Оптимальное управление системой дифференциальных уравнений, моделирующей динамику манипуляционного робота

Диссертация посвящена построению оптимальных управлений движением механической системы, состоящей из двух твердых тел, соединенных гибкой балкой (стержнем). Система может совершать поворот в одной плоскости вокруг оси, проходящей через центр масс одного из твердых тел, посредством управляющего момента. Такая механическая система может служить моделью манипулятора, переносящего груз. Изучаются задача перевода системы из одного фазового состояния в другое в заданное время с минимизацией функционала энергии от управления и задача быстродействия. Рассматривается случай упругого и наследственно вязкоупругого стержня.

Решению задач управления механическими системами, содержащими упругие элементы, посвящена обширная литература. Отметим, во-первых, монографию Черноусь-ко Ф.Л., Болотника H.H., Градецкого В. Г. [1], которая содержит большой библиографический обзор. В монографии на ряду со многими другими рассмотрена задача управления поворотом упругого стержня с точечным грузом на конце. Получены уравнения движения системы, построены программные управления. Близкие по постановке задачи изучались в работах Бербюка В. Е. [2−7], где решаются различные проблемы динамики и оптимизации управляемых дискретно-континуальных систем, моделирующих роботы, шагающие аппараты, манипуляторы и др. В [8] рассмотрена задача оптимального управления поворотом двух твердых тел связанных между собой упругим стержнем. Основной метод исследования, возникающих при этом дискретно-распределенных систем — это замена распределенной составляющей конечномерной по методу Галёркина. В качестве базисных функций берутся балочные функции. Для конечномерного аналога строится оптимальное управление, которое и берется в качестве управления распределенной системой. В работе Y. Sakawa, R. Ito, N. Fujii [9], где рассматривается задача поворота гибкой руки манипулятора с полным гашением поперечной вибрации в конце процесса управления, также используется метод приближений Галёркина. Этот же метод применяли при изучении задач управления медленно вращающейся балкой Тимошенко М. Gugat, W. Krabs, G.M. Sklyar и J. Wozniak [18−21]. Авторы показали, что существует не более чем счетная последовательность значений радиуса диска, при которых балка Тимошенко является не управляемой (не стабилизируемой). В статьях Бербюка В. Е. и Демидюка М. В. [10,11] задачи динамики и оптимизации манипуля-ционных роботов с распределенными параметрами решаются методами, основанными на концепции обратных задач динамики. Сходную тематику имеют совместные работы.

Акуленко Л.Д. и Болотника H.H. [12−15]. Асимптотические методы построения оптимальных управлений и их приложение к решению различных задач механики рассмотрены в монографии Акуленко Л. Д. [16]. В указанной работе развиваются методы малого параметра: регулярных и сингулярных возмущений, усреднения и связанных с ним преобразований переменных. Однако для решения ряда поставленных задач в общем случае предложенные асимптотические методы не применимы — требуется привлечение численных методов. Численным методам решения задач оптимизации управляемых движений посвящена, например, монография Ф. Л. Черноусько и Н. В. Баничука [17].

В диссертации на основе единого подхода, основанного на точном интегрировании дискретно-распределенных систем уравнений (гибридных систем уравнений), строятся оптимальные управления рассматриваемых механических систем. Управления представляют собой ряды по некоторым базисным функциям, строго определенным конкретной изучаемой задачей. В диссертационной работе доказана управляемость системой при любых значениях параметров системы, что является существенным преимуществом по сравнению с методом Галёркина. Метод применим как к случаю упругого, так и наследственно вязкоупругого стержня.

Изучение систем с вязкоупругими элементами особенно актуально в связи с широким применением в современной промышленности, от авиационной до текстильной (см., например, [22, 23]), полимеров и композиционных материалов. Теория наследственности в целом получила существенное развитие в работах Ю. Н. Работнова и его учеников, руководствуясь монографией [24] которого, в настоящей диссертации и построена математическая модель механической системы с наслественно вязкоупругим стержнем. Для описания свойств вязкоупругих материалов существует несколько моделей: Максвелла, Фойгта, Больцмана-Вольтерра. Первые две из них привлекательны своей простотой и наглядностью, однако их использование при исследовании динамических задач механики деформируемого тела приводит к определенным неточностям, которые накапливаются во времени [25]. Наиболее достоверно описывает реальный процесс модель Больцмана-Вольтерра со слабосингулярными ядрами наследственности с особенностью типа Абеля. Среди них — трехпараметрическое ядро наследственности Ржаницына-Колтунова, используемое в данной диссертационной работе при построении оптимальных управлений в главах 2 и 3.

Говоря об управлении системами с распределенными параметрами в общем, нельзя не упомянуть основоположника этого направления кибернетики профессора А.Г. Бут-ковского [26−33]. Исследования К. А. Лурье способствовали широкому распространению операторного подхода в области задач управления объектами с распределенными параметрами [34,35]. Вопросам о необходимых условиях типа принципа максимума JI.C. Понтрягина в оптимальных задачах с частными производными посвящена его монография [36]. Широкий круг задач теории оптимального управления системами с распределенными параметрами освещен в работах Ж.-Л. Лионса [37,38]. В заключение, не претендуя на полноту приведенного обзора, отмечу работы А. И. Егорова [39,40], где рассматриваются как системы с сосредоточенными так и с распределенными параметрами, и H.H. Красовского [41−45], сделавшего фундаментальный вклад в создание и развитие теории дифференциальных игр.

Остановимся коротко на структуре диссертации.

В первой главе работы приведен вывод уравнений движения механической системы, состоящей из двух твердых тел (основания и груза), жестко связанных между собой удругим стержнем, и сформулированы две задачи оптимального управления: задача перевода системы из одного фазового состояния в другое с минимизацией функционала энергии от управляющего момента и задача быстродействия.

Стержень имеет постоянное сечение и равномерно распределенную по длине массу. Центры масс Оi и О2 основания и груза расположены на касательных, проведенных к центральной оси стержня в точках заделки. Система может совершать вращательные движения вокруг оси, проходящей через центр масс основания, относительно которой приложен момент сил M (t). Движение происходит в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Считая упругие смещения стержня малыми, положение механической системы можно охарактеризовать углом поворота 9(t) системы координат, связанной с основанием, относительно системы координат, связанной с инерциальным пространством, и величиной у (х, t) поперечной деформации стержня в точке х в момент времени t.

Кратко остановимся на выводе уравнений движения. Используем следующие обозначения: I — длина стержняm — погонная масса стержнятпъ — масса грузаа и аг — расстояния от точек заделки стержня до соответствующих центров масс основания и грузаJ — момент инерции основания относительно оси вращенияJ2 — момент инерции груза относительно оси, проходящей через О2 параллельно оси вращенияEl — жесткость поперечного сечения стержнях — координата точки стержня, отсчитываемая от точки заделки стержня в основание вдоль центральной оси стержня. Взяв произвольную точку Р стержня, подсчитав главный момент всех сил, приложенных к точкам подсистемы РО2 и приравняв его к моменту, создаваемому силами упругости, действующими в сечении, проходящем через точку Р, получаем интегродифференциальное уравнение малых упругих колебаний стержня (в линейном приближении по у (х, Ь)). Дважды дифференцируя его по х, имеем уравнение в частных производных туи + Е1ухххх = -т (х + ах)0+ +92{т[ухх / (й + а^йв + уух (х + а^] + т2ухх (1 + ах + а2)}. (0.1) X.

Здесь и в дальнейшем индексы { и I обозначает частную производную по соответствующей переменной. Дополняем уравнение (0.1) уравнением изменения количества движения относительно оси вращения.

Jв + m [ (х + а1) уи (х,^х + т2(1 + а1+а2)уа (1^)+.

Jo т2а2(1 + ах + а2) + 72]уг"(/, ?) = М (£), (0.2) где J — J + т /д (х +)2йх + тп2(I + + а2)2 + 32. Краевые условия к системе уравнений (0.1)-(0.2) имеют вид у (0,0 = ух (0,*) = 0, (0.3).

Е1ухх{1,г) = -72(ухП (1^) + в) — гп2а2{уи (1,1) + а2ухи (1^)+.

9(1 + а1 + а2)-в2[у (1^) + ух (1^)(1 + а1)}}, (0.4).

Е1уххх (1, ?) = гп2{уа (1,?) + а2ути (1,1) + 0(1 + + а2)+ в2[-у (1^) + (1 + а1) ух (1,Ь)]}. (0.5).

Условия (0.4)-(0.5) получаются из уравнения малых упругих колебаний стержня и определяют изгибающий момент и перерезающую силу на конце стержня.

Далее задаются начальные условия в некоторый начальный (нулевой) момент времени.

0(0) =в0, 0(0) = 0О, У (х, 0) = у0(х), уг (х, 0) = у0(х). (0.6).

В начально-краевой задаче (0.1)-(0.6) осуществляется переход к безразмерным величинам и в соответствии с положениями теории тонких стержней при рассмотрении задач на конечном промежутке времени учитываются лишь линейные слагаемые уравнений (0.1)-(0.5). В результате имеем следующую линейную начально-краевую задачу.

70+ / (х + ах) уи (х, 1)(1х + т2(1 + аг + а2) уи (1,Ь)+ ./о.

Vu + Ухххх = ~{x + ai)0, (0.8) y (0,t)=yx (0,t) = 0, (0.9) fes (M) = -J2(.Vxtt (l, t)+e).

— m2a2{ytt (1, t) + a2yxtt (1, t) + 6(1 + ax + a2)}, (0.10).

Уххх (1, t) = m2{yu (l, t) +a2yxtt (l, t) +0(1 + ai + a2)}, (0.11).

0(0) = 0O, 0(0) = 0O, y (x, 0)=y0(x), yt (x, 0)=y0(x), (0.12) являющуюся математической моделью рассматриваемой механической системы. В конце первой главы формулируются следующие две задачи оптимального управления.

1. Определить момент управления M{t) G L2(0,T), переводящий краевую задачу (0.7)-(0.11) из начального состояния (0.12) в конечное в заданный момент времени Т.

0(Т) = вт, в (Т) = 9 т, у (х, Т) = ут (х), yt{x, T) = yT{x) (0.13) и минимизирующий функционал.

Ф (М) = ^||М (^||12(0)Г). (0.14).

2. Определить момент управления M (t) G L2(0,T), Ф (M) ^ L < оо, переводящий краевую задачу (0.7)-(0.11) из (0.12) в (0.13) за минимальное время Т (задача быстродействия).

Во второй и третьей главах рассмотрен случай вязкоупругого стержня, при этом материал стержня моделируется реологической моделью наследственно вязкоупругого тела [24]: г (0 = Е — J R'{r')e (t' + r')dT^j, где a (t') и е (0 ~ соответственно напряжение и относительная деформация, Е — модуль Юнга, R'(t') — функция релаксации. Рассматривается случай, когда груз на конце стержня отсутствует. Математическая модель изучаемой системы будет следующей.

J0+ [ (x + a1) ytt (x, t) dx = M (t), (0.15).

J о y (0,t) = yx (0,t) = 0, yxx (l, t) = yxxx (l, t) = 0. (0.17).

0(0) = 00, e (0) = ?0, (0 18) y (x, t + t) |i=0 = уо (х, t) G ?>70, yt (x, 0) = yQ (x) G L2(0,1), где (/ - r*)e (i) = e (t) — f^ R®e (t + r) dr.

Система уравнений (0.15)-(0.17) является системой уравнений с бесконечным запаздыванием аргумента. При постановке задач управления начальные и конечные условия для у (х, t + т) (—оо < т < 0) выбираются принадлежащими пространству функций D1 о, т. е. тождественно равными нулю при —оо < г < 0. С механической точки зрения это означает, что в материале стержня в начальный и конечный момент времени отсутствует остаточное напряжение. Такой выбор обусловлен тем, что априорное задание величины остаточных напряжений в материале стержня с практической точки зрения представляется весьма проблематичным.

Считая M (t) G ?2(0, Т), определим понятие обобщенного решения. Введем область Qt = {(x, t), 0 < х < 1, 0 < i < Т} и специальные пространства #i (0,1), Hi (Qt), H{Qt). Через Нг (0,1) обозначим энергетическое пространство оператора Bv = vIV, полученное замыканием его области определения Т>(В) — (u (rc): v (x) G С4(0,1), г>(0) = г/(0) = = г/" (1) = 0} в норме ||u||hi (0i1) = (v (x), и (я))я1(о, 1), = (Bv (x), u (x))L^од) = (v" (x), u" (x))L2(од)) — Через HX (QT) С L2(QT) обозначим гильбертово пространство функций, полученное замыканием множества функций y (x, t) G C4,1(Qt), 2/(0, i) = yx (0,t) = yxx (l, t) = yxxx{l, t) = 0 в норме \y (x, i)||^lWr) = = (y (x, t), y (x, t))HliQT), где (y (x, t), z (x, t))Hl (QT) = Jq ((y (z, t), z (x, i))//1(o, i)+ +(yt (x, t), zt (x, t))^jdt. Скалярное произведение (-, •) в L2(0,1) определено следующим образом:

У, z) = (y (x), z (x))L2{0д) — j ((x + ai), у (х))ь2(о, 1)((х + ¿-н), z (z))L2(0,i). (0.19).

Через H (Qt) будем обозначать пространство L2(QT) со скалярным произведением (у (х, t), z (x, t))u (QT) = Jq (у (х, L), z (x, t))dt и соответствующей нормой.

Под обобщенным решением 9(t), y (x, t + т) (—00 < г < 0) краевой задачи (0.15)-(0.17) в области Qx, удовлетворяющим начальным условиям.

0(0) = в0, 9(0) = в0, у (х, t + г) |{=о = Уо (х, т) G ?>7, yt{x, 0) = у0(х) G Ь2(0,1), у (х, 0) = 0)), которые удовлетворяют соотношениям т.

J (je (t)p (t) + + auyt (x, *)>)<Й + je0p (0) + o T j-(x + ai, yo{x))p (0) + J M{t)p{t)dt = 0, 0 yt (x, t), vt (x, t)) — ((/ - r*)y (x, t), v (x, t))H^{0!i)-(x + auv (x, t))M (tj)dt + {y0(x), v (x, 0)) = 0 0 1 для любых функций p (t) и v (x, t), соответствующих условиям p (t)eWi (0,T), р (Т) = 0, v (x, t) е H^Qt), v (x, T) = 0.

В разделе 2.2 построено обобщенное решение для начально-краевой задачи (0.15)-(0.18), которое представимо в виде оо y (x, t) = (kn (i)cj~1aon (0) + kn (t)bQnn=1 t.

— j-dnJkn (t-r)M{r)dr). (0.20) о e (t) = Qq + 6Qt + ((a- + auyQ (x))t — {x + auy (x, t)) + (x + auy0(x))) + J l t j J (tr)M{r)dr, (0.21) о где a0n® = а-~г (уо (я, r), vn{x))Hl{0<1), b0n = {y0(x), vn{x)) dn = (x + ai, vn (x)) = JiJ^Cn.

При этом dn ф 0 для всех n = 1, 2,., что дает возможность говорить об управляемости в рассматриваемой задаче.

Решение y (x, t) определяется методом Фурье в виде у{х, t) = v (x)s (t). В результате чего получаем спектральную задачу для v (x) и дифференциальное уравнение для s (t).

Показано, что спектральная задача для v (x) имеет счетное число вещественных однократных собственных значений 0 < Ai < Л2 <. < А&bdquo- <. (A" = /3* — =.

1,2,.). Получено характеристическое уравнение, определены собственные функции уп (х), приведены графики первых пяти из них для одного набора параметров. Собственные функции являются ортонормированными относительно скалярного произведения (0.19).

Решение дифференциального уравнения для представляет особый интерес. Уравнение имеет вид п (1) + и2п (1 — г*К (г) = Ш. (0.22).

Возможно выписать функцию Коши для соответствующего однородного уравнения.

З+гоо.

Ш = ¿-т I Н~р)е^р, (г = /—1), (0.23).

З—гоо где Нп (р) = р2 + ш2 — Я (т)ертс1г^, а ?3 выбрано таким образом, чтобы вещественные части корней уравнений Нп (р) — 0 (п = 1,2,.) были меньше /5. Яс (ш) = /0°° Я (—т) соз (и>т)йт, Я8(ш) ~ /0°° Н (—г) 5 т (и!т)(1т — характеристики ядра Г*, нормированные составляющие комплексного модуля упругости материала стержня, которые определяются экспериментально. Однако нахождение интеграла (0.23) сопряжено с большими вычислительными трудностями особенно при больших шп. Поэтому в главе 3 предложен асимптотический способ построения функций кп (1).

Общее решение уравнения (0.22) определяется с помощью преобразования.

Лапласа и свойств изображения свертки функций.

На основании (0.20), (0.21) задача оптимального управления может быть сформулирована как гладкая экстремальная задача с ограничениями типа равенств. Записав эти равенства особым образом, получаем т оо.

М (*)<�Й = (1, М (1))ы0,Т) = А0(Т) = J{вт — в0) +? сп (ЪТп — Ь0п),.

71= 1 т.

1(Т~ = (Т — ?, М (1))ыо, г) = Лг (Т) = о 3{вт — в0 — в0Т) + ^ сп{аТп{0) — а0п (0) — Ъ0пТ), п=1 Т.

У ?пкп (т — 1) М{1)(И = (йпК{т — г), м (<))?а (о1Г) = Мп+1 (Т) = о у с! пкп (т — г) М{ь)<�и = (с1пкп (т — м{г))ыо, Г) — = о Л (аоп (0)/ит) + ЬопА^СТ) — Йг.) (п = 1,2, .)•.

Для построения оптимального управления М*(£) введена в рассмотрение система функций.

Ы*) = лМт ~ *)> = ¿-ЛС^ - *) 0' = -)•.

С помощью ортогонализации Шмидта по системе (0.24) строится ортонормированная в Ь2(0, Т) система функций «фп{Ь). Аналогично преобразуются величины Ап (Т), в результате чего получаем величины /Зп (Т).

Показано, что решение задачи минимизации функционала энергии от управления дается формулой со.

М*(4) = Х>пСГШ*) — (О-25).

71=0.

Решение задачи быстродействия связано с нахождением первого положительного корня уравнения.

-, оо.

2 «тг=0.

Точные формулировки результатов содержатся в утверждениях 2.1 и 2.2.

Третья глава посвящена рассмотрению случая малости наследственных свойств материала стержня. Вводится малый параметр

Г Я'(т')йт' < 1 J —оо.

Математической моделью рассматриваемой механической системы в этом случае является следующая система дифференциальных уравнений:

Je+ [ (x + a1) ya (x, t) dx = M (t), J о.

Уи + (/ - рТ*)ухххх = -{х + ах) в с краевыми и начальными условиями (0.17), (0.18).

Рассуждения главы 3 в значительной мере повторяют рассуждения второй главы. При этом функции kn (t]fi) строятся в виде разложения по ?1 методом многих масштабов. В качестве нулевого приближения имеем кпо (М0 =^п1 ехР (эт (шп1 — -a^rlЯc (a-&bdquo-)í-l.

Оно с точностью до 0(/хехр (—7 > 0 аппроксимирует при Ь > 0 решение рассматриваемого уравнения. Это решение и будет использоваться для дальнейшего построения управления.

В конце третьей главы рассмотрен пример механической системы, для которой построено оптимальное управление поворотом на угол в = тт/2 с полным гашением колебаний в конце процесса управления с использованием асимптотического метода. Приведены графики функций графики ортонормированных функций фп{Ц ?1) и графики оптимального управления М (Ц /л) для различных значений параметра сделана оценка разницы между асимптотическим и точным решениями.

Главы 4 и 5 посвящены решению задач поворота системы с грузом на конце стержня, постановка которых описана в первой главе диссертации. Общий подход к решению остается прежним: к краевой задаче для у (х, 1), имеющей вид.

2/(0,?) = у*(0,*) = 0,.

0.27) 3.

0.28).

0.29).

0.30) применяется метод Фурье (у (х, t) = v (x)s (t)), в результате чего получены спектральная краевая задача для v (x) и дифференциальное уравнение для s (t).

Здесь особый интерес представляет решение спектральной краевой задачи для v (x), которая содержит спектральный параметр в краевых условиях. Вся четвертая глава посвящена изучению свойств спектра и нахождению собственных функций данной задачи. Показано, что спектр состоит из счетного числа вещественных однократных собственных значений 0 < Ai < Л2 <. — < А&bdquo- <. (n = 1,2,.), получено характеристическое уравнение, определены собственные функции vn (x). Собственные функции являются ортонормированными относительно скалярного произведения у, z) = (у, z) + my (l)z (l) + (J2 + a22m) y'(l)z'(l) + a2m (y'(l)z (l)+ +у (1)г'(1)) — j ((ж + ai, y)(x + аь z) + m (l + аг + а2)((ж + аь y) z (1)+ Цх+аг, z) y (l)) + (J2+ma2(l+ai +a2))((z+ab y) z'(l) + (x+ vai, z) y'(l))-f-+m2(1 + ci! + a2)2y (l)z (l) + (J2 + ma2(l + ax + a2) fy'{X)z'{l)+ +m (J2 + ma2(l + a, + a2))(l + 01 + a2){y{ l) z'(l) + z (l)y'(l))). (0.31).

В пятой главе формулируется понятие обобщенного решения для рассматриваемой начально-краевой задачи, доказывается его существование и единственность, выводится формула, его определяющая. Предварительно вводятся область Qt = {(x, t), 0 < х < 1, 0 < t < Т] и специальные пространства #(0,1) #i (0,1), II (QT), H{Qt)-Через Н (0,1) обозначено гильбертово пространство функций у (х), полученное замыканием в норме ||у (ж)||я — (у (х), у (х))1/'2 пространства функций Сг (0,1). Скалярное произведение (*, *) определено в (0.31). Через i/i (0,1) обозначено гильбертово про.

1 /2 странство функций у (х), полученное замыканием в норме ||у (ж)||я = (y (x), y{x))Hl пространства функций у (х) G С2(0,1), у (0) = у'(0) = 0. Здесь скалярное произведение имеет вид (u (x), v (x))Hl = (и" (х), w" 0c))z, 2(o, i). Через H (Qt) обозначено гильбертово пространство функций y (x, t), полученное замыканием в норме \у (х, ?)II#(qt) = = (У (х. t), y (x, t))]i2iQT), где t), v (x, t))h (qt) = Jo (u{x, t), v (x, t))dt, пространства функций y (x, t) 6 C1'°(Qt) — Через H (QT) обозначено гильбертово пространство функций.

1 /9 y (x, t), полученное замыканием в норме \y (x, t)\H^QT) = (y (x, t), y (x, t))^QT), где (и (х, t), v (x, t))Hl (QT) = (ихх (х, t), vxx (x, t))b2{QT) + [ut{x, t), vt{x, t))H (QT), множества функций y (x, t) 6 C^iQx), 2/(0,i) = yx (0,t) = 0.

Под обобщенным решением начально-краевой задачи (0.26)-(0.30), определенным в области с начальными условиями уо (х) е #1(0,1), щ{х)? Н (0,1) понимается функция у{х, Ь) 6 Н (С}т), удовлетворяющая интегральному соотношению уь (х, 1), уь{х, г)) — {Ухх{х, 1), Ухх (х, 1))ь2(рг1).

-^{х + сц, у (х, <И + {у0(х), у (х, 0)) = 0 для любой функции у (х, ?) вида у (х, Ь) еН^т), у (х, Т) = 0.

Доказано, что обобщенным решением начально-краевой задачи (0.26)-(0.30) является ряд оо у (х, I) = ^ уп (х) (аоп^п1 С08(шп1) + Ь^и¹ зт (и)пг)п=1 у о—1 зт (ып (г — т))М (т)Л-). (0.32) о.

Под обобщенным решением уравнения (0.7) понимается функция 9(Ь) е И^СО, Г) 0(0) = бо, удовлетворяющую интегральному равенству т.

I (./¿-(¿-Ж*) ±у {* + + Д) Ко)+ 0 т а1, уо (х))р (0) + I М (Ф (?)<�Й = 0. для любой функции р (£) вида р (г) = о.

Обобщенное решение уравнения (0.7) определяется следующим выражением в (г) = б0 + ?0* + 4-((я + а1, уо (а0)< ~ (х + аь у (х, ?)} + (ж + аь у0(ж))) + п и.

Далее следует описание алгоритма построения оптимального управления рассматриваемой системой, которое во многом аналогично соответствующему описанию в предыдущих главах. Полученные результаты формально совпадают с результатами главы 2. Их точные формулировки содержатся в утверждениях 5.1 и 5.2.

В конце пятой главы рассмотрен пример механической системы, для которой построены оптимальные управления поворотом из нулевого положения равновесия на угол в = 7г/2 с полным гашением колебаний стержня при различных значениях размера груза за разные промежутки времени. Приведены соответствующие графики. Все иллюстрации созданы в специально разработанном в среде Delphi 2007 автором программном комплексе для построения оптимальных управлений с помощью предложенного в диссертации алгоритма.

Основные результаты работы были представлены на следующих научных конференциях:

1) Всероссийская научная конференция, посвященная 200-летию Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова, Ярославль, 2003;

2) Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 2004;

3) Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-20), Ярославль, 2007;

4) Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна, Воронеж, 2008;

5) Международная научная конференция памяти А. Ю. Левина, Ярославль, 2008;

6) Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовни-чего, Москва, 2009.

По теме диссертации опубликовано 11 работ [46−56]: 5 статей и 6 тезисов докладов. Из работ, выполненных совместно, в диссертацию включены результаты, полученные автором.

Заключение

.

В работе предложены алгоритмы решения задач оптимального управления механической системой, моделирующей динамику манипуляционного робота: задачи минимизации функционала энергии от управления и задачи быстродействия. Отдельно рассмотрен случай, когда матерал руки робота обладает наследственно вязкоупругими свойствами (главы 2,3).

В ходе изучения поставленных задач можно выделить три этапа: решение спектральной краевой задачи и решение дифференциального уравнения, возникающих в результате применения метода Фурье, и непосредственно построение оптимального управления, как минимума в гладкой экстремальной задаче с ограничениями типа равенств. Причем для системы с наследственно вязкоупругим стержнем сложность представляет второй из этапов (дифференциальное уравнение становится уравнением с запаздыванием аргумента), а для системы с грузом на конце стержня — первый этап (в краевых условиях спектральной задачи появляется спектральный параметр). Методика же построения оптимального управления (третий этап) является общей для обеих систем.

Наконец, для каждой из рассматриваемых в диссертации механических систем построены графики оптимальных управлений, иллюстрирующие применение предложенных алгоритмов.