Полиномиальные модели вещественно-аналитических многообразий и алгебры их автоморфизмов

0.1 Краткий исторический обзор

Теорию многих комплексных переменных от теории одного комплексного переменного отличает ряд замечательных фактов, впервые проявляющихся уже в случае двумерного комплексного пространства. Известно, например, что в С1 область, топологически эквивалентная единичному кругу, эквивалентна ему также и биголоморфно (теорема Римана).

Уже в С2 это не так. Почти любая малая деформация шара приводит к области, биголоморфно не эквивалентной исходному шару. При переходе от отображений областей к отображениям их границ биголоморфной неэквивалентности областей соответствует локальная неэквивалентность их границ.

В С1 два вещественно-аналитических подмногоообразия коразмерности 1 (то есть одномерные кривые) локально биголоморфно эквивалентны. В С2 их аналогом будут (трехмерные) гиперповерхности. Почти всегда они локально не эквивалентны. Это было известно еще А. Пуанкаресм. также [36]. Это новое свойство ростка подмногообразия, возникающее с ростом размерности, называют его аналитической жесткостью.

Появляющееся при переходе к С2 свойство жесткости тесно связано с падением размерности группы биголоморфных автоморфизмов ростка. При переходе от С1 к С2 размерность группы автоморфизмов резко падает. Для одномерной кривой в С1 эта размерность бесконечна. В то же время для ростков трехмерных вещественно-аналитических подмногообразий в С2 ситуация следующая.

• Для вещественной гиперплоскости размерность группы автоморфизмов бесконечна.

• Для ростков, не эквивалентных гиперплоскости, эта размерность не превосходит восьми. Восемь — максимум, достигаемый в случае стандартной трехмерной сферы.

• Для ростков, не эквивалентных сфере, размерность не превосходит трех. Размерность три достигается для гиперповерхностей, однородных в общей точке. Такие гиперповерхности были описаны Э. Картаном [37].

• Гиперповерхность общего положения вообще не имеет автоморфизмов, даже локальных.

Гиперплоскость и гиперсфера, таким образом, представляют собой решения двух экстремальных задач. Гиперплоскость оказывается поверхностью с самой богатой группой, причем размерность этой группы бесконечна. Если же нас интересуют только конечномерные группы, то максимум размерности дает гиперсфера.

Естественно предположить, что эти поверхности будут играть важную роль в изучении отображений, автоморфизмов, инвариантов и вопросах классификации ростков вещественных подмногообразий. И это действительно так. Для решения этого круга задач была разработана эффективная технология, называемая методом модельной поверхности. Ключевым моментом этой технологии является построение «хорошей» модельной поверхности ([38], [12]). Для гиперповерхностей в С2 это наша трехмерная сфера.

При изучении отображений областей, а также вопросов их биголо-морфной эквивалентности помимо возможности перехода от отображений областей к отображениям их границ (гиперповерхностей, то есть многообразий коразмерности 1) имеется также возможность перехода к отображениям так называемых границ Шилова, часто являющихся многообразиями коразмерности более высокой.

Определение 0.1 Границей Шилова ограниченной области D называется такое замкнутое подмножество границы S С 3D, что.

1. для любой функции f, голоморфной в области D и непрерывной в ее замыкании D, max f (z) = max zeD zeS.

2. любое замкнутое множество S, обладающее свойством 1), содержит S.

В частности, уже для бидиска z, w) G С2: z2'.

В то же время для шара в С2 граница Шилова совпадает с его топологической границей. Легко видеть, что границы Шилова шара и бидиска не эквивалентны топологически. Этот факт может послужить одной из илллюстраций биголоморфной неэквивалентности шара и бидиска в С2.

Таким образом естественно возникают задачи изучения и описания отображений многообразий высокой (больше 1) коразмерности.

Если перейти от С2 к гиперповерхности в пространстве произвольной размерности, то полным аналогом сферы являются некоторые специальные гиперповерхности второго порядка (их несколько, в положительно определенном случае это гиперсфера) [49], [38]. Как было показано Бе-лошапкой в работе [7] 1991;го года, прямым обобщением сферы для многообразий коразмерности более высокой, чем единица, являются невырожденные квадрики — специальные поверхности, определяемые уравнениями второго порядка. При условии положительной определенности.

I № эти поверхности фигурировали ранее в теории однородных областей, как остовы областей Зигеля второго рода (см. [16], [22], [45], [46]). Квадрикам и изучению вещественных многообразий с опорой на эту модель посвящено множество работ, созданных в основном в 90-х годах 20-го века. Можно назвать, например, работы А. В. Абросимова ([1]), Е. Г. Анисовой ([2], [3]), А. Ф. Арбатского ([4]), В. К. Белошапки ([7], [8]), В. Ежова и Г. Шмальца ([39] - [43]), Н. Ф. Палинчак ([19], [20], [21]), А. Е. Туманова ([24], [25]), А. Сухова ([47], [48]), С. Н. Шевченко ([30], [31]).

Пусть М — вещественно-аналитическая поверхность в Сп+К. В окрестности некоторой точки? ? Qn+K поверхность задается системой уравнений 0, з = 1,. .К, где — вещественнозначные вещественно-аналитические в окрестности? функции. Если вектора gradF-7 (j = 1 линейно независимы как вектора в Сп+К, (то есть многообразие является порождающим) то в некоторых кординатах уравнения М записываются в виде y = F (z, z, x), j = !,. К, где 2 = (zi,., zn), w = (w,., zk), wj = xj + iyj, F — веществен-нозначное вещественно-аналитическое отображение окрестности нуля в Сп х R^ b R*, причем F|0 — 0, dF = 0.

Выделим у функции F компоненту степени 2 по z и нулевой степени по z и х. Заменой w ь-> w + 62(2, z), где C2(z, z) — некоторая квадратичная форма от z, добьемся того, чтобы эта компонента (а также комплексно сопряженная ей компонента степени 2 по z и нулевой степени поz и х) обратилась в нуль. Выделим теперь компоненту степени 1 по z, 1 по i и нулевой степени по х. Обозначим эту компоненту < z, z >= (< zz >1,. < z, z >к). Введем градуировку, задавая веса переменных так: [z] = [z] = 1, [ги] = [я]. = 2. Уравнения М примут теперь вид yj=j +0(3), j = l,.K, где через 0(3) обозначены члены веса 3 и выше.

Теперь поверхность Q, задаваемую уравнениями yj=J, j = l,.K, назовем квадрикой, касательной к М.

Квадрика называется невырожденной (см. [7]), если выполняются следующие два условия:

Г. координатные компоненты < z, z. ,< z, z >к формы <.z, z > линейно независимы;

2. если < С, z >= 0 для всех z, то ?.= О (условие отсутствия ядра).

Квадрика обладает рядом полезных свойств (см., например, [7]), делающих ее удобной для изучения биголоморфных отображений поверхностей:

1. каждому порождающему ростку вещественно-аналитического подмногообразия соответствует некоторая касательная квадрика.

2. группа голоморфных автоморфизмов квадрики конечномерна тогда и только тогда, когда квадрика невырождена.

3. квадрика однородна, то есть группа ее автоморфизмов действует на ней транзитивно.

4. алгебра инфинитезимальных автоморфизмов невырожденной квадрики состоит из полей с полиномиальными коэффициентами, чья степень не превышает 2.

5. группа биголоморфных автоморфизмов невырожденной квадрики есть подгруппа группы бирациональных преобразований объемлющего пространства. Существует оценка на степени числителей и знаменателей, зависящая только от п и К. А именно, степень не превышает 4(п + К) где К — коразмерность, а п — размерность комплексной части касательного пространства.

6. квадрика обладает следующим экстремальным свойством: размерность группы биголоморфных автоморфизмов произвольной поверхности мажорируется размерностью группы биголоморфных автоморфизмов ее касательной квадрики.

Если касательная квадрика невырождена, это свойство обеспечивает конечномерность группы биголоморфных автоморфизмов поверхности. Если же квадрика вырождена, свойство остается верным, хотя и становится бесполезным в изучении автоморфизмов исходной поверхности, так как группа автоморфизмов вырожденной квадрики бесконечномерна.

7. если квадрики биголоморфно эквивалентны, то они линейно эквивалентны.

8. квадрика обладает естественной структурой группы Ли.

Заметим также, что оболочка голоморфности Q невырожденной квадрики Q всегда полномерна. Например, для гиперквадрики (коразмерность 1) оболочка голоморфности составляет либо все пространство С n+1, либо, в случае положительно определенной (см. [7]) гиперквадрики п биголоморфно эквивалентной (2п + 1)-мерной сфере в С n+1, область п з=1 биголоморфно эквивалентную шару.

Кроме того, между биголоморфными автоморфизмами невырожденных квадрик и их оболочек голоморфности существует тесная связь.

Из вышесказанного видно, что, во-первых, многие характеристики ростка тесно связаны с характеристиками его касательной квадрики, и, во-вторых, квадрика достаточно хорошо поддается исследованию. Поэтому, если квадрика, соответствующая многообразию, невырождена, исследование его свойств сильно упрощается. Но условие невырожденности квадрики накладывает ограничение на коразмерность ростка: К < п2. Хотелось бы иметь модель, аналогичную квадрике, и в случае большей коразмерности.

В работе [10] Белошапкой были построены такие модели степеней 3 и 4, задающиеся в некоторых координатах уравнениями вида.

Im w = F (z, z) где F — вектор-многочлен степени 3 при п2 < К < п2 + п2(п ¦+ 1) и степени 4 при п2 + п2(п + 1) < К < п2 + п2(п + 1) + п2(п¦+ 1)(7п + 11)/12. Заметим, что степени 3 и 4 возникают для данных размерностей естественным образом. С поверхностью связывается следующий объект, называемой алгеброй Леви-Танаки данной поверхности (см., например, [23]). Это градуированная алгебра Ли, которая строится индуктивно:

D1 = ТСМ, Dj+l = [D Dl] + Dj.

Понятно, что всегда D*'С При этом также понятно, что начиная с какого-то j рост размерности прекращается: = DJ+1, так как всегда DJ С TM, а ТМ конечномерно. Длиной алгебры Леви-Танаки называется такое наибольшее j, при котором DJ1 DK.

Как показано Белошапкой в [9] и [10], три в случае п2 < К < п2 + п2(п + 1) и четыре в случае п2 + п2(п + 1) < К < п2 + п2{п + 1) + п2(п + 1)(7п+11)/12 есть в точности длина алгебры Леви-Танаки вполне невырожденного (в терминологии [13]) ростка.

Для этих моделей были найдены оценки на степени полиномов, задающих алгебру инфинитезимальных автоморфизмов, а также на степени бирациональных автоморфизмов, составляющих группу.

В алгебре инфинитезимальных автоморфизмов модельных поверхностей можно ввести естественную градуировку. Тогда оценки на степени полиномов, задающих поля из алгебры, получаются из оценок на вес полей, входящих в алгебру.

Рассмотрим модельные поверхности степени три, называемые в [10] невырожденными кубиками. Введем следующее обозначение: F21 (z, z) будет обозначать некоторую полилинейную форму от 2, z, степени два по z и один по z. Пусть 2 G Cn, W2? С" 2,? Ск. Пусть уравнения кубики в С п+п2+к даны в стандартном виде.

Im W2 =< z, z >

Im W3 = 2Re F2i (z, z) Введем естественную градуировку, полагая и = 1, [|] = -1,.

Тогда остальные веса задаются так: w2}= 2, ["73]=3,^dw2 ^.

Тогда алгебра инфинитезимальных автоморфизмов кубики aut Q (см. Определение 0.2 в п. 0.2) становится градуированной алгеброй Ли со следующим, непосредственно проверяемым свойством: если некоторое поле содержится в aut Q, то и каждая его градуированная компонента тоже содержится в этой алгебре. Можно написать, что aut Q = +. + д-1±д0- + gi + - + 9d, где D — некоторое натуральное число, об оценках на которое поговорим ниже. Алгебра любой невырожденной кубики содержит поля весов -3, -2, -1 и 0.

Подалгебра autQ = <7з+<72+<7−1 есть алгебра Леви-Танаки кубики. Полям из autQ соответствуют так называемые «сдвиги» по поверхности. Если за координаты на кубике принять z, х2 = Reu>2, х% = Reu^, то полям из соответствуют сдвиги по х%, а полям из д-2 — сдвиги по х2. Полям из д-1 соответствуют квадратично-треугольные преобразования объемлющего пространства, осуществляющие «сдвиг.» по г.

Подгруппа линейных автоморфизмов кубики, соответствующая подалгебре до, всегда содержит «вещественные растяжения» (преобразования вида z и-> tz, w2 > t2w2, Wz t3W3, где t G R).

На «положительную» же компоненту алгебры aut+Q = gi¦+ ••• + 9d (соответствующую нелинейным автоморфизмам, сохраняющим на месте начало координат) существуют только оценки. Первоначально была дана оценка D < 6- впоследствии ее удалось улучшить до 4. Тем не менее, до сих пор неизвестно примера кубики с нетривиальной положительной компонентой.

В дипломной работе Р. Гаммеля [15] (2004 г.) было показано, что если в алгебре отсутствует первая весовая компонента^i, то нет и компонент больших весов. Таким образом, если бы удалось доказать отсутствие первой весовой компоненты, то все автоморфизмы кубики оказались бы комбинациями линейных преобразований, соответствующих полям из <7о, и «сдвигов». Размерность группы автоморфизмов кубики варьировалась бы тогда от 2n + n2 + к +1 (такую размерность дают в совокупности уже упомянутые «сдвиги» и «растяжения») до 2п—Зп2+к (такая размерность получается, если линейные автоморфизмы кубики содержат все преобразования I-+ Az с любой, А Е GL (n, С)). Несмотря на то, что во всех известных примерах дела обстоят именно так, вопрос о существованиии первой весовой компоненты в алгебре по-прежнему остается открытым.

Для моделей степени четыре также были получены оценки на веса полей, составляющих алгебру инфинитезимальных автоморфизмов. Алгебра модели четвертой степени состоит из следующих градуированных компонент: aut Q= д-з.+. + g-i + д0 + д.

Можно заметить, что пример модели четвертой степени с ненулевой компонентой веса 1 также неизвестен.

Однако модели степеней три и четыре по-прежнему не исчерпывают всех коразмерностей. На коразмерность снова возникают ограничения, связанные с длиной алгебры Леви-Танаки вполне невырожденного ростка. Кубика является хорошей моделью при п2 < К < п2 + п2(п + 1). Модель четвертой степени применима при п2 + п2(п 4- 1) < К < п2 + п2(п + 1) + п2(тг + 1)(7 п + 11)/12.

В [10] были предложены и модели более высоких степеней, правда, без выполнения свойства 1, т. е. универсальности. Как показано в работе автора [27], уже начиная с коразмерности 7 при одномерной комплексной касательной (минимальная ситуация, в которой не хватает четвертой степени, и появляется степень 5) не удается, в общем случае, построить модель, задающуюся уравнениями вида.

Im w = F (z, z).

Однако, если разрешить правой части зависеть от Re го, задача по-прежнему разрешима. Мы снова можем построить модельную поверхность с требуемыми свойствами. Наличие Re w в уравнениях модели несколько меняет доказательство конечномерности алгебры инфинитези-мальных автоморфизмов, т.к., например, становится невозможным применение теоремы об экспоненциальном представлении [18], однако все свойства, аналогичные названным свойствам 1—8 невырожденной квадрики, продолжают выполняться.

Тема построения модельных поверхностей степени пять получила дальнейшее развитие в работах автора [28] и [29]. В [28] ситуация поверхностей коразмерности 7 с одномерной комплексной касательной была обобщена на случай произвольной размерности комплексной касательной. При этом в уравнениях модели появлялся только один полином степени пять.

В работе [29] построение модельных поверхностей степени (а точнее, веса) пять было закончено, то есть продолжено вплоть до возникновения нового естественного ограничения на коразмерность.

0.2 Основные понятия.

Введем, вкратце, основные понятия, которыми будем оперировать в последующих пунктах.

Рассмотрим гладкое подмногообразие М в iV-мерном комплексном пространстве. В каждой точке? € М рассмотрим касательное пространство Т^М. В нем можно выделить комплексную часть Т^МС. Если оператор умножения на г в объемлющем пространстве обозначить как J, Т^М определяется так:

Tf М := ТсМ П J (T^M).

Комплексная размерность Т^М называется СR-размерносгпъю М в точке? и обозначается С R dim^M. В общем случае эта функция на М лишь полунепрерывна сверху. Если она постоянна, то есть CR dim^М = п на М, то число п называется CR-размерностъю М и обозначается СД dim М.

Дальше всюду будем считать Сй-размерность поверхности постоянной. Вложенное в С^ подмногообразие постоянной СЛ-размерности будем называть СR-многообразием.

C-R-многообразие, имеющее СЛ-размерность п и вещественную коразмерность к называется многообразием типа (п, к).

Пусть М есть гладкое СЯ-многообразие типа (п, к), вложенное Если dim М — п — N, то С-линейная оболочка касательного пространства к М в его произвольной точке? имеет комплексную размерность N, то есть совпадает со всем Слг. Такое М называется порождающим. Если подмногообразие типа (N — к, к) в.

СЛГ задано набором гладких вещественных функций.

Fi (zu., zN, zhzN) — О.

Fk (z 1,. .. , 2ДГ, 21, zm) = о, то это условие эквивалентно комплексной линейной независимости градиентов grad Fi,. .gradFk.

В дальнейшем нас будут интересовать только локальные свойства многообразия, поэтому целесообразно перейти к росткам. Рассмотрим росток вложенного в С^ многообразия М в точке.

Определение 0.2 Через aut обозначим алгебру Ли ростков вещественных векторных полей вида д д X = 2Re (fi (zh ., zN) — +. + !n{zu.

J i* V ±7 7 i* / О ozi ozm со следующими свойствами:

1. все функцииfj (zi, zn) определены и голоморфны в окрестности точки? б М;

2. сужение векторного поля на М^ касательно к .

Эта алгебра называется алгеброй инфинитезимальных автоморфизмов ростка.

Можно рассмотреть соответствующую aut^M локальную группу AutM Это образ autM^ под действием экспоненциального отображения. AutМ^ действует на М$ отображениями, биголоморфными в точке.

Будем дальше называть aut М^ и AutM^ алгеброй и группой ростка соответственно.

Помимо группы и алгебры ростка, Aut и aut нас будут интересовать также подалгебра auto МС aut инфинитезимальных автоморфизмов поверхности, обращающихся в нуль в точке? Е М, и соответствующая ей подгруппа AutС AutM^ автоморфизмов, сохраняющих на месте точку ?.€i М.

0.3 Структура работы.

1. А. В. Абросимов Описание локально биголоморфных автоморфизмов стандартных квадрик коразмерности два, Матем. сборник, 1993, Т. 184, № 10, С. 3−52.

2. Е. Г. Анисова Нуль-квадрики коразмерности 4 в пространстве С7, Матем. заметки, 1997, Т.62, № 5, С. 657−665.

3. Е. Г. Анисова Квадрики коразмерности 4 в С7 и их автоморфизмы, Матем. заметки, 1996, Т.59, № 2, С. 164−173.

4. А. Ф. Арбатский О структуре нелинейных автоморфизмов (3,3)-квадрик, Матем. заметки, 1997, Т.62, № 5, С. 657−665.

5. Beloshapka V.K., CR-Varieties of the Type (1,2) as Varieties of «Super-High» Codimension, Russian Journ. of Mathematical Phisics, 1998, Vol. 5, № 2, P. 399−404.

6. Белошапка В. К., Конечномерность группы автоморфизмов вещественно аналитической поверхности, Изв. АН СССР, Сер. мат., 1988, т. 52, N 2, с. 437−442.

7. Белошапка В. К., О голоморфных преобразованиях квадрики, Матем. Сборник 182/2 (1991).

8. Белошапка В. К., Инварианты СR—многообразий, связанные с касательной квадрикой, Мат. Заметки, 1996, 59, вып.1, с. 42−52.

9. Белошапка В. К., Кубическая модель вещественного многообразия, Мат. Заметки, 2001, т. 70, вып.4, с. 503−519.

10. Белошапка В. К., Полиномиальные модели вещественных многообразий, Изв. РАН, Сер. матем., 2001, т. 65, № 4, с.3−20.

11. Белошапка В. К., Квазипериодическая система полиномиальных моделей СR-многообразий, Труды Мат. ин-та им. Стеклова РАН, т.235, 2001, С.7−35.

12. Белошапка В. К., Вещественные подмногообразия комплексного пространства их полиномиальные модели, автоморфизмы и проблемы классификации, Успехи мат. наук, 2002, т.57, № 1, С.3−44.

13. Белошапка В. К., Универсальная модель вещественного подмногообразия, Мат. Заметки, т.75, в.4, апрель 2004, с.507−522.

14. Белошапка В. КФункции, плюригармонические на многообразии, Известия АН СССР, сер.мат., 1978, т. 12, № 3, С.439−447.

15. Р. В. Гаммель, Об алгебре инфинитезимальных автоморфизмов кубики, МГУ, механико-математический факультет, 2004, дипломная работа.

16. Г. С. Гиндикин, И. И. Пятецкий-Шапиро, Э. Б. Винберг, Классификация и каноническая реализация ограниченых однородных областей, Труды ММО. 1963. Т. 12. С. 404−437.

17. В. Ежов, Г. Шмальц, Автоморфизмы и голоморфные отображения стандартных С R-многообразий и области Зигеля, Прогресс в науке и технологии. Сер. Совр. матем. и ее прил. (Комплексный анализ и теория представлений. Т. 1). М. ВИНИТИ.

18. Паламодов В. П., Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, М.: Наука, 1967.

19. Н. Ф. Палинчак О квадриках высокой коразмерности, Матем. заметки, 1994, Т.55, № 5, С. 110−115.

20. Н. Ф. Палинчак Вещественные квадрики коразмерности три в С6 и их нелинейные автоморфизмы, Изв. РАН, Сер. матем., 1995, Т.59, № 3, С. 159−179.

21. Н. Ф. Палинчак О с-жестких квадриках, Деп. в ВИНИТИ РАН, 10.04.95, № 973-В95.

22. И. И. Пятецкий-Шапиро, Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, М.: Физматгиз, 1961.

23. Туманов А. Е., Геометрия СR—многообразий, Итоги науки и техники. Совр. проблемы матем. Фундам. напр. Т. 9, М.: ВИНИТИ, 1986. С. 225−245.

24. Туманов А. Е., Конечномерность группы CR-автоморфизмов стандартного CR-многообразия и собственные голоморфные отображения областей Зигеля, Изв. АН СССР, Сер. мат., 1988, т. 52,№ 3,с. 651−659.

25. Туманов А. Е., Продолжение CR-функций с многообразий конечного типа в клин, Мат. сборник, т. 136, 1988, 129−140.

26. Чирка Е. М., Введение в геометрию СR—многообразий, УМН, 1991, т. 46,№ 1, с. 81−164.

27. Шананина Е. Н., Модели CR-многообразий типа (1 К) при 3 < К <7 и их автоморфизмы, Мат. Заметки, 2000, т.67, вып.3, с.452−459.

28. Шананина Е. Н., Модельные поверхности степени 5 для СR—многообразий «сверхвысокой «коразмерности, Вестник Российского университета дружбы народов, Сер. матем., 2002, Nfi9(l), С.144−154.

29. Шананина Е. Н., Полиномиальные модели степени 5 и алгебры их автоморфизмов, Мат. Заметки, т.75, в.5, май 2004, с.757−772.

30. С. Н. Шевченко Описание инфинитезимальных автоморфизмов квадрик коразмерности два и их классификация, Матем. заметки, 1994, Т.55, № 5, С. 142−153.

31. С. Н. Шевченко Квадрики коразмерности два и их автоморфизмы, Изв. РАН, Сер. матем., 1994, Т.58, № 4, С. 149−172.

32. М. S. Baouendi, P. Ebenfelt, and L. P. Rothschild, CR authomorphisms of real analitic manifolds in complex spase, Comm. Anal. Geom. 6 (1998), № 2, 291−315.

33. M.S.Baouendi, P. Ebenfelt, L.P.Rothschild, Real Submanifolds in Complex Space and Their Mappings, Princeton University Press, Princeton Math. Ser. 47. Princeton, NJ, 1999.

34. M.S.Baouendi, X. Huang, L.P.Rothschild, Regularity of CR mappings between algebraic hyper surf aces, Invent.Math. 125 (1996), 13−36.

35. T. Bloom and I. Graham, On type conditions for generic real submanifolds of Cn, Invent. Math. 40 (1977), 217−243.

36. Burns D., Shnider S., Wells R.O., Deformation of strictly pseudo-convex domains, Invent. math., 1978, v.46, № 3, P. 199−217.

37. Cartan E. Sur la geometrie pseudoconforme des hypersurfaces de deux variables complexes, Ann.Math.Pura Appl., (4) 11 (1932), P.17−90 (Oeuvres II, 2,1231−1304).

38. Chern, S. S. and Moser, J. K. Real hypersurfaces in complex manifolds, Acta Math. vol. 133 № 3−4 (1974), 219−271.

39. V. Ezov, G. Schmalz, Inftnitesimale Starrheit hermitescher Quadriken in allgemeiner Lage, Math. Nachr. 1999. V. 204. № 1. P. 41−60.

40. V. Ezov, G. Schmalz, Automorphisms of nondegenerate CR-quadrics and Siegel domains. Explicit description, Preprint, Max-Plank-Institute fur Matematic, 1994.

41. V. Ezov, G. Schmalz, Holomorphic automorphisms of quadrics, Math. Z. 1994. V. 216. № 3. P. 453−470.

42. V. Ezov, G. Schmalz, Poincare automorphsms for nondegenerate CRquadrics, Math. Ann. 1994. V. 298. № 1. P. 79−87.

43. V. Ezov, G. Schmalz, A matrix Poincare formula for holomorphic automorphsms of quadrics of higher codimension. Realassociative quadrics, J. Geom. Ann. 1997. V. 8. № 1. P. 27−41.

44. Kohn J.J., Boundary behavior of д on weakly pseudoconvex manifolds of dimension two J.Diff.Geom.6 (1972), 553−542.

45. I. Naruki, Holomorphic extention problem for standard real submanifolds of second kind, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 1970. V. 6. №. P. 113−187.

46. I. Satake, Algebraic Structures of Symmetric Domains, Tokyo / Princeton: Ivanami Shoten / Princeton Univ. Press, 1980 (Kano Memorial Lectures. V. 4.).

47. A. Sukhov, Segre varieties and Lie symmetries, Publ. Inst. Rech. Math. Av., Lille. V. 50, 1999.

48. A. Sukhov, On CR-mappings of real quadric manifolds, Michigan Math. J. 1999. V. 41. P. 143−150.

49. N. Tanaka, On the pseudo-conformal geometry of hypersurfaces of the space of n complex variables. J. Math. Soc. Japan, 1962, V. 14, P. 397−429.

50. N. Tanaka, On differential systems, graded Lie algebras and pseudo-groups. J. Math. Kyoto Univ, 1970, V. 10, № 1, P. 1−82.

51. Zaitsev, D., Germs of local automorphisms of real-analytic CR structures and analytic dependence on k-jets, Math. Res. Lett. 4 (1997), 1−20.