Π”ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, курсовая, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°
ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² написании студСнчСских Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°ΡΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

Аналогично, Ссли Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм Π²ΠΎΠ·ΠΌΡƒΡ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, большСС, Ρ‡Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠΌ Найквиста. Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС, Π² ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствии с Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ΅ΠΌ Найквиста, нСлинСйная систСма Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ эквивалСнтна Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ нСустойчивой систСмС, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ нарастаСт с Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ

1. Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Π° Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΡ‚Ρ€Π°

2. ИсслСдованиС симмСтричных Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ

3. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° устойчивости Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π›ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°

1. Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Π° Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΡ‚Ρ€Π°

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ для Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° систСм автоматичСского управлСния ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π›. Π‘. Π“ΠΎΠ»ΡŒΠ΄Ρ„Π°Ρ€Π±ΠΎΠΌ Π² 1940 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ. Он Π±Π°Π·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ся Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°Ρ…, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Н. М. ΠšΡ€Ρ‹Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ ΠΈ Н. Н. Π‘ΠΎΠ³ΠΎΠ»ΡŽΠ±ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ. Π’ Π΅Π³ΠΎ основС Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ аппроксимация ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния систСмы ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Π³Π°Ρ€ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΉ разлоТСния Π² Ρ€ΡΠ΄ Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅ пСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ это Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ являСтся ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ. Π’ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… случаях ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ эталонного двиТСния систСмы, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ качСствСнный Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ Π΅Ρ‘ ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния.

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‘Π½ для исслСдования систСм любого порядка, Π½ΠΎ ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ‚ΡƒΡ€Π° систСмы Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΊ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ соСдинСнию Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π±Π»ΠΎΠΊΠΎΠ². Π§Π°Ρ‰Π΅ всСго этим ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ исслСдуСтся ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ полоТСния равновСсия систСмы. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… условиях ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ отсутствиС пСриодичСских Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ послСдних, Ссли эти двиТСния ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ΅.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Ρ нСпосрСдствСнно ΠΊ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ исслСдуСмая нСлинСйная систСма ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 1.

Рис. 1

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ исслСдуСтся ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ систСмы, Ρ‚ΠΎ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½Π΅Π΅ воздСйствиС. УравнСния Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ части (Π›Π§):

(1)

Π”Π°Π»Π΅Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ линСйная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ рассматриваСмой систСмы стабилизируСмая, Ρ‚. Π΅. Π΅Ρ‘ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ асимптотичСски устойчива.

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ части, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ уравнСниям (1), Ρ‚. Π΅.

. (2)

НСлинСйный элСмСнт ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ характСристику, лишь Π±Ρ‹ ΠΎΠ½Π° Π±Ρ‹Π»Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ (Π±Π΅Π· Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²ΠΎΠ² Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π°).

Π’ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: Ссли исслСдуСмая систСма нСустойчива, Ρ‚ΠΎ Π² Π½Π΅ΠΉ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ пСриодичСскиС колСбания. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ позволяСт ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ пСрСмСнная

(3)

Π³Π΄Π΅ — Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΈ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‚Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½Π° Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта.

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, для ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°, Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ элСмСнтом с Π·ΠΎΠ½ΠΎΠΉ Π½Π΅Ρ‡ΡƒΠ²ΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 2. Как Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, выходная пСрСмСнная Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся пСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, Ρ‚. Π΅. Π΅Ρ‘ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π² Ρ€ΡΠ΄ Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅ с Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ

(4)

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ — коэффициСнты ряда Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅, .

Π”Π°Π»Π΅Π΅ дСлаСтся Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅, основноС ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° — Ρ‚Π°ΠΊ называСмая «Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Π° Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΡ‚Ρ€Π°». Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Π° Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΡ‚Ρ€Π° состоит Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ линСйная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ (2) Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ систСмы (см. Ρ€ΠΈΡ. 1) являСтся Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΡ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΡ… частот (ЀНЧ). Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, прСдполагаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ линСйная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ подавляСт всС Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΠ΅ Π³Π°Ρ€ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊΠΈ с Ρ‡Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‚Π°ΠΌΠΈ, начиная со Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ, Ρ‚. Π΅. с, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΡƒΡΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ Π³Π°Ρ€ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊΡƒ с Ρ‡Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ .

На Ρ€ΠΈΡ. 3 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π½ΠΎ-частотныС характСристики Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² управлСния. ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ с Ρ…арактСристикой, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 3, Π°, Π½Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚воряСт Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Π΅ Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΡ‚Ρ€Π°, Π° ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ с Ρ…арактСристикой, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 3, Π±, удовлСтворяСт Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Π΅ Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΡ‚Ρ€Π°.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ исслСдования частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ нСизвСстна, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Ρ‹ Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΡ‚Ρ€Π° Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ расчёта нСльзя. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ приходится сначала провСсти всС Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ расчСты, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡƒΠΆΠ΅ послС опрСдСлСния частоты ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Ρƒ Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΡ‚Ρ€Π°.

Рис. 2

Если ΠΎΠ½Π° окаТСтся Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ расчСтов Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ процСссам, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Π² ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ систСмС. Если ΠΆΠ΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Π° Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΡ‚Ρ€Π° Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ расчСтов Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ процСссам, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ΅, Ρ‚. Π΅. ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ для исслСдования Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ систСмы нСльзя.

Π° Π±

Рис. 3

ГармоничСская линСаризация. Π’ Π΄Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Π° Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΡ‚Ρ€Π° выполняСтся, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ всС Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΠ΅ Π³Π°Ρ€ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ систСмы, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΡ‚ΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π½Π° Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ части. Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΠ΅ Π³Π°Ρ€ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Π±Ρ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Π½Π° Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ряд (4) ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

. (5)

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ряда Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅ пСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ извСстно ΠΈΠ· ΠΊΡƒΡ€ΡΠ° Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ [16], ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ

(6)

(7)

. (8)

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ равСнство (5) Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. Π‘ ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ запишСм ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹Π΅ равСнства

. (9)

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° называСтся комплСксом ΠΏΡ€ΠΈ любом. Π‘ ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ равСнств (6) — (9) Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (5) ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:

. (10)

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ характСристики ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ симмСтричными ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, поэтому Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ всСго. Если, Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π½Π° Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π΅, ΠΈ Π½Π° Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· (3) ΠΈ (10), ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌΠΈ частями ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… комплСксов. ИмСнно такая ситуация ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… динамичСских звСньСв. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ элСмСнт рассматриваСмой систСмы ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π²Π΅Π½ΠΎΠΌ.

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‡ΠΈ любого Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π²Π΅Π½Π°, ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ комплСкса Π·Π²Π΅Π½Π° ΠΊ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС комплСксный коэффициСнт ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π²Π΅Π½Π°, эквивалСнтного Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌΡƒ элСмСнту, опрСдСляСтся Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ

(11)

,

Π³Π΄Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ выраТСниями (7) ΠΈ (8).

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ся вСщСствСнным ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ коэффициСнтами гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Π° — коэффициСнтом гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ.

Π’Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΉ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ коэффициСнтов гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ являСтся Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ зависят Π½Π΅ ΠΎΡ‚ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‚Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌ случаС, Π° ΠΎΡ‚ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

РассмотрСнная ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π²Π΅Π½ΠΎΠΌ с ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΌ коэффициСнтом ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‡ΠΈ (11) называСтся гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ. ОсновноС достоинство этой ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρ‹ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ коэффициСнты гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ нСлинСйности ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅.

Для Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ²Ρ‹Ρ… нСлинСйностСй коэффициСнты гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ вычислСны, Ρ‚Π°Π±ΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ ΠΈ ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² [25. Π‘. 140, 141].

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ для ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° выраТСния для коэффициСнтов Π³Π°Ρ€ΠΌΠΎΠ½ΠΈ;

чСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… нСлинСйностСй.

Π’ Ρ‡Π°ΡΡ‚ности, для нСлинСйности, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 4, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

(12)

Ρ‚. Π΅. коэффициСнт гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ являСтся вСщСствСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ‚ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹. Π•Ρ‘ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 5.

Рис. 4 Рис. 5

Π’ ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ нСлинСйности с Π³ΠΈΡΡ‚СрСзисом (рис. 6) коэффициСнт гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ опрСдСляСтся Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (13) ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся комплСксной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ вСщСствСнного ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ коэффициСнтов гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ этой нСлинСйности ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 7.

. (13)

Рис. 6 Рис. 7

Для нСлинСйности Ρ‚ΠΈΠΏΠ° идСальноС Ρ€Π΅Π»Π΅ (рис. 8), Π³Π΄Π΅ Π·ΠΎΠ½Π° Π½Π΅Ρ‡ΡƒΠ²ΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, коэффициСнт гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 9.

Рис. 8 Рис. 9

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ исслСдовании Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… систСм Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ.

2. ИсслСдованиС симмСтричных Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ

Рассмотрим гармоничСски Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ систСму, схСма ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 10. Выясним, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… условиях Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ систСмС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ автоколСбания.

гармоничСский линСаризация Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅ Рис. 10

Π‘ ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ условно Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌΠΊΠ½Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€ систСмы, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 10, ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° ΠΈ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΈΡ… ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅ ΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π² ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствии со ΡΡ…Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 10 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ равСнство

. (14)

Если пСрСмСнная описываСт Π½Π΅Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто равСнство, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ фактичСски являСтся условиСм сущСствования пСриодичСских Π½Π΅Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ систСмС. Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, Ссли ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ равСнство выполняСтся, Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· (14) слСдуСт Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

.

Бокращая здСсь Π½Π°, ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ

. (15)

Π­Ρ‚ΠΎ равСнство являСтся частотным условиСм сущСствования Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. Π’ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ ΠΎΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΎ Π›. Π‘. Π“ΠΎΠ»ΡŒΠ΄Ρ„Π°Ρ€Π±ΠΎΠΌ. РавСнство (15) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

. (16)

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ условиС (16) практичСски ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ соотвСтствуСт ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ сущСствования Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ΅ (рис. 1.10) ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡŽ Найквиста.

Π­Ρ‚ΠΎ условиС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Π²ΡƒΡ… равСнств:

(17)

. (18)

РавСнство (17) называСтся условиСм баланса Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄, Π° (18) условиСм баланса Ρ„Π°Π·.

Если условия (16) ΠΈΠ»ΠΈ (17), (18) Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ систСмС, Ρ‚ΠΎ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ систСмС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ пСриодичСскиС двиТСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ автоколСбаниями, Ρ‚. Π΅. собствСнными пСриодичСскими двиТСниями систСмы. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, такая систСма являСтся Π³Π΅Π½Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π½Π΅ Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… пСриодичСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

Если Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ автоколСбания, Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° опрСдСлСния ΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² (Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ ΠΈ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‚Ρ‹). Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ этой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ условиС (16) записываСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

. (19)

Π’ ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствии с ΡΡ‚ΠΈΠΌ равСнством для установлСния Ρ„Π°ΠΊΡ‚Π° отсутствия Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡ… Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ сущСствования достаточно Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ Найквиста ΠΈ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ .

Если эти Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„Ρ‹ Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ся (рис. 11, случай систСмы с), Ρ‚ΠΎ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ΅ Π½Π΅ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½Π΅Ρ‚, ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ равновСсия рассматриваСмой Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ систСмы устойчиво. Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС исслСдованиС Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ систСмы ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ.

Рис. 11

Если ΠΆΠ΅ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„Ρ‹ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ся, Ρ‚ΠΎ Π°Π²Ρ‚околСбания Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹. ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ значСниями Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ ΠΈ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‚Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ пСрСсСчСния этих Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠ².

Π§Π°Ρ‰Π΅ всСго Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠ², ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 11, нСсколько. Π’ ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ систСмы с ΠΈ ΡΡ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅, ΠΈ,. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ для опрСдСлСния Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ ΠΈ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‚Ρ‹ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΡΡ‚Π°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ΅, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ всСх Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

3. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° устойчивости Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ

Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ этой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ цСлСсообразно Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ΅ΠΌ Найквиста. Как извСстно, ΠΏΠΎ ΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡŽ, Ссли систСма находится Π½Π° Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π΅ устойчивости, Ρ‚ΠΎ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ Найквиста систСмы ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ комплСксной плоскости, Ρ‚. Π΅. выполняСтся условиС, Π³Π΄Π΅ — комплСксный коэффициСнт ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‡ΠΈ систСмы Π² Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΌ состоянии.

ИмСнно эта ситуация ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто ΠΈ Π² Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ систСмС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Ρ‘ Ρ…арактСристики ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„Π°ΠΌ ΠΈ (см. Ρ€ΠΈΡ. 11). ΠŸΡ€ΠΈ этом Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… пСрСсСчСния этих Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠ² выполняСтся условиС, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ лСвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ этого равСнства, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, прСдставляСт собой коэффициСнт ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‡ΠΈ рассматриваСмой систСмы Π² Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΌ состоянии.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅ΠΌ для опрСдСлСнности, Ρ‡Ρ‚ΠΎ с ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ этому Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„Π° пСрСмСщаСтся Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 11 ΠΈ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 12,Π° стрСлкой.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ систСмС ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ колСбания с Ρ‡Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ ΠΈ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ систСмы всСгда ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ воздСйствиям, Ρ‚ΠΎ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, скаТСм, мСньшСй Ρ‡Π΅ΠΌ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„Π΅, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ этим Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ колСбаниям с Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π²Π½Π΅ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„Π° (см. Ρ€ΠΈΡ. 12,Π°), Ρ‚. Π΅. Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠΌ. Π’ соотвСтствии с ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ΅ΠΌ Найквиста, это Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ состояниС Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ систСмы соотвСтствуСт устойчивой Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ систСмС, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ всякиС колСбания Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‚. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, с Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ, Ρ‚. Π΅. Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ всС Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ, .

Аналогично, Ссли Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм Π²ΠΎΠ·ΠΌΡƒΡ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, большСС, Ρ‡Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠΌ Найквиста. Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС, Π² ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствии с Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ΅ΠΌ Найквиста, нСлинСйная систСма Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ эквивалСнтна Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ нСустойчивой систСмС, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ нарастаСт с Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ всС Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ эти колСбания нСустойчивы ΠΈ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ врСмя Π² Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ систСмС Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚.

Π’ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя, повторяя ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ рассуТдСния, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ автоколСбания с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ, Π² Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ систСмС асимптотичСски устойчивы, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ отклонСния Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄ΠΎ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π² Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ систСмС с ΠΈ ΡƒΡΡ‚ановятся автоколСбания с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈ .

Аналогичная ситуация ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка, Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΡ€Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° Ρ†ΠΈΠΊΠ»Π°, Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 12, Π±.

Π° Π±

Рис. 12

ΠŸΡ€ΠΈ этом Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠΉ Ρ†ΠΈΠΊΠ» являСтся нСустойчивым, Π° Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΠΉ — устойчивым. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ссли Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ условия Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π³ΠΎ Ρ†ΠΈΠΊΠ»Π°, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΈ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚. Говорят, систСма Π½Π΅ Π²ΠΎΠ·Π±ΡƒΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ся.

Если ΠΆΠ΅ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ условия (Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‡ΠΎΠΊ) Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈ окаТСтся Π²Π½Π΅ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π³ΠΎ Ρ†ΠΈΠΊΠ»Π°, Π½ΠΎ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ внСшнСго, Ρ‚ΠΎ Π² Π΄Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΌ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ нарастаСт ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы постСпСнно приблиТаСтся ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌΡƒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ соотвСтствуСт Π²Π½Π΅ΡˆΠ½Π΅ΠΌΡƒ устойчивому Ρ†ΠΈΠΊΠ»Ρƒ. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ΅ ΡƒΡΡ‚Π°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ автоколСбания.

Для исслСдования устойчивости Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ гармоничСски Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… систСм ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΈΠ· ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ.

ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ устойчивости Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. Если ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта пСрСсСкаСт Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ части ΠΈΠ·Π²Π½Π΅ Π²ΠΎΠ²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ пСрСсСчСния ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ нСустойчивыС автоколСбания, Ссли ΠΆΠ΅ — ΠΈΠ·Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Π²ΠΎΠ²Π½Π΅, Ρ‚ΠΎ — устойчивыС автоколСбания. Β¦

Для Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ исслСдования свойств Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ систСмы ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ, Ссли выполняСтся условиС (19), ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Ρ‹ Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΡ‚Ρ€Π°. Для этого Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ значСния ΠΈ, Π³Π΄Π΅ — частота устойчивых Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

Если >>, Ρ‚ΠΎ Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ автоколСбания с ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ расчСтов ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ. Π’ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡ‚Π²Π°Ρ… систСмы Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствии с ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ расчСтов ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ нСльзя.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ сущСствования Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ΅, структурная схСма ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 13.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… звСньСв ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ выраТСниями:

Если колСбания Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ; ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, выполняСтся Π»ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Π° Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΡ‚Ρ€Π°, ΠΈ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡ‚Π²Π°Ρ… Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ систСмы.

Рис. 13

РСшСниС. Π’ ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствии со ΡΡ…Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 13 ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ (12) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ

. (20)

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ — вСщСствСнная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠ² ΠΈ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ лишь Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ вСщСствСнной полуоси, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ пСрСсСкаСт ΠΏΡ€ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 14. На ΡΡ‚ΠΎΠΌ рисункС Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ (20) для наглядности условно ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Π²ΡƒΡ… прямых, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… полуоси ΠΈ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π΄ΡƒΠ³ΠΎΠΉ. На ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΎΠ±Π΅ эти Π²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„Π° ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ с ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΎΡΡŒΡŽ, Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ .

Π’ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ с ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ свойством Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠ² рассматриваСмой систСмы сначала Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ частоту. На ΡΡ‚ΠΎΠΉ частотС мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ комплСксного коэффициСнта Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, поэтому, полагая Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния (20) Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° .

Рис. 14

Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠ² ΠΈ, Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π² ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ (19), ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 14. Из ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (20) ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

.

ГрафичСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этого уравнСния ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 15. Как Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° корня: ΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ автоколСбания Π»ΠΈΠ±ΠΎ с Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ, , Π»ΠΈΠ±ΠΎ с, .

Анализ ΠΈΡ… ΡƒΡΡ‚ойчивости с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ критСрия ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ автоколСбания с ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅ΠΉ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ Π½Π΅ ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²Ρ‹, Π° Ρ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ΠΉ — устойчивы. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ систСмС ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ автоколСбания с Ρ‡Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ ΠΈ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ. УсловиСм возникновСния Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ достаточно большиС Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ условия.

Однако эти Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ справСдливы, Ссли выполняСтся Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Π° Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΡ‚Ρ€Π°.

Для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Ρ‹ Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΡ‚Ρ€Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ коэффициСнт ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ части Π½Π° Ρ‡Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‚Π΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹. ИмССм, Π°. Π Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ€Π°Π·Π°, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Π° Ρ„ΠΈΠ»ΡŒΡ‚Ρ€Π° выполняСтся, Π½ΠΎ Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎ. МоТно Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ автоколСбания Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΡƒΡ‚, Π½ΠΎ ΠΈΡ… Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ нСсколько ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°ΡΡ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ. Β¦

Рис. 15

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Найти ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ, ΠΎΠ±ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ автоколСбаниями, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ΅, рассмотрСнной Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 1.

РСшСниС. Для опрСдСлСния ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ошибки ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅ΠΌ Π²ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствии с ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΈ ΡΡ‚ΠΎ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΈ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‚Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта.

Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, Π² ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствии со ΡΡ…Π΅ΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 13, указанная пСрСмСнная являСтся Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π²Π΅Π½Π° с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ

ΠΊΠΎ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ рассматриваСмой систСмы. Амплитуда этого отклонСния ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, искомой ошибкой.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ равСнство

.

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°, с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, , Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ

.

Как Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, нСсмотря Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·ΠΎΠ½Π° Π½Π΅Ρ‡ΡƒΠ²ΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта всСго лишь 0,01, ошибка, обусловлСнная автоколСбаниями, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ Π² Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ систСмС, довольно Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΎΠ½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Π² 60 Ρ€Π°Π· ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ Π·ΠΎΠ½Ρƒ Π½Π΅Ρ‡ΡƒΠ²ΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта.

Π’ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ этой Π³Π»Π°Π²Ρ‹ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ гармоничСской Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ для Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… систСм Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ, Π½ΠΎ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высоких порядков. Π•Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Π² Ρ‡Π°ΡΡ‚ности, для исслСдования свойств нСсиммСтричных Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, Ρ‚. Π΅. Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠΎΡΡ‚оянной ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ.

БСсСкСрский Π’. А., Попов Π•. П. ВСория систСм автоматичСского рСгулирования, ΠΈΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅, исправлСнноС. Москва, ΠΈΠ·Π΄Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ «ΠΠ°ΡƒΠΊΠ°», Главная рСдакция Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎ-матСматичСской Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹, 2005

Π—Π°ΠΉΡ†Π΅Π² Π“. Π€. ВСория автоматичСского управлСния ΠΈ Ρ€Π΅Π³ΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.— 2-Π΅ ΠΈΠ·Π΄., ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π°Π±. ΠΈ Π΄ΠΎΠΏ. КиСв, Π˜Π·Π΄Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π’Ρ‹Ρ‰Π° школа Π“ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·Π΄Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ, 2004

Ким Π”. П. ВСория автоматичСского управлСния. Π’. 1. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ систСмы. — Πœ.: Π€Π˜Π—ΠœΠΠ’Π›Π˜Π’, 2013. — 288 с. — ISBN 5−9221−0379−2.

Ким Π”. П. ВСория автоматичСского управлСния. Π’. 2. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅, Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅, ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π°Π΄Π°ΠΏΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ систСмы: Π£Ρ‡Π΅Π±. пособиС. — Πœ.: Π€Π˜Π—ΠœΠΠ’Π›Π˜Π’, 2014. — 64 с. — ISBN 5−9221−0534−5.

Π‘Π±ΠΎΡ€Π½ΠΈΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ автоматичСского рСгулирования ΠΈ ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ/ Под Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π’. А. БСсСкСрского. — M.: Наука, 2013.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ