Абсолютные и относительные величины в статистике

Задача 1

Цена 1 т. продукта «А» на внутреннем и мировом рынках составляла, усл. ден. ед.:

Выполните сравнительный анализ цены продукта «А» всеми возможными видами относительных величин, назовите их виды Решение В статистике используют несколько видов относительных величин:

Для выражения данного показателя могут использоваться как коэффициенты, так и проценты.

Относительная величина структуры характеризует состав изучаемой совокупности и показывает, какой удельный вес в общем итоге составляет каждая ее часть. Рассчитанные в данной таблице проценты представляют собой относительные показатели структуры (в данном случае — удельные веса).

Относительные величины динамики выражают степень изменения явления во времени, т. е. они измеряют скорость (темп) развития. Относительная величина динамики есть отношение значения (уровня) показателя за данный период (месяц, квартал, год) к его уровню за предыдущее время. Поэтому для исчисления относительных величин динамики необходимо располагать данными за несколько периодов.

Относительная величина сравнения характеризуют количественное соотношение одноименных показателей, относящихся к различным объектам статистического наблюдения, но за один и тот же период.

Относительная величина координации характеризует соотношение между отдельными частями статистической совокупности и показывает, во сколько раз сравниваемая часть совокупности больше или меньше части, которая принимается за основание или базу сравнения. Они являются дополнением к характеристике структуры изучаемого явления. Например:

Задача 2

Имеются данные об оплате труда работников малых предприятий:

Определить среднюю заработную плату работников предприятий, используя показатели: а) гр. 1 и 2; б) гр. 2 и 3; в) гр. 1 и 3; г) гр. 3 и 4.

Решение а) Зср = (Фо+ Ф1) / (То + Т1) = (540 000 + 480 000) / (600+ 400)= 1020 руб.

б) Среднюю зарплату работников определим по формуле средней арифметической взвешенной:

руб.

fчисленность работников;

xсредняя месячная заработная плата работников;

определяющий показательобщий фонд заработной платы;

в)Ср. зарплату определим по формуле средней гармонической взвешенной:

руб.

wфонд заработной платы;

— средняя месячная заработная плата работников;

определяющий показатель ;

где — численность работников.

г)

где «р" — удельный весвыраженный в процентах.

З/п ср = (9000 * 60%)+ (12 000 * 40%) = 10 200 руб.

100%

Задача 3

По данным выборочного 2%-ного обследования вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке района получены следующие результаты:

Определить:

1) по выборочным данным: а) средний размер вклада; б) моду и медиану по размеру вклада; в) показатели вариации: размах вариации, среднелинейное отклонение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации;

2) по всем вкладчикам района с вероятностью 0,954: а) средний размер вклада; б) долю вкладчиков с размером вклада более 100 тыс. р.

Решение Ряд распределения — вариационный дискретный.

Приведем группировку к стандартному виду с равными интервалами и серединами интервалов для каждой группы. Результаты представлены в таблице:

Интервал в нашем примере равный, можем найти середины интервалов. Сначала найдем середины трех внутренних интервалов. (40+60/2 = 50; 60+80/2 = 70; 80+100 / 2 = 90).

Заметим, что середины интервалов отстают друг от друга на длину интервала, равную 20 тыс. руб. Значит, и середины открытых интервалов отстоят на такую же длину. Т. е., середина первого открытого интервала будет равна 50 — 20 = 30 тыс. руб. А середина последнего открытого интервала 90 +20 = 110 тыс. руб.

а)

Получили, что средний размер вклада составляет 78 тыс. руб.

Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

где — начальное значение интервала, содержащего моду;

— величина модального интервала;

— частота модального интервала;

— частота интервала, предшествующего модальному;

— частота интервала, следующего за модальным.

Введем следующие обозначения:

=70, =30, =120, =56, =104

Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления:

= 70 + 30 * 120 — 56___________ = 94 тыс.р.

|120−56| + |120 -104|

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле:

где — начальное значение интервала, содержащего медиану;

— величина медианного интервала;

— сумма частот ряда;

— сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

— частота медианного интервала.

Определим прежде всего медианный интервал. В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (240), соответствует интервалу 80 — 100. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле.

Известно, что:

Следовательно,

.

2)Найдем дисперсию по данным, включенным в выборку. Дисперсия определяется по формуле:

Для нахождения среднего квадратического отклонения извлечем корень квадратный из дисперсии:

Коэффициент вариации находим по следующей формуле:

Определим в целом с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать средний размер вклада:

Рассчитаем сначала предельную ошибку выборки. Так при вероятности p = 0,954 коэффициент доверия t = 2. Поскольку дана 2%-ная выборка, то

где: n — объем выборочной совокупности,

N — объем генеральной совокупности.

Считаем также, что дисперсия. Тогда предельная ошибка выборочной средней равна:

Определим долю вкладчиков по каждой группе.

Определим долю вкладчиков с размером вклада более 100 тыс. р.:

Задача 4

Имеется информация о ценах на продукцию «А» по одной из фирм:

Определить:

1) цепные и базисные: а) абсолютные приросты; б) темпы роста и прироста;

2) абсолютное содержание 1% прироста;

3) среднюю цену изделия за изучаемый период;

4) среднемесячный абсолютный прирост;

5) среднемесячные темпы роста и прироста;

6) прогнозируемую цену на конец года, предполагая, что выявленная закономерность изменения цены сохранится и в дальнейшем, и используя в качестве закономерности: а) средний абсолютный прирост; б) средний темп роста; в) трендовую модель по уравнению прямой.

Решение

1) а) Базисный абсолютный прирост ;

у_и = 17,8−16,0 = 1,8

у_и = 19,4 -16,0 = 3,4

у_и = 20,5−16,0 = 4,5

у_и = 22,0−16,0 = 6

Цепной абсолютный прирост ;

у_и = 17,8−16,0 =1,8

у_и = 19,4−17,8 = 1,6

у_и = 20,5−19,4 = 1,1

у_и = 22,0−20,5 = 1,5

б) Темпы роста:

базисные (база —месяц январь) темпы роста: *100

Кфевраль/январь = 17,8 / 16,0 * 100 = 111,2%

Кмарт/январь = 19,4 / 16,0 * 100 = 121,2%

Капрель/январь = 20,5 / 16,0 * 100 = 128,1%

Кмай/январь = 22,0 / 16,0 * 100 = 137,5%

Цепные темпы роста: *100

Кфевраль/январь = 17,8 / 16,0 * 100 = 111,2%

Кмарт/февраль = 19,4 / 17,8 * 100 = 108,9%

Капрель/март = 20,5 / 19,4 * 100 = 105,6%

Кмай/апрель = 22,0 / 20,5 * 100 = 107,3%

Цепные темпы прироста: или К0 = К0 — 100%

Кфевраль/январь =

111,2%- 100% = 11,2%

Кмарт/февраль =

108,9% - 100% = 8,9%

Капрель/март

= 105,6% - 100% = 5,6%

Кмай/апрель =

107,3% - 100% = 7,3%

Базисные темпы прироста: или Ка = Ка — 100%

Кфевраль/январь =

111,2% - 100% = 11,2%

Кмарт/январь =

121,2% - 100% = 21,2%

Капрель/январь =

128,1% - 100% = 28,1%

Кмай/январь =

137,5% - 100% = 37,5%

2)Абсолютное значение (содержание) одного процента прироста рассчитывают как отношение абсолютного прироста к темпу прироста за тот же период времени (в %), где и — абсолютный базисный или цепной прирост;

— уровень ряда динамики, выбранный за базу для определения базисных абсолютных приростов;

 — уровень ряда динамики, выбранный за базу для определения i-го цепного абсолютного прироста

Абсолютное значение 1% базисного прироста: 1,8 / 11,2 = 0,16%

Абсолютное значение 1% цепного прироста: 1,8 / 8,9 = 0,20%

3) Среднюю цену изделия за изучаемый период определим по методу средней хронологической.

Р = (16/2 +17,8 +19,4 +20,5 +22,0/2) / 4 = 19,1 р.

4) Рассчитаем среднемесячный уровень прироста (снижения). Для вычисления используем формулу:

yпр= ?y / n

где у — абсолютные уровни ряда;

nчисло уровней ряда.

yпр= (16,0+17,8+19,4+20,5+22,0) / 5= 19,1 руб.

Для вычисления среднемесячного абсолютного прироста (снижения) используем формулы:

?y1=??y1/ n

?y0=??y0/ n

где nчисло абсолютных приростов цепных или базисных;

?y1-цепные абсолютные приросты;

?y0-базисные абсолютные приросты

?y1= (1,8+1,6+1,1+1,5) / 4 = 1,5 руб.

?y0= (1,8+ 3,4+4,5+6) / 4 = 3,9 руб.

5) Рассчитаем среднемесячный темп роста и прироста, %:

Среднемесячный темп роста:

Темп рост определяется по формуле:

yi — уровень сравниваемого периода;

y i -1 — уровень предшествующего периода;

y i -1 — - уровень базисного (начального) периода;

?Т= n-1vПТ^цр * 100% - 100% = ⁴v1,11*1,08*1,05*1,07 * 100% - 100% = 7%

Темп прироста можно получить из темпа роста:

Тпр = 7% - 100% = -93%

Интересно, что ввиду асимметрии темпа прироста и темпа сокращения при равных их величинах общий темп прироста всегда отрицателен.

Задача 5

В течение I квартала имели место следующие изменения величины остатков вклада:

Определить средние остатки по вкладам, если на 1 января остаток по первому вкладу составлял 32 000 р., а по второму — 45 000 р.

Решение Определим размеры вкладов

Используем формулу средней хронологической:

где y_i — значение показателя на i-1 момент времени.

Подставив исходные данные, получим средние остатки по первому вкладу:

y_i = Ѕ* 32 000 +33 500+31 500+31500+32 000+32 000+32 000+Ѕ*32 100 = 7

= 224 550/7 = 32 078,5 р.

Средние остатки по второму вкладу:

y_i = Ѕ*45 000+45 000+45 000+45 300+45 450+44 900+44 700+Ѕ*45 100 =

315 400 / 7 = 45 057,1 р.

Задача 6

По 8 однородным магазинам имеются следующие данные:

Для выявления зависимости уровня издержек обращения от размера товарооборота определить:

1) коэффициент регрессии;

2) коэффициент корреляции;

3) коэффициент относительной эластичности.

Сделать выводы.

Решение Общий вид уравнения регрессии:

Система нормальных уравнений в общем виде:

Здесь х — уровень издержек обращения по отношению к товарообороту, у — товарооборот.

Приведём расчётную таблицу:

Система нормальных уравнений с вычисленными коэффициентами

Решение системы:

Построенное уравнение регрессии:

Коэффициенты эластичности рассчитаем в таблице

Коэффициент корреляции рассчитаем по формуле:

Можно сделать вывод, что связь между показателями обратная и достаточно сильная.

Задача 7

Имеются данные о производственной деятельности строительных фирм:

Определить:

1) индивидуальные индексы себестоимости;

2) общие индексы себестоимости переменного и постоянного состава, индекс структурных сдвигов, их взаимосвязь. Объяснить экономический смысл индексов;

3) изменение средней себестоимости 1 м² в абсолютном выражении всего и за счет: а) изменения себестоимости по фирмам; б) изменения структуры производства.

Решение

1) Изменение себестоимости 1 м² по каждой фирме оценивается с помощью индивидуальных индексов:

по первому предприятию: 114,8%,

по второму предприятию: .

2) Абсолютная экономия (перерасход) за счет изменения себестоимости:

по первому предприятию: Д_z = z₁ — z₀ = 62 — 54 = 8 тыс. руб.

по второму предприятию: Д_z = z₁ — z₀ = 68−58 = 10 тыс. руб.

3) Средняя себестоимость:

в базисном периоде:

в отчетном периоде:

условная (в базисном периоде при структуре отчетного периода):

Рассчитаем среднюю себестоимость по данным таблицы:

Средняя себестоимость составит:

в базисном периоде:

тыс. руб.

в отчетном периоде:

тыс. руб.

условная (в базисном периоде при структуре отчетного периода) тыс. руб.

4) изменение средней себестоимости по группе предприятий в отчетном периоде по сравнению с базисным измеряется с помощью индекса себестоимости переменного состава:

5) Влияние изменения себестоимости 1 м² на отдельных предприятиях на изменение средней себестоимости оценивается с помощью индекса себестоимости постоянного состава:

6) Влияние на изменение средней себестоимости структурных сдвигов в составе продукции определяется индексом структурных сдвигов:

7) Рассчитаем абсолютное изменение затрат на производство:

; Дз = 26 000−21 952= 4048 тыс. руб.

а) в том числе за счет увеличения объема продукции:

= (200−196) *55,8 = 223,2 тыс. руб.

б) 3а счет изменения средней себестоимости:

= (63,9−55,8) *200 = 1620 тыс. руб.

в том числе:

за счет изменения себестоимости по отдельным предприятиям:

= 26 000−22 400 = 3600 тыс. руб.

за счет изменения структуры:

22 400- 21 952 = 448 тыс. руб.

Вывод: Себестоимость 1 м² по первому предприятию увеличилась на 8 тыс. руб., по второму предприятию — на 10 тыс. руб. за м².

Средняя себестоимость в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 14,5% (114,5−100), в том числе за счет роста себестоимости на первом предприятии — на 15,6% (115,6−100), а за счет изменений в структуре производства — снизилась на 1,1% (98,9 -100).

Затраты на производство продукции в отчетном периоде по сравнению с предыдущим выросли на 4048 тыс. руб. В том числе за счет увеличения объема продукции — на 223,2 тыс. руб. За счет роста средней себестоимости продукции затраты на производство возросли на 1620 тыс. руб., в том числе за счет изменения себестоимости по отдельным предприятиям — на 3600 тыс. руб., а за счет изменения структуры производства затраты на производство продукции выросли на 448 тыс. руб.

Задача 8

При снижении цены единицы товара с 1200 до 950 р. реализация изделий в день увеличилась со 120 до 160 единиц. Определить абсолютную и относительную эластичность. Сделать выводы.

Решение Относительная величина динамики составила i = 950 /1200 = 0,8

В процентном выражении это 80% (темп роста).

Обозначим цену Р, а величину спроса Q, показатель (коэффициент) ценовой эластичности спроса Е_р.

Абсолютная величина показателя

Например, снижение цены единицы товара на 80% вызвало увеличение спроса на него на 133%. Показатель эластичности будет равен:

133 Ер =1,66

Абсолютная величина показателя ценовой эластичности спроса больше 1, значит, мы имеем дело с относительно эластичным спросом. Иными словами, изменение цены в данном случае приведет к большему количественному изменению величины спроса.

Снижение цены с Р₀ до Р₁ на 250 руб. (на 80%) приведет к росту величины спроса с Q₀ до Q₁ на 40 ед. (на 133%). Коэффициент эластичности будет равен 1,6 (133:80), т. е. он больше 1, и спрос эластичен.

При неэластичном спросе фирма не будет снижать цену своей продукции, не без основания опасаясь снижения своих доходов.

Таким образом, абсолютная величина показателя ценовой эластичности спроса может изменяться от нуля до бесконечности.

ЭС = (40 / (-250)) х ((1 200+ 950) / 2) / ((120+160) / 2) = -1,2

Данный товар принадлежит к классическим и спрос на него высокоэластичен: снижение цены на 1% приводит к увеличению спроса на 1,2%.

Достоинством коэффициента эластичности является простота расчета. Однако именно в этом заключается и его недостаток. При определении эластичности делается важная оговорка: «при прочих равных условиях». Для того, чтобы свести к минимуму данный недостаток, можно рассчитать совокупное влияние нескольких показателей конъюнктуры на величину спроса.

На участках эластичного спроса снижение цены и рост объема продаж приводят к увеличению общей выручки от реализации продукции фирмы, на участке неэластичного спроса к уменьшению выручки. Поэтому каждая фирма будет стремиться избегать того участка спроса на свою продукцию, где коэффициент эластичности меньше единицы.

Список использованной литературы

1. Бендина Н. В. Общая теория статистики (конспект лекций).- М.: Финансы и статистика, 2002

2. Воронин В. Ф., Жильцова Ю. В. Статистика. -М.: Экономистъ, 2004.

3. Гусаров В. М. Статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003

4. Елисеева М. А. Общая теория статистики, М.: Статистика, 2008.

5. Харченко Н. М. Статистика: Учебник.-М.: Издательство-торговая корпорация «Дашков и К0», 2007.

6. Чернова Т. В. Экономическая статистика. Учебное пособие. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2006. средняя зарплата прирост вклад

7. Шмайлова Р. А. Практикум по теории статистики. — М.:Финансы и статистика, 2009.