Методы агрегирования иерархических динамических систем в задачах отраслевого планирования

Актуальность проблемы. В материалах ХХУ1 съезда КПСС, в «Основных направлениях экономического и социального развития СССР на 1981;1985 годы и на период до 1990 года» Щ отмечается необходимость дальнейшего повышения эффективности управления народным хозяйством, обеспечения разработки сбалансированных плановых заданий по всем показателям, внедрение и эффективное использование автоматизированной системы плановых расчетов.

Существенное значение в решении задач повышения научной обоснованности и сбалансированности планов, их направленности на достижение конечных результатов приобретают математические методы исследования экономических процессов. В связи с этим значительно возрастает актуальность научных исследований, опирающихся на достижения различных областей кибернетики, в том числе на достижения теории и методов математического моделирования сложных систем и теории управления такими системами. Но непосредственный перенос результатов этих исследований в указанную область зачастую оказывается неэффективным или даже невозможным. Причинами этого являются своеобразие и особенности математического описания народного хозяйства, отрасли или предприятия по сравнению с техническими объектами, необходимость переработки большого количества информации, неполнота информации о моделируемом процессе, нечеткое представление о способах переработки и использовании имеющейся информации и другие.

Народное хозяйство и его подразделения представляют собой сложную иерархическую динамическую систему. Одним из основных свойств такой системы является невозможность полного и детального описания с помощью одной единственной модели и необходимость использования системы моделей разного уровня описания и детализации. Значительную трудность представляет нахождение компромисса между простотой описания и необходимостью учета многочисленных факторов и характеристик системы. Поэтому прежде чем применить известные методы теории систем, технической кибернетики, теории управления к задачам управления и планирования народного хозяйства и его подразделений, требуется развитие этих методов с учетом специфики исследуемого объекта, а иногда и создание новых методов.

Сложная система, отображаемая иерархическим семейством моделей, каждая из которых описывает поведение системы с точки зрения различных уровней управления, в работе [Зб] называется стратифицированной. Эффективными' методами построения и исследования иерархического семейства моделей являются агрегирование и дезагрегирование.

Под агрегированием принято понимать [б4] получение из исходной математической модели более простой модели с меньшим числом переменных, которые называются агрегатами. Под дезагрегированием понимается отображение из пространства переменных агрегированной модели в пространство переменных исходной модели, позволяющее решению агрегированной модели сопоставить решение исходной модели.

Агрегирование и дезагрегирование являются важной методологической основой создания совокупности моделей различной степени детализации, применяемых в достаточно широком классе задач управления народным хозяйством: в плановых и предплановых расчетах, прогнозировании развития социально-экономических систем, в процедурах принятия управленческих решений, в автоматизированных системах управления и т. д. Агрегирование и дезагрегирование находят применение в диалоговых системах планирования, когда диалог с ЭВМ через терминалы ведут должностные лица руководящих и планирующих органов. При этом лиц принимающих решение — руководителей верхнего уровня — интересуют решения задач в целом, в укрупненных переменных, в то время как информация об объекте планирования носит детализированный характер, и в данном случае на передний план выдвигается проблема обеспечения строгого согласования решений задач в укрупненных и детализированных переменных.

Применению агрегирования и дезагрегирования в математическом моделировании посвящено значительное количество работ как советских, так и зарубежных исследователей. Но основная масса работ касается статических моделей. Для динамических моделей многие вопросы разработки иерархических систем моделей на основе агрегирования и возможность их практического применения остаются открытыми. Поэтому в работе [4Г], в которой подводятся итоги в области математического моделирования экономических систем, отмечается, что «в области согласования укрупненных и детализированных плановых пропорций уже получены определенные результаты, однако необходимы дополнительные теоретические исследования и обоснования. Математическое построение, экономическая интерпретация и анализ интегральных показателей и характеристик остается актуальной задачей» .

Краткий обзор состояния проблемы. Исходной предпосылкой разработки методов агрегирования было стремление объединить конструктивность и простоту укрупненных математических моделей с подробным описанием детализированных моделей, при минимальных потерях информации. Методы агрегирования дают возможность, во-первых, построить многоуровневую систему математических моделей, отражающих существующую иерархию моделируемой системы, во-вторых, уменьшить объем вычислений при получении решений на основе этих моделей на ЭВМ, в третьих, установить взаимосвязь между укрупненными и детализированными моделями различных уровней, что дает дополнительную информацию о структуре иерархической системы и позволяет, в случае необходимости, уточнить математическую модель.

В зависимости от вида используемых математических моделей можно выделить два направления применения методов агрегирования: агрегирование в статических моделях и агрегирование в динамических моделях. Проблеме агрегирования в статических моделях посвящено большое число работ как советских, так и зарубежных авторов: [3,5, 6,9,ГО, 12,14,21−25,28,30,31,39,46−48,64,69,70,72,75−89].

Группа работ посвящена изучению условий точного агрегирования в статической модели межотраслевого баланса. Впервые условия точного агрегирования таких моделей сформулированы М. Хатанака {80]. Интерпретация условия Хатанака в более простой форме приведена в работе [75]. В работе Н. В. Дюмина, Ю. С. Архангельского [25] дано строгое доказательство этого условия. В работе [14] В. Л. Вен и А. И. Эрлих рассматривают агрегирование вектора конечного выпуска с помощью матрицы, отличной от матрицы агрегирования для полного выпуска. Кроме упомянутых работ проблеме точного агрегирования в статической модели межотраслевого баланса посвящены работы [3,9,12,76, 83,84,86−88] и другие. В работах [85−89] определены условия равенства нулю ошибки агрегирования первого порядка. В работе [28] приводятся необходимые и достаточные условия точного агрегирования для стохастического аналога статической модели межотраслевого баланса.

В другой группе работ рассматриваются приближенные методы, прямо или косвенно опирающиеся на условия точного агрегирования. Так в работах [ЗГ, 79] предлагаются методы агрегирования, в которых основное внимание уделяется вопросам построения критериев и выбора оптимальных в смысле этих критериев разбиений множества исходных переменных на подмножества ставящиеся в соответствие агрегированным переменным. В других работах предполагается, что состав и количество агрегированных переменных зафиксированы заранее, а основная проблема состоит в построении такой матрицы прямых затрат агрегированной модели, при которой в определенном смысле минимизируется возникающая при агрегировании ошибка. Этот подход, помимо работ, упоминавшихся выше, используется в работах [8Г, 85] .

Эффективными и достаточно простыми в реализации являются алгоритмы, относящиеся к интенсивно разрабатываемым в нашей стране методам итеративного агрегирования. Процесс согласования статической модели межотраслевого баланса в укрупненной номенклатуре с расчетами потребности в отдельных продуктах детализированной номенклатуры был предложен в работе [21], а дальнейшему исследованию и развитию методов этого направления посвящены работы: [5,6,10,22−24,30, 34,35,39,64,69,721. В работах В. И. Цуркова [67,68] развиваются итеративные методы агрегирования для широкого класса задач математического программирования.

Проблеме агрегирования в динамических моделях посвящены работы [II, 13, Г5−19,26,27,38,42−45,50−52,54,55,57,58,63]. В работах [II, 13] метод, предложенный в [14] для статической модели межотраслевого баланса, распространяется на дискретные динамические модели расширения и перестройки производства [29]. Среди работ этого направления также имеются работы, посвященные исследованию условий точного агрегирования. В работах Аоки [73,74] рассматривается линейная динамическая управляемая система. Получены условия точного агрегирования исходной системы в агрегированную систему такого же вида. Условия аналогичны условиям типа Хатанака. В работах Ю. Н. Павловского [42−44], а также работах [26,27], для агрегирования динамической управляемой системы используются групповые свойства дифференциальных уравнений. В работе [1б] рассмотрены условия точного агрегирования для динамических управляемых систем большой размерности с выходной векторной характеристикой, зависящей от фазового состояния системы. В работах [15,45] для приближенного решения задачи агрегирования используется метод малого параметра.

В динамических моделях иерархических систем, за исключением частных случаев, параметры агрегированной системы зависят от параметров и переменных исходной системы. Методы агрегирования, использующие этот общий случай связи между параметрами исходной и агрегированной систем, используются в работах Т. К. Сиразетдинова, С.К.Джа-ксыбаева, автора и других [17,19,50−52,54,55,57,58,63].

Одной из малоизученных проблем агрегирования в динамических моделях являются вопросы дезагрегирования укрупненного решения на уровень исходных переменных. В работах С. К. Джаясыбаева [Г7,19 в качестве дезагрегирующей функции принята доля выпуска каждого объекта исходной системы в суммарном выпуске всех объектов системы. Структура этих функций задается в параметризованном виде, параметры определяются из условия удовлетворения ограничений нижнего уровня. Для задач удовлетворения заданной потребности и других задач конструктивным является дезагрегирование с помощью дезагрегирующих операторов. Для динамических моделей такое дезагрегирование впервые было предложено автором в работе [50] и получило дальнейшее развитие в данной работе.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка методов агрегирования и дезагрегирования в задачах моделирования иерархической системы 1 экономических объектов с учетом ее динамических свойств, построение семейства динамических моделей, описывающих моделируемую систему с различной степенью детализации, и разработка эффективных алгоритмов плановых расчетов, основу которых составляют агрегирование и дезагрегирование. На защиту выносятся следующие результаты:

— методы агрегирования динамических моделей и получение иерархического семейства моделей, в котором укрупненные модели получаются из соответствующих детализированных путем агрегирования ;

— методы дезагрегирования с помощью дезагрегирующих операторов, теоремы о необходимых и достаточных условиях равносильности решения исходной системы и решения, полученного на основе агрегированной модели и дезагрегирующих соотношений ;

— многоуровневые•алгоритмы плановых расчетов, использующие методы агрегирования и дезагрегирования, и методика согласованной идентификации параметров динамических моделей иерархической системы — - методы и алгоритмы для проведения расчетов перспективного плана, обеспечивающего достижение заданного уровня потребности в конечной продукции.

Научная новизна и методы исследования. Работа выполнена на стыке двух специальностей. В области «Техническая кибернетика и теория информации» получены следующие результаты: разработаны методы агрегирования динамических моделей — на основе агрегирования построено семейство динамических моделей, описывающих иерархическую систему экономических объектов — для дезагрегирования укрупненных решений на уровень детализированных переменных предложено использовать дезагрегирующие операторы — получены конкретные выражения дезагрегирующих операторов для динамических моделей различного вида — сформулированы и доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях равносильности решений исходных динамических моделей и решений, полученных с использованием агрегированных моделей и дезагрегирующих операторов — разработаны алгоритмы расчетов, использующие последовательное применение агрегирования, идентификации и дезагрегирования и позволяющие проводить расчеты «сверху-вниз», от агрегированных уровней к детализированным — на основе методов теории оптимального управления решена задача достижения заданной потребности.

К области «Математические методы и применение вычислительной техники в экономических исследованиях, планировании и управлении народным хозяйством и его отраслями» относятся следующие результаты: построение системы экономико-математических моделей — обоснование и экономическая интерпретация агрегированных переменных и параметров — методика согласованной идентификации коэффициентов математических моделей экономических объектов — постановка и решение конкретной задачи перспективного планирования на основе разработаиных алгоритмов.

В работе использовались методы технической и экономической кибернетики, экономико-математического моделирования, теории оптимального управления. При разработке программ применялись методы программирования и математическое обеспечение для ЕС ЭВМ.

Практическая ценность. Работа выполнена в соответствии с планом важнейших научно-исследовательских работ Казанского авиационного института.

Для практической реализации предложенных в работе алгоритмов разработана процедура плановых расчетов, позволяющая решать задачу перспективного планирования «сверху-вниз», т. е. сначала решается задача уровня агрегированных переменных, далее полученное решение дезагрегируется на уровень исходных переменных. При этом обеспечивается высокая степень сбалансированности показателей перспективного плана. Разработанные в диссертации методы и алгоритмы реализованы в виде комплекса программ на входном языке ФОРТРАН для ЕС ЭВМ.

Разработанные методы агрегирования динамических моделей экономических объектов вошли в «Методические указания по применению динамических моделей в перспективном планировании развития объединений (предприятий) машиностроительных отраслей» [зв!, которые решением Совета по оптимизации планирования и управления рекомендованы в качестве межотраслевых методических материалов для машиностроительных отраслей.

Основные результаты диссертации — алгоритмы агрегирования и решения плановых задач внедрены в практику отраслевого перспективного планирования.

Структура и содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений.

§ 4.7. Выводы.

Проведенные в данной главе исследования позволяют сделать следующие выводы:

1. Для подотрасли народного хозяйства, состоящей из П объединений и предприятий, решена задача достижения заданного уровня потребности. Решение задачи основано на методах, предложенных в предыдущих главах данной работы.

2. На алгоритмическом языке ФОРТРАН для ЕС ЭВМ разработан комплекс программ, реализующий предложенные алгоритмы.

3. Проведены экспериментальные расчеты, которые продемонстрировали работоспособность комплекса и высокую степень сбалансированности укрупненных и детализированных показателей рассчитываемого с помощью комплекса перспективного плана.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. Последовательным агрегированием исходной детализированной динамической модели получено семейство динамических моделей, описывающих иерархическую систему экономических объектов. Для этого разработаны методы агрегирования, при которых переменные и коэффициенты агрегированных моделей сохраняют соответствующий экономический смысл и содержат информацию о структурных особенностях системы. Как частный случай для динамических моделей получены необходимые и достаточные условия агрегирования, когда коэффициенты агрегированной модели не зависят от переменных исходной. Это является распространением условий типа Хатанака на случай рассматриваемых динамических систем.

2. Впервые для получения решения в детализированных переменных на основе агрегированных динамических моделей предложено использовать дезагрегирующие операторы. Получены конкретные выражения дезагрегирующих операторов для динамических моделей различного вида. Сформулированы и доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях равносильности решений исходных динамических моделей и решений, полученных с использованием агрегированных динамических моделей и деагрегирующих соотношений. Это позволяет проводить согласованную идентификацию агрегированных, полуагрегированных и исходных коэффициентов динамических моделей иерархического семейства.

3. Предложена многоуровневая процедура плановых расчетов «сверху-вниз», которая основывается на последовательном применении агрегирования, идентификации и дезагрегирования, то есть сначала проводится агрегирование исходной информации и идентификация коэффициентов агрегированной модели, после решения задачи агрегированного уровня проводится согласованная идентификация коэффициентов детализированных уровней и, наконец, с помощью дезагрегирующего соотношения определяется решение задачи в терминах переменных исходного уровня. Такая процедура расчетов обладает следующими достоинствами:

— принципиальная возможность решения задач достаточно большой размерности ;

— сохранение структуры связей системы независимо от степени укрупнения переменных и показателей ;

— комплексный подход, который охватывает все этапы процесса моделирования и решения плановых задач — от обработки статистической и справочной информации до выдачи вариантов плановых решений ;

— возможность включения на агрегированном уровне новых плановых задач.

4. Для решения задач достижения заданной потребности на агрегированном уровне предложен подход, при котором на первом этапе определяется программный режим, обеспечивающий сбалансированное развитие системы и соответствующий заданной потребности, на втором этапе ставится задача отыскания оптимального закона регулирования капитальными вложениями, при котором обеспечивается приближение к выбранному программному режиму. Программный режим обладает следующими свойствами: обеспечивает выпуск конечной продукции равный заданной потребности ,* является границей положительности решения задачи агрегированного уровня — при ограниченном изменении потребности является траекторией развития, которая не стремится к бесконечности при неограниченном росте времени.

Управление капитальными вложениями осуществляется по принципу обратной связи, что позволяет осуществить достаточно простую реализацию корректировки управляющих воздействий на основе отклонений от показателей плана.

5. Разработан комплекс программ для ЕС ЭВМ, реализующий предложенные алгоритмы. Для подотрасли решена задача достижения заданного уровня потребности. Проведенные экспериментальные расчеты по.

— 147 казаяи работоспособность разработанного комплекса и высокую степень сбалансированности укрупненных и детализированных показателей перспективного плана подотрасли.

6. Приведен пример решения задачи достижения заданного уровня потребности подотрасли методом «сверху-вниз», где проиллюстрирована эффективность разработанных алгоритмов и методов и проведен анализ полученных результатов.

7. Использование разработанных методов агрегирования' и дезагрегирования и комплекса программ позволило получить экономический эффект за счет автоматизации расчетов и повышения производительности труда разработчиков перспективного плана.