Интегрируемость струнных сигма-моделей, связанных с калибровочными теориями

Квантовая теория калибровочных полей служит математическим аппаратом современной физики элементарных частиц и потому лежит в основе современного понимания фундаментальных законов природы. Классическая электродинамическая теория Максвелла, а затем и ее квантовый аналог, построенный Фейнманом, Швингером и др., описывается калибровочной теорией с простейшей абелевой калибровочной группой 17(1). Математическая структура этой теории хорошо изучена, а вычисления дают потрясающе точные экспериментальные предсказания благодаря тому, что так называемая константа связи в этой теории, характеризующая силу взаимодействия электронов и позитронов с электромагнитным полем, невелика (как известно, постоянная тонкой структуры при нормальных энергиях равна примерно 1/137). Помимо электродинамики, стандартная модель физики элементарных частиц также описывает слабые и сильные взаимодействия, причем слабые и электромагнитные взаимодействия объединены неабелевой калибровочной группой 5?/(2) х 11(1), в то время как сильные взаимодействия описываются также неабелевой группой 5?/(3) (часто называемой группой «цвета»).

Иными словами, физические явления, связанные со слабыми и сильными взаимодействиями, описываются при помощи неабелевой калиб.

1Теория сильных взаимодействии, основанная на калибровочной группе 5С/(3), называется квантовой хромодинамикой. ровочной симметрии. Несмотря на такое сходство, существует принципиальная разница между теориями сильных и слабых взаимодействий. В соответствии с названиями, константа связи в слабых процессах мала, а в сильных велика. Это означает, что теория возмущений по константе связи неприменима для описания сильных взаимодействий при нормальных энергиях. Существует и физическое подтверждение неприменимости теории возмущений в реальной ситуации, а именно несовпадение асимптотического спектра частиц в теории с нулевой константой связи и в реальном мире. Действительно, квантовая хромодинамика при нулевой константе связи предсказывает наличие безмассовых глюонов и — безмассовых либо массивных — свободных кварков. Однако ни те, ни другие, в природе не наблюдаются. Наблюдаются лишь связанные состояния кварков (мезоны в случае двух кварков и барионы в случае трех), а гипотетические связанные состояния глюонов — глюболлы — вообще до сих пор не открыты. Как должно быть ясно из предшествующего обсуждения, данное несогласие теории и эксперимента обычно относят на счет большой константы связи, или, другими словами, на счет неприменимости обычной теории возмущений. Это означает, что принимаемое в обычной теории возмущений ведущее приближение — приближение свободных полей — в данном случае не подходит. Поэтому важнейшая задача состоит в нахождении другого, более подходящего, ведущего приближения, которое позволило бы проводить вычисления различных параметров элементарных частиц в виде теории возмущений вблизи этого главного приближения. Эта задача, известная также как проблема кон-файнмента кварков, а также тесно связанная с ней задача о появлении массовой щели в неабелевой теории Янга-Миллса, являются первостепенными задачами в теории квантовых калибровочных полей уже более.

40 лет, однако до сих пор являются нерешенными 2. Заметим, что решение этих задач, скорее всего, будет тесно связано с математически стройным построением полной теории квантовых калибровочных полей (что также называется «задачей о существовании теории Янга-Миллса в четырехмерном пространстве-времени»). В частности, необходимо будет указать математически корректное правило работы с расходящимися рядами теории возмущений. Тем не менее, несмотря на то что до сих пор нет удовлетворительного описания «из первых принципов» неабелевой теории Янга-Миллса при нормальных энергиях, существует приемлемая качественная картина.

Важный новый метод описания неабелевых калибровочных теорий ^ - при больших константах связи был предложен в работе Х. Малдасены [80]. Малдасена рассмотрел теорию Янга-Миллса в 3+1 измерениях с максимально возможной суперсимметрией — так называемую теорию Jf = 4 супер-Янга-Миллса. В Главе 1 мы дадим более полное описание данной теории, а пока достаточно заметить, что лагранжиан теории инвариантен относительно четырех майорановских суперзарядов. Теория с таким количеством суперсимметрий единственна (в отличие от теорий с меньшим количеством суперсимметрий), или, более точно, существует двухпараметрическое семейство таких теорий, параметризуемое константой связи д и «рангом» калибровочной группы N (например, в случае группы U (M) имеем N — М). Более чем за двадцать лет до работы Х. Малдасены Г.'т Хоофт указал на определенные (по крайней мере качественные) упрощения рядов теории возмущений, которые возникают в пределе N —У оо, д —> 0, А = g2N = const. С тех пор данный предел.

23адача о массовой щели в теории Янга-Миллса является одной из «задач тысячелетия», предложенных Институтом Клэя в США и за решение каждой из которых обещана награда в 1 миллион долларов. называется пределом 'т Хоофта, а константа Л — параметром, или константой, 'т Хоофта. Точно такой же предел рассмотрел и Х. Малдасена в своей работе. Неожиданное утверждение Х. Малдасены состояло в том, что предел 'т Хоофта теории Af = 4 супер-Янга-Миллса в определенном смысле эквивалентен сигма-модели теории IIB суперструн, распространяющихся в пространстве AdS$ х S5 (здесь AdS — пространство анти-деСиттера, а S — сфера с обычной метрикой). Более подробно данная эквивалентность была разъяснена в работе Э. Виттена [103]. В частности, в данной работе показано, что четырехмерное пространство Мин-ковского возникает на проективной «бесконечности» пространства AdS. Открытая в работе [80] эквивалентность получила название AdS/CFT соответствия.

Отметим, что, несмотря на то что внешне лагранжиан теории с АГ = 4 суперсимметриями кажется лишь малым усложнением обычной калибровочной теории, связанным с наличием «полей материи», на самом деле, максимально симметричная теория обладает одной важной особенностью, отличающей ее от менее симметричных аналогов. Дело в том, что эта теория является инвариантной относительно конформных преобразований на квантовом уровне. На классическом уровне любая калибровочная теория является конформно-инвариантной, если поля материи безмассовы, однако на квантовом уровне в абсолютном большинстве случаев это уже не так вследствие необходимости перенормировки поля, массы и заряда. Однако именно в максимально симметрической теории бета-функция константы связи оказывается равной нулю. Отрицательное следствие данного наблюдения состоит в том, что конформная теория не может претендовать на роль теории элементарных частиц, так как в ней все явления выглядят одинаково на всех пространственно-временных масштабах, в частности, невозможно определить состояния рассеяния (формально это проявляется в появлении инфракрасных рас-ходимостей).

Следует заметить, что важная черта AdS/CFT соответствия состоит в том, что константы связи двух теорий на разных сторонах соответствия обратно пропорциональны друг другу. Действительно, константой связи струнной сигма-модели является квадрат радиуса пространства AdS: R ос л/А. Предел слабой связи сигма-модели соответствует большому радиусу, т. е. большим значениям параметра 'т Хоофта. Именно это свойство и позволяет при помощи AdS/CFT соответствия исследовать область сильной связи калибровочной теории.

Со времени появления работы [80] был достигнут значительный прогресс в изучении AdS/CFT соответствия. Во-первых, было построено действие Грина-Шварца струнной сигма-модели для случая таргет-пространства AdS^xS5 [86] (напомним, в стандартных учебниках обычно рассматривается случай таргет-пространства R10). Предел большой константы 'т Хоофта соответствует классическому пределу в сигма-модели, поэтому знание действия Грина-Шварца позволило, в частности, рассмотреть квазиклассические поправки в струнной сигма-модели к различным классическим решениям. В качестве такого решения можно выбрать, например, светоподобную (нулевую) геодезическую [33], тогда соответствующий предел называется пределом «плоской волны» — с геометрической точки зрения он отвечает разложению метрики вблизи нулевой геодезической (т.н. предел Пенроуза).В свою очередь, в теории поля такой предел возникает при рассмотрении длинных операторов вида tr (YkZJ), где Y и Z — комплексные скалярные поля, к фиксировано, a J -4 оо, А —> оо, J/лД = const. Другое интересное классическое решение, которому, в частности, уделено большое внимание в диссертации, — это так называемая «вращающаяся струна» [64], иными словами струна, вращающаяся в пространстве А<18 вокруг своего центра масс. В калибровочной теории такому решению двойственны операторы вида Ьг (ф03ф)7 где 5 —оо, т. е. с большим числом производных. Отметим, что ведущая квазиклассическая поправка к энергии такого решения вычислена в [51].

Однако основное продвижение в исследованиях заключалось в том, что были открыты свойства интегрируемости теории Янга-Миллса с максимальной суперсимметрией, а также сигма-модели теории струн в Ас18 $ х 55. Термин «интегрируемость» в данном случае используется в смысле квантовых интегрируемых систем и означает появление бесконечного набора коммутирующих операторов, в результате чего определенные величины удается вычислить точно при любых значениях константы связи. Тем не менее, интегрируемость проявляется в калибровочной теории и в струнной сигма-модели по-разному. Было показано [32], что классические уравнения движения струнной сигма-модели можно записать в лаксовой форме, или в виде уравнения нулевой кривизны од-нопараметрического семейства связностей. С точки зрения классической механики данной системы именно это приводит к тому, что существует бесконечное число интегралов движения, находящихся в инволюции. В N = 4 теории Янга-Миллса рассматривают составные калибровочно-инвариаптные операторы, т. е. локальные (зависящие от одной точки х пространства Минковского) калибровочно-инвариантные функции от элементарных операторов А^, ф, ф (здесь А^ — калибровочное поле, ф — скалярные поля, ф — спинорные поля). Несмотря на то что, как говорилось выше, рассматриваемая теория является конформной, эти операторы могут иметь ненулевые (зависящие от параметра 'т Хоофта А) аномальные размерности. Оказывается [88], вычисление этих размерностей (по крайней мере в однопетлевом приближении) сводится к диагонализации гамильтониана определенной спиновой цепочки. Гамильтониан этой цепочки интегрируем — это означает, что существует бесконечное число операторов, действующих в гильбертовом пространстве данной цепочки, коммутирующих между собой и с этим гамильтонианом. Данное свойство совсем не тривиально, и оно позволяет, в частности, задать спектр гамильтониана как решение системы алгебраических уравнений (уравнений Бете). Тем не менее, работа [88] посвящена исследованию однопетле-вого приближения, и возникающая при этом XXX цепочка Гейзенберга описывает взаимодействие соседних спинов. Однако если учесть, например, двухпетлевые поправки, то возникнет модификация этой цепочки, где взаимодействовать будут уже каждые три соседних спина, в трех-петлевом приближении взаимодействуют четыре соседних спина и т. п. Таким ¿-бразом, требовалось обобщение уравнений Бете, справедливых в однопетлевом приближении. Окончательный ответ на данный вопрос был дан в работе [31] — в ней был выписан полный набор уравнений Бете, справедливый во всех порядах теории возмущений при условии, что рассматриваемые составные операторы имеют бесконечную длину. Данный результат получил название в литературе «асимптотического всепетлево-го анзаца Бете» (ААБ). Здесь слово «асимптотический» указывает как раз на то, что операторы, аномальные размерности которых задаются этими уравнениями, имеют бесконечную длину. Как было впервые показано в работе [7], в случае операторов конечной длины в определенном порядке теории возмущений возникают поправки к решению уравнений ААБ. Неточность ААБ связана с тем, что в некотором порядке теории возмущений радиус взаимодействия спинов в спиновой цепочке начинает превышать длину спиновой цепочки. Такие «дальние» взаимодействия получили название обертывающих. Следует отметить, что до сих пор не существует последовательного метода их учета с помощью методов интегрируемых спиновых цепочек. Тем не менее, с точки зрения струнной сигма-модели эти «обертывающие» поправки можно учесть — оказывается, они совпадают с поправками на конечную длину мирового листа струны (операторы бесконечной длины в калибровочной теории соответствуют бесконечной длине струны, или, как говорят, декомпак-тифицированному мировому листу). В принципе существует [79] общий метод (Люшера) подсчета ведущей поправки на конечный объем в произвольной релятивистской теории (теория струн в калибровке светового конуса не является лоренц-инвариантной на мировой поверхности, поэтому для рассмотрения этого случая потребовалось обобщение метода Люшера [72]). В частности, вычисление уже этой ведущей поправки в струнной сигма-модели дало возможность вычислить четырехпетлевую аномальную размерность так называемого «оператора Кониши» — наиболее короткого нетривиального оператора в N = 4 теории супер-Янга-Миллса [24]. Для сравнения, вычисление этой величины обычными методами потребовало рассмотрения сотен диаграмм Фейнмана [43]. Однако метод Люшера дает лишь ведущую поправку, и встает естественный вопрос о возможности вычисления высших поправок, или, иными словами, о возможности получения спектра теории в конечном объеме при помощи имеющихся сведений о теории в бесконечном объеме (Б-матрице, спектре и т. п.). В случае интегрируемой теории это оказывается возможным. Для изучения релятивистских двумерных интегрируемых теорий в конечном объеме в конце 80-х — начале 90-х годов был построен метод, получивший название «термодинамического анзаца Бете» [105]- [106]. Согласно этому методу, изучение интегрируемой теории в конечном объеме эквивалентно изучению той же теории при конечной температуре, но в бесконечном объеме. Решение последней задачи не представляет больших проблем, если известен спектр гамильтониана.

Н теории в бесконечном объеме (т.к. решение сводится к вычислению статсуммы Ьт (е~Рн)). В случае нерелятивистской теории, т. е. в рассматриваемом нами случае, для вычисления спектра гамильтониана в конечном объеме необходимо вычислить статсумму при конечной температуре двойственной теории с гамильтонианом Н, однозначным образом определяемым по гамильтониану Н. Этому посвящены работы [12]- [18], и до конца данная задача пока не решена.

Выше мы описали результаты, связанные с изучением Ас18/СРТ соответствия для случая N = 4 теории супер-Янга-Миллса. Со времени появления исходной работы [80] были предложены и другие варианты АёБ/СГТ соответствий. В частности, в работе [78] рассмотрена так называемая ТбТ-деформация Ас13 $ х б" 5 теории, а именно метрика сферы ?>5 подвергается деформации, определяемой параметрами 71,72,73. Эта теория предполагается двойственной несуперсимметричной теории Янга-Миллса с полями материи в й = 3 + 1 (если параметры деформации совпадают, то в теории имеется N = 1 суперсимметрия). Кроме того, для данных теорий также были найдены некоторые признаки интегрируемости. Например, была построена лаксова пара для уравнений движения струнной сигма-модели [45]. Изучению ТбТ-деформированной теории посвящена Глава 2 настоящей диссертации.

Существуют также теории, для которых (согласно гипотезе Малда-сены) существуют Ас18-двойственные аналоги, но которые отличаются от А (18 $ х б15 случая сильнее, чем на простую деформацию. Таргет-пространства всех таких сигма-моделей могут быть записаны в виде Лс?5,£"+1 х М. (плюс фермионы), где М — некоторое компактное пространство. В некоторых случаях эти суперсимметричные пространства допускают достаточно большую группу изометрий и суперсимметрий, в результате чего они представляют собой факторпространства этих больших групп (супер)симметрий. В случае, когда соответствующая алгебра симметрии допускает Z4 градуировку, лаксова пара в классической сигма-модели строится стандартным образом [32]. Все такие теории (сигма-модели с /^-градуировкой и центральным зарядом с = 26) были классифицированы в работе [108]. Одним из таких интересных примеров является сигма-модель для струн, распространяющихся в пространстве AcLSa х CP3 [1]. Двойственной ей является теория Черна-Саймонса с Jf — 6 суперсимметрией в трехмерном пространстве — эта теория, как и N — 4 супер-Янг-Миллс, является конформной. Изучению этого примера AdS/CFT соответствия посвящены главы 3, 4 и 5 диссертации.

Как обсуждалось выше, сама по себе AI = 4 теория супер-Янга-Миллса не может претендовать на роль физической теории элементарных частиц. Однако можно надеяться, что более физические теории могут быть получены из нее с помощью деформаций, или возмущений. До сих пор на данном пути не было значительных продвижений, и, несомненно, прогресс в этом направлении был бы очень желателен. На первый взгляд может казаться, что деформированные теории, а также варианты AdS/CFT соответствия в других пространственно-временных размерностях являются еще менее физическими. С нашей точки зрения, особый интерес изучение различных вариантов AdS/CFT соответствия представляет для понимания области применимости этой теории в рамках квантовой теории поля. В частности, единственное известное до сих пор обоснование AdS/CFT соответствия — это описанное в оригинальной работе [80], основанное на изучении низкоэнергетического действия большого количества параллельных четырехмерных бран в теории струн (эта аргументация приводится в Главе 1 диссертации). Так как в конечном итоге теория AdS/CFT сводится к двойственности между двумя квантовыми теориями поля (двумерной теорией мирового листа и, например, четырехмерной или трехмерной теорией поля, хотя возможно рассмотрение калибровочных теорий и в других размерностях), то естественным является вопрос о том, возможно ли «увидеть» появление данной двойственности непосредственно в квантовой теории поля, без какой бы то ни было аппеляции к теории струн. Несмотря на то что на качественном уровне такая аналогия кажется весьма уместной, более того она была предложена еще в 70-х годах [69], до сих пор не существует ни одного количественного описания данного явления. Мы надеемся, что изучение разных вариантов АсШ/СГТ соответствия может способствовать продвижению в этом направлении.

Диссертация состоит из пяти глав.

Заключение

.

Перечислим основные результаты работы, выдвигаемые на защиту:

1. Получена ведущая поправка на конечный объем дисперсионного соотношения солитонного решения струнной сигма-модели (так называемого «гигантского магнона») в случае 7-деформированного пространства AdSb х Sbr.

2. Получено центральное расширение алгебры симметрии суперструны, распространяющейся в пространстве AdS4 х CP3, в калибровке светового конуса. Это расширение возникает при отказе от «условия соответствия уровней» в пределе бесконечного импульса на световом конусе (что эквивалентно тому, что длина струны эффективно обращается в бесконечность).

3. Получен спектр бозонных и фермионных флуктуаций при разложении действия суперструны вблизи решения с двумя спинами. Показано, что в пределе, когда один из спинов обращается в бесконечность, некоторые из полей, как бозонных, так и фермионных, становятся безмассовыми.

4. Получен полный лагранжиан, описывающий динамику полученных в п. З безмассовых мод.

Все выдвигаемые на защиту результаты получены автором данной диссертации, являются новыми и опубликованы в следующих работах:

1. D.V.Bykov, S.A.Frolov, Giant magnons in TsT-transformedAdS5xS5,.

JHEP0807:071 (2008), arXiv:0805.1070.

2. L.F.Alday, G.E.Arutyunov, D.V.Bykov, Semiclassical Quantization of Spinning Strings in AdS4 x CP3, JHEP0811:089 (2008), arXiv:0807.4400.

3. Д. В. Быков, Алгебра симметрии суперструны в AdS± х CP3, ТМФ, 2010, 163:1, 114−131 (англ. D.V.Bykov, Off-shell symmetry algebra of the AdS4 x CP3 superstring, Theor.Math.Phys. Vol:163, Issue: 1, Pages:114−131), arXiv:0904.0208.

4. D.V.Bykov, The worldsheet low-energy limit of the AdS4 x CP3 super-string, Nuclear Physics, Section В 838 (2010), pp. 47−74, arXiv:1003.2199.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах отдела Теоретической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН, на семинарах Факультета Математики Трини-ти Колледжа, Дублин, Ирландия, на семинарах Института Теоретической Физики Университета Сан-Паулу, Бразилия, а также на следующих международных конференциях:

1. 15-я ирландская конференция по квантовой теории поля, Мэйнут, Ирландия, май 2008 г.

2. 4-я конференция в рамках программы Европейского Союза EU-RTN, Варна, Болгария, сентябрь 2008 г.

3. 16-я ирландская конференция по квантовой теории поля, Дублин, Ирландия, май 2009 г.

4. Конференция «Калибровочные поля. Вчера. Сегодня. Завтра.», Москва, Россия, январь 2010 г.

5. Конференция «Кварки 2010», Коломна, Россия, июнь 2010 г.

6. Конференция «Интегрируемость в калибровочной теории и теории струн», Стокгольм, Швеция, июнь 2010 г.

Автор выражает признательность всем сотрудникам отдела Теоретической физики Математического института им. В. А. Стеклова за полезные обсуждения и создание благоприятных условий для работы. Я особенно благодарен своему руководителю академику А. А. Славнову за постоянное научное руководство и поддержку во время моего обучения в аспирантуре и при написании работы. Также я хочу выразить благодарность профессору С. А. Фролову за многочисленные полезные обсуждения и сотрудничество, без которых представленная работа не могла бы быть выполнена. Кроме того, я хочу поблагодарить К. Л. Зарембо, П. П. Кулиша, И. Я. Арефьеву, Г. Э. Арутюнова, Р. Сузуки, О. Квинна, С. Ко-вача, Н. Берковица, А. К. Погребкова, С. Черкиса, Д. П. Сорокина за многочисленные полезные обсуждения различных вопросов, связанных с моим исследованием. Помимо этого, я благодарен своим оппонентам Ю. М. Макеенко и С. В. Троицкому за внимание к моей работе.