Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Математическое моделирование нормальных распределений на группе SO (3) и сфере S2 методом Монте Карло

Диссертация: Математическое моделирование нормальных распределений на группе SO (3) и сфере S2 методом Монте Карло
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

А также применения центральной предельной теоремы (ЦПТ) на 80(3) в щ данной работе разработан новый метод математического моделирования НР на ® основе построения выражений для статистических реализаций (метод Монте ш Карло), позволяющий с достаточной точностью моделировать указанные распределения в случае произвольных параметров. Проведено сравнение с уже существующими методами расчета на основе… Читать ещё >

Содержание

  • Глава 1. Методы исследования количественного текстурного анализа и нормальные распределения
    • 1. 1. Параметризация ориентации отдельного кристаллита
    • 1. 2. Некоторые сведения о группе 80(3)
    • 1. 3. Функция распределения ориентаций
    • 1. 4. Экспериментальные подходы к измерению текстуры и полюсные фигуры
    • 1. 5. Основная задача текстурного анализа. Методы аппроксимации функций распределения ориентации и полюсной фигуры
    • 1. 6. Основные источники погрешностей при экспериментальном измерении полюсных фигур и восстановлении функции распределения ориентаций
    • 1. 7. Определение нормальных распределений на 80(3) и их классификация
  • Выводы
  • Глава 2. Свойства нормальных распределений
    • 2. 1. Основные свойства на 80(3)
    • 2. 2. Модель малых случайных вращений
    • 2. 3. Центральная предельная теорема (ЦПТ) на 80(т) и теория Ц1И-последовательностей
      • 2. 3. 1. Определения и используемые обозначения
      • 2. 3. 2. Вспомогательные утверждения
      • 2. 3. 3. Теория ЦПТ-последовательностей
      • 2. 3. 4. Построение общей Ц1Г1-последовательности на 80(2)
      • 2. 3. 5. Построение общей ЦПТ-последовательности на вО (3)
      • 2. 3. 6. Построение общей ЦПТ-последовательности на БО (т)
  • Выводы
  • Глава 3. Методы вычисления нормальльных распределений
    • 3. 1. Метод рядов Фурье
    • 3. 2. Метод аналитических приближений
    • 3. 3. Метод ЦПТ-последовательностей (Монте Карло)
      • 3. 3. 1. Моделирование HP на SO (m)
      • 3. 3. 2. Оценка скорости сходимости
      • 3. 3. 3. Примеры вычисления
  • Выводы
  • Глава 4. Применение метода Монте Карло к расчету текстурных характеристик и моделирование погрешностей
    • 4. 1. Вероятностностно статистическая интерпретация полюсных фигур
    • 4. 2. Метод статистического моделирования полюсных фигур, соответствующий их экспериментальному измерению
    • 4. 3. Моделирование полюсных фигур без учета симметрии кристаллитов
    • 4. 4. Моделирование погрешностей при вычислении полюсных фигур для нормальных распределений
    • 4. 5. Моделирование полюсных фигур и вычисление тензора упругой податливости поликристалла бериллия
  • Выводы

Математическое моделирование нормальных распределений на группе SO (3) и сфере S2 методом Монте Карло (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Актуальность работы.

Настоящая работа посвящена исследованию вопросов, связанных с В рассмотрением свойств, методов моделирования, а также некоторых применений в текстурном анализе нормальных распределений (НР) на группе вращений I евклидового пространства и сфере. Данный класс распределений играет исключительно важную роль в математической статистике и теории вероятностей, в силу наличия целого спектра характерных свойств. Теория и применения нормальных распределений в евклидовом пространстве является.

I достаточно хорошо разработанной научной и инженерной областью, тогда как исследование указанных распределений на объектах несколько иной структуры I таких, как компактная группа вращений 80(3) и сфера Б2 связано с применением математического аппарата теории представлений компактных групп и характеристических функций, а также специализированных методов математической статистики и представляется актуальной научной проблемой.

Даже непосредственное вычисление НР на груше 80(3) и сфере 82 является и непростой вычислительной задачей и для ряда параметров данного класса распределений существующие методы расчета не являются достаточно эффективными. На основе определения и исследования свойств НР на группе.

80(3), а также применения центральной предельной теоремы (ЦПТ) на 80(3) в щ данной работе разработан новый метод математического моделирования НР на ® основе построения выражений для статистических реализаций (метод Монте ш Карло), позволяющий с достаточной точностью моделировать указанные распределения в случае произвольных параметров. Проведено сравнение с уже существующими методами расчета на основе разложений Фурье (МРФ) и * методом аналитических приближений (МАП). я Необходимо заметить, что в общемировой практике возрастает интерес к моделям Монте Карло в текстурном анализе. Указанные математические модели позволяют более адекватным образом описать процессы формирования и измерения текстуры, а также изучать статистические закономерности этих процессов. Основной задачей количественного текстурного анализа (КТА) является восстановление функции распределения ориентаций (ФРО), характеризующей распределение кристаллитов поликристаллического образца (ПО) в ориентационном пространстве 80(3), по набору экспериментально измеряемых полюсных фигур (ПФ), которые являются функциями на сфере Б2. В связи с этим актуальной является задача вычисления ФРО и ПФ. Существуют различные способы решения этой задачи. Одним из широко распространенных способов решения является аппроксимация ФРО и ПФ с использованием стандартный функций. В данной работе развивается подход к решению указанной задачи на основе использования в качестве стандартных функций нормальных распределений на 80(3) и 82. Проводится построение статистической модели ПФ, соответствующей процессу экспериментального измерения этой величины. С применением данной модели проводятся вычисления ПФ и исследуется вопросы погрешностей вычислений ПФ.

Целью диссертационной работы являлось:

1. Разработка специализированного метода Монте Карло моделирования НР на 80(3) на основе исследования свойства безграничной делимости и применения центральной предельной теоремы на группе 80(3), позволяющего с произвольной точностью аппроксимировать любое распределение из указанного семейства. Обобщение построенного метода на случай группы 80(Ш).

2. Сравнение разработанного метода Монте Карло расчета НР на Б0(3) с альтернативными методами путем проверки гипотезы о совпадении распределений, соответствующих некоторым проекциям НР.

3. Построение математической модели расчета ПФ, адекватной их экспериментальному измерению с использованием сеточно-верояшостного метода на основе алгоритма разработанного метода Монте Карло. Расчет ПФ для ряда значений параметров с помощью данной модели. Оценка погрешностей при расчете ПФ.

Научная новизна.

На основе формулировки ЦГГГ на группе вращений 80(т) Партасарати разработана новая теория последовательностей вероятностных мер на группе 80(т), сходящихся к нормальному распределению с произвольными параметрами (ЦПТ-последовательностей). Содержанием этой теории является описания вида и свойств таких последовательностей. Данная теория включает в себя также доказательство некоторых утверждений о скорости сходимости таких последовательностей.

Впервые разработан специализированный метод моделирования НР на 80(3) для произвольных значений параметров. Данный метод обобщен на случай группы вращений произвольной размерности 80(т). Для случая группы 80(т) при т>3 альтернативных методов вычисления НР не существует. В случае т = 3 для широкой области параметров разработанный метод дает значительный вычислительный выигрыш по сравнению с альтернативными метрдами вычисления.

Впервые построен метод статистического моделирования полюсных фигур, адекватный их экспериментальному измерению. Данный метод основан на применении вероятностно-сеточных методов с использованием равномерных и неравномерных сеток. ПФ интерпретируется при этом как функция плотности вероятности и моделируется методом Монте Карло. Затем вся совокупность реализаций проектируется на сетку разбиения верхней полусферы. В работе использованы несколько вариантов сеток разбиения, которые являются наиболее близкими к сетке экспериментального разбиения.

На защиту выносится.

1. Теоретическое исследование некоторых свойств последовательностей вероятностных мер на группе SO (3) специального вида (ЦГТТ-последовательностей), сходящихся к HP на SO (3) с произвольными параметрами.

2. Метод Монте Карло математического моделирования HP с произвольными параметрами на группе SO (3) на основе приближения данного класса распределений с помощью Ц1ГГ-последовательностей.

3. Статистическая модель ПФ, соответствующая их экспериментальному измерению.

4. Результаты математического моделирования ПФ с применением равномерных и неравномерных сеток в случае поликристаллического образца без симметрии и при наличии гексагональной симметрии составляющих кристаллитоврезультаты математического моделирования погрешностей при вычислении ПФ.

Апробация и публикации.

Основные результаты диссертации были доложены на научных сессиях МИФИ (Москва, 2001, 2002, 2003, 2004), конференции «Обратные и некорректно поставленные задачи» (Москва, 2001), конференции International Conference of Texture of Materials (Seoul, 2003). Результаты проведенных исследований изложены в 9 работах (публикации 1, 2, 3, 4, 32, 34, 68, 76, 86 в списке литературы).

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, 4 глав, 1 приложения и заключения. Работа изложена на 133 страницах. Включает 31 рисунок, 6 таблиц, 88 наименований литературы.

Выводы.

В данной главе на некоторых характерных примерах было рассмотрено применение специально разработанного метода Монте-Карло моделирования НР на 80(т) к расчету одной из основных характеристик текстурного образца ПФ, В случае отсутствия симметрии образца для расчетов использовалась специально подобранная неравномерная сетка разбиения, вид которой зависит от элементов выборки. Вид разбиения уравновешивает статистические ошибки при расчете средних значений моделируемых ПФ по сетке разбиения гистограммы, фактически, заменяя процедуру сглаживания ПФ. Для оценки погрешностей метода используется исследование нескольких ПФ, полученных с помощью повторного моделирования и альтернативного метода вычисления на основе разложения в ряд Фурье. При этом используется диапазон параметров моделируемого распределения, позволяющий свести к минимуму погрешности альтернативного метода вычисления приближенный к реальным текстурным образцам. Рассматривается случай наличия гексагональной симметрии кристаллитов. Исследуется характер зависимостей величины относительной погрешности от объема выборки статистического метода. При объеме выборки 10 000 реализаций метод позволяет не превышать уровня относительной погрешности в 22%. Также рассматривается частный случай описания двухкомпоиентной текстуры в случае гексагональной симметрии. При этом ФРО аппроксимируется в виде суммы двух симметризованных слагаемых, каждое из которых представляет нормальное распределение на 80(3). Приводятся примеры экспериментальных и модельных ПФ. Уровень относительной погрешности метода статистического моделирования составил при этом не более 5% на выборке объемом в 30 000 реализаций. В расчетах использовалась равномерная 5-ти градусная сетка. Проведенные расчеты позволяют сделать вывод о экспериментальной проверке сходимости статистического метода моделирования НР на 80(3) и об адекватности и применимости построенной математической модели для расчета ПФ процедуре их экспериментального измерения.

Заключение

.

В данной работе исследовались вопросы, связанные с рассмотрением свойств, методов моделирования, а также некоторых применений в текстурном анализе нормальных распределений на группе вращений евклидрвого пространства 80(3) и сфере 82.

Основными результатами диссертационной работы являются:

1. Построение статистической модели малых случайных вращений, описывающей процесс формирования углового распределение в поликристаллическом образце в предположении многофакторного физического воздействия.

2. Построение новой теории ЦПТ-последовательцостей, описывающей общий вид и свойства класса последовательностей вероятностных мер на 80(3), сходящихся к НР на 80(3) с произвольными параметрами распределения. Обобщение данной теории на случай общей группы 80(ш).

3. Разработка метода Монте Карло моделирования НР на 80(3) с произвольными параметрами (6 независимых параметров). Сравнение с уще существующими методами вычисления: методом рядов Фурье и методом аналитических приближений.

4. Разработка статистической модели ПФ. Моделирование ПФ с применением специально разработанной неравномерной сетки разбиения. Моделирование зависимости погрешности вычисления ПФ от объема выборки. На основе обобщения результатов показано, что при объеме выборки 10 000 реализаций относительная погрешность вычисления ПФ с использованием статистической модели не превышает 22%. Моделирование двухкомпонентйой текстуры материала применительно к описанию набора 2-х экспериментальных ПФ для ленты бериллия 99,95% чистоты с вычислением эффективного физического свойства, описываемого с помощью тензора упругой податливости. Разработка комплекса программ вычисления НР на 80(3) и ПФ от данных распределений для среды МАТЪАВ 5.2.

Автор работы выражает глубокую признательность своему научному руководителю Т. И. Савеловой за всестороннюю поддержку в течение подготовки научных работ по теме диссертации и рукописи диссертации, Ю. А. Перловичу за полезные консультации по поводу различных аспектов рентгеновского текстурного эксперимента, а также A.B. Кряневу и Д. И. Николаеву за ценные обсуждения в процессе работы над диссертационной темой.

Показать весь текст

Список литературы

  1. М.В., Савелова Т. И. Аппроксимация класса канонических нормальных распределений методом случайных вращений /У Заводская лаборатория, 2002. Т. 6 В. № 2. С. 16−21.
  2. М.В., Савелова Т. И. Вычисление нормальных распределений на группе вращений методом Монте-Карло // Журнал вычисл. матем. и матем. физики, 2002. Т. 42. № 1. С. 112−128.
  3. Т.И., Николаев Д. И., Савелова Т. И. Применение гауссовских распределений на SO(3) для вычисления физических свойств поликристаллов // Препринт 066−87 МИФИ.-М.: Типография МИФИ, 1987.
  4. Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.
  5. Гельфанд И. М, Минлос P.A., Шапиро З. Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. М.: ФМГ, 1958.
  6. У. Вероятности на алгебраических структурах. М: Мир, 1965.
  7. Т.М., Савелова Т. И. Выражения для гауссовского распределения, удобные для вычисления на ЭВМ // Заводская лаборатория, 1992, № 12. С. 36^-41.
  8. А.Н. Анизотропия и текстуры материалов Н М.: МГУ, 2000.
  9. Д.И., Савелова Т. И. Гауссовские распределения на SO(3) и их приложения для описания текстур // Препринт 060−86 МИФИ. М.: МИФИ, 1986.
  10. Д.И., Савелова Т. Н. Известия АН СССР // Металлы. 1989. N6. С.165−169.
  11. B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М: Наука, 1979.
  12. Савелова Т. И, Бухарова Т. И. Представления группы SU (2) и их применение. М.: МИФИ, 1996.
  13. Т.И. Функции распределения зерен по ориентациям и их гауссовские приближения // Заводская лаборатория. 1984. Т. 50. № 5, С. 48−52.
  14. Т.И. Вычисление ПФ и восстановление ФРО по ПФ для гауссовских распределений канонического вида // Заводская лаборатория, 1989. Т.55. № 9. С. 57−60.
  15. Т.И. Метод аппроксимации функции распределения зерен по ориентациям гауссовскими распределениями на группе вращений SO(3) // Известия РАН. Физика Земли, 1993. № 6. С. 50−53.
  16. Т.И. Примеры решения некорректно поставленных задач. М.: МИФИ, 1999.
  17. В.В., Тутубалин В. Н. Распределения вероятностей на топологических группах // Теория вероятностей и ее применения. 1966. № 1. С. 355.
  18. А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.
  19. Bucharova T.I., Savyolova T.I. Application of normal distribution on SO (3) and
  20. S2 for orientation distribution function approximation // Textures and Microstructures, 1993. Y. 21. P. 161−176.
  21. Bunge H.J. Texture analysis in materials science mathematical methods. London: Butterworths, 1982.
  22. Eschner. TH. Texture analysis by means of model functions // Textures and Microstructures, 1993. Y. 21. P. 139−146.
  23. Lusin V., Nikolayev D. On the errors of experimental pole figures // Textures and Microstructures, 1996. V. 25. P. 121−128.
  24. Nikolayev D.I., Savyolova T.I., Feldmann K. Approximaton of the orientation distribution of grains in polycrystalline samples by means of Gaussians // Textures and Microstructures, 1988. Y. 19. P. 9−27.
  25. Partasarathy K.P. The central limit theorem for the rotation group // Теория вероятностей и ее применения, 1964. Т.9. № 9. С. 273−282.
  26. Roberts Р.Н., Winch D.E. On random rotation // Adv. Appl. Prob., 1984. V. 16. P. 638−655.
  27. Savyolova T.I. Approximation of the pole figures and the orientation of distribution of grains in polycrystalline samples by means of canonical normal distributions // Textures and Microstructures, 1993. V. 22. P. 17−27.
  28. Savyolova T. I, Davidzhan E.A., Ivanova T.M. Calculation of CND on the Rotation Group SO (3) // Int. Conf. Neutron Texture and Stress Analysis. Dubna, 1997.
  29. Savyolova T.I., Davidzhan E.A., Ivanova T.M. Optimal calculation of ODF with the canonical normal distribution on the rotation group // Textures and Microstructures, 1999. V. 33. P. 337−341.
  30. Savyolova T.I., Ivanova T.M. Calculation of Pole Figures for Canonical Normal • Distributions on the group SO (3) // Тез. конф. Обр. и некорр. пост, задачи. М.: МГУ, 1996.
  31. Т.И., Нагаев И. Р. Загадочные полюсные фигуры или универсальный метод Роу-Бунге // Препринт 026−97 МИФИ. М.: МИФИ, 1997.
  32. М.В., Савелова Т. И. Нормальные распределения на SO(3). М.: МИФИ, 2002.
  33. Дж. Вероятность. М.: Наука, 1973.
  34. Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.
  35. М. Serghat, M.J. Philippe, C. Esling, B. Bouzy Contribution of EBSP to the Determination of the Rotation Flow Field // Mat. Sci. Forum, 1994. Y. 157−162. P. 1861−1868.
  36. P. Pailard, R-Penell, T. Baudin Grain Grouwth Simulation by Monte-Carlo Method in a HiB Fe 3% Si Alloy // Mat. Sci. Forum, 1994. V. 157−162. P. 1847−1854.
  37. D. Y. Li, J. A. Szpunar Modelling of the Texture Formation in Electrodeposition process//Mat. Sci. Forum, 1994. Y. 157−162. P. 1827−1838.
  38. H. G. Brokmeier Texture Analysis by Neutron Diffraction // Mat. Sci. Forum, 1994. Y. 157−162. P. 59−70.
  39. A. Muclich, P. Klimanek Experimental Errors in Quantitative Texture Analysis from Diffraction Pole Figures // Mat. Sci. Forum, 1994. Y. 157−162. P. 275−286.
  40. T.I. Bucharova, T.M. Ivanova, D.I. Nikolayev, T.I. Savyolova Approximation of Orientation Distribution of Grains in Polycrystalline Samples by Means of Gaussians // Mat. Sci. Forum, 1994. V. 157−162. P. 323−326.
  41. D.I. Nikolayev, T.I. Savyolova Approximation of the ODF by Gaussians for Sharp Textures //Mat. Sci. Forum, 1994. V. 157−162. P. 387−392.
  42. K. Pawlik The ODF Calculation from Pole Figures for Different Types of Crystal and Sample Symmetries //Mat. Sci. Forum, 1994. V. 157−162. P. 401−406.45. http://www.gkss, de/Themen/W/р 16e. htm46. http://www.nfdfiLiinr.ru/fkipy&s/nsw.htm
  43. H.G.Brokmeyer, U. Zink, R. Schnieber and B. Witasek, Tex-2, Texture analysis at GKSS research center (Instrumentation and application) // Mat Sci. Forum, 1998, V.273−275, P. 277−282.
  44. B.B. Экспериментальное и модельное исследование процесса измерения текстуры поликристаллов методом дифракции нейтронов. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук., 1999,126 с.
  45. И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.
  46. С.Н. Метод Монте Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975.
  47. Новые методы исследования текстуры поликристаллических материалов. Сб. переводов статей из журнала «Textures and Microstructures» под редакцией Папирова И. И., Савеловой Т. Н. М.: Металлургия, 1985.
  48. Т.Н. Применение гауссовских распределений для описания текстур гексагональных материалов // Известия РАН. Физика земли, 1993. № 6. С.59−67.
  49. МардиаК. Статистический анализ угловых наблюдений. М: Наука, 1978.
  50. Jupp А.Е., Mardia K.V. Unified wiew of the theory of directional statistics, 1979−1988 // Int. Stat. Review, 1989. V.57. P. 261−294.
  51. Г. А., Никитин A.H., Савелова Т. И., Яковлев В. Б. Теоретико-экспериментальный подход к исследованию микро и макросвойств и состояния горных пород (возможное направление развития моделей очага землятрясений) // Физика Земли, 2001, № 1, С.6−15.
  52. Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М. Наука, 1980.
  53. В.М. Дополнительные главы теории вероятностей. М.: Высшая школа, 1984.
  54. Ю.И., Шаскольская М. П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1979.
  55. Matthies S., Wenk H.R., Vinel G.W. Some Basic Concepts of Texture Analysis and Comparison of Three Methods to Calculate Orientation Distribution from Pole Figures // J. Appl. Cryst, 1988, Y.21. P. 285−304.
  56. Д.А., Москалев A.H., Черсонский B.K. Квантовая теория углового момента. Ленинград: Наука, 1975.
  57. Edmonds A.R. Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton Univ. Press, 1957.
  58. Bunge H.J. Mathematishe Methoden der Texturanalyse. Berlin: Akademieverlag, 1969.
  59. Prentice M.J. Antipodally symmetric distributions for orientation statistics // J. Statist. Plan, 1982. V.6. P.205−214.
  60. Perlovich Yu. Some physical errors of x-ray texture measurements // Textures and Microstructures, 1996. V. 25, P. 129−147.
  61. Helming K., Schmidt D., Ullemeyer K. Preferred orientations of mica bearing rocks described by texture components // Textures and Microstructures, 1996. V. 25. P. 211−222.
  62. Bunge HJ. Physical versus mathematical aspects in texture analysis // Textures and Microstructures, 1996. V. 25. P. 71−108.
  63. Bukharova T.I. The influence of crystal symmentry on the determination of the orientation of isolated texture components from pole figures // Textures and Microstructures, 1996. V. 25. P. 205−210.
  64. Т.М. Применение канонического нормального распределения для решения задач текстурного анализа. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, 1998,133 с.
  65. Т.И. Разработка математических методов описания текстуры гексагональных поликристаллов и их применение для оценки анизотропии физических свойств, Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, 1990,145 с.
  66. Т. А. Нейтронографическое и модельное исследование влияния текстуры при определении упругих свойств конструкционных поликристаллических материалов. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, 2002,120 с.
  67. А.С. Количественная мера текстуры поликристаллических материалов. Текстурная функция // ФТТ, 1960. Т. 2. № 10. С. 2463−2476.
  68. Nikolayev D. I, Ullemeyer К. The effect of smoothing on ODF reproduction // Textures and Microstructures, 1996. V. 25. P. 149−157,
  69. Mardia K.V., Khatri C.G. Uniform distribution on a Stiefel manifold // J. MultAnal, 1977. V. 7. P. 468−473.
  70. Khatri C.G., Mardia K.V. The von Mises-Fisher distribution in orientation statistics//J.R. Statist Soc, 1977. V. 39. P. 95−106.
  71. Borovkov M.V., Savyolova T.I. Optimization of neutron texture experiment by statistical simulation of pole figures with normal distribution // Materials Science Forum, 2002. V. 408−412. P. 197−202.
  72. Rollett A.D. Texture development dependence on grain boundary properties // Materials Science Forum, 2002. V. 408−412. P. 251−256.
  73. Poulsen H.F., Jensen D J. From 2D to 3D microtexture investigation // Materials Science Forum, 2002. Y. 408−412. P. 49−66.
  74. Kobayashi M., Takayama Y., Kato H. Prediction of texture development during grain grouwth in pure aluminium by Monte Carlo Simulation // Materials Science Forum, 2002. V. 408−412. P. 293−298.
  75. Tarasiuk J., Gerber Ph., Bacroix В., Piekos K. Modelling of Recrystallization using Monte Carlo method based on EBSD data // Materials Science Forum, 2002. V. 408−412. P. 395−400.
  76. Ryoo H.S., Yu S.H., Oh K.H., Hwang S.K. Monte Carlo simulation of grain growth in Zr processed by ECAP // Materials Science Forum, 2002. V, 408−412. P. 655 660,
  77. Adams B.L., Dingley D.J., Kunze K., Wright S.I. Orientation imaging microscopy: new possibilities for microstructural investigations using automated BKD analysis // Materials Science Forum, 1994. V. 157−162. P. 31−42.
  78. Т.И. О решении одной обратной задачи дифракции // ДАН СССР, 1982, Т. 266. № з. с. 590−592.
  79. Matthies S., Helming S. General consideration of the loss of information on the orientation distribution function of textured samples in pole figures measurement // Phys. Stat. Sol,. 1982. Y 113. P. 569−582.
  80. Matthies S., Vinel G.W., Helming K. Standart distributions in texture analysis. Akademie-Velgrad Berlin, 1987. V. 1−3.
  81. Choy М.М., Cook W.R., Hearmon R.S.F., Jaffe H., etc. Numerical data and functional relationships in science and technology. Springer Verlag Berlin, Heidelberg, New York, 1979.
  82. Boeslau J., Raabe D. Development of microtextures in cold rolled iron-oligocrystals// Materials Science Forum, 1994. V. 157−162. P. 501−506.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!