Схема замещения для исследования волновых процессов в линиях с распределенными параметрами

Для обоснования методики составления схемы замещения обратимся к рис. 12.2, а. На нем изображена линия с распределенными параметрами, на конце которой включена некоторая нагрузка. Начиная с того момента, когда падающая волна дойдет до конца линии, по нагрузке пойдет ток i_H и на ней будет напряжение и_н.

Рис. 12.2.

На рис. 12.2, а изображены эпюры волн и и i на линии для момента времени, непосредственно предшествующего подходу волны к концу линии.

В соответствии с формулами (12.10) и (12.14) напряжение и ток в любой точке линии можно представить в виде суммы падающих и отраженных волн. Это справедливо также в отношении напряжения и тока в конце линии. Следовательно,.

Заменив i_n на u_n/Z_B, a i₀ на -u_Q/Z_B, получим или.

Таким образом, напряжение на конце линии и_н и ток в нагрузке i_H независимо от характера нагрузки связаны с напряжением падающей волны и_п уравнением (12.29). Последнему соответствует схема с сосредоточенными параметрами, изображенная на рис. 12.2, б. В ней к источнику ЭДС напряжением 2и_п подключают последовательно соединенные Z_B и Z_H.

Расчет переходного процесса в схеме с сосредоточенными параметрами (см. рис. 12.2, б) выполняют любым из методов, рассмотренных в гл. 8. Расчет дает возможность определить i_H =/(t) и u_H =/(t). После того как эти зависимости найдены, можно определить характер изменения во времени напряжения и тока отраженной волны: u₀ =f (t) и i₀ Действительно, из уравнений (12.27) и (12.26) следует, что.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение схемы замещения.

Подключение разомкнутой на конце линии к источнику постоянного напряжения

В линии без потерь, так же как и в колебательном контуре без потерь, при подключении к источнику постоянной ЭДС возникают незатухающие колебания. Период колебаний состоит из четырех частей или стадий (рис. 12.3, а — г) одинаковой продолжительности l/v>, где I — длина линии; о — скорость распространения волны. Для рассмотрения этих стадий воспользуемся двумя различными схемами замещения. Первая схема (рис. 12.4, а) соответствует разомкнутому концу линии (Z_H = °о)_? когда к нему подходит падающая от начала линии волна. Вторая схема (рис. 12.4, б) соответствует моменту времени, когда отраженная волна подошла к началу линии, где включен генератор постоянного напряжения, внутреннее сопротивление которого полагаем равным нулю (Z_H = 0).

Рис. 12.3.

Рис. 12.4.

Рассмотрим каждую из стадий процесса в отдельности.

Первая стадия. От генератора к концу линии распространяются волна напряжения и_п1 = и и волна тока i_nl = и_п1 /Z_B = i (см. рис. 12.3, а).

Вторая стадия заключается в том, что от конца линии к ее началу движется отраженная волна (п_о1, i_ol). Для определения и_о1 и служит схема на рис. 12.4, а. Она составлена в соответствии с общим методом, изложенным в параграфе 12.6. В ней к напряжению 2и_п1 = 2и подключаются волновое сопротивление линии Z_B и сопротивление нагрузки Z_H = оо (линия на конце разомкнута!).

Согласно рис. 12.4, а напряжение на нагрузке равно удвоенному напряжению падающей волны. Действительно, при Z_H —> °°.

В соответствии с формулой (12.30) отраженная волна напряжения

в соответствии с формулой (12.26) отраженная волна тока.

Таким образом, в течение второй стадии процесса от конца линии к началу продвигается отраженная волна и_о1 = и, i_ol = -i. Результирующее состояние на линии определяется наложением первой падающей волны (u_nl, i_nl) и первой отраженной волны (u₀j, 1₀Д. На рис. 12.3, б дана эпюра распределения напряжения и тока по линии для некоторого момента времени во второй стадии (в этой стадии для участков линии, на которые прошли отраженные волны, результирующее напряжение равно 2и, а результирующий ток равен нулю).

Третья стадия процесса состоит в том, что волна u_ol, i_ol, дойдя до начала линии, отразится от генератора, как от короткозамкнутого конца линии (внутреннее сопротивление генератора принято равным нулю), и вызовет распространение в направлении от генератора к концу линии второй падающей волны (н_п2, i_n2), являющейся, по существу, отраженной волной по отношению к волне (п_о1, i_0l).

Для определения характера отражения волн от начала линии используем схему на рис. 12.4, б. В ней Z_H = 0, 2п_о1 = 2и. Так как нагрузка Z_H = О, то и напряжение на ней равно нулю. Но напряжение на нагрузке в соответствии с (12.27) равно сумме напряжения падающей волны (в данном случае п_о1 = и) и напряжения отраженной от начала линии волны, распространяющейся от генератора к концу линии и потому названной второй падающей волной. Следовательно, 0 = и + и_п2. Отсюда.

Результирующее состояние на линии по время третьей стадии процесса изображено на рис. 12.3, в. Оно получено в результате наложения трех волн: первой падающей волны (u_nl, i_nl), первой отраженной от конца волны (п_о1, i_0l) и второй падающей волны (п_п2, ?_п2).

Четвертая стадия процесса заключается в том, что на три предыдущие волны накладывается четвертая волна, представляющая собой отражение от разомкнутого конца линии второй падающей волны.

Отражение второй падающей волны от конца линии произойдет в соответствии со схемой замещения на рис. 12.4, а, только вместо 2и_п1 = 2ив схеме будет напряжение 2и_п2 = -2и.

Вторая отраженная волна имеет и_о2 = -и, i_o2 = I Результирующее состояние на линии во время четвертой стадии (рис. 12.3, г) есть результат наложения четырех волн:

Таким образом, к концу четвертой стадии напряжение и ток вдоль всей линии равны нулю — линия приобретает такое же состояние, какое у нее было к началу первой стадии. Затем процесс повторяется до бесконечности, так как R₀ и G₀ были приняты равными нулю. В действительности благодаря наличию сопротивления R₀ и утечки G₀ колебательный процесс постепенно затухает и вдоль линии устанавливается режим, соответствующий установившемуся процессу в линии при постоянном напряжении.

В рассмотренном примере линия на конце была разомкнута, поэтому отраженные волны имели такую же прямоугольную форму, как и падающие.

Отраженные волны будут иметь форму, в общем случае не похожую на форму падающей волны, если в состав нагрузки на конце линии входят емкости и (или) индуктивности, а также в том случае, если в месте перехода с одной линии на другую есть сосредоточенные индуктивности и (или) емкости.