Критерий устойчивости Гурвица

Критерий Гурвица формулируется следующим образом. САР устойчива, если а0 > 0 и главные миноры матрицы, А Гурвица положительны, т. е. aj > О,.

ит. д.

Пример 3.1

Определить устойчивость САР, характеристическое уравнение которой имеет вид: р³ + 2р² + 8р + 5 = 0.

Решение

Матрица А записывается в виде.

Вывод: САР устойчива.

Пример 3.2

Найдите условия устойчивости состояний равновесия динамических систем, заданных следующими характеристическими уравнениями:

• 1) ар + b = 0; (a/b > 0);
• 2) р² + ар + Ъ = 0; (а >0, Ъ >0);
• 3) р³ + ар² + bp + 1 = 0 (ab > 1);
• 4) р⁴ + ар³ + Ьр² + р + 1 = 0 (а > 0, ab > 1, a (b — а) > 1).

Алгебраические критерии удобны при п < 5. Для систем более высоких порядков необходимо использовать компьютеры или применять частотные критерии.

Критерий устойчивости Михайлова.

Критерий устойчивости Михайлова основан на исследовании левой части характеристического уравнения (3.8.4) линейной САР. На основании теоремы Безу левая часть уравнения может быть представлена в виде.

где Р, Р2, Рп — корни последнего. Каждый из этих корней изображается вектором на комплексной плоскости переменной р. Если положить р = jco, то все сомножители типа (/сор,) будут представляться векторами, оканчивающимися на мнимой оси (рис. 3.19). Модуль вектора F (jco) будет равен произведению модулей векторов (/со -pi), а аргумент — равен сумме аргументов этих векторов (рис. 3.19).

Рис. 3.79. К критерию устойчивости Михайлова При изменении частоты со от -°о до +°° конец каждого вектора будет скользить по мнимой оси и повернется против часовой стрелки на угол +7г (т.е. против часовой стрелки), если корень р, — лежит слева от мнимой оси, и на угол -к, если р, лежит справа от последней. Следовательно, если система устойчива (т.е. все корни — левые), то при изменении со отоо до +оо вектор F (jco) повернется в положительном направлении на угол +пп.

Поскольку годограф вектора F (;co) симметричен относительно вещественной оси, то можно ограничиться рассмотрением положительных частот со. При этом угол, описываемый вектором F (jco) при изменении со от 0 до +°о, будет в два раза меньше, чем при изменении со отоо до + оо. Поэтому часто критерий Михайлова формулируют следующим образом: для устойчивости линейной САР необходимо и достаточно, чтобы вектор F (jco) при изменении со от 0 до +оо повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол 7Ш/2, т. е. последовательно прошел п квадрантов комплексной плоскости, где п — порядок характеристического уравнения.

В качестве примера на рис. 3.20 приведены графики устойчивых САР.

Характеристические полиномы разомкнутой и замкнутой САР.

Для расчетов обычно необходимы передаточные функции разомкнутой САР, а также передаточные функции замкнутой САР относительно задающего воздействия и относительно каждого из возмущений. Определим эти величины для одноконтурной САР (рис. 3.21).

Передаточная функция W (p) разомкнутой САР есть отношение изображения Y₀(p) сигнала обратной связи у₀ к изображению х_зд(р) задаю;

Рис. 3.20. Графики кривых Михайлова устойчивых систем 1—5 порядков.

Рис. 3.21. Структурная схема одноконтурной САР.

щего воздействия х_зд(0. При этом контур регулирования предполагают разомкнутым около элемента сравнения. Для рассматриваемой САР.

где R и Q — полиномы от р. Отсюда следует, что характеристическим полиномом разомкнутой САР является знаменатель ее передаточной функции.

Передаточная функция W₃(p) замкнутой САР относительно задающего воздействия есть отношение изображения Х (р) регулируемой величины х (0 к изображению задающего воздействия. При этом рассматривается замкнутая система и предполагается, что других внешних воздействий нет. Для данной САР.

Передаточная функция Wf замкнутой САР относительно возмущения есть отношение изображения регулируемой величины к изображению F (p) возмущения ДО • При этом предполагают, что других внешних воздействий нет. Для рассматриваемой системы.

Из последнего из уравнений (3.8.8) следует, что характеристическое уравнение замкнутой САР имеет вид

Таким образом, характеристический полином замкнутой САР получается сложением числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой САР.