Интервал. 
Курс общей физики

Пусть ха, У a, za, tA и хв, Ув, *в, есть координаты и моменты времени двух произвольных событий А и В, измеренные относительно некоторой инерциальной системы отсчета К. Величина As, определяемая равенством.

где.

называется интервалом между событиями А и В. Выражению (10.40) можно придать более простой вид, если использовать следующие векторные обозначения:

В этих обозначениях равенство (10.40) будет выглядеть так:

Если приращения координат и времени бесконечно малы, то равенство (10.40) принимает вид.

где

Выражения (10.40) и (10.41) обладают замечательным свойством: они инвариантны относительно преобразований Лоренца. Чтобы в этом убедиться, найдем дифференциалы функций (10.36):

Подстановка этих выражений в правую часть (10.41) после несложных преобразований приводит к равенству.

Что и требовалось доказать.

Выясним теперь физический смысл интервала. Как было показано в разделе 10.8, два произвольных события А и В либо причинно связаны друг с другом, либо абсолютно удалены одно от другого. Интервал As между событиями А и В, одно из которых (скажем, В) есть следствие другого, называется времени-подобным. Для таких событий имеется принципиальная возможность существования тела т, являющегося участником как события А, так и события В. Если с этим телом связана некоторая инерциальная система отсчета, то воображаемый, а может быть реальный, наблюдатель, находящийся в начале координат этой системы, также будет непосредственным участником событий А и В. С его точки зрения события А и В происходят в начале координат и их радиус-векторы г_А = гв = 0. При этом выражение (10.40) принимает вид, Но в случае, когда г_А = гд = 0, т. е. для происходящих в начале координат событий, время t совпадает с собственным временем наблюдателя: t = г. Поэтому можно записать.

где т_А и тв — моменты собственного времени, отсчитанные по часам непосредственного участника событий А и В, являющегося в то же время наблюдателем в инерциальной системе отсчета; гд > т_А, если В есть следствие А. Для событий, разделенных бесконечно малым интервалом времени dr, формула (10.44) переходит в.

Формулы (10.44) и (10.45) определяют физический смысл времен и-подобной интервала, т. е. интервала между событиями, происходящими с одним и тем же телом, или событиями, между которыми может быть установлена причинно-следственная связь.

Для двух событий А и В, лежащих на мировой линии фотона, координаты и время связаны уравнением.

или При этом, как следует из равенства (10.40), интервал As между событиями А и В будет равен нулю.

Для абсолютно удаленных друг от друга событий А и В расстояние | А г | между точками, где они произошли, так велико, что свет, испущенный в момент, когда совершилось одно из этих событий, за время |<�д — Ia I не успевает достичь места, где совершается другое событие, к моменту его свершения, т. е.

При этом Интервал As между абсолютно удаленными друг от друга событиями называется пространственно-подобным. Из последнего неравенства вытекает, что этот интервал является чисто мнимой комплексной величиной.