Липшицевость и уплотняемость одного класса нелинейных интегральных операторов

Интегральные операторы являются важным и часто встречающимися в приложениях классом операторов" Основы теории нелинейных интегральных операторов были заложены в трудах М. А. Ляпунова, Л. Лихтенштейна, Э. Шмидта, П. С. Урысона, А.Гаммерштейна.

Дальнейшее развитие теория нелинейных интегарльных операторов получила в работах Н. Н. Назарова, В. В. Немыцкого [29], М. А. Красносельского и его учеников [19 — 24], П. П. Забрейко [10 — 13], М. Отелбаева и А. Г. Суворченковой [34], Р. Ойнарова и М. Отелбаева [32], Р. Ойнарова [3l], Т. К. Нурекенова [30J и многих других авторов.

Следует отметить, что здесь перечислены наиболее близкие к теме работы, которые в разное время вносили ощутимый вклад в теорию нелинейных интегральных операторов.

Нелинейные интегральные операторы и w, %(s)) cLjuh) рассматриваемые в данной работе, интересны тем, что многочисленные задачи физики, астрофизики и других отраслей науки описываются нелинейными уравнениями с операторами (распределение выходящего излучения в задачах переноса поляризованного рассеивающегося света в атмосфереудлинения полимерных волокон или пластин под действием силы, приложенной к их концамвстречаются в задачах связанных с многоэнергетическим уравнением стационарного переноса нейтронов в плоском случае и т. д. [ 27, 39 — 47J. Поэтому настоящая работа посвящена свойствам нелинейного интегрального оператора с ядром.

Это объясняется тем, что основным методом доказательства существовании решения у уравнения dCli 4 = ^ является применение принципе" неподвижных точек. Наиболее часто употребляемые в анализе принципоя неподвижных точек являются принцип Банаха — сжатых отображений и принцип Шаудера, а также принцип Садовского, которое в последнее время часто применяется для анализа уравнений более общего вида, уравнений с уплотняющими операторами. При использовании этих принципов специфика конкретного уравнения выражается лишь в общих свойствах (непрерывность, компактность, сжимаемость, уп-лотняемость и др.) интегральных операторов уравнения.

Хи + 4 =- ^ .

Рассмотрим краткое содержание работы. Диссетация состоит из двух глав и списка цитируемой литературы. Глава I содержит пять параграфов. В первом праграфе даны определения нелинейного интегрального оператора, рассматриваемого в данной работе, в частности интегрального оператора Урысона и нелинейного оператора суперпозиции, также перечислен ряд известных свойств нелинейных интегральных операторов, известные утверждения.

В последующих параграфах рассмотрены свойства нелинейного интегрального оператора.

— /сея UM, Ws))djWs) ^ (i) где (Е, J*) — пространство с полными — конечными мерами, а функция.

С: ErFfllU K = f- —, —) суперпозиционно. JH/Ji> -измерима.

Основным результатом параграфа 2 является теорема 2.1, где доказана непрерывность оператора (I), имеющего «непрерывную мажоранту», из Lf (в) В L^ ft) ().

Далее, для оператора.

П.)Ш Ffl, шц №u, s, U (s))dffs)) (2 > доказана теорема: пусть функции, F v) удовлетворяют условиям Каратеодоири. Если оператор Урысона $ с ядром ^C-ir^^Uj регулярен [22] из в I Л ^ j? ^ t 4 ^ & ^) и нелинейный оператор

Р действует из L^/i^ в ^^.

С ^ ^ ^^)" то оператор (2) действует из пространства ~fjju в пР°стРанство Lbr и непрерывен.

В параграфе 3 установлена некомпактность оператора (I), действующего из Lp в при условии, что.

4, % Щ (Ц ns))ls f № 1+, S, Vj4r) f Ufs)№ ъ • * для некоторых ИЗ ^ f и.

РкИ } АЛ (s)7 VLjs)]? Ufs) а /гиж { U^fs), t^U) если оператор Урысона.

X, и)(*)=- f w, S, Ы, т))ск здесь функция фиксированная из пространства.

LP Ге)) компактно действует из L р в L ^ ,.

Пусть ядро ^>ty) оператора (I) непрерывено по совокупности переменных °? -Ь, S ^ 4, ^ Я- / у «="=='. Тогда имеет место.

Теорема 4.1. Для того чтобы оператора 1.

СШ, S, №, WsUs р был липшицевым из ^г/ в необходимо и достаточно.

М"Ц>11оГ buf Hb&-i+iJ+l)сL>0 leltfl О Irlt-Ji lolU ItlU.

0U4, причем константа Липшица равна числу М.

Если через // обозначим множество натуральных чисел или его ограниченное подмножество и мера J^ любой точки из № С как подмножества У) равно единице, то дискретный аналог оператора (I), рассматриваемый в пространстве числовых последовательностей, имеет вид.

В параграфе 4 доказаны критерии липшицевости оператора (3) в t: пусть функции Зуу fatty) непрерывны по совокупности переменных —"="<=> ^ ^ и оператор (3) действует из / <="=, в .

Тогда оператор (3) дявляется липшицевым в о— тогда и только тогда, когда.

М — Ц> hup Mfi + А) шв icia «.

Р нй шк причем константа Липшица =• ^.

Условия уплотняемости, С t, у?) — ограниченности оператора (I) в пространствах суммируемых функций даны в параграфе 5.

Теорема 5.1. Пусть оператор Урысона.

Г, Utn) cLju (s)^, J) — ограничен из ^ в L ^^ при любой фиксированной из ^/> уи и Z г ' да u (s^Lr>/u.

Тогда оператор

Ли)(*)=$ Wi, s, иш, ;

С 1С + С, J) — ограничен из в ^уи.

Теорема 5.2. Пусть интегральный оператор ^ ил v.)(-t) = S, ъ W, WsUjti*) действует из в L ^ ^ и регулярен при любой.

ОСоШй, /1L • ПУСТЬ Для любого Я > & существует К ^ О, такое, что.

IIJ ш, vtsHml^ ten где BpfYo } К) — шар в ^ P, yw c Центром в.

V0(-tr)6 l?} f радиуса К >0. Пусть, наконец, для любого jtО существует Л > О.

I. ь t II и<-ц, I, Тогда оператор (I), при К + С 4, X уплотняющий из пространства L ^ уи в пространств©L ^^, где У р (Ж) — мера некомпактности Хаусдорфа множества.

Л ъ lhju [I, 25, Ъ]Р, г ^ —) •.

1. Ахмеров P.P., Каменский М. И., Потапов А. С., Садовский Б. Н. Уплотняющие операторы. В кн, Итоги науки и.техники. Математический анализ., М., 1980, тЛ8, с.185 250.

2. Борисович Ю. Г., Сапронов Ю. И. К топологической. теории уплотняющих.операторов. Докл. АН СССР, 1968, т.183,М, с. 18 20.

3. Вайнберг.М. М. Вариационный метод и метод монотонных опера. торов. М., Наука, 1972, 415с.

4. Владимиров В*С. Уравнения математической физики. М., Наука, 1976, -528. с... ,.

5. ДанФорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. T.I. Общая теория.М., Издательство ИЛ. 1962, — 859 с. .

6. Жумагалиева А. Е. Критерий липшицевости некоторого нелинейного, оператора. В сб.:Краевые задачи для дифференциальныхуравнений и их приложения в механике и технике. АлмаАта, 1983, с. 51. 55. .

7. Жумзгалиева.А.Е 0 разрешимости одного класса нелинййных интегральных-уравнений. Изв. АН КазССР. Серия Физ. — мат., 1984, № 5, с. 68 — 69.

8. Жумагалиева А. Е. Некоторые свойства-нелинейного интеграль-. ного оператора. Вестник АН КазССР, 1984, №.7,. с. 70 — 72.

9. Забрейко П. П. Идеальные пространства Функций, I. Вестн. Яросл. ун-та., вып.8 (Качественные и приближенные методыисследования. операторных уравнений). 1974, с. 12 -.52.

10. Забрейко П. П. К теории интегральных операторов, I. В кн.: Качественные и приближенные методы исследования операторныхуравнений.Ярославль. 1981, с. 53 61.. .

11. Забрейко П. П. К теории интегральных операторов, II. В кн.: Качественные и приближенные методы исследования оператор. ных уравнений" Ярославль, 1982, с. 80 — 89.. .

12. Забрейко П. П.,.Майорова H.JI. О разрешимости, нелинейного интегрального уравнения Урысона. В кн.: Качественные. и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль, 1978, с. 61 — 73.. .. .

13. Интегральные. уравнения*(Забрейко П.П., Кошелов А. Н. Драсно-. сельский.М.А. и др.) М., Наука,. 1968, 448 е.

14. Иосида К. Функциональный анализ,. М., Мир, 1967, — 624 с.

15. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. 2-изд.. переработанное^ дополненное. М., Наука, 1977, — 744 с. .

16. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории Функций и функционального анализа. 4 -.изд. переработанноеи дополненное.М., Наука, .1976, 544 с.. ,.

17. Коротков В. Б. Интегральные операторы. Новосибирск, изд. • наука, 1983, — 224.с. .

18. Красносельский М. А. Два замечания. о методе последовательных приближений. УМН 10:1, 1955, с.123−127.

19. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М., Гостехиздат, 1956, — 392 с.

20. Красносельский М. А. Положительные. решения операторных урав-. нений. М., Физматгиз, 1962, 392 с.. .

21. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., .Соболевский П. Е., Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. Наука, 1966,.-499 с... .

22. Красносельский М.А.* Забрейко. П. П. Геометрические методы. нелинейного анализа. М., Наука,.1975, ^ 512 с.

23. Красносельский М.A.j Рутицкий Я. Б. Выпуклые Функции и. пространства.Орлича. М., Физматгиз, 1958, — 272 с.. .

24. Лататуев А. Н., Майорова Н. Л., Морозов М. К" 0 разрешимостисистемы нелинейных интегральных уравнений. В кн.:.Качественные и. приближенные методы исследования операторныхуравнений. Ярославль, 1981, с.88- 94.

25. Лялькина Г. Б. Некоторые вопросы теории, нелинейных. операторных уравнений с уплотняющими операторами. -Автореферат диссертации на соискание ученой степеникандидат Физ, — мат.н. Свердловск, 1980, 16 с... .

26. Мельник A.M. О неотрицательных решениях одного нелинейного интегрального уравнения, -iЛатвийский математический• ежегодник, -1979, е-, 62 68.

27. Натансон И. П. Теория-Функций вещественной переменной. М.,. Наука, 1974, .- 480 с.

28. Немыцкий В. В. Теоремы существования и единственности для нелинейных интегральных уравнений, — Математический сборник, 1934, т.41, № 3, с, 421 452.

29. Hypeкенов Т.К. О полной непрерывности одного класса нелинейных интегральных операторов Урысона и ее применение. к разрешимости решений нелинейных-интегральных уравнений.Изв. АН КазССР, Серия Физ.-мат., 1982, № 5, с. 58 60.. .

30. Ойнаров Р. -Непрерывность.и липшицевость нелинейных интегральных операторов Урысона.- Диссертация на соискание ученойстепени кандидата Физ.-мат. наук, Алма-Ата, .1981, 76 с.

31. Ойнаров Р. ,-Отелбаев М. О разрешимости одного класса нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Изв. АН КазССРСерия физ.-мат., 1983, 5, с. 44 46. .

32. Отелбаев М. Коэрецитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в &. «Труды МИАН, 1983, т.151,с.195 217. .

33. Отелбаев М., Суворченковой Г. А. Необходимые и достаточные условия ограниченности и непрерывности одного. класса .- операторов Урысона. Сибирский матем. журнал, 1979, т.20,№ 2, с. 428 ^ 432. .

34. Садовский.Б. Н. Предельно.компактное.и.уплотняющиеоператоры. УМН, 1972, т.27, вып. I, с. 81 — 196. .

35. Садовский Б. Н. .0 трех результатах в теории мер некомпактности и уплотняющих операторов. В сб.: — Школа-по теории операторов в Функциональных пространствах. Минск, 1978, с. 128 .- 130,.. .

36. Смирнов В. И. Курс высшей математики, т.5. М., Гостехиздат, 1959, 656 с.