Непрерывные ?-выборки для приближения полиномиальными и рациональными сплайнами

т т.

Диссертация посвящена исследованию устойчивости оператора почти наилучшего приближения различными невыпуклыми множествами.

Пусть заданы X = (X, || • \х) — действительное линейное нормированное пространство и его подмножество М. Оператором метрической проекции называется многозначное отображение.

Рх, м: Х В x^{zeM:\xz\x = Рх{х, М)}, где рх{х, М) = inf-z (=m \х — z\xЕсли для любого элемента х? X множество Рх, м (х) то М называют множеством, существованья1, если для любого х? X множество Рх, м (х) состоит из не более чем одного элемента, то М называют множеством, единственности Если М одновременно является множеством существования и множеством единственности, то говорят, что М — чебыъиевское множество.

Обозначим через Vd[a, Ь] множество алгебраических полиномов степени < d, определенных на [а, &], а через i2m1) m2[a, 6] — множество алгебраических рациональных дробей.

Р-тпг, тпп а, Ъ] = Р 6 Vmi[a, ъQ 6 Я™2[а, &]- Q (t) ^ О Vt? [а, Ъ]X .

В качестве линейных нормированных пространств будут рассматриваться стандартные функциональные пространства: С[а, Ъ] — пространство непрерывных функций на отрезке [а, Ь] с равномерной нормой и Lp[a, Ъ], 1 < р < оо, — пространство измеримых на [a, b] функций, для которых конечна норма || • Пр./ рЬ 1/Р f\P=[jaf (t)Pdt) ¦

В своей классической работе [39] П. Л. Чебышев показал, что для любых d, mi, гаг > 0 множества Pd[0,1] и Лтьт2[0,1] являются множествами единственности в пространстве С[0,1]. Отметим, что вопросы существования во времена П. Л. Чебышева практически не рассматривались. Строгое доказательство того, что Pf/[0,1] и Дпьт,[0,1] являются множествами существования в С[0,1] можно найти в работах Д. Уолша [53] и Н. И. Ахиезера м.

П. Кирхбергер [431 доказал, что для любого d > 0 (однозначное) отображение Рс[0,1],^[0,1] непрерывно.

Интерес к вопросу непрерывности метрической проекции возобновился в 50−60-х годах 20-го века. Этот вопрос вошел в проблематику геометрической теории приближений, которая в эти годы, благодаря работам Н. В. Ефимова и С. Б. Стечкина, В. Кли, И Зингера, Д. Вулберта, A JI. Гаркави, Л. П. Власова, С Я. Хавинсона, Б Крипке, И. Линденштрауса, П. Морриса, Р. Фелпса, Е. Чини и других, выделилась в самостоятельную ветвь теории приближений (см. обзорные работы [6], [11]. [14]).

X. Мэли и Ч. Вицгол [45] и независимо Д. Вулберт [55] показали, что при mi, m2 > 1 метрическая проекция на множество i? mijmo[0,l] (^с[од], л"г1,т2[од](-)) разрывна.

Как было показано Н В. Ефимовым и С Б Стечкиным [15], множество Rrni, 7712 [0,1], га2 > 1, не является чебышевским в пространстве Lp[0,1], 1 < р < оо, тем самым естественным образом возникает задача изучения непрерывности (и других видов устойчивости) метрической проекции для нечебышевских множеств. Одной из возможных постановок является вопрос об устойчивости метрической проекции как многозначного отображения. Этой задачей занимались Л П Власов [12]. Е. В Отлман [30], Дж Блат-тер, П. Моррис и Д. Вулберт [41]. В И. Бердышев [7]. B.C. Балаганский [5], А. В. Маринов [24], Д. Ньюмен и X. Шапиро [47], П. В Галкин [13], А.В. Ко-лушов [18], Б. Бьернестал [40] и другие.

Также в геометрической теории приближений возникает интерес к другому многозначному отображению — оператору почти наилучшего приближения (оператору е-проектирования) рх, м ¦ X Э хуч-{z е М :\хz\x < Рх (х, М) + е}.

Этот интерес был вызван тем, что в некоторых ситуациях оператор почти наилучшего приближения обладает большей, чем оператор метрического проектирования, устойчивостью. Оператор почти наилучшего приближения исследовался В. И. Бердышевым [8], [9], А. В Мариновым [26], Р. Вегманом [54] и др. Оператор почти наилучшего приближение нашел свое применение в смежных областях математики, например, в теории некорректных задач (см. О. А. Лисковец [22], [23], В. А. Морозов [29]).

Параллельно с этим во второй половине 20-го века в общей топологии начали изучаться выборки из многозначных отображений. Толчком к их исследованию послужила классическая работа Е Майкла [46]. В наши дни это направление продолжает развиваться (см. М ван де Вел [52], Д. Реповш и П. В. Семенов [50]). Его современное состояние излагается в обзорных работах Д. Реповша и П. В. Семенова [31], [49].

Синтез идей геометрической теории приближений и теории Е. Майкла непрерывных выборок привел к новым постановкам задач, изучить устойчивые (однозначные) выборки из многозначных операторов метрической проекции и почти наилучшего приближения, те, по сути, исследовать другую характеристику устойчивости этих операторов.

Определение 1. Пусть задано действительное линейное нормированное пространство X и его подмножества L, Y С X. Отображение Gx, y, l '• Y —"• L называется (£1,^2)-выборкой, ?,?2 > 0, из множества Y во множество L в пространстве X, если для любого элемента f Е Y имеет место неравенство.

II/ - GxmU)\х < Px (f L){ 1 + ei) + ?2.

Выборка называется непрерывной (равномерно непрерывной, липшице-вой), если отображение Gx, y, l непрерывно (равномерно непрерывно, липши-цево). Если Y = X, то (ei,^{-выборку} Gx, y, l из I в i в пространстве X сокращенно называют выборкой из X в L, (е, 0)-выборку называют мультипликативной^{-выборкой,} а (0, г)-выборку — аддитивной е-выборкой.

Связь между аддитивными и мультипликативными выборками устанавливает теорема И Г Царькова если Y = X и L замкнуто в X. то следую-ш/ие утверждения one ива пентны.

1. для любого е > 0 существует непрерывная аддитивная, ?- выборка из X в L;

2. для любого? > 0 существует непрерывная мультипликативная £-выборка из X в L;

3. для любого? > 0 существует непрерывная (?,?) — выборка из X в L.

Выборки из оператора метрической проекции начали изучаться А. Лаза-ром, Д. Вулбертом и П Моррисом [44]. Систематическое изучение выборок из оператора почти наилучшего приближения было начато в конце 80-х годов С. В. Конягиным [19], [20] и И. Г. Царьковым [37], [38], а также несколько позднее А. В. Мариновым [25], [27] и П В Альбрехтом [2]. В [37] для некоторых линейных нормированных пространств И. Г Царьковым получена геометрическая характеризация множеств, в которые существует непрерывная аддитивная s-выборка для всех? > 0. В работах А. В. Маринова [25] и И. Г. Царькова [38] получены точные по порядку размерности оценки модуля непрерывности е-выборок.

Остановимся подробнее на^{-выборках} в линейные подпространства. Из теоремы Е. Майкла [46] вытекает что для любого? > 0 и любого L, замкнутого подпространства Хь существует непрерывная аддитивная^{-выборка} из.

X в L. Более того в случае, когда L — конечномерное подпространство, возможно построение более гладких выборок из X в Lиз результатов В. И Бер-дышева [8], А. В. Маринова [25] и П. В Альбрехта [3] вытекает, что существуют липшицевы аддитивные е-выборки в L с константой Липшица порядка 1 /е при е —> 0.

Естественным образом возникает вопрос о нахождении устойчивых е-выборок для почти наилучшего приближения нелинейными множествами. Классическим примером нелинейного множества, используемого для приближения функций, являются алгебраические рациональные дроби.

СВ. Конягин [19] доказал что для любого? > 0 и т, т2 > 0 существует непрерывная аддитивная^{-выборка} из С[0,1] в Ять7П2[0,1]. Отметим, что в этой работе существование непрерывных выборок было получено для более широкого класса дробей, а именно, для множества обобщенных рациональных функций. Однако, более гладкие выборки в эти множества существуют не всегда С. В Конягин [20] анонсировал, что для любого е G (0, 2) не существует равномерно непрерывной мультипликативной е-выборки из С[0,1] в Лод[0,1] (доказательство этого результата приводится в работе К. С. Рютина [32]) Локально липшицевы выборки на обобщенные рациональные функции исследовались, А В Мариновым [27]. К. С Рютин [32] изучал липшицевы мультипликативные е-выборки из оператора обобщенного рационального приближения в пространстве С[0,1] В частности, он установил, что для больших г > 0 существует липшицева мультипликативная £-выборка в До, 1 [0,1] В работе [33] К С. Рютин изучал равномерно непрерывные мультипликативные е-выборки из С[0,1] в пространство обобщенных рациональных дробей.

В пространствах Lp[0,1] ситуация несколько иная. Как было показано И. Г. Царьковым [37], для 1 < р < оо, mi > 0, 777,2 > 1 и достаточно малых? любая аддитивная^{-выборка} вRmi) TO2[0,1] в пространстве Lp[0,1] разрывна. К. С. Рютин [51] доказал, что для больших? и произвольных mi > 0, 777,2 > 0 существует непрерывная мультипликативная е-выборка из Lp[0,1], 0 < р < оо, в i? mijm,[0,1]. Им также было доказано, что при некоторых mi > 0 и т2 > 0 не существует непрерывной мультипликативной е-выборки из Lp[0,1], 0 < р < 1, в #mi)m2[0,1] для 0 < е < 21~р — 1.

Другим аппаратом, используемым в теории приближений для аппроксимации функций, являются сплайны. Пусть заданы о, Ъ е М, n, d, к 6 N, а < Ъ, n>l, d>l, l< t • • • < tn-1 < tn — b. Множеством n-звенных алгебраических сплайнов степени d, дефекта к с фиксированными узлами, А называют.

S*>k ([a, Ь], А) = {/ е cd~% Ъ]: f [tliMe Vd[ti-ъ til 1<1<п).

Множеством п-звенных алгебраических сплайнов степени d, дефекта к с нефиксированными узлами называют.

Sd/[a, b}= [J #*(М, Д).

Д а=Хо<�Х1.

В случае к = 1, соответствующие множества называются сплайнами минимального дефекта, а в случае к = d — сплайнами максимального дефекта. В дальнейшем при обозначении сплайнов максимального дефекта индекс к (к = d) мы будем опускать.

Теория сплайнов интенсивно развивалась во второй половине 20-го века. Приближение сплайнами хорошо себя зарекомендовало как в теоретических исследованиях, так pi в приложениях Сплайны позволяют избежать ряд проблем, возникающих при аппроксимации функций полиномами и рациональными дробями, например, зависимости аппроксиманта в целом от поведения приближаемой функции в окрестности любой фиксированной точки. Это в некоторых ситуациях (например, в случае не очень большой гладкости приближаемой функции) делает приближение сплайнами эффективнее других методов аппроксимации.

Развитию и популяризации теории сплайнов способствовали труды И. Шенберга. Приближению сплайнами посвящены книга Дж. Альберга, Э. Нильсона и Дж. Уолша [lj с добавлениями С. Б. Стечкина и Ю. Н. Субботина, а также книга С. Б Стечкина и Ю. Н. Субботина [34]. Отметим, что сплайны с фиксированными узлами являются решениями ряда экстремальных задач, кроме того с помощью сплайнов с равномерными узлами вычислены (точно или по порядку) некоторые поперечники (см. [17], [36]).

М.Ш. Бирман, М. З. Соломяк [10] изучали приближение кусочно-полиномиальными функциями с нефиксированными узлами. В работе [35] Ю. Н. Субботин и Н. И. Черных начали исследование аппроксимации функциональных классов сплайнами с нефиксированными узлами. В статье [35] Ю. Н. Субботиным и Н. И. Черныхом были получены порядки приближения классов Соболева сплайнами минимального дефекта. А. А. Лигун и В. Ф. Сторчай [21] изучали приближение индивидуальных функций сплайнами максимального дефекта.

Г. Нюрнбергер и М. Зоммер [48] исследовали существование непрерывных выборок из метрической проекции ((0, 0)-выборок) во множество сплайнов минимального дефекта с фиксированными узлами SjP ([a, 6], А) в пространстве С[0,1]. Они доказали, что выборки существуют тогда и только тогда, когда п < d. Р. ДеВор, Р. Ховард и Ч. Мичелли [42] построили непрерывные аддитивные е-выборки из соболевских шаров UWp [0,1] во множество разрывных кусочно-полиномиальных функций с нефиксированными узлами с е, зависящим от класса. Эти выборки были использованы для вычисления порядков некоторых поперечников.

Структура работы.

Работа состоит из введения, четырех глав, списка основных обозначений и списка литературы из 61 наименований. Теоремы, леммы и формулы и т. д. в главах 1−4 имеют номера, состоящие из двух чисел, первое из которых номер главы, а второе — номер теоремы (леммы, формулы и т. д.) в этой главе. Определения имеют сквозную нумерацию. Полный объем диссертации.

— 90 страниц.

В Главах 1,2 и 3 изучается почти наилучшее приближение в пространстве С[0,1]. в них, если это особо не оговорено, под нормой || • || понимается равномерная норма на [0,1].

В Главе 1 доказываются теоремы общего характера, которые используются в последующих главах: для произвольного е > 0 строятся непрерывные мультипликативные ег-выборки из С[0,1] в нелинейные множества специального вида, доказывается существование непрерывных мультипликативных б:-выборок из С[0,1] во множество обобщенных сплайнов.

Глава 2 посвящена существованию непрерывных мультипликативных выборок из пространства С[0,1] во множество полиномиальных сплайнов максимального дефекта с нефиксированными узлами [0,1]. В первой части главы приводятся некоторые аппроксимативные свойства множества полиномиальных сплайнов Они в значительной степени общеизвестны, но приводятся для полноты изложения Во второй части главы изучаются непрерывные выборки из метрической проекции ((0, 0)-выборки) во множество линейных сплайнов 0,1]. Доказана следующая теорема.

Теорема 2.1. При п = 1, 2 существует непрерывная выборка из метрической проекции в 1]- т. е. существует такое непрерывное отображение G: С[0,1] —) — 1], что для любой функции f € С[0,1] справедливо.

G (f)~f\ = P (L #[0,1]) — при п > 3 непрерывной выборки из. метрической проекции в #[0,1] не существует.

Если перейти от (0, 0)-выборок к е-выборкам, то можно получить положительный результат при произвольном п > 1.

Теорема 2.2. Для любого е > 0 и п > 1 существует непрерывная мультипликативная е-выборка из С[0,1] в S^[0,1].

В последней части главы 2 доказываются теоремы, посвященные выборкам во множество полиномиальных сплайнов, d > 2.

Теорема 2.3. Для любого? > 0 ti n, d > 1 существует непрерывная мультипликативная (1 + е)-выборка из С[0,1] в 1].

Теорема 2.4. Для любого е > 0, п > 2- d > 2 не существует непрерывной мультипликативной (1 — г)-выборки из С[0,1] в.

Глава 3 посвящена существованию непрерывных мультипликативных выборок из пространства С[0,1] во множество рациональных сплайнов с фиксированными и нефиксированными узлами..

Пусть заданы a, b? R, п? N, mi, m2 > 0, а < Ь, и разбиение, А: а = to < ti • ¦ • < tn-1 < tn = b. Множеством n-звенных рациональных сплайнов порядка mi, m2 с фиксированными узлами, А называют.

R-m 1 777 2.

Множеством n-звенных рациональных сплайнов порядка т, Ш2 с нефиксированными узлами называют и ic, m3(M], A)..

Да=го<" г-1 <�гп1<�л-1=6.

В первой части главы 3 доказывается.

Теорема 3.1. Для произвольных n, mi, m2? N, разбиения, А: 0 = to < ti • • • < tn-1 < tn = 1 и е > 0 существует непрерывная мультипликативная £-выборка из СО, 1] в R^m2{[О, 1], А).

Во второй части главы 3 рассматривается приближение рациональными сплайнами с нефиксированными узлами.

Теорема 3.2. Для произвольных 77., mi, 7712? N, mi > 777.2, ?> 0 существует непрерывная мультипликативная (1 + е)-выборка из С[0,1] в iC’m2[ 0,1]..

Отдельно рассматривается приближение рациональными сплайнамиR^fO, 1]. Легко заметить, что если г? 1] обращается в ноль в одной точке из [0,1], то она является тождественным нулем. Тем самым в i^fO, 1] выделяются два естественных подкласса: множество положительных и отрицательных функций. Пусть.

0,1] = {г G 1]: Vt G [0,1] r (t) > 0}. (1).

Таким множеством естественно приближать множество положительных функций С+[0,1].

С+[0,1] = {/ Е С[0,1]: Vt G [0,1] /(t) > 0}. (2).

Теорема 3.3. Для произвольных п? N и е > 0 существует непрерывная мультипликативная, £-выборка из С+[0,1] в R^ +[0,1] в пространстве С[0,1]..

Глава 4 посвящена изучению непрерывных и равномерно-непрерывных выборок для приближения ломаными с нефиксированными узлами в пространстве Lp[0,1], 1 < р < оо..

Рассмотрим функцию h € Lp[0,1]. 1 < р < оо. h (t) f 0, 0 < t < ½ ~ 1 1, ½.

Ясно, что h Е #[0,1] #[0,1] при п > 3. Откуда следует, что для любого е > 0 не существует мультипликативной е-выборки ((е, 0)-выборки) из всего Lp[0,1] в #[0,1], го > 3, 1 < р < оо. Поэтому для получения положительных результатов надо или «добавлять аддитивную компоненту в выборку», или определять выборку на собственном подмножестве Y = Lp[0,1] (S*[0,1].

Теорема 4.1. Пусть ?2 > 0- го > 2, 1 < р < оо и.

LP{ 0,1], е2>0.

Тогда существует, ((7(го + 1))х/р — 1, £2)-выборка G — C^i [о, i][о, i] из множества Y во множество #[0,1] в пространстве Lp[0,1], т. е отображение, обладающее свойством.

Vf?Y ||/ - G (f) || < (7(n + 1))^(/, #[0,1]) + ?2, которая непрерывна на всем Y, а равномерно-непрерывна, на, множествах Ум = Yf]{fe Lp[0,1], essup, e[0jl]|/(t)| < М}, М > 0..

Нетрудно показать, что множества #[0,1] аппроксимативно компактны в Lp[0,1], 1 < р < оо, при го > 1 и невыпуклы при го > 2. Тогда из результатов И. Г. Царькова ([37], следствие 2) вытекает, что при достаточно малом е > 0 не существует непрерывной аддитивной е-выборки из Lp[0,1] в #[0,1], и следовательно, в #[0,1]..

Следующая теорема утверждает, что оценка в теореме 4.1 точна по порядку:.

Теорема 4.2. Для произвольного р, 1 < р < оо, существуют такие С > 0 и ?2 > 0- что для любого го > 4 не су шествует непрерывной (Сго1^— 1, £2)-выборки из Lp[0,1] П С[0,1] в #[0,1] в пространстве Lp[0,1]..

Теорема 4.3. Для произвольных р, 1 < р < 00, го, d > 2 и ?1, ?2 > 0 не существует непрерывной {£^£2)-выборки из Lp[0,1] в #[0,1]..

Основные результаты данной диссертации опубликованы в работах автора [56] - [61]..

Они докладывались на семинаре по теории тригонометрических и ортогональных рядов под руководством чл.-корр. РАН, проф. П. Л. Ульянова, проф. М. К. Потапова и проф М И Дьяченко на семинаре по теории приближения под руководством проф. И Г Царькова, на семинаре по теории ортогональных рядов под руководством члкорр РАН, проф. Б. С Кашина и проф. С. В. Конягина, на международной конференции по функциональным пространствам, теории приближения и нелинейному анализу, посвященной столетию С. М. Никольского (Москва, 2005), на международных школах С. Б. Стечкина по теории функций (Миасс)..

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору И. Г Царькову за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также профессору С. В. Конягину за многочисленные полезные обсуждения..

1. Бердышев В. И. Пространства с равномерно непрерывной метрической проекцией // Математические заметки. 1975. Т. 17. N.1. С. 3−12..

2. Бердышев В. И. Непрерывность многозначного отображения, связанного с задачей минимизации функционалов // Изв. АН СССР Сер матем 1980. Т. 44. N.2. С. 483−509..

3. Бердышев В. И. Варьирование нормы в задаче о наилучшем приближении // Математические заметки. 1981. Т. 29. N.2. С. 181−196..

4. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Кусочно-полиномиальные приближения функций классов // Матем. сбор. 1967 Т. 73 N 3. С. 331−355..

5. Власов JI.Il. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах //УМН. 1973. Т. 28 N 6. С 3−66..

6. Галкин П. В. О модуле непрерывности оператора наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций // Математические заметки. 1971. Т.10. N.6. С. 601−604..

7. Гаркави А. Л. Теория наилучшего приближения в линейных нормированных пространствах //Итоги науки ВИНИТИ АН СССР Математический анализ. 1969 С. 75−132.

8. Ефимов Н. В., Стечкин С. Б. Аппроксимативная компактность и чебы-шевские множества // ДАН СССР 1961. Т. 140. N.3. С. 522−524.

9. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука 1989..

10. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории прближений. М. 1984..

11. Колушов А. В. Задача корректности наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций // Математические заметки. 1978. Т.23. N 3. С 351−360..

12. Конягин С. В. О непрерывном операторе обобщенного рационального приближения // Математические заметки. 1988. Т.44. N.3. С. 404..

13. Конягин С. В. О равномерной непрерывном оператора рационального приближения // Теория приближений и задачи вычислительной математики. 1993. С. 108..

14. Лигун А. А., Сторчай В. Ф. О наилучшем выборе узлов при приближе-рши сплайнами в метрике Lp. //Математические заметки. 1976. Т.20. N.4. С. 611−618.

15. Лискоеец О. А. Метод е-квазпрешений для уравнений 1-рода. // Дифф. уравн. 1973. Т.9. N.10. С. 1851−1861..

16. Лискоеец О. А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. // Минск. НиТ. 1981..

17. Маринов А. В. Условие Липшица для оператора метрического проекто-рования в пространстве Са, Ь] // Математические заметки. 1977. Т. 22. N.6. С. 795−801..

18. Маринов А. В. Оценки устойчивости непрерывной селекции для метрической почти проекции // Математические заметки. 1994. Т. 55. N.4. С. 47−53..

19. Маринов А. В Константы Липшица оператора метрического е-проектирования в пространствах с заданными модулями выпуклости и гладкости // Изв. РАН. Серия матем 1998. Т.62. N.2. С 103−130..

20. Маринов А. В. Липшицевы селекции оператора метрического е-проектирования на обобщенные рациональные дроби // Соврем, методы теории функций и смежн. проблемы. 2001. Воронеж. ВГУ.

21. Марков А. А Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций наименее отклоняющихся от нуля М.Л. ОГИЗ 1948.

22. Морозов В. А. Метод квазирешений на некомпактных множествах // Докл. АН СССР. 1982 Т.263 N.5. С. 1057−1061..

23. Ошман Е. В. О непрерывности метрической проекции // Матем замет. 1985. Т. 37. N.2. С. 200−211..

24. Реповш Д., Семенов П. В. Теория Э. Майкла непрерывных селекции. Развитие и приложения // Успехи матем. наук, 1994, V 49. No.6. С. 151 190.

25. Рютин К. С. Липшецевость ретракций и оператор обобщенного рационального приближения // Фунд и прикл. матем. 2000. Т. 6. N.4. С. 1205−1220.

26. Рютин К. С. Равномерная непрерывность обобщенных рациональных приближений // Матем. замет. 2002. Т. 71. N.2. С. 261−270..

27. Стечкин С. В., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука. 1976..

28. Субботин Ю. Н., Черных Н. И. Порядок наилучших сплайн-приближений некоторых классов функций. // Математические заметки. 1970. Т. 7. N.1. С. 31−42..

29. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. — М.: Изд. Моск. Универ. 1976..

30. Царьков И. Г. Свойства множеств, обладающих непрерывной выборкой из оператора Рб // Математические заметки. 1990. Т. 48. N.4. С. 122−131..

31. Царьков И. Г. Об е-выборках // Доклады РАН 1996. Т. 349. N.6. С. 747 748..

32. Чебышев П. Л. Вопросы о наименьших величинах связанные с наилучшим приближенным представлением функций.(1859). Соч., Т.П. С. 151 235. М.Л. 1946;1951.

33. Bjornestal В О Local Lipshitz continuity of the metric projection operator // Banach Center Publications. 1979 V 4 p. 43−54..

34. Blatter J., Morris P.D., Wulbert D.E. Continuity of set-valued metric projection // Math. Ann. 1968. V. 178. N.l. p. 12−24..

35. DeVore R., Howard R., Micchelli Ch. Optimal nonlinear approximation // Manuscripta Math. 1989. V. 63. N 4. p. 469−478..

36. Kirchberger P Uber Tschebyschefsche Annaherungsmethoden. Inaugural-dissertation, Gottmgen. 1902.

37. Lazar A.J., Wulbert D.E., Moms P.D. Continious selections for metric projection // Jour, of Func. Analys. 1969 V 3 N.2. p. 193−216.

38. Maehly H., Witzgall Ch. Tschebyscheff-Approximationen in kleinen Intervalen. II. Stetigkeitssatze fur gebiochene rationale Approximationen // Num. Math. 2:5 (1960). P. 293−307..

39. Michael E. Continious Selection, I //Ann of Math. 1956. V 63. p 361−382.

40. Newman D.J., Shapiro H.S. Some theorems on Chebyshev approximation Щ) //Duke Math J. 1963. V. 30 N.4. p. 673−681..

41. Niirnberger G., Sommer M. Characterization of continious selection of the metric projection for spline functions // J. Approx. Theory. 1978. V. 22. P. 320−330..

42. Repovs D.- Semenov P. V. Continuous selections of multivalued mappings //Mathematics and its Applications. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht. 1998..

43. Repovs D., Semenov P. V. Continuous selections of nonlower semicontinious nonconvex valued mappings //Diff. incl. and Opt. Contr. 1998. V. 2. p. 253 262..

44. Wegmann R. Bounds for nearly best approximations // Proc. Amer. Math, j Ш Soc. 1975. V. 52. p. 252−256..

45. Wulbert D E. Continuity of metric projections / /' Trans Amer. Math Soc. 1968. V 134 N.2 p 335−342.

46. Лившиц Е. Д. О непрерывном почти наилучшем приближении в пространстве С0,1] // Функциональный анализ и его приложения. 2001. Т. 35. N. 1. С. 85−87..

47. Лившиц Е. Д. Об устойчивости оператора^{-проекции} на множество сплайнов в пространстве С0,1] // Изв РАН. Серия Матем 2003 Т 67 N 1 С 99−130..

48. Лившиц Е. Д. О непрерывных мультипликативных выборках из оператора почти наилучшего приближения на множество кусочно-линейных функций в пространстве Ьр. // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции. Воронеж 2005. С. 144.

49. Лившиц Е. Д. О почти наилучшем приближении кусочно-полиномиальными функциями в пространстве С0,1] //Математические заметки. 2005. N.4. С. 629−634..

50. Livshvts E.D. Continuous Selections of Operators of Almost Best Approximation by Splines in the Space Lp0,1]. I //Russian Journal of Mathematical Physics. 2005. V. 12. N. 2. p. 215−218..