Элементы математических моделей экономического равновесия

Элементы математических моделей экономического равновесия

1. Рыночное равновесие. Сравнительная статика

равновесие рыночный механизм ресурс

В общем случае согласование экономических интересов между участниками сложного процесса производства, распределения и потребления наиболее эффективно осуществляется с помощью рыночного механизма, который выступает в роли регулятора взаимосвязей между хозяйственными субъектами. В основном варианте рынка, в условиях свободной конкуренции производитель и потребитель выступают как независимые агенты, что позволяет свободно принимать компромиссные решения по заключению сделок и вырабатывать взаимовыгодные условия покупки и продажи тех или иных товаров. В ситуации, когда сделки совершаются большим числом участников, можно считать, что цены складываются как результат массового взаимодействия продавцов и покупателей, а каждый отдельный участник практически не влияет на их формирование. В связи с этим применяемые ниже термины «продавец» и «покупатель» следует понимать как описание агрегированных множеств реальных продавцов и покупателей, каждое из которых обладает своими специфическими интересами. Сам процесс достижения равновесия как согласованного решения представляется как последовательность действий, каждое из которых может быть интерпретировано либо как реальная сделка по некоторой промежуточной цене, либо как переговорный акт между продавцом и покупателем с целью выяснения возможной цены, объема спроса и предложения.

Наиболее простые модели равновесия относятся к случаю, когда предметом сделок является один товар, а в качестве участников выступают независимые продавец (производитель) и покупатель (потребитель). Предполагая, что спрос (D) и предложение (S) зависят только от цены товара (p), скажем, что состояние равновесия в узком смысле, есть совпадение спроса и предложения

где — цена равновесия (рис. 1).

Равновесием в широком смысле считается любое состояние, в котором избыточный спрос E (p)= D (p) — S (p) 0.

Рис. 1. Равновесие спроса и предложения

Фактическое значение цены равновесия определяется как факторами производства, так и потребления.

При этом со стороны производителя на цену равновесия влияют удельные издержки на производство продукции так, что их увеличение приводит к повышению цены равновесия, а уменьшение к ее понижению. Со стороны потребителя существенное влияние оказывает его доход (увеличение дохода вызывает повышение цены равновесия) и относительная полезность данного товара для потребителя (ее увеличение также приводит к росту цены равновесия).

Для иллюстрации этого положения рассмотрим следующий простой пример. Предположим, что производитель продукта стремится к максимальной прибыли при условии, что функция издержек имеет вид:

где c₀ — постоянные издержки,

b — коэффициент «удельных» издержек.

Тогда оптимальное решение в зависимости от цены (функция предложения) — имеет вид:

Пусть далее функция спроса потребителя определяется соотношением (см. гл. 3):

где I — доход потребителя,

— коэффициент относительной полезности товара.

Цена равновесия определяется в данном случае как решение уравнения:

Отсюда:

При увеличении издержек (b) цена равновесия повышается, но объем обмена

уменьшается, так что денежная выручка производителя остается неизменной

(она равна той доле дохода потребителя, которую он выделяет на покупку данного товара).

При увеличении дохода потребителя (I) или коэффициента относительной полезности () цена равновесия также повышается, и объем обмена также увеличивается Денежная выручка производителя (и расходы потребителя) увеличивается:

Таким образом, цена равновесия выступает как показатель, сочетающий в себе в результате компромисса разнохарактерные интересы производителя и потребителя.

Цена равновесия, как правило, очень чутко реагирует на изменение внешних условий или экзогенных факторов.

В качестве таких факторов со стороны спроса могут выступать изменение уровня дохода потребителей, приобретающих данный товар, а также влияние моды и появление новых товаров аналогичного назначения. В случае увеличения дохода () кривая спроса занимает более высокое положение (рис. 7.2) и новая цена равновесия () оказывается большей, чем прежняя ().

При этом, как видно, объем продаж товара в денежном выражении увеличивается (). Если же на рынке появляется более эффективный или более дешевый заменитель рассматриваемого нами товара, то покупатели уменьшают ту долю дохода, которую они предназначали ранее для его покупки (), и спрос на этот товар падает. В результате кривая спроса сдвигается вниз и налево (рис. 7.3) и новая цена равновесия становится более низкой, нежели прежняя ().

Рис. 2. Смещение кривой спроса при увеличении дохода

Рис. 3. Смещение кривой спроса при появлении на рынке более дешевого аналогичного товара

Объем продаж товара также уменьшается.

Изменение условий со стороны предложения также может происходить вследствие различных обстоятельств.

Например, снижение уровня предложения товара может быть вызвано уменьшением производства из-за разрыва ранее существовавших хозяйственных связей; плохим урожаем сельскохозяйственных продуктов; уменьшением импорта и т. п. Во всех этих случаях кривая предложения смещается вниз направо в положение и новая цена равновесия оказывается больше старой () (рис. 4).

Рис. 4. Снижение объема предложения ведет к росту равновесной цены Заметим, что при этом объем продаж в натуральном выражении снижается, но в денежном выражении может и увеличиться.

Разработка новых экономичных технологий, специальные государственные или коммерческие дотации могут служить причиной того, что производство товара в прежних объемах осуществляется с меньшими издержками. В этой обстановке кривая предложения смещается налево вверх () на Рис. 7.5 и цена равновесия уменьшается ().

Рис. 5. Новые технологии, дотации смещают кривую предложения вверх, равновесная цена снижается Особым является случай монопольного рынка, когда предложение либо практически не зависит от цены (является неэластичным), либо даже уменьшается по мере увеличения цены. В этой ситуации изменение цены равновесия определяется изменением спроса (рис. 6).

Проведенный выше анализ позволяет изучить и более общий случай, когда имеет место одновременное влияние нескольких различных факторов на цену равновесия: например, увеличиваются доходы потребителей и осуществляются дополнительные дотации или льготы производству. В такой обстановке противоположные тенденции (к росту и к снижению цены) могут быть взаимно погашены и стабильный уровень цен сохраняется.

Рис. 6. На монопольном рынке предложение практически не зависит от цены

Если же имеет место рост доходов потребителей, но не улучшаются условия производства, то появляются условия для неконтролируемого роста цен, который обычно называется инфляцией спроса (demand-pull inflation).

В ситуации, когда доходы потребителей практически не возрастают, но увеличиваются издержки производителей, появляется другой вид инфляции: инфляция издержек (cost-push inflation). В реальной обстановке различные причины инфляции переплетаются между собой и классификация инфляционных явлений становится весьма затруднительной.

Количественное исследование изменения положения равновесия вследствие вариации внешних условий и соответствующих им параметров называется сравнительной статикой. Покажем на примерах, как проводится такой анализ.

Предположим, что функция предложения некоторого товара представлена формулой: S (p) = 4p — 3, а функция спроса имеет вид: .

Цена равновесия () есть решение уравнения:

Очевидно, что, а объем продаж

I. Допустим сначала, что доход потребителей увеличился на 10%, и теперь функция спроса выглядит так:

Новая цена равновесия удовлетворяет уравнению откуда новая цена равновесия

Таким образом, мы видим, что повышение дохода на 10%, привело к росту цены почти на 4%. Это означает, что эластичность цены равновесия по доходу приблизительно равна т. е. в среднем при увеличении дохода на 1% цена увеличится на 0,4%.

2. В этом примере рассмотрим случай, когда функция спроса осталась прежней, но произошло снижение цен на сырье и материалы, которые используются в производстве данного товара, вследствие чего изменилась (стала более эластичной) функция предложения. Пусть она выражается следующим образом: S (p) = 5p — 3.

Теперь цена равновесия () находится из уравнения:

Отсюда имеем:

Таким образом, при увеличении эластичности предложения по цене на 20%, цена равновесия снизилась на 12,7%. Отсюда вытекает, что в среднем снижение цен на сырье и материалы на 1% имеет своим следствием снижение равновесной цены товара на 0,6%.

Методы сравнительной статики используются и в более сложной ситуации, когда речь идет о равновесии на рынках многих товаров. Они дают возможность оценить действенность и эффективность многих мероприятий государственного управления экономикой.

2. Моделирование процесса достижения равновесия

Цена равновесия может быть интерпретирована как «справедливая» цена обмена, которая устанавливается в результате многочисленных парных сделок между продавцами и покупателями. Это состояние равновесия замечательно тем, что в нем полностью удовлетворен спрос, а также отсутствует излишнее производство товара, т. е. нет перепроизводства продукта и нерационального расходования производственных ресурсов. Таким образом, с производственной точки зрения, состояние равновесия соответствует наибольшей экономии ресурсов. В связи с этим состояние равновесия является приемлемым и подходящим для обеих групп участников рыночного обмена: производителей и потребителей; и поэтому может выступить как конечная цель процесса регулирования при помощи цен.

Как правило, в конкурентной экономике без сговора (коалиции) достижение равновесия есть стихийный процесс, основанный на том, что при любой цене, превышающей равновесную, количество товара, которое стремятся предложить продавцы (производители), будет превосходить то количество, на которое покупатели (потребители) намерены предъявить спрос; возникает давление на цену в сторону ее понижения, причем деятельность некоторых продавцов, желающих избавиться от товара, будет направлена против существующего (слишком высокого) уровня цены. Подобным же образом можно показать, что цена, находящаяся ниже уровня равновесия, испытывает давление в сторону повышения.

При возникновении и оформлении устойчивого спроса на товар в зависимости от цены, т. е. наличии не меняющейся во времени функции спроса D (p), различают, следуя А. Маршаллу, три основных вида рыночного равновесия:

1) мгновенное равновесие достигается в обстановке, когда предложение фиксировано (), т. е. производители товара не готовы к расширению производства или не в состоянии это сделать; равновесие такого рода обычно достигается при достаточно высокой цене, что и является стимулом для последующих действий производителей;

2) кратковременное равновесие возникает тогда, когда в действие вводятся наличные резервы (свободные производственные мощности) и предложение несколько увеличивается, причем; равновесная цена в этой ситуации оказывается ниже, но и остается еще довольно высокой;

3) длительное нормальное равновесие устанавливается в ситуации, когда в деле принимают участие практически все производители, способные производить данный товар без резкой перестройки своей хозяйственной деятельности. Функция предложения также возрастающая и равновесная цена соответствует нормальным издержкам производства (рис. 7.7).

Процесс приближения к нормальному равновесию во времени можно представить при помощи последовательности малых дискретных шагов, используя представления о функциях спроса и предложения, которые сами могут изменяться в ходе рыночного процесса вследствие изменения условий производства и потребления.

Одна из основных моделей процесса достижения равновесия использует его дискретное представление с помощью так называемых «торговых» дней с номерами

Рис. 7. Длительное нормальное равновесие на рынке

Предполагается, что к началу торгового дня t известна начальная цена товара, которая полностью определяет объем предложения .

Далее считается, что в течение дня предложенный товар полностью реализуется по цене, которая определяется из условия временного равновесия и является исходной ценой для следующего торгового дня (t+1) и т. д.

Геометрическая иллюстрация этого процесса приближения к равновесию (рис. 8) напоминает паутину и поэтому сама модель часто называется паутинообразной. Можно показать, что сходимость казанного рыночного процесса будет гарантирована, если выполнено условие: .

Рис. 8. Паутинообразная модель

Последнее означает, что для сходимости достаточно, чтобы маргинальное предложение не превосходило бы маргинального спроса, или, иными словами, положительная реакция производителя на повышение цены не была бы столь же значительной как отрицательная реакция потребителя, т. е. это процесс в обстановке относительно неактивных производителей. Заметим, что если, то возникает ситуация так называемого «свиного цикла», при которой состояние равновесия оказывается недостижимым. В случае, если наклон линии спроса круче наклона линии предложения, спираль будет раскручиваться в обратном порядке. Если наклоны линий спроса и предложения одинаковы, то паутина закольцуется (рис. 9).

Вторая модель процесса достижения равновесия, напротив, может быть использована для описания ситуации активных производителей, готовых сразу же откликнуться на возникающий спрос.

Рис. 9. Закольцованная паутинообразная модель

Подобный процесс задается при помощи следующей системы соотношений: в торговый день t задано предложение и оно определяет цену как решение уравнения: .

Эта цена характеризует объем спроса, а предложение на следующий торговый день прямо ориентируется на спрос предыдущего дня

Описанный процесс также может быть представлен при помощи паутинообразной модели, причем достаточное условие сходимости имеет вид: что соответствует более сильной реакции производителей по сравнению с потребителями. Проиллюстрируем обсуждаемый процесс достижения равновесия на примере, который был представлен ранее.

Пусть функция предложения: S (p) = 4p — 3, а функция спроса:

Основное соотношение имеет вид:

Отсюда цена в каждый следующий рыночный день определяется через цену в предыдущий день по формуле:

Предположим, что начальная цена, и сведем результаты расчета в таблицу 1.

Таблица 1. Сходимость цены к равновесной во времени

Таким образом, мы видим, что по прошествии 11 «рыночных» дней процесс установления цены сходится к состоянию равновесия, причем получается уже известное нам значение равновесной цены. Заметим, что промежуточные значения цены попеременно становятся то больше, то меньше равновесной величины. Это означает, что процесс имеет колебательный характер с уменьшающейся амплитудой (рис. 7.10).

Строго монотонный характер имеет процесс достижения, известный под названием «нащупывание», в котором важную роль играет внешнее (централизованное) регулирование. Мы рассмотрим здесь одну из моделей такого процесса, которая носит имя П. Самуэльсона. В этой модели изменение цены прямо ставится в зависимость от величины избыточного спроса в торговый день t:

При (спрос больше предложения) цена повышается, в противном случае снижается. Этот процесс сходится при любом соотношении между. Его наиболее распространенная интерпретация состоит в том, что на рынке имеется арбитр (аукционер), который оценивает величину остаточного спроса и на основании этой оценки объявляет цену () на следующий день, а все участники процесса неукоснительно следуют его указаниям.

Рис. 10. Процесс сходимости цены к равновесной Потребители образуют свой спрос в соответствии с функцией спроса D (p), а производители обеспечивают выпуск согласно функции предложения S (p). Величина a, которая называется параметром настройки, играет в этой схеме большую роль, поскольку при слишком малых его значениях процесс сходиться очень медленно, а при слишком больших может и не сходится к равновесию.

Продемонстрируем ход этого процесса на приведенном выше примере, причем положим значение параметра a = 0,1.

Основное соотношение имеет вид:

Результаты расчетов с приведены в таблице 2.

Таблица 2. «Нащупывание» равновесной цены по модели П. Самуэльсона

Для анализа свойств такого управляемого рыночного процесса может быть использована модель в дифференциальной форме:

Состояние равновесия на сложном рынке многих товаров также может быть определено с помощью функций спроса и предложения. Предположим, что на рынке выступает L различных товаров с номерами l=1,…, L. Обозначим через — систему цен на товары; - функции спроса, — функции предложения. Тогда равновесием в узком смысле является состояние, при котором реализуется совпадение спроса и предложения по всем товарным позициям: где — система равновесных цен.

Равновесием в широком смысле следует полагать всякое состояние, для которого:

Свойства состояния равновесия на рынке многих товаров во многом подобны такому же состоянию на рынке одного товара. Однако для более тщательного его изучения полезно рассмотреть отдельно рынки взаимозаменяемых и взаимодополняющих товаров.

В случае рынка взаимозаменяемых товаров функции спроса удовлетворяют соотношениям:

Последнее условие означает, что при повышении цены на любой товар и неизменности цен на другие товары потребительский сектор будет снижать свой спрос на него, но одновременно повысит спрос на другие, заменяющие его, товары.

Процесс достижения равновесия в этом случае может быть представлен при помощи изучения последовательности «торговых дней». При этом считается, что к началу торгового дня (t+1) известна система цен, которая была сформирована ранее и послужила ориентиром для производителей, поставляющих на рынок товары в количествах:

В течение торгового дня (t+1) происходит полная распродажа товаров и новая система цен определяется в соответствии с функциями спроса. Иначе говоря, новая система цен находится как решение системы уравнений: Следует заметить, что сходимость этого процесса к положению равновесия обеспечена в том случае, когда выполнено условие:, где — матрицы Якоби (составленные из первых частных производных) для функций предложения и спроса соответственно. В ходе последовательных обменов могут применяться различные способы регулирования, которые позволяют осуществить достижение равновесия, если сходимость не имеет места, или ускорить процесс достижения равновесия. В большинстве случае причиной несходимости процесса оказывается слишком высокая эластичность предложения по цене, которая обуславливает нарушения приведенного выше достаточного условия. Для того, чтобы уменьшить эту эластичность применяется «поощрение за недопроизводство» обычно в форме либо прямой компенсации при малом объеме производства, либо путем резкого повышения налогов при больших объемах производства.

Для описания процесса достижения равновесия с централизованным регулированием («нащупывание») применяется упомянутая выше схема, которая для случая многих товаров имеет вид:

Здесь — параметры настройки, Использование знака max позволяет избежать появления отрицательных значений цен.

В случае взаимодополняющих (комплементарных) товаров их рынки можно рассматривать независимо друг от друга. При этом состояние равновесия со стороны спроса в значительной мере определяется тем, какую долю своего дохода потребительский сектор выделяет на приобретение данного товара, а со стороны предложения оно зависит от тех объемов ресурсов, которые могут быть выделены на производство этого продукта.

Таким образом, можно считать, что функция спроса имеет вид:

D = D (p, I),

где p — цена товара;

I — часть дохода потребителя, выделенная для его приобретения, причем справедливы соотношения

. (*)

Регулирование объема спроса осуществляется путем изменения указанной доли потребительского дохода.

Функция предложения выражается следующим образом:

S = S (p, Q),

где Q — объем ресурсов, выделяемых для регулирования поведения производителя.

При этом имеют место неравенства:

. (**)

Исходя из условия равновесия:

и соотношений (*) и (**) получаем, что цена равновесия зависит от объема ресурсов (Q) и дохода (I) следующим образом:

.

Таким образом, при увеличении объема ресурсов со стороны производства (Q) цена равновесия при неизменном спросе уменьшается (см. Рис. 11), где кривая предложения S₁ соответствует фиксированному объему ресурса R, а кривая S₂ — увеличенному объему ().

Рис. 11. При увеличении объема ресурсов равновесная цена уменьшается Подобным же образом при неизменном предложении и увеличении доходов потребителей кривая спроса D сдвигается вправо и равновесная цена увеличивается (рис. 12).

Рис. 12. Рост доходов потребителя сдвигает кривую спроса вправо вверх

Полученные результаты можно использовать для разработки методов внерыночного регулирования, основанных на субсидиях и дотациях. В некоторых случаях существование равновесия не является само собой разумеющимся, и его реализация требует дополнительных усилий.

1) Ситуация, в которой производитель несет большие издержки в процессе производства и поэтому не может начать поставлять продукцию по цене ниже обусловленной границей рентабельности (p₀). Однако эта цена оказывается весьма высокой для потребителей и спрос при ценах оказывается меньше объемов производства, при которых оно рентабельно (рис. 13).

Рис. 13. Дотирование производителя позволяет достигнуть равновесия на рынке Как видно, в этой обстановке равновесия в узком смысле не существует, но есть равновесие в широком смысле при (предложение больше спроса). Положение может быть исправлено путем дотирования производителя, после чего кривая предложения (S₁) перемещается налево в положение (S₂) и может быть достигнута точка равновесия.

2) случай дефицита, когда производство товара невелико и слабо реагирует на повышение цены, т. е. почти или полностью неэластично; а потребители готовы приобрести большое количество товара практически по любой цене (рис. 14).

Рис. 14. При недостаточном производстве неэластичного товара равновесие на рынке отсутствует, наблюдается дефицит Нетрудно видеть, что в области разумных цен нет равновесия ни в узком, ни в широком смысле, напротив, имеет место дефицит товара. Равновесие может быть достигнуто либо путем резкого подъема производства, либо посредством резкого ограничения (рестрикции) доходов потребителей, например денежной реформы.

Свойства экономического равновесия на рынках многих товаров могут быть изучены при помощи следующей модели замкнутой экономики.

Пусть имеется L рынков товаров с номерами l = 1,…, L; m потребителей (i = 1,…, m) и n производителей (j = 1,…, n). Вектор представляет систему цен на товары; через обозначен спрос i-того потребителя на l-тый товар, через — предложение l-того товара производителем с номером j. Группа условий равновесия по каждому товару имеет вид:

Предлагаем также как и ранее, что функции спроса зависят от системы цен и от дохода потребителя (I_i):

Функции предложения выражаются через систему цен и финансовый ресурс производителя (Q_j):

При заданных доходах (I_i) и ресурсах (Q_j) система L уравнений служит для нахождения равновесной системы цен:

Можно показать, что существование экономически осмысленной (неотрицательной) равновесной системы цен связано с выполнением дополнительного условия на соотношениях доходов потребителей (I_i) и ресурсов производителей (Q_j).

В дальнейшем будем исходить из того, что совокупный доход (I) потребителей полностью тратится на закупку товаров, а совокупный ресурс (Q) производителей получен в результате продажи товаров

Возможны следующие два случая:

а) означенные совокупные величины равны между собой:

Данная ситуация получается в результате нормальной работы самообеспечивающейся системы рынков, в которой денежный спрос (Q) со стороны производителей полностью удовлетворяется за счет расходов потребителей (I). При естественных предположениях относительно функций спроса и предложения (см. выше) система уравнений дает возможность найти равновесную систему цен с точностью до постоянного множителя, т. е. систему относительных цен. Для удобства один из товаров обычно принимается за базовый (например, деньги) или просто называется единицей счета (его цена равна 1).

б) совокупный доход потребителей и доход производителей не равны между собой:

В этом случае система уравнений, вообще говоря, не имеет неотрицательного решения, т. е. не существует экономически осмысленной системы равновесных цен.

Рассмотрим следующий пример рынка двух товаров, на котором действуют два производителя (каждый поставляет лишь один товар) и два потребителя (каждый из них использует оба товара).

Пусть — цены товаров:

1) функции предложения имеют вид:

Таким образом, совокупный доход производителей

2) функции спроса выражены следующим образом:

совокупный доход потребителей:

Доход первого потребителя:

Доход второго:

Функции спроса первого потребителя на товары соответственно:

Функции спроса второго потребителя:

Условие равновесия:

Отсюда имеем соотношение равновесных цен:

Если принять второй товар за базовый (единицу счета — рубль), а физические объемы товаров выразить в тоннах, то равновесное состояние на рынках имеет вид:

· цены = 2.915 руб./тонну;

= 1 руб./тонну;

· производство первого продукта

S₁ = 29.15 тонн;

· второго продукта

S₂ = 40 тонн;

· закупки потребителей:

D₁₁ = 20.62 т; D₁₂ = 15 т;

D₂₁ = 8.59 т; D₂₂ = 25 т.;

· совокупный доход производителей:

R = 125 тыс. руб.;

· расходы потребителей:

I₁ = 75 тыс. руб.; I₂ = 50 тыс. руб.

В заключение рассмотрим модель равновесия, в которой множество производственных возможностей предприятия (рис. 7.15) задано при помощи соотношения:

При этом предприятие стремится максимизировать валовой доход:

.

Решение этой задачи имеет вид:

Эти выражения дают нам зависимость предложения от цен (функции предложения). Потребитель стремится максимизировать свою функцию полезности при условии ограниченности бюджета:

Решение этой задачи следующие:

Оно представляет собой функции спроса .

Условия равновесия представляются в следующей форме:

Решая полученную систему уравнений относительно, получаем значение равновесных цен:

а также координаты точки равновесия Е:

Точка Е касания границы множества производственных возможностей и наивысшей достижимой кривой безразличия является оптимумом Парето. Разделяющая эти множества прямая PQ называется линией цен.

Процесс достижения равновесия осуществляется здесь путем одновременного движения потребителя и производителя.

Потребитель достигает наивысшего уровня полезности в точке Е двигаясь по линии цен, т. е. находясь в рамках бюджетного ограничения (рис. 15).

Рис. 15. Оптимум по Парето Производитель достигает наивысшего уровня прибыли в точке Е, двигаясь вдоль границы множества производственных возможностей АВ.

3. Моделирование рыночных механизмов в условиях ограниченности ресурсов

Развитием модели «нащупывания» состояния равновесия является модель функционирования рынка, построенная на базе итерационного метода решения задач выпуклого программирования, суть которого состоит в следующем: рассматривается задача максимизации выпуклой вверх функций n-переменных

при условиях:

где функции также выпуклые.

Неотрицательной седловой точкой функции Лагранжа:

где u_i — множители Лагранжа (двойственные переменные), называется точка (), для которой выполнены соотношения

для всех .

Справедлива следующая теорема (Куна-Таккера).

Если:

1) выпуклые функции при ;

2) существует вектор такой, что, то вектор будет оптимальным решением сформулированной выше задачи максимизации тогда и только тогда, когда существует такой вектор, что () является неотрицательной седловой точкой функции Лагранжа L (x, u).

Таким образом, решение задачи максимизации сводится к нахождению седловой точки Лагранжа, которое в свою очередь осуществляется путем применения следующего итерационного процесса (К. Эрроу, Л. Гурвиц):

.

Здесь t — номер итерации.

Начальные значения предполагаются известными (заданными) числами. Присутствие знака max обеспечивает неотрицательность переменных в ходе реализации итерационного процесса.

Положительные величины называются параметрами настройки и должны быть выбраны достаточно малыми, чтобы обеспечит устойчивость процесса. Применяются различные правила для фиксации момента окончания итерационного процесса. В качестве основных используется как критерий совпадения вида:

где — достаточно малое число, так и задание определенного числа (Т) итераций, после чего полученные значения:

считаются координатами искомой седловой точки. При этом вектор есть решение задачи максимизации, а вектор характеризует сравнительную важность ограничений оптимизационной задачи.

Рассмотрим сложную экономическую систему, состоящую из потребительского сектора, производственного сектора и сектора ресурсного обеспечения.

Пусть потребительский сектор представлен единой функцией полезности:

где — набор потребляемых благ, которые он стремится максимизировать.

Производственный сектор состоит из n предприятий (производств) (j = 1,…, n) каждое из них производит один продукт (в количестве) и все они производят различные продукты. Уровень производства определяется производственной функцией где — объемы используемых производственных ресурсов.

Ресурсный сектор определен объемами ресурсов (труда, капитала, земли, энергетики и т. д.) R_l (l = 1,…, s), предназначенных для использования в производственном секторе. При этом имеют место соотношения:

Состояние равновесия в широком смысле в рассматриваемой системе определяется как следующее соотношение между спросом (x_j) и предложением (y_j) для всех видов благ:

В дальнейшем будем исходить из того, что функция полезности U (x) и все производственные функции являются выпуклыми. В этом случае задача о нахождении состояния равновесия может быть сформулирована как задача выпуклого программирования:

Найти:

при условиях:

1) где

2) ;

3)

Как было показано выше, решение этой задачи в свою очередь сводится к отысканию неотрицательной седловой точки функции Лагранжа:

где;

· - вектор множителей Лагранжа, соответствующих производственным ограничениям (1). Эти величины имеют смысл цен на различные виды продукции;

· - вектор множителей Лагранжа, связанных с ресурсными ограничениями (2). Компоненты этого вектора представляют собой оценки важности используемых в производстве факторов. Например, ставка заработной платы выступает как оценка трудовых ресурсов; стоимость услуг капитала выражается оценкой капитальных ресурсов и т. д.

Условия первого порядка для отыскания седловой точки (условия Куна-Таккера) имеют вид:

1)

2)

3)

4)

Условия первой группы имеют следующий экономический смысл: если равновесный объем какого-либо блага () отличен от нуля, то необходимо выполняется равенство:

которое совпадает с условием максимума функции полезности потребителя в условиях ограниченного дохода (см. гл. 1.). Таким образом, эти условия суть выражения оптимального поведения потребителя. Заметим, что из требования максимальности функции Лагранжа по переменным вытекает, что при :

т.е. предельная полезность неиспользуемого блага не превосходит его цены в состоянии равновесия.

Условия второй группы состоят в том, что при, т. е. в том случае, когда j-тое предприятие использует ненулевой объем l-того ресурса, должно быть выполнено соотношение:

которое может быть интерпретировано как необходимое условие максимума прибыли j-того предприятия. Это означает, что в состоянии равновесия осуществляется оптимальная производственная программа для всех предприятий.

Если l-тый ресурс не потребляется на j-том предприятии, т. е., то из максимальности функции Лагранжа по имеем:

т.е. маргинальная продуктивность этого ресурса на j-том предприятии не выше его цены (ресурс слишком дорог и относительно малоэффективен).

Условия третьей группы характеризуют соотношения между спросом и предложением всякого блага в состоянии равновесия. Если цена блага, то необходимо:

т.е. имеет место равенство спроса () и предложения () этого блага. Если же равновесная цена, то из требования минимальности функции Лагранжа по следует, что:

т.е. предложение блага (как правило) превосходит спрос на него.

Условия четвертой группы связаны с распределением ресурсов между предприятиями и оценкой значимости этих ресурсов. Если равновесная цена l-того ресурса, то имеет место равенство:

которое свидетельствует о полном использовании запаса ресурса (спрос на ресурс равен его предложению). Если же, то из условия минимальности функции Лагранжа по переменной вытекает: т. е. предложение ресурса не меньше, чем спрос на него.

Процедура отыскания неотрицательной седловой точки реализуется путем конкретизации общего итерационного процесса, представленного выше. Исходные значения фазовых переменных:

а также двойственных переменных (цен) считаются известными. Последующие значения определяются по формулам:

Здесь положительные числа являются параметрами настройки. В качестве признака окончания расчетов обычно используют либо фиксированное число итераций (Т), либо итерационный процесс прекращается и равновесное состояние считается найденным, если выполняется условие:

где — заданное число;

Полезно привести также аналоги итерационных формул в дифференциальной форме:

где

где

где

где

Анализ приведенного итерационного процесса показывает, что он достаточно точно имитирует рыночный механизм достижения состояния равновесия при помощи изменения объемов спроса на блага и ресурсы, а также путем варьирования соответствующими ценами. Как видно, спрос потребителя на некоторое благо возрастает до тех пор, пока предельная полезность его превышает цену этого блага, которая в свою очередь возрастает, если спрос оказывается больше предложения блага со стороны производственного сектора. Подобным же образом регулируется спрос производства на ресурсы: он возрастает пока предельная эффективность ресурса больше его цены, т. е. предприятие имеет дополнительную прибыль от приобретения ресурса, и рост прекращается, когда эта прибыль становится нулевой.

4. Модели частного экономического равновесия. Паутинообразная модель рынка

Все теоретические построения, изложенные в данной работе, базируются на предположении о совершенном характере конкуренции, состоящем в том, что все домашние хозяйства и предприятия действуют в соответствии с рыночными ценами. Иными словами, речь идет о параметрической системе цен. Основными проблемами, с которыми сталкиваются, принимая такую предпосылку, являются следующие: каким образом на рынке с совершенной конкуренцией достигается равновесие спроса и предложения, как устанавливаются рыночные цены, как определяется объем торговых операций — количества сделок. Именно этой теме — изучению процесса рыночного регулирования и посвящен данный раздел.

В графическом изображении процесс рыночного регулирования представим в виде модели, которую называют паутинообразной. При рассмотрении важно ввести некоторые допущения. Для этой модели требуется построить функцию предложения, допуская, что имеется один продукт и изменяться может только его цена, а все остальные факторы, от которых зависит спрос на данный товар (цены на другие товары, основные производственные фонды, характер применяемой технологии, налоги и дотации, природно-климатические условия) остаются неизменными. Следовательно, предложение будет зависеть от объема товара (Q) и цены (P): Q = S (p).

Особенностью данной функции предложения является то, что для многих видов товаров она монотонно возрастает (S' (p)>0). Рост предложения при увеличении цены можно объяснить тем, что увеличивается оптимальный объем выпуска товара, а так же тем, что для производства высокорентабельного товара в отрасль включаются новые предприятия. При этом кривая предложения представляет собой геометрическое место точек — минимумов линий постоянной прибыли (линия S на рис. 7.16).

Следующая используемая функция — это функция спроса, которая имеет вид: Q = D (p).

В случае, когда потребитель предъявляет спрос на определенный товар, исходя из своих предпочтений и бюджетных ограничений, если может изменяться только цена товара, а все остальные факторы, от которых зависит спрос на него (цены других товаров, денежный доход, накопленные сбережения и т. п.), остаются неизменными. Характерная особенность этой функции — ее монотонное убывание для многих видов товаров, при этом ее график представляет собой геометрическое место точек, в которых цена принимает максимально возможное значение на линиях постоянной полезности.

Рис. 16. Графики функций спроса и предложения

Функции спроса и предложения являются основными составляющими модели рынка товаров, поскольку они — по предположению — представляют собой решения оптимизационных задач, которые возникают перед участниками — покупателями и товаропроизводителями.

Пересечение графиков спроса и предложения происходит в точке равновесия, а соответствующая этой точке цена Рe называется равновесной. Если цена на рынке выше равновесной, то предложение превышает спрос и возникает затоваривание. В этой ситуации товаропроизводители (продавцы) многих видов товаров готовы пойти на снижение цены с целью привлечения большего числа покупателей (например, если речь идет о скоропортящихся товарах). Следовательно, при значениях цены выше равновесной происходит давление на нее в сторону уменьшения.

Если же цена на рынке ниже равновесной, то спрос превышает предложение, и товар становится дефицитным. В этой ситуации часть покупателей готова заплатить за товар более высокую цену, но снизить риск и с уверенностью приобрести товар (например, если образуется очередь покупателей, то стоящие в ее конце могут не получить товара). Таким образом, при значениях цены ниже равновесной происходит давление на нее в сторону увеличения. Эти две тенденции приводят к тому, что на рынках многих видов товаров, как правило, устанавливается равновесие, при котором спрос равен предложению.

В силу свойств кривых спроса и предложения равновесное решение является устойчивым в том смысле, что если цена строго фиксирована и равна равновесной, то товаропроизводитель, максимизируя прибыль, поставляет на рынок товар в количестве S (p_e)=Q_e; одновременно потребитель, стремясь максимизировать полезность, предъявляет спрос D (p_e)=Q_e. При установлении на рынке совершенной конкуренции равновесной цены объем товаров, предлагаемый товаропроизводителем и доставляющий ему максимум прибыли по данной цене, в точности равен спросу потребителя.

Динамические неравновесные модели рынка используются для анализа изменения переменных (цена, спрос, предложение) во времени в случае, когда цена в начальный момент отличается от равновесной. При этом процесс установления равновесной цены может быть описан различными моделями при использовании одних и тех же функций спроса и предложения.

Итак, переменные на промежутке времени (t, t+1) принимаются неизменными. Следовательно, последовательным интервалам времени (t, t+1) соответствуют значения цены Р_t, спроса D_t и предложения S_t. В зависимости от используемых гипотез в дискретной модели динамики цен происходит либо запаздывание предложения — в этом случае приходим к процессу:

S (P t+1) = D (Pt),

либо запаздывание спроса — в этом случае получаем процесс:

D (Pt+1) = S (Pt₎.

В обоих случаях соответствующий итерационный процесс изображается в виде паутины, которая «намотана» на кривые спроса и предложения. Это дало основание для общего названия дискретных динамических моделей.

Дискретные модели с запаздыванием спроса представляют больший интерес потому, что в них более последовательно, чем в непрерывных, отражаются процедуры принятия решений.

Концептуальная модель любого процесса динамики цен включает взаимодействие трех подсистем, которые можно условно назвать «товаропроизводитель», «потребитель» и «рынок» (рис. 7.17.). Паутинообразная модель (модель А), в которой спрос отстает от предложения на один период: D (P_t+1)=S (P_t), также вписывается в схему рис. 17.

Рис. 17. Концептуальная схема модели динамики цен

Эта модель — одна из исторически первых динамических моделей рынка, отражающих поведение участников. Она служит хорошей иллюстрацией применения метода моделирования при анализе экономических процессов.

Значение модели А определяется еще и тем, что многие современные модели динамики цен, а также динамические модели макроэкономики приводят к «паутинообразному» процессу. Рассмотрим гипотезы, которые лежат в основе этой модели.

Гипотеза 1. Товаропроизводитель, принимая решение об объеме предложения, ориентируется на цену предыдущего периода.

Эта гипотеза означает, что товаропроизводитель прогнозирует цену следующего периода. Правда, прогноз здесь очень примитивный, опирается на логическую схему: «сегодня цена была P_t, если и завтра она будет равна P_t, то я получу максимальную выгоду при продаже товара в количестве S (P_t)».

Гипотеза 2. Рынок всегда находится в состоянии локального равновесия.

Эту гипотезу можно трактовать, по Вальрасу, следующим образом. Вместо абстрактного, неодушевленного понятия «рынок» последний выступает в виде некоего человека-аукциониста, распоряжающегося на реальном рынке. Этот аукционист сначала устанавливает произвольные цены на товары, после чего участники рынка совершают условные сделки и сообщают об их результате аукционисту. Если спрос на некоторый товар оказался больше (меньше) предложения, то аукционист меняет первоначальные цены, поднимая (понижая) цену этого товара. Окончательные сделки совершаются лишь после достижения равновесия.

Другая трактовка этой гипотезы состоит в том, что задачей аукциониста является установление максимальной цены, при которой весь товар, поставляемый на рынок производителем, находит покупателя. Формально эти две гипотезы означают следующее:

1) объем предложения на рынке S_t+1 в каждый период времени t+1 определяется значением цены предыдущего периода при помощи функции предложения S_t+1=S (P_t);

2) на рынке в каждый период t+1 устанавливается равновесная цена P_t+1, причем эта цена является решением уравнения D (P_t+1)=S_t+1;

3) потребитель предъявляет спрос, который при цене P_t+1 в каждый момент времени равен предложению S_t+1, вследствие чего потребитель приобретает все, что ему предложено.

Рис. 18. Блок-схема паутинообразной модели А

Использование монотонных функций спроса и предложения позволяет построить последовательность цен P_t, где t — номер шага во времени. Действительно, в силу гипотезы (1) товаропроизводитель по значению цены P₁ при помощи кривой предложения определяет S₂; в силу гипотезы (2) на рынке устанавливается цена P₂ (находится при помощи кривой спроса); весь товар в количестве S₂ находит потребителя; в силу гипотезы (1) товаропроизводитель, ориентируясь на цену P₂, определяет объем предложения S₃ и т. д. (рис. 7.18.). Далее рассмотренный процесс повторяется.

Рис. 19. Паутинообразная модель, А при s<d

Таким образом, сформулированные гипотезы приводят к итерационному процессу, где спрос запаздывает от предложения на один период.

Динамика цены (а также спроса и предложения) в рамках данной модели может быть изображена в виде кривой, которую называют либо паутиной, либо спиралью (рис. 7.19.). Поэтому в литературе паутинообразную модель иногда называют «динамической спиралью». В случае, изображенном на рис. 7.19., последовательность цен P_t стремится к равновесному уровню p_e, и, таким образом, здесь со временем устанавливается равновесие.

Рис. 20. Паутинообразная модель Рис. 21. Паутинообразная модель

s>d s=d

При s>d амплитуда колебаний цен увеличивается (рис. 20).

При s=d последовательно принимаются равные по абсолютной величине значения (рис. 21).

Сформулируем гипотезы паутинообразной модели с запаздыванием предложения (модель В).

Гипотеза 1. При определении объема предложения в каждый период времени товаропроизводитель ориентируется на спрос в предыдущий период.

Эта гипотеза приводит к росту (снижению) предложения в случае, когда спрос больше (меньше) предложения.

Гипотеза 2. Цена предлагаемого товара устанавливается товаропроизводителем на уровне, определяемом в соответствии с функцией предложения.

Здесь товаропроизводитель действует формально: он знает, что кривая предложения в некотором смысле оптимальна. Поэтому он полагает, что при определении уровня цен с помощью функции предложения предлагаемый объем товара будет оптимальным.

Гипотеза 3. Объем потребления не может превосходить ни объема предложения, ни объема спроса.

Эта гипотеза означает, что если предложение меньше спроса, то потребление равно предложению.

Если же спрос меньше предложения (т.е. имеет место избыточное предложение товара), то потребление равно спросу, а непроданный товар приводит к затовариванию. Таким образом, в данной модели связь между потреблением C_, спросом D и предложением S в каждый период времени t можно представить в виде: C = min (S, D).

Последнее означает, что график кривой потребления модели В представляет собой линию SAD (рис. 22).

Рис. 22. Кривые спроса (DD), предложения (SS) и потребления (штриховая)

Модель можно представить в виде блок-схемы, изображенной на рис. 23. Из этой блок-схемы видно, что в рассматриваемой модели происходит отставание предложения: S (P_t+1)=D (P_t).

Подчеркнем, что гипотеза (1), выражающая реакцию производителя на несоответствие спроса D предложению S, и гипотеза (2) определяют модель предложения товаров.

Рассуждая формально, приходим к следующему. При заданных S₁ и P₁, удовлетворяющих условию S₁=S (P₁), определяется спрос D₁, после чего для объема потребления получаем C₁=min (S₁, D₁).

В случае дисбаланса между спросом S₁ и предложением D₁ товаропроизводитель предлагает в следующий момент времени товар в объеме S₂=D₁, который он рассчитывает продать по цене P₂, определяемой из условия S₂=S (P₂), Далее процесс повторяется; графически его удобно представить в виде динамической спирали, изображенной на рис. 7.24.

Рассмотрим описанный итерационный процесс более подробно. На первом шаге, при цене P₁, имеет место избыточный спрос, вследствие чего потребление равно предложению. Так как в этом случае реализован товар в объеме S₁, что меньше равновесного значения Q_e, то товаропроизводитель теряет часть прибыли, поскольку и цена, как оказалось, занижена, и предложено товара меньше, чем могло бы быть продано.

Упущенная выгода заставляет товаропроизводителя увеличить цену товара и объем его предложения. Предполагая при этом, что спрос не изменится, он принимает решение увеличить выпуск до объема D₁. Предложение при таком объеме является, как надеется товаропроизводитель, оптимальным в случае, когда цена P₂ удовлетворяет уравнению S (P₂)=D₁. Это значит, что на втором шаге продавец (он же товаропроизводитель) устанавливает цены, используя кривую предложения.

Так как цене P₂ соответствует спрос D₂, то в силу D₂2 потребление на втором шаге равно D₂ (теперь часть предложенного товара не находит покупателя из-за высокой цены). В результате такого дисбаланса предприятие вновь оказывается в проигрыше, недополучая часть прибыли.

Для улучшения ситуации на рынке в этом случае фирма должна сократить предложение и снизить цену. В соответствии с используемыми здесь допущениями, предложение должно снизиться до уровня спроса D₂, а цена — до уровня P₃, который определяется из условия S (P₃)=D₂. Далее процесс повторяется.

Отметим, что в модели В, в отличие от модели А, динамическая спираль «наматывается» уже против часовой стрелки. Таким образом, изменение гипотез о поведении потребителя и товаропроизводителя привело к изменению направления движения по спирали на противоположное. Поэтому в модели В при линейных функциях спроса и предложения (5) колебания цен затухают и на рынке достигается равновесие при s>d.

Если же sА, происходит колебание цен с постоянной амплитудой. Как видим, изменение гипотез модели А привело не только к смене направления «наматывая» спирали, но и к изменению условия сходимости итерационного процесса на противоположное.

Итак, если итерационный процесс динамики цен в одной из рассмотренных моделей — сходится, то в другой — расходится.

В заключении рассмотрим вопрос о соответствии моделей А и В реальному процессу потребления товаров. Сравнение основных допущений удобно провести, сведя их в табл. 3.

Таблица 3.

Как видим, обе рассмотренные модели рынка одного товара уязвимы, поскольку они достаточно просты и не учитывают многих факторов, способствующих установлению равновесной цены.

Заключение

Суть паутинообразной модели состоит в следующих двух положениях:

Предложение реагирует на цены с некоторым лагом (отставанием во времени); иными словами, сегодняшнее предложение S (t) определяется ценой предыдущего периода P (t — 1), а сегодняшний спрос D (t) определяется ценой текущего периода Р (t);

Цены каждого периода Р (t) устанавливаются на таком уровне, чтобы уравнять спрос и предложение, т. е. на уровне, при котором D (t) = S (t).

Приведенные положения определяют порядок вычислений:

«Цены предшествующего периода Текущее предложение Текущий спрос и существующие цены Предложение следующего периода и т. д.»

Используя интегративный метод вычислений, мы предприняли попытку имитировать рыночный механизм установки цен и с помощью паутинообразной модели изучить ее поведение.

Итак, роль экономико-математических моделей в ценообразовании состоит в следующем:

· Они являются необходимым (хотя и недостаточным) средством уточнения, углубления, изложения теории цен, перевода ее положений на конкретный язык практики;

· Математические методы позволяют глубже раскрыть сложные связи и зависимости, выявить тенденции в развитии показателей, имеющих отношение к ценообразованию;

· Они дают возможность решать такие задачи, которые иными способами решить практически невозможно;

· Математические методы, определенные требования к информации, на основе которой решается та или иная задача. Вследствие этого они позволяют упорядочить экономическую информацию, выявить недостатки, пополнить, откорректировать ее и тем самым повысить качество решения, принимаемого на ее основе в области цен;

· Математический аппарат применяется, как правило, при решении сложных экономических задач, которые требуют сбора, хранения и выдачи больших массивов информации. Решение таких задач сопровождается большим объемом вычислительных операций. Все это сделать без ЭВМ невозможно. Поэтому Экономико-математическое моделирование выступает одним из условий автоматизации управления.