Условия сохранения глобальной разрешимости и оптимизация нелинейных управляемых систем Гурса-Дарбу

Общая характеристика диссертации.

Предмет исследования. В диссертации изучаются нелинейные управляемые системы Гурса-Дарбу общего вида и задачи оптимизации таких систем.

Актуальность темы

Управляемая задача Гурса-Дарбу.

Сt) = 9(t, x (t), x’tl (t), x't2 (t), u (t)), t = {t t2} e П = [0, l]2, (0.0.1) x{t)=.

В диссертации изучается нелинейная управляемая система Гурса-Дарбу общего вида (0.0.1)-(0.0.2) с каратеодориевской функцией правой части g (t, l, v). Рассматривается случай, когда решения задачи (0.0.1)-(0.0.2) необходимо искать в классе абсолютно непрерывных функций с суммируемыми в некоторой степени р < оо смешанной и первыми производными (такой класс будем обозначать АС&trade-). В последние годы к задачам оптимизации управляемых систем Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемыми в некоторой степени смешанной и первыми производными наблюдается устойчивый интерес (см., например, [67, 86, 89, 90]). Однако, случай систем Гурса-Дарбу общего вида (0.0.1)-(0.0.2) с каратеодориевской функцией правой части в математической теории оптимального управления изучен в этом смысле еще слабо. В частности, для этого случая еще недостаточно изучены такие важные вопросы теории оптимального управления, как условия сохранения глобальной разрешимости управляемой системы при возмущении управления, принцип максимума, особые управления принципа максимума. Именно эти вопросы и рассматриваются в диссертации. Поясним сказанное, предварительно заметив: при решении всех этих вопросов принципиальная техническая трудность, отличающая рассматриваемый в диссертации случай АСр от достаточно хорошо изученного случая ограниченных смешанной и первых производных, коротко говоря, состоит в том, что здесь при линеаризации эквивалентного задаче (0.0.1)-(0.0.2) функционально-интегрального уравнения главные операторы линеаризованного уравнения, вообще говоря, не имеют квазинильпо-тентных мажорант, обеспечивающих в случае ограниченных производных решающие дело равномерные оценкиуказанная трудность преодолевается в диссертации привлечением введенного в [82] понятия равностепенно квазинильпотентного семейства операторов.

Об условиях сохранения глобальной разрешимости. В теории оптимального управления при выводе необходимых условий оптимальности, при обосновании численных методов, при изучении задач с приближенно известными исходными данными и в целом ряде других ситуаций часто бывает, что оптимизационная задача такова, что интерес представляют только глобальные решения управляемой системы (начально-краевой задачи). Важным становится вопрос (см., например, [74], [77, с.12−13]) о достаточных условиях, при которых те или иные возмущения (вариации) управления не выводят его из класса управлений, каждому из которых отвечает глобальное решение управляемой системы, то есть вопрос об условиях сохранения глобальной разрешимости управляемой системы или, иначе говоря, вопрос о достаточных условиях устойчивости существования глобальных решений (УСГР) по возмущению управления. Так, например, в теории необходимых условий оптимальности недостаток информации об УСГР управляемой начально-краевой задачи по возмущению управления часто вынуждает считать начально-краевую задачу сингулярной в смысле Ж. Л. Лионса [24] и переходить от классического случая «управление —у состояние» к рассмотрению оптимизационных задач в классе пар «управление, состояние», когда «управление» и «состояние» равноправны. При этом теоретические построения в сингулярном случае могут быть существенно более сложными, чем аналогичные построения в несингулярном случае (см., например, вывод необходимых условий оптимальности в сингулярных и несингулярных модельных задачах оптимизации в главах 1, 2 [24]).

Именно для задачи Гурса-Дарбу в [63, 64] были найдены первые достаточно общие условия УСГР по возмущению управления распределенных нелинейных систем (историю вопроса см. в [83]). В [63, 64] рассматривались абсолютно непрерывные решения задачи Гурса-Дарбу с ограниченными смешанной и первыми частными производными (более общие условия УСГР в этом случае были затем доказаны в [73, 75],[77, с.68−70]). В первой главе диссертации получены разнообразные достаточные условия УСГР задачи Гурса-Дарбу общего вида (0.0.1)-(0.0.2) с каратеодориев-ской функцией правой части в классах АС&trade-, р < оо (глава написана по материалам статей [25, 30, 31, 39, 40, 46], видимо, первых работ в указанном направлении).

О принципе максимума. Для задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу А. И. Егоровым (см., например, [17]) была получена одна из первых в классе распределенных систем достаточно общих формулировок необходимых условий оптимальности типа принципа максимума (историю вопроса см. в [16, с.442−450], [52, с.333−345, с.449−450]). Впоследствии вопросы вывода и анализа принципа максимума для различных задач оптимального управления системой Гурса-Дарбу изучали С. С. Ахиев, К. Т. Ахмедов, JT.T. Ащепков, О. В. Васильев, Ф. П. Васильев, В. А. Дыхта, А. И. Егоров, К. А. Лурье, К. Б. Мансимов, A.C. Матвеев, Т. К. Меликов, В. И. Плотников, В. А. Срочко, В. И. Сумин, М. И. Сумин, В. А. Якубович, M.B.Suryanarayana и многие другие (см., например, краткие обзоры [5, с.5−6], [70, с.5], [92], а также работы [11, 57, 63, 66, 85, 91]). Рассматривались самые разные, связанные с принципом максимума, проблемы: вычисление вариаций функционалов, формы записи сопряженной системы (дифференциальная, интегральная, операторная), способы учета разного рода ограничений оптимизационной задачи при выводе принципа максимума и др. Однако, все эти рассмотрения касались прежде всего либо случая решений задачи Гурса-Дарбу с ограниченной смешанной производной (см., например, [11, 57, 63, 66, 91]), либо, в случае решений класса АСр < оо ситуации, когда функция правой части g (t, l, v) непрерывна по совокупности переменных и непрерывно дифференцируема по переменным I (см., например, [57]). Для нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу с полной правой частью, удовлетворяющей условиям типа Каратеодори, в случае решений с суммируемой смешанной производной принцип максимума, видимо, еще не достаточно исследован. Именно в такой ситуации во второй главе диссертации, посвященной принципу максимума и написанной по материалам статей [47, 48], рассматривается терминальная задача оптимизации системы Гурса-Дарбу с ограничениями типа равенства и неравенства, классический объект внимания теории оптимального управления распределенными системами.

Об особых управлениях. Управления, особые в смысле поточечного принципа максимума, на которых он вырождается, играют важную роль в теории оптимизации и ее приложениях (см., например, [6, 9, 18, 19, 59]). Вопросы получения необходимых условий оптимальности особых управлений распределенных систем в основном рассматривались для управляемых систем Гурса-Дарбу и близких к ним (Л.Т.Ащепков, А. Н. Бурдуковский, О. В. Васильев, К. Б. Мансимов, Т. К. Меликов, В. А. Срочко и др.- см., например, [2, 4, 6, 7, 10, 53, 54, 55, 58, 70, 71]). В случае системы Гурса-Дарбу за допустимые брались обычно кусочно-непрерывные управления. Предполагалось, как правило, что каждому допустимому управлению отвечает единственное глобальное решение краевой задачи из класса абсолютно-непрерывных функций с ограниченными смешанной и первыми частными производными (заметим, что принципиально важно изучение более широкого класса управлений — измеримых (см., например, [18, 19], [59, с. 291]), причем без указанного ограничительного условия на разрешимость управляемой краевой задачи). В случае, когда необходимо рассматривать решения задачи Гурса-Дарбу с суммируемой в некоторой степени смешанной производной, особые управления поточечного принципа максимума систематически никем, видимо, не изучались. В диссертации изучаются измеримые особые управления поточечного принципа максимума для терминальной задачи оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу с каратеодориевской правой частью уравнения при достаточно общих условиях, позволяющих искать решения системы в классе функций с суммируемой в степени р > 1 смешанной производной (см. главу 3, написанную по материалам статьи [51]).

Цель работы. Получение достаточных условий сохранения глобальной разрешимости нелинейных управляемых систем Гурса-Дарбу с полной каратеодориевской правой частью общего вида в классах функций с суммируемой смешанной производной, необходимых условий оптимальности типа принципа максимума для терминальных задач оптимизации таких систем, условий вырождения принципа максимума и условий оптимальности соответствующих особых управлений.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории оптимального управления, дифференциальных уравнений с частными производными, функционального анализа и теории функций действительного переменного.

Научная новизна. Получены следующие новые для математической теории оптимального управления результаты, выносимые на защиту:

• Достаточные условия сохранения глобальной разрешимости в классах функций с суммируемой в некоторой степени смешанной производной нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу общего вида с полной каратеодориевской правой частью уравнения при различных условиях на правую часть.

• Необходимые условия оптимальности в виде поточечного принципа максимума для общей терминальной задачи оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу общего вида (с полной каратеодориевской правой частью уравнения), рассматриваемой в классе функций с суммируемой в некоторой степени смешанной производной.

• Условия сильного вырождения особых управлений принципа максимума в терминальной задаче оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу (с каратеодориевской правой частью уравнения), рассматриваемой в классе функций с суммируемой в некоторой степени смешанной производной, и конструктивные необходимые условия оптимальности сильно вырожденных особых управлений.

Степень обоснованности результатов. Все научные положения и выводы диссертационной работы строго математически обоснованы и сформулированы в виде теорем.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты и развитая в ней техника могут быть применены в различных разделах математической теории оптимального управления, теории дифференциальных уравнений с частными производными и теории функционально-операторных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на XII Нижегородской сессии молодых ученых — математические науки (Семенов, 2007) — на XVIII, XIX, XX, XXI весенних воронежских математических школах «Понтрягин-ские чтения» (Воронеж, 2007, 2008, 2009, 2010) — на VII и VIII Всероссийских конференциях «Нелинейные колебания механических систем» (Н.Новгород, 2005, 2008) — на Международной молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2006) — на итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса «Модели, методы и программные средства» в Нижегородском государственном университете (Н.Новгород, 2007) — на Международных конференциях «Кол-могоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики» (Тамбов, 2007), «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2009, 2011) — на XVI Международной конференции «Проблемы теоретической кибернетики» (Н.Новгород, 2011) — на семинаре «Математическая теория оптимального управления» в Нижегородском государственном университете (рук. проф. Сумин В. И. и проф. Сумин М.И.) в 2008;2012 г. г.- на семинаре кафедры прикладной математики Нижегородского государственного технического университета (2012) — на расширенном семинаре кафедры математической физики Нижегородского государственного университета (2012).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех основных разделов (глав) и списка литературы. Основные разделы (главы) разбиты на подразделы (параграфы). Нумерация подразделов двойная: первая цифра — номер основного раздела (главы), вторая — номер подраздела (параграфа). Нумерация формул, теорем и лемм тройная: первая цифра — номер основного раздела (главы), вторая — номер подраздела (параграфа), третья — номер утверждения в текущем подразделе (параграфе). Содержание изложено на 140 страницах, включая список литературы из 92 наименований. Основными утверждениями диссертации являются.

1. Алексеев, В. М. Оптимальное упраление/ В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин. — М.: Наука, 1979. — 429 с.

2. Ащепков, Л. Т. Усиленное условие оптимальности особых управлений в системе Гурса-Дарбу/ Л. Т. Ащепков, О. В. Васильев, И.Л. Коваленок// Дифференц. уравнения. 1980. — Т.16, № 6. — С.1054−1059.

3. Березанский, Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов/ Ю. М. Березанский. — Киев, 1965. — 798 с.

4. Бурдуковский, А. Н. Условия оптимальности особых управлений в задаче Гур-са-Дарбу/ А.Н. Бурдуковский// Управляемые системы. Новосибирск. — 1986. Вып.26. С.16−24.

5. Васильев, О. В. Методы оптимизации и их приложения. Часть 2. Оптимальное управление/ О. В. Васильев, В. А. Срочко, В. А. Терлецкий. — Новосибирск: Наука, 1990. -151 с.

6. Васильев, О. В. Качественные и конструктивные методы оптимизации управляемых процессов с распределенными параметрами/ О. В. Васильев. — Автореф. докт. дисс. Л.: ЛГУ, 1984.

7. Васильев, О. В. Об оптимальности особых управлений в системах с распределенными параметрами/ О.В. Васильев// Управляемые системы. Новосибирск: 1972. — Вып.10. — С.27−34.

8. Васильев, Ф. П. Методы оптимизации/ Ф. П. Васильев. — М.: Факториал, 2002. 824 с.

9. Габасов, Р. Особые оптимальные управления/ Р. Габасов, Ф. М. Кириллова.—М.: Наука, 1973.

10. Габасов, Р. Необходимые условия оптимальности второго порядка для систем с распределенными параметрами/ Р. Габасов, Ф. М. Кириллова, К. Б. Мансимов.- Минск, 1982. 32с. (Препринт/АН БССР. Ин-т математики, №-31).

11. Гаврилов, B.C. Параметрическая оптимизация нелинейных систем Гурса-Дарбу с фазовыми ограничениями/ B.C. Гаврилов, М.И. Сумин// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. — Т. 44, 6. — С. 1002 — 1022.

12. Гельфанд, И. М. Лекции по линейной алгебре/ И. М. Гельфанд. — М.: Наука, 1971. 272 с.

13. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве/ Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. — М.: Наука, 1970. — 536 с.

14. Данилова, O.A. Нетрадиционные условия существования оптимального управления для системы Гурса-Дарбу/ O.A. Данилова, A.C. Матвеев// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1998. — Т. 62, 5. — С. 79 — 102.

15. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория/ Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. М.: ИЛ, 1962.-895 с.

16. Егоров, А. И. Основы теории управления/ А. И. Егоров. — М.: Физматлит, 2004. — 504 с.

17. Егоров, А. И. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые задачи теории инвариантности/ А.И. Егоров// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1965. — Т. 29, ЛД 6. — С. 1205 — 1260.

18. Зеликин, М. И. Синтез оптимальных управлений с накоплением переключений/ М. И. Зеликин, В. Ф. Борисов.// Итоги науки и техники. Серия Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 90. Оптимальное управление 4. М.: ВИНИТИ. 2001.

19. Зеликин, М. И. Оптимальные режимы с учащающимися переключениями в задаче управления балкой Тимошенко/ М. И. Зеликин, Л.А. Манита// Прикл. матем. и мех. 2006. — Т.70, ЛА 2. — С.295−304.

20. Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач/ А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. — М.: Наука, 1974. 480 с.

21. Казимиров, В. И. Абстрактная схема метода вариаций и необходимые условия экстремума/ В. И. Казимиров, В. И. Плотников, И.М. Старобинец// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1985. — Т. 49, Л/" = 1. — С. 141−159.

22. Канторович, Л. В. Функциональный анализ/ Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. — М.: Наука, 1977.-742 с.

23. Красносельский, М. А. Положительные решения операторных уравнений/ М.А. Красносельский—М.: ГИФМЛ, 1962—394 с.

24. Лионе, Ж. Л. Управление сингулярными распределенными системами/ Ж.Л. Лионе—М.: Наука, 1987.-368 с.

25. Лисаченко, И. В. Управляемая задача Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной/ И. В. Лисаченко, В.И. Сумин// Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. Серия Математика. — 2005. — Вып. 1(3). С.88−101.

26. Лисаченко, И. В. Об условиях сохранения глобальной разрешимости управляемой задачи Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко// Нелинейные колебания механических систем: VII Всероссийская научная конф. Труды. — Н. Новгород: 2005. — С.147−149.

27. Лисаченко, И.В. О задаче Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной/ И. В. Лисаченко, В.И. Сумин// Понтрягинские чтения-XVI. Тезисы докл. Воронеж: 2005. — С. 140.

28. Лисаченко, И.В. О сохранении разрешимости в «в целом» задачи Гурса-Дарбу при возмущении управления/ И.В. Лисаченко// Казанское Математическое Общество. Лобачевские чтения-2005. Тезисы докл. — Казань: 2005. — С.89−91.

29. Лисаченко, И.В. О задаче Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной/ И.В. Лисаченко// X Нижегородская сессия молодых ученых. Тезисы докл. — Н. Новгород: 2005. — С. 15.

30. Лисаченко, И. В. Управляемая задача Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной. II/ И. В. Лисаченко, В.И. Сумин// Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. Серия Математика. — 2006. Вып. 1(4). С.65−80.

31. Лисаченко, И.В. О сохранении разрешимости «в целом» задачи Гурса-Дарбу/ И. В. Лисаченко, В.И. Сумин// Потрянгинские чтения XVII. Тезисы докладов. Воронеж: 2006.

32. Лисаченко, И.В. О вариационном принципе максимума для задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко// Казанское Математическое Общество. Лобачевские чтения-2006. Тезисы докл. — Казань: 2006. — С. 154−156.

33. Лисаченко, И. В. Управляемые нелинейные системы типа Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко/ / XI Нижегородская сессия молодых ученых. Тезисы докл. — Н. Новгород: 2006. С. 10−11.

34. Лисаченко, И.В. О сохранении глобальной разрешимости задачи Гурса-Дарбу/ И. В. Лисаченко, В.И. Сумин// Понтрягинские чтения-ХУШ. Тезисы докл. — Воронеж: 2007. С. 108−109.

35. Лисаченко, И. В. Об управляемой задаче Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной/ И. В. Лисаченко, В.И. Сумин// Вестник Тамбовского Университета. Естественные и технические науки. — 2007. — Т. 12, Вып. 4. С. 477−479.

36. Лисаченко, И.В. О принципе максимума для терминальной задачи оптимизации управляемой системы Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко// Труды научной конференции «Модели, методы и программные средства». — Н. Новгород: 2007. — С. 262−265.

37. Лисаченко, И.В. К вопросу о сохранении разрешимости в «целом» задачи Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко// XII Нижегородская сессия молодых ученых. Тезисы докл. — Н. Новгород: 2007. С. 8−9.

38. Лисаченко, И. В. Нелинейная задача Гурса-Дарбу с возмущаемыми правой частью и граничными функциями/ И.В. Лисаченко// Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. — 2008. — Вып.5. — С.107−112.

39. Лисаченко, И. В. Условия сохранения глобальной разрешимости задачи Гурса-Дарбу при возмущении управления/ И. В. Лисаченко, В.И. Сумин/ Деп. в ВИНИТИ 06.02.2008. Л/" = 85 В2008.

40. Лисаченко, И.В. О глобальных решениях задачи Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко// Понтрягинские чтения-XIX. Тезисы докл. — Воронеж: 2008. — С. 129.

41. Лисаченко, И. В. Управляемая задача Гурса-Дарбу: варианты условий сохранения разрешимости «в целом» / И. В. Лисаченко, В.И. Сумин// Понтрягинские чтенияXX. Тезисы докл. Воронеж: 2009. — С. 108−109.

42. Лисаченко, И. В. Нелинейная управляемая задача Гурса-Дарбу: условия сохранения разрешимости «в целом» / И. В. Лисаченко, В.И. Сумин// Вестник Тамбовского Университета. Естественные и технические науки. — 2009. — Т. 14, Вып. 4. С. 736−738.

43. Лисаченко, И. В. Задача оптимизации системы Гурса-Дарбу в классе функций с суммируемой смешанной производной/ И.В. Лисаченко// Понтрягинские чтения-XXI. Тезисы докл. — Воронеж: 2010.

44. Лисаченко, И. В. Нелинейная управляемая задача Гурса-Дарбу: условия сохранения глобальной разрешимости/ И. В. Лисаченко, В.И. Сумин// Дифференц. уравнения. 2011. — Т.47, Л/" = 6. — С. 858−870.

45. Лисаченко, И. В. Об управляемой задаче Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной/ И. В. Лисаченко, В.И. Сумин// Вестник Тамбовского Университета. Естественные и технические науки. — 2011. — Т. 16, Вып. 4. С. 1116−1118.

46. Лисаченко, И. В. Об особых управлениях поточечного принципа максимума для терминальной задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу/ И. В. Лисаченко, В.И. Сумин/ Деп. в ВИНИТИ 13.03.2012 М= 89 В2012. 26 с.

47. Лурье, К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики/ К. А. Лурье. М.: Наука, 1975. — 478 с.

48. Мансимов, К. Б. Оптимальность особых управлений в квазилинейных системах Гурса-Дарбу при наличии ограничений, I/ К.Б. Мансимов// Изв. АН Азерб. ССР. сер. физ.-техн. и мат. наук. 1986. — 3. — С.129−134.

49. Мансимов, К.Б. К теории необходимых условий оптимальности в одной задаче управления системами с распределенными параметрами/ К.Б. Мансимов// ДАН СССР. 1988. — Т.301, Л/*=3. — С.546−550.

50. Мансимов, К. Б. Необходимые условия оптимальности особых процессов в задачах оптимального управления/ К. Б. Мансимов.—Автореф. докт. дисс. Баку: Бакинский гос. ун-т, 1994.

51. Маркус, М. Обзор по теории матриц и матричных неравенств/ М. Маркус, X. Минк. М.: Наука, 1972. — с. 232.

52. Матвеев, A.C. Оптимальное управление некоторыми системами с распределенными параметрами/ A.C. Матвеев, В.А. Якубович// Сибирский матем. журн. 1978. — Т.19, 5. — С.1109 — 1140.

53. Меликов, Т. К. Исследование особых процессов в некоторых оптимальных системах/ Т. К. Меликов. — Автореф. канд. дисс. Баку, 1976. — 17 с.

54. Мордухович, Б. Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления/ Б. Ш. Мордухович. — М.: Наука, 1988.

55. Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной/ И. П. Натансон. — М.: ГИТЛ, 1957. 552 с.

56. Новоженов, М. М. Методы оптимального упраления системами математической физики/ М. М. Новоженов, В. И. Сумин, М. И. Сумин. — Учебное пособие/ Горький, издание ГГУ, 1986. — 87 с.

57. Плотников, В. И. Необходимые условия оптимальности для управляемых систем общего вида / Плотников В.И.// Докл. АН СССР. 1971. — Т. 199, Л/" = 2. -С. 275−278.

58. Плотников, В. И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемых системами Гурса-Дарбу/ В. И. Плотников, В.И. Сумин// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. — Т. 12, 1. — С. 61 — 77.

59. Плотников, В. И. Проблемы устойчивости нелинейных систем Гурса Дарбу/B.И. Плотников, В.И. Сумин// Дифференц. уравнения. — 1972. — Т. 8, Л/" = 5. —C. 845 856.

60. Плотников, В. И. Необходимые и достаточные условия оптимальности и условия единственности оптимизирующих функций для управляемых систем общего вида/ В.И. Плотников// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1972. — Т. 36, 3. -С. 652−679.

61. Плотников, В. И. Оптимизация распределенных систем в лебеговом пространстве/ В. И. Плотников, В.И. Сумин// Сиб. матем. ж. — 1981. — Т.22, ЛА= 6. — С.142−161.

62. Погодаев, Н.И. О решениях системы Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями/ Н.И. Погодаев// Дифференц. уравнения. — 2007. — Т.43, Л/" = 8. — С.1116 1126.

63. Потапов, М. М. Разностная аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления системами Гурса-Дарбу/ М.М. Потапов// Вестник МГУ. Сер. вычислит. матем. и киберн. — 1978. — Я= 2. — С.17 26.

64. Смирнов, В. И. Курс высшей математики. Т.5./ В. И. Смирнов. — М.:ГИФМЛ, 1959. 656 с.

65. Срочко, В. А. Вариационный принцип максимума и методы линеаризации в задачах оптимального управления/ В. А. Срочко. — Иркутск: изд-во Иркутского ун-та, 1989. — 160 с.

66. Срочко, В. А. Условия оптимальности для одного класса систем с распределенными параметрами/ В.А. Срочко// Сиб. математ. журн. — 1976. — Т.17, Л/*= 5. С.1108−1115.

67. Сумин, В.И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами/ В.И. Сумин// Докл. АН СССР. 1989. — Т. 305, Л/" = 5. — С. 1056−1059.

68. Сумин, В.И. О достаточных условиях устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач/ В.И. Сумин// Дифференц. уравнения. — 1990. Т. 26, 12. — С. 2097 — 2109.

69. Сумин, В. И. Об обосновании градиентных методов для распределенных задач оптимального управления/ В.И. Сумин// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1990. Т. 30, № 1. — С. 3−21.

70. Сумин В. И. Функционально-операторные уравнения Вольтерра и устойчивость существования глобальных решений краевых задач// Украинский матем. журн.- 1991. Т.43, № 4. — С. 555−561.

71. Сумин, В. И. Сильное вырождение особых управлений в распределенных задачах оптимизации/ В.И. Сумин// ДАН СССР. 1991. — Т.320, Л/" = 2. — С. 295−299.

72. Сумин, В. И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Часть 1. Вольтерровы уравнения и управляемые начально-краевые задачи/ В. И. Сумин. — Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1992. 110 с.

73. Сумин, В. И. Сильное вырождение особых управлений в задачах оптимизации распределенных систем/ В.И. Сумин// Оптимизация. — Новосибирск: 1993. — М 52(69).- С.74−94.

74. Сумин, В. И. Функциональные вольтерровы уравнения в математической теории оптимального управления распределенными системами/ В. И. Сумин. — Дне. докт. физ.-мат. наук. Н. Новгород, 1998. — 346 с.

75. Сумин, В. И. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и квазинильпотентность/ В. И. Сумин, А.В. Чернов// Дифференц. уравнения. 1998. — Т.34, ЛГ= 10. С. 1402 — 1411.

76. Сумин, В. И. Об управляемых функциональных вольтерровых уравнениях в лебеговых пространствах/ В.И. Сумин/ Деп. в ВИНИТИ 03.09.98. ЛД 2742 В98. 96 с.

77. Сумин, В. И. Управляемые функциональные вольтерровы уравнения в лебеговых пространствах/ В.И. Сумин// Вестник Нижегородского университета. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление.— 1998. — Вып. 2(19). С. 138 — 151.

78. Сумин, В. И. Проблема устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач и вольтерровы функциональные уравнения/ В.И. Сумин// Вестник Нижегородского университета. Серия Математика. — 2003. — Вып. 1. С. 91−108.

79. Сумин, В. И. Вольтерровы функциональные уравнения и принцип максимума для распределенных оптимизационных задач/ В.И. Сумин// Вестник Нижегородского университета. Серия Математика. — 2004. — Вып.1(2). — С. 178−191.

80. Сумин, В. И. Об особых управлениях поточечного принципа максимума в распределенных задачах оптимизации/ В.И. Сумин// Вестник Удмуртского государственного университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2010. Вып. 3. — С. 70−80.

81. Толстоногов, А. А. Теорема существования оптимального управления в задаче Гурса-Дарбу без предположения выпуклости/ А.А. Толстоногов// Изв. РАН. Сер. матем. 2000. — Т.64, ЛД 4. — С.163 — 182.

82. Условия экстремума и конструктивные методы решения в задачах оптимизации гиперболических систем / Под ред. О. В. Васильева. Новосибирск: Наука, 1993.

83. Шефер, X. Топологические векторные пространства/ X. Шефер. — М.: Мир, 1971. 360с.

84. Idczak, D. Stability analysis of solutions to an optimal control problem associated with a Goursat-Darboux problem/ D. Idczak, M. Majewski, S. Walczak// Int. J. Appl. Math. Comput. Sci. 2003. — V.13, № 1. — P.29−44.

85. Idczak, D. The bang-bang principle for the Goursat-Darboux problem/ D. Idczak// Int. J. Contr. 2003. — V.76, № 11. — P.1089 — 1904.

86. Suryanarayana, M.B. Necessary conditions for optimization problems with hyperbolic partial differential equations/ M.B. Suryanarayana// SIAM J. Control. — 1973. — У.11,Л/" = 1.

87. Tuan, H.D. On solution sets of nonconvex Darboux problems and applications to optimal control with endpoint constraints/ H.D. Tuan// J. Austral. Math. Soc. Ser. B. 1996. — 37. — P.354−391.