Геометрические и экстремальные свойства регулярных функций в круге

Геометрическая теория функций комплексного переменного является в настоящее время интенсивно развивающейся областью математического анализа, в которой изучаются регулярные или мероморфные функции, определяемые какими-либо геометрическими свойствами, а также различные геометрические и экстремальные свойства тех или иных классов функций.

В геометрической теории аналитических функций комплексного переменного важное место занимают вопросы, связанные с исследованием функционалов, непосредственно характеризующих искажения кривых и областей при соответствующих конформных отображениях (см. [1−5- 9- 12- 13- 16- 17- 23−25- 28- 30−33- 36−41- 45−53- 60- 63- 88- 90]), с изучением устойчивости и изменения геометрических свойств аналитических функций при интегральных преобразованиях (см. [35- 42−44- 54- 64- 82- 84- 85]). Особенно актуальными являются эти вопросы для однолистных функций в круге, т. е. функций, принимающих в различных точках круга различные значения, которые реализуют конформные отображения и находят широкое применение во многих разделах математики и механики.

Настоящая работа посвящена изучению геометрических и экстремальных свойств регулярных функций в круге. Основными направлениями исследований в работе являются: изучение геометрических свойств образов кругов со смещенным центром при конформных отображениях, осуществляемых регулярными однолистными функциями в единичном круге, определение экстремальных значений уклонения образов гладких кривых при конформных отображениях, осуществляемых регулярными выпуклыми функциями в единичном круге, исследование вопроса об изменении геометрических свойств регулярных функций при интегральных преобразованиях. Все эти направления касаются указанных выше вопросов, этим обуславливается актуальность проводимых исследований.

Дадим обзор содержания диссертации с параллельным кратким обзором некоторых известных результатов, непосредственно связанных с рассматриваемым в ней кругом вопросов.

В дальнейшем: Е (с, р) = {z\z-c< р}, Е=Е (0,1) R — класс регулярных в круге Ефункций f (z) с f'{z) 0 в Е S — класс однолистных функций f (z)eR, нормированных условиями /(0) = 0, f'(0) = U S° ~ класс функций f (z)eS таких, что.

Re{1+/lo}>0'z6?- (1).

S* - класс функций f (z)eS таких, что.

Re^iUo, zeE- (2).

S — класс функций f (z)eS таких, что Re /' (z) > 0 в круге Е.

Область G называется выпуклой, если любые две точки G можно соединить прямолинейным отрезком, лежащим в G, и называется звездообразной относительно точки w0 е G, если любую точку G можно соединить с w0 прямолинейным отрезком, лежащим в G.

Условия (1) и (2) есть необходимые и достаточные условия для того, чтобы функция w = f (z) отображала круг Е соответственно на выпуклую и звездообразную относительно точки w = 0 область. В связи с этим функции класса S0 называются выпуклыми, а функции класса S* - звездообразными функциями в круге Е. Функции класса S по предложению В. А. Зморовича называются функциями с ограниченным вращением в круге Е.

Свойства выпуклых и звездообразных функций в круге Е к настоящему времени наиболее изучены в теории однолистных функций. Систематическое изучение экстремальных свойств функций с ограниченным вращением в круге Е начато В. А. Зморовичем [19- 21]. Ряд свойств этих функций указан И. М. Гальпериным [14], Т. Мак-Грегором [65] и другими авторами.

М.Робертсон [80] ввел понятие порядка выпуклости для f (z) е и порядка звездообразности для /(z)eS*, заменив условие выпуклости (1) на условие.

Re{1+rM>/?'ze?' (3) где J3, 0 < Р < 1, — порядок выпуклости /(z), а условие звездообразности (2) на условие где Р, 0 < /? < 1, — порядок звездообразности /(z). Функции, выпуклые порядка Р в Е и звездообразные порядка /3 в Е, образуют подклассы классов и S*, которые обозначаются S°(p) и S*(J3). Через S (fl) обозначается подкласс функций из S с ограниченным вращением порядка /3 в Е, т. е. функции f (z)eS таких, что Re fz) > J3, z е ?, 0 < /? < 1.

Регулярная в круге Е (с, р) функция w = /(z), отображающая круг £(с, р) на область G, называется выпуклой в Е (с, р), если G — выпуклая область, и называется звездообразной в Е{с, р), если G — звездообразная область относительно точки w0 = f ©. Аналитически выпуклость функции /(z) в Е (с, р) выражается неравенством [4] а звездообразность — неравенством [5] f (z)-f©.

Принимая это во внимание и следуя М. Робертсону [80], мы называем регулярную в круге Е{с, р) функцию /(z), /'© ^ 0, выпуклой порядка р, 0 < Р < 1, в круге Е (с, р), если.

Refl.ML.z^fe,), и называем звездообразной порядка /? в круге Е (с, р), если.

Z-C)/'(Z).

ДЮ-Дс).

По определению В. Каплана [59], функция f (z)eR, удовлетворяющая в? условию.

Re/M>0 (4) с некоторой (зависящей от f (z)) выпуклой функцией g (z) в Е, называется почти выпуклой или близкой к выпуклой (см. [11, с.583]). Почти выпуклые функции являлись предметом исследования многих работ (например, [8- 18- 29- 73−77]) и их понятие обобщено в разных направлениях (см. [26- 34- 55- 56- 62- 72- 85- 86- 89]). В частности, введены в рассмотрение функции, почти выпуклые определенного порядка.

Известно (например, [56]), что функция f (z)eR, нормированная условиями /(0) = 0, /'(0) = 1 > называется почти выпуклой порядка /3, 0</?< 1, в Е, если существуют такие выпуклая функция g (z)eS° и комплексная постоянная s, | s |= 1, что в Е g' 2.

Множество всех таких функций обозначаем через К{@). Ясно, что К{0) = S°, iC (l) = К — класс почти выпуклых функций в Е. Классы K (fi), 0 < Р < 1, состоят из однолистных функций в Е [59] и являются специальными подклассами функций, введенных в [32].

Регулярную в круге Е (с, р) функцию f (z), /'© ф 0, называем, по определению, почти выпуклой порядка (5, 0 < р < 1, в круге Е (с, р), лежащем в Е, если существует выпуклая в Е{с, р) функция g (z) такая, что в Е (с, р) argiSS.

5).

Центральное место в исследованиях класса S и его подклассов занимают результаты, касающиеся величин, непосредственно характеризующих искажение отображаемой области. Весьма наглядно выясняют степень искажения однолистного отображения так называемые границы выпуклости, звездообразности, почти выпуклости и т. д. Они показывают какие из кругов Е (с, г) аЕ при однолистном отображении круга Е любой функцией класса S (или некоторого его подкласса) переходят в области того или иного геометрического типа.

Первая глава диссертации посвящена определению границ заданного порядка выпуклости и почти выпуклости классов S и K (J3) в произвольной точке с е Е.

Р.Неванлинна [70] нашел, что всякий круг | z |< г при.

0 < г < 2 — л/3 = 0.268. отображается любой функцией класса S на выпуклую область. Число нельзя заменить большим. Оно называется границей выпуклости для класса S [15, с.165−166].

И.А.Александров [3] (см. также [4- 7, с. 163−164- 6, с.58- 11, с.565]) доказал, что всякий круг Е (с, г), лежащий в Е, при 0 < г < г {с) = 2-л/3+ | с |2 любой функцией f (z) е S отображается на выпуклую область. Позднее из других соображений этот результат получен Б. Н. Рахмановым [37] и Л. М. Бер [13]. Число г ©, которое нельзя увеличить без дополнительных ограничений, названо И. А. Александровым границей выпуклости класса S в точке с.

Ставшие уже классическими, результаты Р. Неванлинны и И. А. Александрова послужили стимулом для отыскания границы почти выпуклости класса S. Впоследствии, Я. Кшиж [60] и П. И. Сижук [38] определили наибольшие радиусы кругов с центром в нуле, в которых каждая функция класса S почти выпукла и почти выпукла порядка /3.

Наряду с исследованием границ выпуклости и почти выпуклости всего класса S проводились исследования по определению границ выпуклости и почти выпуклости его подкласса K (jB). В частности, Х. Поммеренке [74] нашел, что круг z< + Р-«^2(3 + [Зг, но не всегда больший круг, отображается любой функцией класса К (/3) на выпуклую область. В. И. Кан [27] установил, что круг z-c< + Р-^2Р + р2 + с 2, но не всегда больший круг, отображается любой функцией классаК{Р) на выпуклую область. Д. В. Прохоров и Н. Б. Рахманов [36] определили границу (радиус) почти выпуклости класса К (Р).

Следуя И. А. Александрову, мы называем границей выпуклости (почти выпуклости) порядка Р класса S в точке се£ точную верхнюю границу гр© (гр{с)) радиусов кругов Е{с, г) с Е, в каждом из которых любая функция из класса S является выпуклой (почти выпуклой) порядка р.

Аналогично, называем границей выпуклости (почти выпуклости) порядка, а класса К (Р) в точке с еЕ точную верхнюю границу га (с,/?) (га (с, Р)) радиусов кругов Е{с, г) с Е, в каждом из которых любая функция из класса К (Р) является выпуклой (почти выпуклой) порядка а.

В § 1.1 устанавливается критерий почти выпуклости порядка /? в круге Е (с, р) функций f (z)eR. В частности, при с = 0 и р = 1 получаются соответствующие результаты работ [59- 77- 79].

В § 1.2 находятся точные нижние оценки функционала arg{(z2 -c)/'(z2)/(z, -c)/'(z,)} на классах S и К (Р) при любых zk =c + reiVk, k = 1,2, 0 < (рх < (р2 < 2п, r+1 z |< 1. При с = 0 получается результат из работы [38] для функций f (z)eS.

В § 1.3 с помощью результатов предыдущих параграфов определяется граница почти выпуклости порядка р класса S в произвольной точке се Е и граница почти выпуклости порядка, а класса К (Р) в точке снаходятся границы выпуклости заданного порядка классов S и К (р) в точке с.

Соответствующие результаты работ [3- 13- 27- 36−38- 60- 70- 74] получаются в частных случаях.

Во второй главе рассматривается вопрос об уклонении образов достаточно гладких кривых при конформных отображениях, реализуемых функциями классов S и S0.

Как известно (см.

введение

в библиографию в [50]) уклонением, А плоской кривой и = u (t), v = v{t), t — параметр, (6) в некоторой ее точке М называется тангенс угла 8, образованного предельным положением прямой MN и нормалью к кривой в точке М, где N — середина хорды кривой, параллельной касательной в точке М, когда хорда стремится к М. Угол 5 называется углом уклонения, а предельное положение прямой MN — осью уклонения или аффинной нормалью к кривой. Величина уклонения, А измеряет асимметрию кривой относительно нормали, проходящей через точку М, и является наряду с кривизной важной характеристикой кривой в окрестности точки М.

Вопрос об изменении кривизны линий уровня (образов концентрических окружностей | z |= г) при однолистных конформных отображениях рассматривался в целом ряде работ (например, в [10- 20- 30- 47- 48- 51]). В некоторых классах однолистных функций он решен полностью. В. В. Черников и С. А. Копанев [50] положили начало исследованию экстремальных свойств уклонения линий уровня при однолистных конформных отображениях.

B.В.Черниковым [49- 50] (см. также [6, с.205−216]) дано полное решение задачи об экстремальных уклонениях линий уровня в классе S, а.

C.А.Копаневым [50] (см. также [6, с.216]) — в классе S0. Впоследствии, П. И. Сижуком и А. А. Бутенко [39] эта задача решена в двух подклассах класса S0. С. М. Югай [52] получено решение задачи об экстремальных уклонениях образов окружностей со смещенным центром вдоль вещественного диаметра круга Е при конформных отображениях, реализуемых всеми функциями класса S0 и рсимметричными функциями из S0. Поведение функций класса S на окружностях с центрами, не совпадающими с началом рассматривалось в работах [88- 90].

В § 2.1 выводится формула для вычисления величины уклонения в произвольной точке образа достаточно гладкой кривой при конформном отображении w = f (z)eS. Указанные в работах [50- 52] формулы для уклонения образов окружностей содержатся в нашей формуле.

В § 2.2 рассматривается общая задача об изменении уклонения образов достаточно гладких кривых при конформных отображениях, реализуемых функциями класса S.

В § 2.3 приводится полное решение задачи об экстремальных значениях уклонения образов достаточно гладких кривых при отображении круга Е функциями класса S0. В частных случаях получаются соответствующие результаты работ [50- 52].

В третьей главе рассматривается вопрос об изменении геометрических свойств регулярных функций под действием на них интегральных операторов. Исследованию этого вопроса в теории однолистных функций посвящен большой цикл работ (см. обзор в [1], [2] и введение в [44]).

Р.Либера [64] доказал, что оператор сохраняет принадлежность функций классам S*, S0 и К. С. Бернарди [54] доказал такое же утверждение относительно оператора при каждом комплексном у, Re v > 0.

П.Мокану, М. Рид и Д. Рипеану [69] уточнили результат Р. Либеры о звездообразности оператора !(/). Они нашли порядок звездообразности.

L (f) в классе S*, который определяется как наибольшее число /? = J3[L (S*)] такое, что L (S*) с S*(/3).

Р.Сингх и С. Сингх [84], распространяя результаты Р. Либеры на более широкие классы функций, доказали, что если функция f (z) = z +. из класса.

7).

B (f) = F (z) =^lrlf (t)dt v + zc.

8).

R удовлетворяет в Е условию (3) при /? = —½, тогда представимая интегралом Либеры (7) функция F (z) принадлежит классу S0, а если для f{z) существует функция g (z), удовлетворяющая условию.

1 g’Wj 2' такая, что имеет место неравенство (4), то функция F{z) принадлежит классу К. Они также доказали, что F (z) отображает круг |zj <

4-л/13 на выпуклую область, если f (z)eS.

Н.Сохи [87] показал, что при v > 1 утверждение С. Бернарди о звездообразное&tradeи выпуклости функции F (z) в (8) имеет место при более слабых условиях для f (z): F{z) е S*, если f (z) = z + .eR и и F (z)eS°, если f (z) = z + .eR и.

2v.

1 /'(Z) J 2v.

Ст.Рушевей [82], обобщая результаты Р. Либеры и С. Бернарди об устойчивости свойства звездообразности регулярных функций относительно интегральных операторов (7) и (8), доказал, что если функция f (z)eS*, а > 0 и Re v > 0, тогда функция.

F (z)s v + a tv~'fa{t)dt l/" z + .

9) также принадлежит классу S*, т. е. оператор R (f) = F{z) в (9) сохраняет свойство звездообразности регулярных функций. Позднее С. Миллер, П. Мокану и М. Рид [68] доказали, что оператор M (f) = F{z), где.

1/(o+r) при а>0,у>0 и v + y>0 отображает S*в S*.

B.А.Зморович [19] высказал предположение, что каждая функция с ограниченным вращением в Е является звездообразной в Е. Я. Кшиж [61] привел пример функции с ограниченным вращением в Е, не являющейся звездообразной в Е.

C.Сингх и Р. Сингх [85] доказали, что высказанное В. А. Зморовичем предположение имеет место в подклассе функций с ограниченным вращением, на который интегральный оператор Бернарди (8) при -1 < v < 0 отображает весь класс S функций с ограниченным вращением в круг Е.

В многочисленных работах отечественных и зарубежных математиков изучались геометрические свойства регулярных функций в зависимости от коэффициентов их разложений в ряд Тейлора. Источником многих таких исследований явился результат Р. Ремака [78] (см. также работу [57] А. Гудмана) о том, что функция f (z) = z + агг2 +. + anzn +. из R звездообразна в Е, если со.

Е4Ф1п=2.

В связи с тем, что в основном все приведенные результаты получены методом, который опирается на лемму Жака [58] или ее уточнение, данное С. Миллером и П. Мокану [66], представляет интерес задача: исчерпать возможности этого метода в решении рассмотренных в работах [68, 82, 84, 85, 87] вопросов о геометрических свойствах функций (8) — (10) и на этом пути уточнить и распространить на другие классы регулярных функций результаты указанных работ. Эта задача является главной среди задач, рассматриваемых в третьей главе.

В § 3.1 устанавливается достаточное условие звездообразности интегрального оператора (10) при комплексном параметре удается оценка порядка звездообразности оператора (9) в классе S* и для ряда значений параметров определяется порядок звездообразности оператора (10) на классе S*(p) — находится наибольший радиус круга Е (с, г), в котором функция /(z) в (9) звездообразна порядка j3, если F (z) е ?*(/?). Соответствующие результаты работ [68- 82] уточняются и обобщаются. Результат работы [69] получается в частном случае.

В § 3.2 обосновываются достаточные условия выпуклости и почти выпуклости заданного порядка в круге Е (с, р) отнормированного интегрального оператора Бернарди (8) — находится оценка порядка выпуклости оператора Бернарди на классе S0- выводится коэффициентное условие выпуклости заданного порядка в круге Е{с, р) отнормированного оператора Бернарди. Соответствующий результат работы [87] получается в частном случае, а работы [84] - в частном случае и при ослабленном условии на функцию g (z).

В § 3.3 получается условие, которому должна удовлетворять функция /(z), чтобы интегральный оператор Бернарди (8) обладал свойством ограниченного вращения в круге Едается оценка порядка ограниченного вращения оператора (8) на классе Sнаходится наибольший радиус круга |z| < г, в котором f (z) в (8) является функцией с ограниченным вращением порядка.

Р, если F{z) е ?*(/?) — устанавливается условие, более слабое, чем в [85], которому должна удовлетворять производная функции /(z) в (8), чтобы интегральный оператор (8) при -1 < v < 0 отображал S в S*.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Представленные в главах 1−3 результаты проведенных исследований геометрических и экстремальных свойств регулярных (в том числе и однолистных) функций комплексного переменного являются новыми. Их достоверность обосновывается полными математическими доказательствами. Многие из полученных результатов совпадают в частных случаях с известными в литературе.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы исследования могут использоваться при решении задач геометрической теории функций комплексного переменного, для изучения некоторых классов аналитических функций (в том числе и однолистных), а также в теории упругости, газовой динамике, гидромеханике и т. п.

Основными результатами, выносимыми на защиту являются следующие:

1. Получена точная нижняя оценка функционала argi ——>, где z, и z2 лежат на границе круга Е (с, г) а Е, в классах S и K (j3).

2. Найдены границы выпуклости и почти выпуклости заданного порядка классов S и K (j3) в произвольной точке круга Е.

3. Выявлены случаи неограниченности уклонения образов гладких (трижды непрерывно дифференцируемых) кривых при конформном отображении, реализуемом функциями класса S. Получены двусторонние оценки для уклонения в классе S.

4. Дано полное решение задачи об уклонении образов гладких при конформных отображениях, реализуемых функциями из класса S0.

5. Выведено ослабленное (по сравнению с известным) достаточное условие звездообразности интегрального оператора (10). Получена оценка порядка звездообразности этого оператора на классе S* и найден его порядок звездообразности на классе S*(fi) при определенных значениях входящих в него параметров.

6. Установлены ослабленные (по сравнению с известными) достаточные условия для того, чтобы интегральный оператор Бернарди (8) обладал свойством выпуклости, почти выпуклости или ограниченного вращения, отображал S в S*. Дана оценка порядков выпуклости и ограниченного вращения оператора Бернарди соответственно на классах S0 и S.

Основное содержание диссертации изложено в работах [1−11] из списка работ автора. Из имеющейся в этом списке одной совместной работы [1] в диссертацию включена только теорема 2, доказанная автором.