Ряды распределения и динамики

СОДЕРЖАНИЕ Задание 1

Задание 2

Задание 3

Контрольная работа 1. Вариант 0

Задание 1

На примере своей задачи охарактеризовать ряд распределения с помощью следующих показателей:

1) Средняя величина анализируемого признака;

2) Размах вариации;

3) Среднее линейное отклонение;

4) Среднее квадратическое отклонение;

5) Дисперсия;

6) Коэффициент вариации;

7) Мода, медиана, первый и третий квартиль;

8) Коэффициент ассиметрии;

9) Дать графическое изображение и выводы по результатам расчетов.

Обследование жилищных условий жителей поселка представлено следующим распределением. Определить средний размер занимаемой площади на 1 человека и остальные показатели задания.

Решение

Среднюю величину анализируемого признака — средний размер занимаемой площади на 1 человека — будем определять по формуле средней арифметической взвешенной:

(1)

где хi — значение осредняемого признака;

fi — частота.

Составим расчетную таблицу 1.

Таблица 1

Расчет среднего значения признака и показателей вариации

Центральные варианты определяются как среднее арифметическое из двух значений интервала, например, (5+7)/2 = 6

Так как первый и последний интервал является открытыми, то величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей (2), а величина интервала последней группы — величине интервала предыдущей группы (2). Таким образом, условно принимаем:

первая группа: 3 — 5

последняя группа: 23 — 25

Средний размер занимаемой площади на 1 человека составит:

м2

Размах вариации представляет собой разность между наибольшим (хmax) и наименьшим (xmin) значениями вариант, т. е.:

R = хmax — xmin (2)

Размах вариации составит:

R = 25 — 3 = 22 м²

Среднее линейное отклонение определяется из отношения суммы, взятой по абсолютной величине (без учета знака) отклонения всех вариант от средней арифметической, к объему всей совокупности.

По сгруппированным данным оно определяется по формуле:

(3)

Среднее линейное отклонение составит:

м2

Дисперсия — это средняя из квадратов отклонений значений признака от его средней арифметической величины. Дисперсия определяется по формуле:

(4)

Дисперсия составит:

Среднее квадратическое отклонение — это корень квадратный из дисперсии.

По сгруппированным данным среднее квадратическое отклонение определяется по следующей формуле:

(5)

Среднее квадратическое отклонение составит:

м2

Мерой сравнения степеней колеблемости для двух, трех и более вариационных рядов служит показатель, который носит название коэффициента вариации и определяется по формуле:

(6)

Коэффициент вариации показывает однородность выбранной совокупности: чем он меньше, тем более однородна совокупность. Для однородной совокупности он не превышает 33%.

Коэффициент вариации составит:

Структурными средними являются мода, медиана, квартили.

Мода () — варианта, встречающаяся в изучаемой совокупности чаще всего, т. е. варианта, которой соответствует наибольшая частота.

Вычисление моды в интервальном ряду с равными интервалами производится по формуле:

(7)

где — начало (нижняя граница) модального интервала;

i — величина интервала;

fМо — частота модального интервала;

fМо-1- частота интервала, предшествующего модальному;

fМо+1 — частота интервала, следующего за модальным.

Модальный интервал 11 — 13, так как ему соответствует максимальная частота, равная 450.

Воспользуемся данными табл. 1 и рассчитаем моду:

м2

Медиана () — варианта, находящаяся в середине ряда распределения.

Расчет медианы для интервального ряда производится по формуле:

(8)

где — начало (нижняя граница) медианного интервала;

i — величина интервала;

— сумма накопленных частот ряда;

— накопленная частота вариант, предшествующему медианному;

— частота медианного интервала.

Воспользуемся данными табл. 1 и рассчитаем медиану. В таблице 1 медиана лежит между 1250 и 1251 частотами, а они находятся в сумме накопленных частот, равной 1550, поэтому интервал 13 — 15 является медианным. Определим медиану:

м2

Для характеристики социально-экономического явления, отраженного рядом распределения, следует рассчитать первый и третий квартили (второй равен медиане) по следующим формулам, аналогичным медиане:

(9)

и

(10)

Первый квартиль составит:

м2

Третий квартиль составит:

м2

Расчет квартилей позволяет отметить, что 25% жителей имеют до 10,5 м² занимаемой площади на 1 человека, а 25% свыше 17 м² занимаемой площади на 1 человека. Остальные 50% жителей имеют от 10,5 до 17 м² занимаемой площади на 1 человека.

Сравнивая среднее значение признака с модой и медианой можно отметить, что их значения довольно близки, но не равны между собой. Следовательно, ряд распределения имеет некоторую ассиметрию, которая может быть определена по формуле:

(11)

Коэффициент ассиметрии составит:

т. е. коэффициент ассиметрии больше 0, а мода меньше среднего значения признака, это говорит о небольшой правосторонней ассиметрии.

Интервальный ряд распределения изобразим с помощью гистограммы.

Рис. 1. Гистограмма распределения жителей по количеству м2 на одного человека

Вывод: среднее количество м2 на одного человека составило 13,7 м². В данной совокупности жителей наиболее часто встречается количество м2 на одного человека, равное 12,5 м². 50% жителей имеют количество м2 на одного человека менее 13,5 м², а 50% жителей — более 13,5 м².

Рассчитанный коэффициент вариации больше 33%, следовательно, данная совокупность является неоднородной.

Задание 2

1. По данным таблицы 2.1 вычислите:

1.1. Основные аналитические показатели рядов динамики (по цепной и базисной схемам):

средний уровень ряда динамики;

абсолютный прирост;

темп роста;

темп прироста;

абсолютное значение 1% прироста;

средний абсолютный прирост;

среднегодовой темп роста;

среднегодовой темп прироста.

Таблица 2.1

Основные показатели

По данным таблицы 2.2 вычислите индекс сезонности и изобразите графически сезонную волну.

Таблица 2.2

Товарооборот магазина, тыс. руб.

Решение

Средний уровень ряда динамики определяется по формуле средней арифметической простой:

(12)

где n — число членов ряда динамики.

Средний уровень ряда динамики составит:

тыс. руб.

В зависимости от базы сравнения различают базисные и цепные показатели динамики. Базисные показатели динамики — это результат сравнения текущих уровней с одним фиксированным уровнем, принятым за базу, они характеризуют окончательный результат всех изменений в уровнях ряда за период от базисного до текущего уровня. Обычно за базу сравнения принимают начальный уровень динамического ряда.

Цепные показатели динамики — это результат сравнения текущих уровней с предшествующими, они характеризуют интенсивность изменения от срока к сроку.

Абсолютный прирост (Дi) определяется как разность между двумя уровнями динамического ряда. При сравнении с постоянной базой он равен:

Дi б =Yi — Y0, (13)

где Дi б? абсолютный прирост базисный;

Yi? уровень сравниваемого периода;

Y0? уровень базисного периода.

При сравнении с переменной базой абсолютный прирост равен:

Дiц =Yi — Yi-1, (14)

где Дiц? абсолютный прирост цепной;

Yi-1? уровень непосредственно предшествующего периода.

Определим базисные абсолютные приросты:

Д б (2006) = 3422 — 3018 = 404 тыс. руб.

Д б (2007) = 3847 — 3018 = 829 тыс. руб.

Д б (2008) = 4593 — 3018 = 1575 тыс. руб.

Д б (2009) = 5153 — 3018 = 2135 тыс. руб.

Д б (2010) = 5688 — 3018 = 2670 тыс. руб.

Определим цепные абсолютные приросты:

Д ц (2006) = 3422 — 3018 = 404 тыс. руб.

Д ц (2007) = 3847 — 3422 = 425 тыс. руб.

Д ц (2008) = 4593 — 3847 = 746 тыс. руб.

Д ц (2009) = 5153 — 4593 = 560 тыс. руб.

Д ц (2010) = 5688 — 5153 = 535 тыс. руб.

Темп роста (Тр) определяется как отношение двух сравниваемых уровней.

При сравнении с постоянной базой:

(15)

При сравнении с переменной базой:

(16)

Определим базисные темпы роста:

Тр б (2006) = 3422 / 3018*100 = 113,4%

Тр б (2007) = 3847 / 3018*100 = 127,5%

Тр б (2008) = 4593 / 3018*100 = 152,2%

Тр б (2009) = 5153 / 3018*100 = 170,7%

Тр б (2010) = 5688 / 3018*100 = 188,5%

Определим цепные темпы роста:

Тр ц (2006) = 3422 / 3018*100 = 113,4%

Тр ц (2007) = 3847 / 3422*100 = 112,4%

Тр ц (2008) = 4593 / 3847*100 = 119,4%

Тр ц (2009) = 5153 / 4593*100 = 112,2%

Тр ц (2010) = 5688 / 5153*100 = 110,4%

Темп прироста определятся по формуле:

(17)

Определим базисные темпы прироста:

Тпр б (2006) = 113,4 — 100 = 13,4%

Тпр б (2007) = 127,5 — 100 = 27,5%

Тпр б (2008) = 152,2 — 100 = 52,2%

Тпр б (2009) = 170,7 — 100 = 70,7%

Тпр б (2010) = 188,5 — 100 = 88,5%

Определим цепные темпы прироста:

Тпр ц (2006) = 113,4 — 100 = 13,4%

Тпр ц (2007) = 112,4 — 100 = 12,4%

Тпр ц (2008) = 119,4 — 100 = 19,4%

Тпр ц (2009) = 112,2 — 100 = 12,2%

Тпр ц (2010) = 110,4 — 100 = 10,4%

Абсолютное значение одного процента прироста определяется по формуле:

(18)

Определим абсолютные значения одного процента прироста:

А2006 = 0,01*3018 = 30,18 тыс. руб.

А2007 = 0,01*3422 = 34,22 тыс. руб.

А2008 = 0,01*3847 = 38,47 тыс. руб.

А2009 = 0,01*4593 = 45,93 тыс. руб.

А2010 = 0,01*5153 = 51,53 тыс. руб.

Средний абсолютный прирост рассчитывается по формуле:

(19)

Средний абсолютный прирост составит:

тыс. руб.

Средний темп роста определяется по формуле:

(20)

Средний темп роста составит:

Средний темп прироста определяется по формуле:

(21)

Средний темп прироста составит:

Результаты расчетов сведем в таблицу 2.

Таблица 2

Основные аналитические показатели ряда динамики

Вывод: За рассматриваемый шестилетний период величина прожиточного минимума, в среднем на душу населения имела тенденцию увеличения. В среднем в год она увеличивалась на 534 тыс. руб., или на 11,1%. Среднегодовая величина прожиточного минимума на душу населения составила 4286,8 тыс. рублей.

Уровень сезонности оценивается с помощью индексов сезонности. Индекс сезонности показывает, во сколько раз фактический уровень ряда в момент или интервал времени больше среднего уровня. Он определяется по формуле:

(22)

где индекс сезонности;

текущий уровень ряда динамики;

средний уровень ряда.

Средний уровень ряда определим по формуле (12):

тыс. руб.

Рассчитаем индексы сезонности, результаты представим в табл. 3.

Таблица 3

Расчет индексов сезонности

Графически индекс сезонности может быть представлен в виде полигона.

Рис. 2. Сезонная волна товарооборота магазина

Вывод: Товарооборот магазина имеет сезонность. Пик товарооборота приходится на зимние месяцы — ноябрь, декабрь, январь соответственно 185,3%; 261,1% и 176,7%, спад товарооборота приходится на летний период — июль и август соответственно 14,8% и 5,1%.

Задание 3

В отчетном периоде объем выпуска продукции увеличился в 1,4 раза, а численность работников выросла на 10%. Определить изменение производительности труда на предприятии.

Решение

Показатель производительности труда определяется по следующей формуле:

(23)

где П — производительность труда;

В — объем выпуска продукции;

Т — численность работников.

По условию задачи объем выпуска продукции увеличился в 1,4 раза, то есть индекс объема выпуска продукции составил:

По условию задачи численность работников выросла на 10%, то есть индекс численности работников составил:

((100+10)/100)

Необходимо определить изменение производительности труда на предприятии, то есть найти индекс производительности труда.

Между индексами объема выпуска продукции, производительности труда и численности работников существует взаимосвязь:

(24)

Индекс производительности труда составит:

или 127,3%

Вывод: в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом производительность труда на предприятии выросла на 27,3%.

вариация отклонение коэффициент показатель

1. Васильева Э. К., Лялин В. С. Статистика: учебник. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. — 398 с.

3. Годин А. М Статистика: учебник. — М.: Дашков и Кє, 2012. — 451 с.

3. Курс социально-экономической статистики: учебник / Под ред. М. Г. Назарова. — М.: Омега-Л, 2010. — 1016 с.

4. Социально-экономическая статистика: учебник / Под ред. М. Р. Ефимовой. — М.: Юрайт, 2012. — 592 с.

5. Экономическая статистика: Учебник/ под ред. Ю. Н. Иванова, — М: Инфра-М, 2011. — 376 с.