Физическая модель для исследования распределения Максвелла

В сферическом сосуде с малым отверстием, расположенным под углом к горизонту, находится газ в состоянии термодинамического равновесия. Сосуд помещён в установку, нейтрализующую воздействие электрического, магнитного и гравитационного полей. Вылетающие из сосуда частицы имеют одно направление вылета, т.к. отверстие очень мало. Частицы имеют разные начальные скорости и после вылета из сосуда попадают в область действия поля тяготения. При этом дальности их полёта будут различны в зависимости от начальной скорости.

Очевидно, что наиболее информативным будет угол 45^О, при котором распределение частиц по дальности полёта легче контролировать. При размерах вылетающих частиц в несколько миллиардных долей метра (~ 8Ч10^-9), их массе около 10 ^-25 кг, а также начальных скоростях порядка 10³ м/с , — дальность полёта частиц будет составлять от 10⁴ до 10⁵ м, т. е. сотни км! Процесс контроля движения и подсчёта распределения таких частиц весьма затруднительны, точнее невозможны без «астрономических» затрат.

В лабораторной работе, описанной в статье Н. С. Кравченко и О. Г. Ревинской «Физическая модель для изучения распределения Максвелла в лабораторном практикуме и её реализация на компьютере», опубликованной в научно-практическом журнале Российской Академии Образования «Учебная физика № 5, 2010 года», частицам массой в 10 — 40 г сообщается энергия 1 Дж, т. е. определённым масштабированием реализуется наглядная модель, в которой дальность полета «утяжелённых» частиц имеет порядок 10² м (в масштабе — около 100 мм).

Схема физической модели представлена на рисунке 1.

Рисунок 1. Схема физической модели исследования распределения Максвелла.

Подбором времени вылета частиц за счёт открывания и закрывания отверстия в виртуальном сферическом сосуде таким образом, чтобы успело вылететь около 300 — 400 частиц, снижается влияние случайных флуктуаций на результат эксперимента. Программа, представляющая математическую модель данного процесса, позволяет получить графики распределения Максвелла и исследовать их зависимость от массы частиц и температуры газа в сосуде.

Движение частиц принимается двумерным, т. е. плоским и в системе координат ХОУ, с началом расположенным строго под отверстием в сосуде.

Движение частиц описывается исходя из второго закона Ньютона:

[12].

а в проекциях на оси ОХ и ОУ, — в виде системы уравнений:

d ²x/ dt ² = 0 [13]

d ²y/ dt ² = - g[14]

При этом решение можно записать в виде:

x = v Ч cos б Ч t[15]

y = h + v Ч sin б Ч t — gt²/ 2[16]

Дальность полёта x_{п - это координата x в момент падения tп :}

t_п = x_{п / (v Ч cos б) [17]}

В этот момент времени координата y = 0, значит:

y =h+ x_{п(sinб/cosб) — gxп²/(2v²cos²б)=0[18]}

Отсюда следует, что:

v²= gЧ x_{п² / ( xп Ч sin 2б + 2hЧcos² б) [19]}

или:

Полученное выражение связывает дальность полёта частицы с её начальной скоростью. Частицы с разной скоростью в поле силы тяжести будут иметь разные дальности полёта. Разграничив область горизонтальной поверхности на равные участки? x можно определить какое количество частиц попадёт на каждый участок, а по этим количествам — подсчитать вероятность того, что частицы имели скорости в соответствующем диапазоне скоростей, т.к. каждому участку расстояний от сосуда [ x_i -1; x_i ] соответствует свой диапазон начальных скоростей частиц [v_i -1; v_i ].

При делении диапазона дальности полёта частиц на равные участки, соответствующие им диапазоны начальных скоростей будут различны, т.к. дальность полёта зависит от начальной скорости линейно только при угле вылета равном 0^О (т.е. при горизонтальном вылете), а при других углах (в т.ч. при угле вылета равном 45^О), зависимость — сложная функция от угла.

Наглядность и точность математической модели от этого снижается.

Более точную и более наглядную математическую модель процесса вылета частиц с разными скоростями можно получить, исследуя распределение скоростей непосредственно, а не через дальность полета частиц. Такая математическая модель описана в следующем разделе.

Математическая модель исследования распределения Максвелла

Используя принцип виртуального эксперимента, имитирующего натурный, а именно подсчёт виртуальных частиц, имеющих скорости в заданных диапазонах и построение графика функции распределения Максвелла по полученным данным. Количество исследуемых частиц и их скорости практически не ограничены, т.к. современная вычислительная техника и среда программирования позволяют оперировать как очень малыми, так и очень большими величинами.

Для того чтобы проследить за движением частиц на экране монитора необходимо выполнить масштабирование: увеличить в размерах, утяжелить и замедлить виртуальную частицу, а также представить дальность полёта в масштабе уменьшения, согласовав её с размерами экрана и разрешением монитора компьютера.

Таким образом, задав генерирование случайных величин для скоростей молекул определённого газа (заданного количества и при заданной температуре), можно произвести подсчёт этих частиц, имеющих скорости в соответствующих диапазонах скоростей и получить распределение Максвелла.