Бифуркации периодических колебаний при наличии двойных сильных резонансов

Актуальность темы

Динамические системы с многомодовыми вырождениями и кратными резонансами появляются в радиофизике при моделировании автоколебаний в RC-генераторах, в математических моделях экономики, популяционной динамики, химической кинетики, в моделях океанических волн и в моделях из др. разделах современного естествознания. Соответствующие моделирующие уравнения не допускает общих формул для их решений (даже при найденных точных значениями коэффициентов главной части редуцированного уравнения), что явилось одной из причин задержки в развитии исследований по данному вопросу В связи с созданием в настоящее время мощных компьютеров и эффективных программно-вычислительных комплексов, появились новые возможности в анализе периодических колебаний.

Несмотря на значительные достижения в теории бифуркаций периодических решений дифференциальных уравнений, многие задачи теории колебательных процессов остаются недостаточно исследованными. В частности, недостаточно изучен случай параметрического возмущения колебательного процесса, рассмотренного вблизи вырожденного состояния покоя при наличии сильных резонансов. Мало разработано алгоритмов приближенного построения и качественного анализа периодических колебаний, бифурцирующих из сложного фокуса динамической системы в ситуации многомодового вырождения.

Среди наиболее часто используемых в наше время методов исследования бифурцирующих циклов выделяется метод нормальных форм (А. Пуанкаре, Дж. Биркгоф, В. И. Арнольд, А. Д. Брюно и др.) и метод Ляпунова-Шмидта с его многочисленными модификациями. Многие разработки в области конструктивного анализа задач такого типа основаны на идее усреднения (Н.Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, A.M. Самойленко, Б. И. Мосеенков, Е. А. Гребеников, Ю. А. Рябов, М. Н. Киоса, С. В. Миронов и др.). Большинство созданных на этой идее подходов достаточно эффективно работает лишь в случаях систем стандартного вида. Задача же приведения произвольной динамической системы к стандартному виду, вообще говоря, не тривиальна. В настоящее время нет универсальных алгоритмов ее решения. И даже для систем, заданных в стандартном виде, трудно признать полностью завершенной конструктивную теорию периодических колебаний.

Алгоритмы, основанные на применении теоремы Плисса — Кэли о центральном подмногообразии с последующими нормализациями и огрублениями уравнения, суженного на центральное подмногообразие, также не являются универсальными, так как основаны на некоторых упрощающих предположениях. Каждый, кто пробовал применять эти подходы в численном анализе конкретных систем, знает о существующих трудностях (см., например, послесловие Н. Н. Моисеева к монографии Ж. Йосса и Д. Джозефа «Элементарная теория устойчивости и бифуркаций» — М.: Мир. 1983. — 302 с. [28]).

Таким образом, поиск алгоритмов, эффективных для построения и анализа периодических решений тех или иных классов ОДУ, является актуальной задачей.

Платой за успешную работу алгоритмов, созданных в рамках изложенной здесь схемы, является отсутствие информации о локальном фазовом портрете. Однако у авторов есть соображения и на этот счет. Оказывается, что по главной части ключевого отображения классической динамической системы можно определять главную часть нормализованной динамической системы (пока не опубликовано).

В данной диссертации изложена процедура приближенного вычисления и анализа ветвления периодических колебаний, развивающая и дополняющая вычислительные схемы, опубликованные в работах Ю. И. Сапронова, Б. М. Даринского, В. А. Смольянова, Е. В. Ладыкиной и А. П. Карповой. Более конкретно, диссертация посвящена задаче приближенного вычисления амплитудно-частотных характеристик периодических du 3 dmu dt +. ¦ + dtm решений нелинейных ОДУ 4-го и 6-го порядков cftu d? u du (du d2u d3u lF + a2dfi+aiH + aoU+u{u'di'Wdfi)=0' dQu dAu d? u d2u du TT (du d5u бифурцирующими из точек покоя при наличии двойных сильных резо-нансов. Здесь rn — 3 или 5 (для уравнения 4-го или, соответственно, 6-го порядка), U^2u, ui, ., ит), U^(u, ui, ui, ., ит) — квадратичный и кубический однородные полиномы от к, и^щ, ., ит. Такие уравнения появляются при математическом моделировании колебательных режимов в электрических цепях с дополнительными контурами [18], модулированных фаз в кристаллах [26], [9]—[16], [36] и др. разделах нелинейной физики [19], [27], [42].

Предложенная ниже вычислительная схема, созданная на базе метода Ляпунова-Шмидта [39], [38], [5], [43], [40], [25], [57], позволяет произвести конечномерное усечение динамической системы и свести анализ амплитудно-частотных характеристик периодических колебаний к анализу ветвящихся решений некоторой системы полиномиальных уравнений. Предложенный алгоритм прошел апробацию на задачах резонансного циклогенеза в ряде динамических систем [29] - [35].

Теоретическое окружение предложенной здесь вычислительной процедуры составляет теория гладких SO (2) — эквивариатных фредгольмо-вых уравнений в банаховых пространствах. Использован операторный подход: уравнение колебаний трактуется как операторное уравнение в тройке последовательно вложенных функциональных пространств, тройка пространств позволяет одновременно рассматривать круговую симметрию и спектральное строение линейной части уравнения (при выделении мод бифуркации). Описанная схема дает основу для конструктивного бифуркационного анализа, она позволяет решать задачу дискри-минантного анализа параметрических семейств периодических колебаний. Схема достаточно проста, естественна и максимально приближена к рассмотренной задаче. Сформулированные в диссертации условия и предположения реализуются в ряде других задач нелинейной динамики.

Гильбертово пространство Н в диссертации — это пространство периодических функций класса L2 (скалярное произведение — интеграл от произведения функций по отрезку длины, равной периоду). Данное пространство допускает естественную фильтрацию конечномерными подпространствами тригонометрических многочленов, на которых действие окружности является гладким и ортогональным (в индуцированной из Н евклидовой структуре).

Ниже использовано условие постоянства базиса собственных функций (мод бифуркаций) — это (постоянство) частое явление в бифуркационном анализе краевых задач. Зависимость же базиса собственных функций от параметра — мало интересное обобщение. Однако, существуют задачи, в которых возникает необходимость рассмотрения переменного базиса из несобственных функций [37]. В диссертации такие случаи не затрагиваются.

Основной исследовательский инструмент (помимо метода Ляпунова-Шмидта) — повторная редукция ключевого уравнения. Отдельные случаи симметрии (например, четности по отдельным группам переменных), дают возможность повторной редукции к уравнениям меньшего количества переменных.

Основную цель диссертационной работы можно переформулировать как разработку и апробацию метода изучения бифуркации решений фред-гольмовых уравнений с круговой симметрией из точки с 4-мерным и 6-мерным вырождениями. В такой постановке случай 4-мерного вырождения был подробно исследован А. П. Карповой [29] - [35]. В данной диссертации использован подход А. П. Карповой (с некоторыми уточнениями и дополнениями).

Цель работы и основные задачи. Центральная конструктивная идея диссертации, вокруг которой сгруппировано ее содержание, — сведение (редукция) задачи об изучении бифурцирующих периодических колебаний к задаче о бифуркации решений гладкого конечномерного уравнения с круговой симметрией. Основная задача — разработка и апробация метода вычисления и изучения бифурцирующих периодических колебаний при наличии двойных сильных резонансов 1:2:3, 1:2: 4, 1: 2: б, 1: 3: 6, 1: 3: 9, 1: 3: 4 и др., создание эффективного комплекса программ для вычисления амплитудно-фазовых показателей бифурцирующих колебаний.

Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы нелинейного функционального анализа, теории бифуркаций решений краевых задач, теории инвариантов, теории приближенных вычислений и символьного программирования.

Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Разработан и апробирован алгоритм вычисления главной части ключевого уравнения для обыкновенного дифференциального уравнения 6-го порядка, определяющего бифурцирующие периодические колебания в случаях двойного сильного резонанса.

2. Дано описание алгебраического строения главной части ключевого уравнения для обыкновенного дифференциального уравнения 6-го порядка (в случаях двойного сильного резонанса).

3. Разработан и обоснован алгоритм вычисления асимптотических приближений к периодическим решениям ОДУ 6-го порядка, бифурцирую-щим из точек покоя при наличии двойного сильного резонансаразработана и апробирована процедура вычисления формул для асимптотических приближений к бифурцирующим колебаниямсоздан эффективный комплекс программ для вычисления асимптотических приближений к амплитудно-фазовых показателям бифурцирующих колебаний.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты исследований, представленные в диссертации, могут найти применение в исследованиях разнообразных моделей нелинейных колебательных и волновых процессов.

Апробация работы. Материал диссертации докладывался на международной конференции Proceeding of 16-th International Czech-Slovak Scientific Conference «Radioelektronika 2006». April 25−26, Bratislava, 2006., на Воронежской зимней математической школе С. Г. Крейна — 2008, на семинаре по нелинейному анализу в НИИ математики ВГУ (рук — проф. Б. М. Даринский и Ю.И. Сапронов) и на семинаре по математическому моделированию (ВГУ, рук — проф. В.А. Костин).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 6 работах. В статьях, написанных с соавторами, соавторам принадлежат постановки некоторых задач и разбор отдельных примеров. Статья [1] вышла в издании из «перечня ВАК» .

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 71 наименований. Общий объем диссертации — 138 стр.

1. Афанасьев А. П., Устойчивость, но Пуассону в динамических и непре-рывных периодических системах/ А. П. Афанасьев А.П., С.М. Дзю-ба М.: ЛКИ. 2007. — 240 с.

2. Арнольд В. И. Особенности дифференцируемых отображений/В.И.Арнольд, А. Н. Варчепко, С.М. Гусейн-Заде// М.: МЦНМО. 2004. 672 с.

3. Бардин B.C. Локальная теория существования периодических волновых движений бесконечной балки на нелинейно упругом основании/ B.C. Бардин, С.Д. Фурта// Актуальные проблемы классической и небесной механики. М.: Эльф. — 1998. — С.13−22.

4. Бибиков Ю. Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации / Ю. Н. Бибиков Ленинград: изд. ЛГУ. 1991. 144 с.

5. Бобылев Н. А. Геометрические методы в вариационных задачах /Н.А.Бобылев, С. В. Емельянов, С. К. Коровин М.: Магистр, 1998. — 658 с.

6. Борисович Ю. Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теорияЛере-Шаудера / Ю. Г. Борисович, В. Г. Звягин, Ю. И. Сапронов // Успехи матем. наук. Т.32, вып.4. 1977. С.3−54.

7. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы./Т. Брекер, Л. Ландер М.: Мир, 1977. — 208 с.

8. Вольмир А. С. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат. 1956.

9. Даринский Б. М. Бифуркации экстремалей вблизи особенности многомерной сборки/ Б. М. Даринский, Ю.И. Сапронов// Известия ВУЗов. Математика. Т. 2. Казань: Форт-Диалог, 1997. — С. 35−46.

10. Даринский Б. М. Топологический подход к классификациям фаз кристаллических сегнетоэлектриков/Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов// В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: ВГУ. 2000. — С. 41−57.

11. Даринский Б. М. О двухмодовых бифуркациях решений одной вариационной краевой задачи для уравнения четвертого порядка/ Б. М. Даринский, Ю.И. Сапронов// Понтрягинские чтения XI. Сборник трудов. Часть 1. Воронеж, ВГУ. 2000. С.57−64.

12. Даринский Б. М. К термодинамической теории сегнетоэлектриче-ских фазовых переходов в кристаллах/ Б. М. Даринский, Ю. И. Сапронов, B.JI. Шалимов// Кристаллография. 1999. — Т.44, N 4. -С. 1−5.

13. Darinskii М.М. Phase transitions in crystals characterized by polarization and deformation components of the order parameter/ M.M. Darinskii, Yu.I. Sapronov, V.V. Shalimov// Ferroelectrics. 2002. V. 265. — P. 31−42.

14. Даринский Б. М. Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и периодические волны/ Б. М. Даринский, Е. В. Ладыкина, Ю.И. Сапронов// Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ. 2003. — С. 52−67.

15. Даринский Б. М. Дискриминантные множества и расклады бифур-цирующих решений фредгольмовых уравнений/ Б. М. Даринский, Ю.И. Сапронов// Современная математика и ее приложения. Тбилиси. 2003. Т.7. — С.72−86.

16. Даринский Б. М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов/ Б. М. Даринский, Ю. И. Сапронов, С.Л. Царев// Современная математика. Фундаментальные направления. М.: МАИ. Т. 12. 2004. С.3−134.

17. Задорожний В. Г. Условия разрешимости обратной задачи вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка/ В. Г. Задорожний, Е.В. Корчагина// Труды молодых ученых ВГУ. Воронеж: ВГУ. 2000. Вып.2. С.48−61.

18. Задорожний В. Г. Усредненная система дифференциальных уравнений для автогенератора на трех связанных контурах Ван-дер-Поля/ В. Г. Задорожний, А.В. Попов// Дифференциальные уравнения. 1999, № 11. С. 1580.

19. Заславский Г. М., Сагдеев Р. З.

Введение

в нелинейную физику: От маятника до тубулентности и хаоса. М.: Наука. 1988. — 368 с.

20. Зачепа А. В. Трехмодовые вырождения в краевой задаче для ОДУ шестого порядка./А.В.Зачепа// Воронежская зимняя математическая школа 2002. Воронеж: ВГУ, 2002. — С.28−29.

21. Зачепа А. В. Трехмодовые вырождения в краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка/ А.В. Зачепа// Сб. трудов молодых ученых матем. факультета ВГУ. Воронеж: ВГУ, 2003. С.52−58.

22. Зачепа А. В. Трехмодовые бифуркации решений в краевой задаче для симметричного ОДУ шестого порядка/ А.В. Зачепа// Труды матем. факультета. Выпуск 8 (новая серия). Воронеж: изд. «ТЕ-ФА 2004. С.48−55.

23. Зачепа А. В. Вторичные редукции в анализе бифуркаций экстремалей из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки/ Ф. А. Белых, А. В. Зачепа, Ю.И. Сапронов// Семинар по глобальному и стохастическому анализу, вып 1. Воронеж: ВГУ, 2005. С.18−33.

24. Зачепа В. Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений/ ЗачепаB.Р., Сапронов Ю. И.// Воронеж, ВГУ. 2002. 185 с.

25. Изюмов Ю. А., Сыромятников В. И. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. Москва, Наука. 1984. — 247 с.

26. Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. -пер с англ. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 480 с.

27. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций / Ж. Йосс, Д. Джозеф М.: Мир. 1983. — 302 с.

28. Карпова А. П. Фредгольмово уравнение с круговой симметрией в окрестности резонансной особой точки/ А. П. Карпова, Н. А. Копытин, Ю. И. Сапронов // Математические модели и операторные уравнения. Том 4. Воронеж: ВГУ, изд-во «Созвездие 2007.C.69−90.

29. Карпова А. П. Бифуркации решений в резонансной особой точке фредгольмова уравнения с круговой симметрией/ А.П.Карпова// Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения 2007. — СПб., 2007. С.65−72.

30. Карпова А. П. Бифуркационный анализ фредгольмовых уравнений с круговой симметрией и его приложения/ А. П. Карпова, Е.В. Ла-дыкина, Ю. И. Сапронов // Математические модели и операторные уравнения. Т. 5, ч. 1. Воронеж: ВорГУ, 2008. С.45−90.

31. Карпова А. П. Резонансные бифуркации решений фредгольмовых уравнений с круговой симметрией и нелинейная динамика/ А. П. Карпова, Ю.И. Сапронов// Вестник ВГУ. Том 1. Воронеж: ВГУ, 2008. С.184−194.

32. Карпова А. П. Приближенное вычисление амплитуд циклов, бифурцирующих при наличии резонансов/ А. П. Карпова, Ю.И. Сапронов/ / Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008, вып. 3. С. 12−22.

33. Карпова А. П. Зарождение волновых движений несжимаемой вязкой жидкости на двумерном торе/ А.П. Карпова// Препринт НИИМ ВорГУ № 28. Декабрь 2008. Воронеж: ВорГУ. 2008. 10 с.

34. Карпова А. П. К вычислению амплитуд периодических волн в упругой балке на упругом основании/ А.П. Карпова// Препринт НИИМ ВорГУ № 29. Декабрь 2008. Воронеж: ВорГУ. 2008. 16 с.

35. Колесникова И. В. Ветвление фаз кристалла, определяемых термодинамическим потенциалом шестого порядка/ Б. М. Даринский, И. В. Колесникова, Ю. И. Сапронов // Системы управления и информационные технологии. Москва-Воронеж, 2009. — № 1(35). — С. 72−76.

36. Костин Д. В. Об одной схеме анализа двухмодовых прогибов слабо неоднородной упругой балки/ Д. В. Костин // Доклады Академии Наук. 2008. — том 418, № 4. — С. 295−299.

37. Красносельский М. А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления/ М. А. Красносельский, Н. А. Бобылев, Э.М. Мухамадиев// ДАН СССР. 1978. — Т. 240, N 3. — С. 530−533.

38. Красносельский М. А. Приближенное решение операторных уравнений/ М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко, Я.Б. Ру-тицкий Я.Б., В. Я. Стеценко М.: Наука, 1969. — 456 с.

39. Родин В. А. Пространство ВМО и сильные средние рядов Фурье-Уолша/ В.А. Родин// Матем. сб. 1991. Т. 182, вып. 10. — С.1463−1478.

40. Родин В. А. Сильные средние и осцилляции кратных рядов Фурье-Уолша/ В.А. Родин// Матем. заметки. 1994. Т. 56, вып. 3. — С.102−117.

41. Сапронов Ю. И. Многомодовые бифуркации упругих равновесий/ Ю.И. Сапронов// Прикл. матем. и механ. 1988. Т.52, вып 6. -С.997−1006.

42. Сапронов Ю. И. Полурегулярные угловые особенности гладких функций/ Ю.И. Сапронов// Матем. сборник. 1989. Т.180, N 10. С. 1299−1310.

43. Сапронов Ю. И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах/Ю.И. Сапронов// Математические заметки.- 1991. Т.49, вып.1. С.94−103.

44. Сапронов Ю. И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах/ Ю.И. Сапронов// Успехи матем. наук. 1996. Т. 51, N 1. С. 101−132.

45. Сапронов Ю. И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах/ Ю. И. Сапронов, C.JI. Царев // Матем. заметки. 2000. Т. 58, N 5. — С. 745−754.

46. Свиридюк Г. А. Линейные уравнения соболевского типа / Г. А. Свиридюк, В. Е. Федоров Челяб. гос. ун-т. 2003. 179 с.

47. Стрыгин В. В., Северин Г. Ю. Бифуркация малых синхронных автоколебаний двух динамических систем с близкими частотами// Вестник ВГУ. Сер.: физика, математика. 2006, № 2.

48. Треногин В. А. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия/ В. А. Треногин, Н. А. Сидоров, Б.В. Логинов// Докл. АН СССР. 1989. Т. 309, N 2. — С. 286−289.

49. Хэссард Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла/ Б. Хэссард, Н. Казаринов, И. Вэн М.: Мир. 1985. 280 с.

50. Poenaru V. Singularites С°° en Presence de Symetrie/V. Poenaru// Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter II. N.-Y.: Springer-Verlag, 1976. — P. 61−89.

51. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Theil 3: Uber die Auflosung der nichtlinearen Integralgleichungen und Verzweigung ihrer Losungen/E. Schmidt// Math. Ann. 1908. — V.65. — P. 370−399.

52. Zemlyanukhin A. Exact solutions of the fifth-order non-linear evolution eqyations/A. Zemlyanukhin// Regular and chaotic dynamics. 1999. V. 4. N 3. P.67−69.Публикации автора по теме диссертации.

53. Копытин Н. А. Алгоритм численного исследования резонансных бифуркаций колебательных режимов в электрической цепи с дополнительным контуром/ А. П. Карпова, Н. А. Копытин, В. И. Непринцев, Ю.И. Сапронов// Вестник ВГТУ. Т. 5, № 4. 2009. С. 116−119.

54. Копытин Н. А. Фредгольмово уравнение с круговой симметрией в окрестности резонансной особой точки/ А. П. Карпова, Н. А. Копытин, Ю.И. Сапронов// Математические модели и операторные уравнения. Том 4. Воронеж: ВГУ, изд-во «Созвездие 2007. С.69−90.

55. Копытин Н. А. К теории резонансных бифуркаций колебательных режимов в электрической цепи с дополнительным контуром / Н. А. Копытин // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна 2008: Тезисы докладов. — Воронеж: ВорГУ, 2008. — С. 76−78.

56. Копытин Н. А. Редукция Ляпунова-Шмидта в анализе циклогенеза с двойным резонансом/ Н.А. Копытина// Семинар по глобальному и стохастическому анализу. Вып. 4. Воронеж: ВГУ, 2009. С.23−31.