4. — С. 648−657..

100. Приказчиков В. Г. Однородные разностные схемы высокого порядка точности для задачи Штурма-Лиувилля // Ж. вШчисл. матем. и матем. физ. 1969. — Т. 9, № 2. — С. 315−336..

101. Приказчиков В. Г. Прототипы итерационных процессов в задачах на собственные значения // Дифференц. уравнения. 1980. -Т. 16, № 9. — С. 1688−1697..

102. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979..

103. Самарский A.A.

Введение

в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971..

104. Самарский A.A., Капорин И. Е., Кучеров A.B., Николаев Е. С. Некоторые современные методы решения сеточных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1983. — № 7. — С. 3−12..

105. Самарский A.A., Лазаров Р. Д., Макаров В. Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. М.: Высшая школа, 1987..

106. Самарский A.A., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978..

107. Самокиш Б. А. Метод наискорейшего спуска в задаче о собственных элементах полуограниченных операторов // Изв. вузов. Математика. 1958. — № 5. — С. 105−114..

108. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -Т. 1. М.: ИЛ, 1953..

109. Сапаговене Д. Последовательность Штурма для нелинейной алгебраической задачи на собственные значения // Дифференциальные уравнения и их применение. Вильнюс: ИФМ АН Лит. ССР, 1976. — Вып. 16. — С. 87−94..

110. Саульев В. К. О нахождении собственных значений методом сеток // ДАН СССР. 1954. — Т. 94, № 6. — С. 1003−1006. •.

111. Саульев В. К. Об оценке погрешности при нахождении собственных функций методом конечных разностей // Вычислит, матем.- М.: АН СССР, 1957. С. 87−115..

112. Саульев В. К. К решению задачи о собственных значениях методом конечных разностей // Вычислит, матем. и вычислит, техн.- М.: АН СССР, 1965. № 2. — С. 116−144.t.

113. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979..

114. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988..

115. Соловьёв С. И. О спектре конечно-элементной аппроксимации задачи на собственные значения для оператора Лапласа. ВИНИТИ, № 5516−84 Деп. — Казань: Казанский государственный университет, 1984. — 12 с..

116. Соловьёв С. И. Быстрые методы решения сеточных схем МКЭ •второго порядка точности для уравнения Пуассона в прямоугольнике // Изв. вузов. Математика. 1985. — № 10. — С. 71−74..

117. Соловьёв С. И. Метод Фурье для конечно-элементной аппроксиSмацнн уравнения Пуассона // Сеточные методы решения дифференциальных уравнений / Ред. А. Д. Ляшко. — Казань: Казанский государственный университет, 1986. С. 64−78..

118. Соловьёв С. И. Быстрые методы решения сеточных схем МКЭ повышенного порядка точности // Математическое моделирование в науке и технике. Тезисы докладов Всесоюзной школы-семинара (Пермь, 9−15 июня 1986 года). Пермь, 1986. — С. 269..

119. Соловьёв С. И. Быстрый прямой метод решения схем МКЭ с эрмитовыми бикубическими элементами // Изв. вузов. Математика. 1990. — № 8. — С. 87−89..

120. Соловьёв С. И. Быстрый прямой метод решения эрмитовых схем МКЭ четвертого порядка для уравнения Пуассона // Исследования по прикладной математике / Ред. B.C. Мокейчев. Казань: Казанский государственный университет, 1992. — Вып. 20. С. 121−130..

121. Соловьёв С. И. Погрешность метода Бубнова-Галеркина с возмущениями для симметричных спектральных задач с нелинейным вхождением параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1992. Т. 32, № 5. — С. 675−691..

122. Соловьёв С. И. Аппроксимация симметричных спектральных задач с нелинейным вхождением параметра // Изв. вузов. Математика. 1993. — № 10. — С. 60−68..

123. Соловьёв С. И. Оценки погрешности метода конечных элементов для симметричных спектральных задач с нелинейным вхождением параметра // Изв. вузов. Математика. 1994. — № 9. -С. 70−77..

124. Соловьёв С. И. Суперсходимость конечно-элементных аппроксимаций собственных функций // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 7. С. 1230−1238..

125. Соловьёв С. И. Метод конечных элементов для симметричных задач на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37, № 11. С. 1311−1318..

126. Соловьёв С. И. Суперсходимость конечно-элементных аппроксимаций собственных подпространств // Дифференц. уравнения. 2002. — Т. 38, № 5. — С. 710−711..

127. Соловьёв С. И. Приближенные методы для спектральных задач с рациональной зависимостью от параметра // Исследования по прикладной математике и информатике / Ред. И. Б. Бадриев. Казань: Казанское математическое общество, 2006. Вып. 26. -С. 91−95..

128. Соловьёв С. И. Метод Бубнова-Галеркина с возмущениями для спектральных задач // Исследования по прикладной математике и информатике / Ред. И. Б. Бадриев. Казань: Казанское математическое общество, 2006. — Вып. 26. — С. 95−100..

129. Соловьёв С. И. Метод конечных элементов для несамосопряженных спектральных задач // Учёные записки Казанского государственного университета. Серия Физико-математические науки.2006. Т. 148, № 4. — С. 51−62..

130. Сухинин C.B. Собственные колебания около пластины в канале // Прикл. механ. и техн. физ. 1998. — Т. 39, № 2. — С. 78−90..

131. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.- М.: Мир, 1980..

132. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ.- М.: Мир, 1981..

133. Тихонов А. Н., Самарский A.A. Разностная задача Штурма-Лиувилля // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. — Т. 1, № 5. — С. 784−805..

134. Тихонов А. Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977..

135. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980..

136. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970..

137. Уилкинсон Дж.Х., Райнш К. Х. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976..

138. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. -М.: Мир, 1988..

139. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989..

140. Христенко A.C. Колебания непологих цилиндрических оболочек, загруженных распределенными и сосредоточенными массами // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела. 1972. — № 4. — С. 116— 122..

141. Шайдуров В. В. Многосеточные методы конечных элементов. -М.: Наука, 1989..

142. Шамарин В. В. О методе быстрого преобразования Фурье // Тр. Зап.-Сиб. регион. НИИ Госкомгидромета. 1984. — № 63. — С. 9094..

143. Andreev A.B. Superconvergence of the gradient for linear triangle elements for elliptic and parabolic equations // C.R. Acad. Bulgare Sei. 1984. — V. 37. — P. 293−296..

144. Andreev A.B., Lazarov R.D. Superconvergence of the gradient for quadratic triangular finite elements // Numer. Methods for PDE. -1988. V. 4. — P. 15−32..

145. Apel Th., Sandig A.-M., Solov’ev S.I. Computation of 3D vertex singularities for linear elasticity: Error estimates for a finite element method on graded meshes. Preprint SFB393/01−33 — Chemnitz: Technische Universitat Chemnitz, 2001. — 32 p..

146. Apel Th., Sandig A.-M., Solov’ev S.I. Computation of 3D vertex singularities for linear elasticity: Error estimates for a finite element method on graded meshes // Mathematical Modelling and Numerical Analysis. 2002. — V. 36, № 6. — P. 1043−1070..

147. Babuska I., Osborn J.E. Eigenvalue problems // Handbook of numerical analysis. V. II. Finite element methods / Ed. by P.G. Ciariet, J.L. Lions. Amsterdam: North-Holland, 1991. — P. 642 787..

148. Bakker M. One dimensional Galerkin methods and superconvergence at interior nodal points // SIAM J. Numer. Anal. 1984. — V. 21, № 1. — P. 101−110..

149. Bamberger A., Bonnet A.S. Mathematical analysis of the guided modes of an optical fiber // SIAM J. Math. Anal. 1990. — V. 21, № 6. — P. 1487−1510..

150. Banerjee U., Osborn J.E. Estimation of the effect of numerical integration in finite element eigenvalue approximation // Numer. Math. 1990. — V. 56. — P. 735−762..

151. Bank R.E. Marching algorithms for elliptic boundary value problems. II: The variable coefficient case // SIAM J. Numer. Anal. 1977. — V. 14, № 5. — P. 950−970..

152. Bank R.E. Efficient algorithms for solving tensor product finite element equations // Numer. Math. 1978. — V. 31. — P. 49−61..

153. Bank R.E., Rose D.J. An 0(n2) method for solving constant coefficient boundary value problems in two dimensions // SIAM J. Numer. Anal. 1975. — V. 12, № 4. — P. 529−540..

154. Bank R.E., Rose D.J. Marching algorithms for elliptic boundary value problems. I: The constant coefficient case // SIAM J. Numer. Anal. 1977. — V. 14, № 5. — P. 792−829..

155. Betcke M., Voss H. Restarting projection methods for rational eigenproblems // Mathematical Modelling and Analysis. 2008. -V. 13. — P. 171−182..

156. Bharadwaj K.K., Kadalbajoo M.K., Sankar R. Symmetric marching technique for the Poisson equation. I: Dirichlet boundary conditions // Applied mathematics and computation. 1984. — V. 15. — P. 137−149..

157. Birkhoff G., de Boor C. Piecewise polynomial interpolation and approximation // Approximation of functions / Ed. by H.L. Garabedian. New York: Elsevier, 1965. — P. 164−190..

158. Birkhoff G., de Boor C., Swartz B., Wendroff B. Rayleigh-Ritz approximation by piecewise cubic polinomials // SIAM J. Numer. Anal. 1966. — V. 3, № 2. — P. 188−203..

159. Bonnet-Ben Dhia A.S., Joly P. Mathematical analysis of guided water waves // SIAM J. Appl. Math. 1993. — V. 53, № 6. — P. 1507−1550..

160. Ciarlet P.G., Schultz M.H., Varga R.S. Numerical methods of high-order accuracy for nonlinear boundary value problems. III. Eigenvalue problems // Numer. Math. 1968. — V. 12. — P. 120 133..

161. Goolin A.V., Kartyshov S.V. Numerical study of stability and nonlinear eigenvalue problems // Surv. Math. Ind. 1993. — V. 3. -P. 29−48..

162. Dautov R.Z., Lyashko A.D., Solov’ev S.I. The bisection method for symmetric eigenvalue problems with a parameter entering nonlinearly // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1994. -V. 9, № 5. — P. 417−427..

163. Fix G.J. Higher-order Rayleigh-Ritz approximations //J. Math. Mech. 1969. — V. 18, № 7. — P. 645−657..

164. Fix G.J. Eigenvalue approximation by the finite element method // Advances in Mathematics. 1973. — V. 10, № 7. — P. 300−316..

165. Houstis E.N., Papatheodorou T.S. Higher-order fast elliptic equation solver // ACM Transactions on Mathematical software. 1979. -V. 5, № 4. — P. 431−441..

166. Kantcev V., Lazarov R. Superconvergence of the gradient of linear finite elements for 3D Poisson equation // Proc. Symposium on Optimal Algorithms. Sofia: Sendov, 1986. — P. 172−182..

167. Karma 0.0. Approximation in eigenvalue problems for holomorphic Fredholm operator functions. I. // Numer. Funct. Anal. Optimiz. -1996. V. 17. — P. 365−387..

168. Karma 0.0. Approximation in eigenvalue problems for holomorphic Fredholm operator functions. II. Convergence rate // Numer. Funct. Anal. Optimiz. 1996. — V. 17. — P. 389−408..

169. Knyazev A.V. Preconditioned eigensolvers an oxymoron? // Electron. Trans. Numer. Anal. — 1998. -V.7. P. 104−123..

170. Knyazev A.V. Preconditioned eigensolvers // Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems: A Practical Guide / Ed. by Z. Bai, J. Demmel, J. Dongarra, A. Ruhe, and H. van der Vorst.- Philadelphia: SIAM, 2000. Section 11.3. — P. 352−368..

171. Knyazev A.V. Toward the optimal preconditioned eigensolver: locally optimal block preconditioned conjugate gradient method // SIAM J. Sei. Comput. 2001. — V. 23. — P. 517−541..

172. Knyazev A.V., Neymeyr K. A geometric theory for preconditioned inverse iteration III: A short and sharp convergence estimate for generalized eigenvalue problems // Linear Algebra Appl. 2003. -V. 358. — P. 95−114..

173. Kozlov V.A., Maz’ya V.G., Rossmann J. Spectral problems associated with corner singularities of solutions to elliptic equations.- American Mathematical Society, 2000..

174. Kolata W.G. Approximation in variationally posed eigenvalue problems // Numer. Math. 1978. — V. 29. — P. 159−171..

175. Krizek M., Neittaanmaki P. Superconvergence phenomenon in the finite element method arising from averaging gradients // Numer. Math. 1984. — V. 45. — P. 105−116..

176. Krizek M., Neittaanmaki P. On a global superconvergence of the gradient of linear triangular elements // Computational and Applied Mathematics. 1987. — V. 18. — P. 221−233..

177. Krizek M., Neittaanmaki P. On superconvergence techniques // Acta applicandae mathematicae. 1987. — V. 9. — P. 175−198..

178. Mazurenko L., Voss H. Low rank rational perturbations of linear symmetric eigenproblems // Z. Angew. Math. Mech. 2006. — V. 86, № 8. — P. 606−616..

179. Mehrmann V., Voss H. Nonlinear Eigenvalue Problems: A Challenge for Modern Eigenvalue Methods // GAMM Mitteilungen. 2004. -V. 27. — P. 121−152..

180. Neymeyr K. A geometric theory for preconditioned inverse iteration I: Extrema of the Rayleigh quotient // Linear Algebra Appl. 2001. V. 322. P. 61−85..

181. Neymeyr K. A geometric theory for preconditioned inverse iteration II: Convergence estimates // Linear Algebra Appl. 2001. — V. 322. P. 87−104..

182. Lyashko A.D., Solov’ev S.I. Fourier method of solution of FE systems with Hermite elements for Poisson equation // Sov. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1991. — V. 6, № 2. — P. 121−129..

183. Osborn J.E. Spectral approximation for compact operators // Math. Comp. 1975. — V. 29. — P. 712−725..

184. Peters G., Wilkinson J.H. Eigenvalues of Ax — ABx with band simmetric A and B // Comput. J. 1969. — V. 12, № 4. — P. 398 404..

185. Pierce J.G., Varga R.S. Higher order convergence results for the Rayleigh-Ritz method applied to eigenvalue problems: II. Improved error bounds for eigenfunctions // Numer. Math. 1972. — V. 19, № 1. — P. 155−169..

186. Ruhe A. Algorithms for the nonlinear eigenvalue problem // SIAM J. Numer. Anal. 1973. — V. 10. — P. 674−689..

187. Solov’ev S.I. Convergence of the modified subspace iteration method for nonlinear eigenvalue problems. Preprint SFB393/99−35 -Chemnitz: Technische Universitat Chemnitz, 1999. — 15 p..

188. Solov’ev S.I. Preconditioned gradient iterative methods for nonlinear eigenvalue problems. Preprint SFB393/00−28 — Chemnitz: Technische Universitat Chemnitz, 2000, — 17 p..

189. Solov’ev S.I. Existence of the guided modes of an optical fiber.- Preprint SFB393/03−02 Chemnitz: Technische Universitat Chemnitz, 2003. — 21 p..

190. Solov’ev S.I. Eigenvibrations of a plate with elastically attached load. Preprint SFB393/03−06 — Chemnitz: Technische Universitat Chemnitz, 2003. — 18 p..

191. Solov’ev S.I. Preconditioned iterative methods for monotone nonlinear eigenvalue problems Preprint SFB393/03−08. -Chemnitz: Technische Universitat Chemnitz, 2003. — 22 p..

192. Solov’ev S.I. Vibrations of plates with masses. Preprint SFB393/03−18. — Chemnitz: Technische Universitat Chemnitz, 2003. -7 p..

193. Solov’ev S.I. Preconditioned iterative methods for a class of nonlinear eigenvalue problems Preprint SFB393/03−19. — Chemnitz: Technische Universitat Chemnitz, 2003. — 18 p..

194. Solov’ev S.I. Preconditioned iterative methods for nonlinear eigenvalue problems // Abstracts. Einfuhrungstagung Chemnitz (Chemnitz, November 20−21, 2003).' Bonn: Alexander von Humboldt-Stiftung, 2003. — P. 46..

195. Solov’ev S.I. Preconditioned iterative methods for a class of nonlinear eigenvalue problems // Linear Algebra and its Applications. 2006. V. 41, № 1. P. 210−229..

196. Sweet R.A. A cyclic reduction algorithm for solving block tridiagonal systems of arbitrary dimension // SIAM J. Numer. Anal. 1977. -V. 14, № 4. — P. 706−720..

197. Temperton C. Direct methods for the solution of the discrete Poisson equation: Some comparisons // Journal of Computational Physics. -1979.-V. 31, № 4.-P. 1−20..

198. Voss H. A rational spectral problem in fluid-solid vibration // Electronic Transactions on Numerical Analysis. 2003. — V. 16. -P. 94−106..

199. Voss H. An Arnoldi method for nonlinear eigenvalue problems // BIT Numerical Mathematics. 2004. — V. 44. — P. 387−401..

200. Voss H. Iterative projections methods for sparse nonlinear eigenproblems // Applied Mathematics and Mechanics. 2004. -V. 4. — P. 722−725..

201. Wahlbin L.B. Superconvergence in Galerkin finite element methods // Lecture Notes in Mathematics, 1605. Berlin: Springer-Verlag, 1995..

202. Weinberger H.F. Variational methods for eigenvalue approximation. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1974..

203. Wendroff B. Bounds for eigenvalues of some differential operators by Rayleigh-Ritz method // Math. Comp. 1965. — V. 19, № 4. — P. 218−224..